1. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi
Síntesis histórica de la trigonometría
A diferencia de la Aritmética, el álgebra y la Geometría, que como se sabe alcanzaron gran desarrollo
desde la época de los babilonios, los egipcios y los griegos.
La Trigonometría solo logra su madurez en los últimos siglos de nuestra era, y esto es muy explicable,
pues para desenvolverse plenamente necesita de una geometría ya razonada, y sobre todo un álgebra
sistematizada, para darle toda la flexibilidad y desarrollo.
LA TRIGONOMETRÍA
La palabra trigonometría significa etimológicamente medida de los triángulos, Actualmente la
trigonometría es considerada una disciplina matemática que estudia los diferentes procedimientos para
determinar distancias inaccesibles o difíciles de medir de modo directo. El campo de estudio de esta
disciplina se ha ido enriqueciendo progresivamente. Así, abarca también el estudio de las funciones
circulares y su aplicación en la vida cotidiana, en las telecomunicaciones, la mecánica, la astronomía,
etc. Como del modelamiento matemático, de gran utilidad en la explicación de fenómenos naturales
como las ondas o vibraciones.
ORIGEN
En realidad nadie pudo sospechar antiguamente que de tan modesto origen pudiese surgir en el devenir
del tiempo una ciencia de tanta importancia como la trigonometría (y que hoy en día es una herramienta
fundamental del análisis matemático) que en un comienzo fue solo un simple capítulo de la Astronomía.
Pero gracias a su aplicación a las distintas ramas de la matemática y de la física, y sobre todo al empleo
invalorable que de ella hacen la Astronomía y la Geodesia, es que su progreso fue rápido y que pudo
llegar tan lejos.
UBICACIÓN HISTÓRICA DE SU ORIGEN
La época que al nacimiento de la trigonometría se quiera atribuir depende en realidad de la aceptación
que a dicho término se le dé, vale decir, de la amplitud que a su significado se le quiere encontrar.
Así, tomada en su estricto significado etimológico de “medida de los triángulos”, la encontramos ya en las
lejanas épocas de los babilonios, los egipcios y los hindúes, allá por los tres y dos mil años antes de
nuestra era.
Si la consideramos a la trigonometría como ese capítulo de la Astronomía, donde ciertas funciones del
ángulo eran ya conocidas y empleadas, la encontramos a partir de los trabajos de Hiparco allá por el año
140 a.C.
Pero la trigonometría como disciplina autónoma y sistemática, como esa ciencia analítica que es ahora,
solo surgió y se desarrolló en el siglo XVII, después que el gran matemático Vieta perfeccionara
admirablemente el simbolismo algebraico, sin el cual jamás hubiera podido consolidar esta ciencia.
Históricamente fueron los geometrías y astrónomos griegos quienes, entre los años 180 y 125 a.J.C.
encontraron los principales fundamentos de la trigonometría plana y esférica, deducidos de la geometría
y los aplicaron a los problemas astronómicos.
Según Theon, de Alejandría, entre los citados astrónomos griegos, es a Hiparco, especialmente, a quien
se le puede considerar como el verdadero creador de la trigonometría (Padre de la Trigonometría), pues
sobre los fundamentos debidos a éste, Ptolomeo publicó en el primer libro de su almagesto, una tabla de
valores de las razones trigonométricas, para ser usados en los cálculos astronómicos.
Para resolver los triángulos rectángulos, los griegos procedían así: calculaban los lados aplicando el
Teorema de Pitágoras, y los ángulos mediante un Teorema de Ptolomeo; la resolución de triángulos
cualesquiera la hacían descomponiendo en triángulos rectángulos (trazando altura).
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2. Nociones Preliminares Cuarto Año
Es a Regiomontano (1436 – 1476), al que se debe el renacimiento de la trigonometría, pues fue él quien,
valiéndose de traducciones del griego, escribió un notable tratado de trigonometría rectilínea y esférica,
que puede considerarse como el primer tratado de trigonometría europea.
Copérnico (1473 – 1543), fue el primero que demostró en forma sencilla las fórmulas trigonométricas de
la trigonometría esférica.
Viete (1540 – 1603), no era matemático de profesión, sino jurisconsulto que se ocupaba como abogado
de asuntos de estado, pero su amor por la ciencia matemática fue tan grande que dedicaba la mayor
parte del tiempo necesario para su descanso al estudio y a la investigación matemática. De posición
económica desahogado, su espíritu noble y generoso lo llevó a proteger económicamente aun a sus
contrarios científicos.
Como contribución a la trigonometría, en 1579 estableció las fórmulas que determinan las funciones
trigonométricas de múltiplos de un ángulo, cuando se conocen las funciones trigonométricas del mismo,
y por primera vez en occidente expone los métodos que permiten resolver triángulos planos o esféricos
aplicando las 6 funciones trigonométricas, pues Regiomontano solo utilizaba el seno.
Neper (1550 – 1617), con la creación de los logaritmos, abrevió notablemente los cálculos
trigonométricos, aunque en realidad su nombre en la historia de la trigonometría se destaca por las
analogías que llevan su nombre, así como por la conocida regla del pentágono de Neper, de tanta
aplicación en la Resolución de Triángulos Esféricos.
Es sólo en el siglo XVII que la trigonometría comienza a formar su carácter analítico, y es Euler (1707 –
1783) el primero que en realidad hace progresar dicha ama de la matemática en este nuevo aspecto
analítico, hasta darle forma que conserva actualmente.
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3. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi
Tema nº 01 : ángulo trigonométrico
Capacidades:
 Reconocer al ángulo trigonométrico y los sentidos en que estos pueden ser generados: horario y
antihorario.
 Graficar el ángulo trigonométrico en cualquiera de los sentidos conocidos.
 Operar correctamente los ángulos trigonométricos.
 Diferencia el ángulo como figura geométrica generada por la rotación de un rayo alrededor de un
punto fijo (vértice) en un mismo plano.
Ángulo Trigonométrico: al referirse a ángulo trigonométrico debemos tener en cuenta el significado de
ángulo geométrico y observar las características de ambos.
Ángulo
Geometría Plana Trigonometría Plana
Abertura determinada por dos rayos a Abertura que se genera por el
partir de un mismo punto. movimiento de rotación de un rayo
A alrededor de su origen, desde una
posición inicial (lado inicial) hasta una
posición final (lado final)
A
Definición  Lado Inicial
0
B
0 
Lado Terminal
B
 Son estáticos  Son móviles
 No tienen sentido de giro, por lo  Su sentido de giro está
tanto no hay ángulos negativos. definido:
 Están limitados (  Los ángulos positivos tienen
Características 0º  águlo Trigonomét rico  360º ) sentido antihorario ().
 Los ángulos negativos
tienen sentido horario ().
 Su magnitud no tiene límites.
Ángulo Coterminales: Dos ángulos en posición normal se llamarán COTERMINALES o COFINALES si
tienen el mismo lado final y el mismo lado inicial (así sea en sentido contrario).
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4. Ángulo Trigonométrico Cuarto Año
Ejemplos:
   son coterminales    no son coterminales
410º y 50º son coterminales –240º  30º no son coterminales
Propiedad:
La diferencia de las medidas de dos ángulos coterminales siempre nos dará como resultado un
número positivo entero de vueltas.
Si    son coterminales tal que  >  entonces se cumple:
 –  = k (360º) ; K  Z+
Ejemplos:
1) 750º y 30º coterminales porque 750º – 30º = 720º (2 vueltas)
2) 330º y –30º coterminales porque 330º –(–30º) = 360º (1 vueltas)
3) 7 y 3 coterminales porque 7 – 3 = 4 (2 vueltas)
4) 450º y –90º coterminales porque 450º – (–90º) = 540º (no tiene vueltas exactas
Ejercicios Para La Clase
1. Del gráfico
Se cumple:
A)  –  = 180º B)  =  C)  +  = 90º D)  –  = 180º E)  –  = 90º
2. Si: “” es la octava parte del ángulo de una vuelta; calcular “k” del gráfico.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
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5. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi
3. Del gráfico:
Que relación se cumple:
A)  –  = 180º B)  =  C)  +  = 180º D)  –  = 180º E)  –  = 90º
4. Si: “” es la sexta parte del ángulo de una vuelta; calcular “k” del gráfico
A) 1/2 B) 1/4 C) 1/8 D) 1/5 E) N.A.
5. De los siguientes ángulos, indicar cuales son coterminales:   3106º ;   854º y
  5186º
6. Con respecto a los ángulos:   1370º ;   2450º y   3310º , indicar cuales son
coterminales
7. De los siguientes ángulos, indicar cuales son coterminales:   3106º ;   854º y
  5186º , indicar
8. Sean   7 x 2  1º y   1  3x 2 º ángulos coterminales, tal que x  R  . Calcular el mínimo
valor que puede tomar " "
9. La suma de dos ángulos coterminales es igual a 540°. Calcular la medida del menor de ellos si el
mayor esta comprendido entre 500° y 800°.
A) -90° B) 270° C) 720 D) -100° E) -80°
10. De los siguientes ángulos, indicar cuales son coterminales:   3106º ;   854º y
  5186º
11. Con respecto a los ángulos:   1370º ;   2450º y   3310º , indicar cuales son
coterminales
12. A partir del grafico, calcular el suplemento de “x”
6 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez

6. Ángulo Trigonométrico Cuarto Año
13. De la figura, calcular x
14. De la figura, calcular x
15. De la figura indicar que relación existe entre  , y
16. De la figura, calcular x , de acuerdo al gráfico
17. Dos ángulos coterminales son entre si como 1 es a 10. Calcular el mayor de dichos ángulos, si el
menor se encuentra comprendido entre 190° y 230°.
A) 1800° B) 1500° C) 2000° D) 1000° E) 800°
18. De la figura, calcular x
a b c
19. A partir del grafico, calcular  
m n p
20. En la figura se cumple que: 3  2 x  18 , calcular E    x
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7. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi
Tarea domiciliaria
Bloque I a. 100º
P
1. En cada caso, tomando como inicio de giro
el rayo , dibuje un ángulo en sentido:
a. Horario:
P O
b. -50º
P O
c. -160º
O
O P
b. Antihorario
5. Del gráfico, señalar "x" en función de los
otros ángulos trigonométricos mostrados.
O
C
P
2. En cada caso, tomando como inicio de giro
el rayo , dibuje un ángulo en sentido: x B
a. Horario:

P O 
O A
b. Antihorario: a)  +  b)  -  c)  - 
P O  d) - - e)F. D.
3. En cada caso, tomando como inicio de giro 6. Del gráfico, hallar "x" en función de los
al rayo, dibuje un ángulo que mida: (use otros ángulos trigonométricos.
transportador). A
B
a. 140º x
P C


O 
O
D
a)  + +  b)  - - c)  - - 
b. -70º d) - +  e)  - -
O P 
7. Del gráfico, hallar "x" en función de los
c. -120º otros ángulos trigonométricos mostrados.
C
P
B

O x
O A
4. En cada caso, tomando como inicio de giro a) 90º -  b)  - 90º c) 180º + 
al rayo, dibuje un ángulo que mida: (use d) 90º +  e) -90º - 
transportador). 
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8. Ángulo Trigonométrico Cuarto Año
8. En el gráfico, hallar "x" en función de los
otros ángulos trigonométricos mostrados. 10. Del gráfico, calcular "x".
B
B
C
(9 - 9x)º
x

(5x + 1)º
A O D
O A
a)  - 90º b) 90º -  c) 90º + 
a) 3 b) 4 c) 5
d) -90º -  e) -180° + 
d) 6 e) 7

9. Del gráfico, calcular "x".
C
(12 - 11x)º
5xº
A O B
a) 2 b) 4 c) 8
d) 12 e) 10
11. Indicar si los ángulos dados son o no coterminales
 50º y 410º  -80º y 640º
 160º y 880º  -340º y -1420º
 400º y 1480º  40º, 400º y 760º
 700º y 2880º  2580º, 1140º y 420º
 1950º y 3850º  -359º, 721º y 2521º
 -150º y -510º
Bloque II
1. De acuerdo al gráfico, señale lo correcto:
3. De acuerdo al gráfico, señale lo correcto:


a)  +  = 180º b)  -  = 180º
c)  = 180º d)  +  = -180º 
e)  +  = 90º

2. De acuerdo al gráfico, señale lo correcto:
a)  +  = 90º b)  +  = -90º
c)  -  = 90º d)  -  = 270º
 e)  +  = 180º

4. Del gráfico, señale lo correcto:
-120º
a)  +  = 240º b)  +  = 120º x
c) -  = 240º d)  -  = 120º
y
e)  -  = 240º
a) x + y = 300º b) x - y = 300º
c)x + y = 270º d)x - y = 270º
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9. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi
e) x - y = 180º

8. Si en el gráfico, OP es bisectriz de AOB ,
calcular "x/y".
5. De acuerdo al gráfico, señale lo correcto: A
P
3x - 2y
x
2x - 3y
y O B
1
a) x + y = 180º b) x + y = 360º a) 1 b) - 1 c) 2
c) x - y = 360º d) x - y = 180º 1
e) x - y = 270º d) - 2 e) - 2
6. Del gráfico, señale lo correcto: OQ
9. Del gráfico señale lo correcto, si: es

bisectriz del AOB.
A
Q
B

x

y
a) x - y = 180º b) x + y = 180º O C
c)x - y = 300º d) x + y = 300º a) 2 -  = 90º b) 2 -  = 180º
e) x - y = 450º c) 2 +  = 90º d) 2 +  = -90º
e) 2 +  = 45º

7. Si en el gráfico OP es bisectriz del AOB ;
x 10. Del gráfico señale lo correcto, si: OP es
y 
calcular: bisectriz del AOB.
A
B
P
3x + 2y
P

x-y 
O B
C O A
1
a) 2 -  = 360º b) 2 -  = 360º
a) 4 b) - 4 c) 4
c) 2 +  = 180º d) 2 +  = 360º
1 1
e) 2 +  = 360º
d) - 4 e) - 4
10 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez

10. Sistema de Medidas Angulares Cuarto Año
Tema nº 02: Sistemas De Medidas Angulares
Capacidades:
 Conoce y diferencia entre las principales unidades de medición angular.
 Aplica proporcionalidad entre sistemas para transformar unidades de medidas angulares.
Para cualquier magnitud se necesita una unidad de medida, en los ángulos esto dependerá de la manera
en que es dividida la circunferencia. Entre los sistemas más usados tenemos:
Sistema Sexagesimal(S): es un sistema de medida angular cuya unidad fundamental es el grado
sexagesimal que equivale a la 360ava parte de la circunferencia.
Equivalencias:
1v
1º  (GradoSexagesimal )
360
1º  60`( MinutoSexa gesimal )
1` 60``(SegundoSex agesimal )
1º  3600``(SegunoSexa gesimal )
Sistema centesimal (C): es un sistema de medida angular cuya unidad fundamental es el grado
centesimal que equivale a la 400ava parte de la circunferencia.
Equivalencias:
1v
1g  (GradoCentesimal )
400
1g  100 m (min utoCentesi mal )
1m  100 s ( SegundoCen tesimal )
1g  10000 s ( segundoCentesimal )
Sistema radial (rad.): es el sistema de medida angular cuya unidad de medida es el radian.
Equivalencias:

I cuadrante 
2
II cuadrante  
3
III cuadrante 
2
IV cuadrante  2
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11. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi
RELACIÓN ENTRE LOS SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES
Realizando la comparación entre los tres sistemas estudiados, aplicando proporcionalidad legamos a la
siguiente conclusión:
Sº Cg Rrad
  a
360º 400 g
2rad
Sº Cg Rrad
  c
180º 200 g
rad
Sº C g 20 Rrad
 g  k
9º 10 rad
También una equivalencia de esta última relación es:
S  9k
C  10k
k
R
20
OBSERVACIÓN
RELACIÓN DE MINUTOS:
. M  m . M: # MINUTOS SEXAGESIMALES
27 50
m: # MINUTOS CENTESIMALES
RELACIÓN DE SEGUNDOS:
. a  b . a: # SEGUNDOS SEXAGESIMALES
81 250
b: # SEGUNDOS CENTESIMALES
También:
R R
S C S  180 C  200
 ;  ; 
9 10
Ejemplos:
1. Convertir a radianes la siguiente magnitud angular:  = 12º
Resolución
Magnitud Equivalente Factor de Conversión
rad
rad = 180º
180º
rad 
  12º  rad
180º 15
2. Convertir a radianes la siguiente magnitud angular:  = 15g
Resolución
Magnitud Equivalente Factor de Conversión
rad
rad = 200g
200 g
rad 3
  15g  rad
200 g 40
12 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez

12. Sistema de Medidas Angulares Cuarto Año
1º 1 g 9º
3. Hallar: E   m  g
1' 1 5
Resolución
Recordando: 1º = 60’
1g = 100m
9º = 10g
Reemplazando en:
60' 100m 10 g
E   m  g
1' 1 5
 .E. = 60 + 100 + 2 = .162.

4. Hallar: a + b, sabiendo que: rad  a º b'
8
Resolución
Equivalencia: rad = 180º
π 180º 180 º 45º 44º  1º 1º
rad .     22º   22º  30  22º 30
' '
8 πrad

 8 2 2 2
Factor de
conversion
Luego:

rad  22º30'
8
Comparando: a = 22
b = 30 .a + b = 52.

5. Convertir rad a grados sexagesimales
5
Resolución
S R S  /5
    S = 36
180  180 

 . rad  36º .
5
6. Convertir 60g a radianes
Resolución
C R 60 R 3 3
    R   . 60 g  rad .
200  200  10 10
7. Convertir 27º a grados sexagesimales
Resolución
S C 27 C
    C = 30
9 10 9 10
 .27º = 30g.
8. Seis veces el número de grados sexagesimales de un ángulo sumado a dos veces el número de sus
grados centesimales es 222 ¿Hallar el número de radianes de dicho ángulo?
Resolución
Si S, C y R son los números que representan las medidas del ángulo en grados sexagesimales, en
grados centesimales y en radianes respectivamente; del enunciado afirmamos.
6S + 2C = 222.......... (1)
Sabemos:
S  180K
S C R 
   K C  200K
180 200  R  K  ?

Reemplazando en (1) 6(180K) + 2(200K) = 222
Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 13

13. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi
1480K = 222
3
K 
20
3
 . R  K  .
20
9. Un ángulo positivo mide Sº ó Cg, calcular el valor simplificado de:
C S 3 C S
P 4  8
C S C S
Resolución
S C S  9K
 K  
9 10 C  10K
Calculamos en forma particular
C  S 10K  9K 19K
   19
C  S 10K  9K K
Reemplazando en “P”
P  4 19  3 19  8
 

27
P  19  3
4
P  4 16
.P =2.
Ejercicios Para La Clase
1. Convertir:
 108º a centesimales y radianes
 1000g a radianes y sexagesimales
 45º a centesimales y radianes
 150g a sexagesimales y radianes
7rad
 a sexagesimales y centesimales
5

 rad a sexagesimales y centesimales
6

2. Si: 3 rad  (7x + 17)º. Hallar “x”
5

3. Si: rad = aºb’.
24
Calcular: E = b – a
4. Si: 120º 
A
rad . Hallar P 
A  B A  B 
B A.B
g
5. Si: 9º 27’  a0 b 0 m. Calcular: a + b
100' 60 m
6. Reducir: P  
100" 60 s
18g 10º
7. Reducir: M m

200 120'
8. Simplificar:
14 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez

14. Sistema de Medidas Angulares Cuarto Año
99º0,2rad
H 
26º59'60"180 g
9. La diferencia de las medidas de 2 ángulos complementarios es 60g. Hallar el número de radianes de
cada uno de ellos
10. Un alumno al querer copiar 30º se equivoca y copia 30g ¿Cuál fue el error cometido en radianes?
11. Hallar “” de la figura
12. Si el número de grados sexagesimales y centesimales de la medida de un ángulo están representados
por dos números enteros y consecutivos, indicar su medida en el sistema radial.
S 3C 6 R
13. Las medidas sexagesimal, centesimal y radial de un ángulo verifica:    27
12 10 
Calcular la medida radial de dicho ángulo
C  S  60R
14. Si, S, C Y R es lo convencional para un mismo ángulo, reducir: E 
C  S
15. Reducir la Expresión: E 
C  S   C  S 
2 2
C  S   C  S 
2 2

16. Siendo X, Y, y Z números enteros, cumplen la igualdad: rad.  X Y ´Z´´ ; calcular
32
Y  Z  5X
A)
1
B) 1 C) 2 D) 3 E) N.A.
2
E  2R   
10S  9C 
17. Reducir la expresión:
A) 1 B) 0 C) 10 D) 9 E)  rad
18. Determinar la medida de un ángulo en radianes, talque verifique la siguiente condición:
SC

9
C  S 
S C
2 2
181
    
A) rad B) rad C) rad D) rad E) rad
3 2 4 5 6
SR CR
19. Calcular la medida del ángulo expresado en radianes; si se cumple que:  2
45 50
    
A) rad B) rad C) rad D) rad E) rad
3 2 4 5 6
Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 15

15. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi
20. Los ángulos de un triángulo se encuentran en progresión aritmética de razón 12°. Calcular la medida
del menor de dichos ángulos expresada en radianes.
Tarea domiciliaria
360 g  270 º
1. Calcular: N 

216º rad
10
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 1/3
7
2. Sumar P  rad  40 g
9
A) 166º B) 158º C) 176º D) 186º E) 196º
78 g 20º
3. Hallar “P” P  
300 m 120'
A) 6 B) 2 C) 16 D) 36 E) 7
4. Convertir 8000m a sexagesimales.
A) 45º B) 55º C) 68º D) 72º E) 75º
3C  2S  40R
5. Simplificar: E 
C  S
A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50

25º50 g  rad
6. Calcular E  3

64 º 40 g  rad
6
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
7. Hallar “x”
    
A) B) C) D) E)
 3 9 4 10
8. La diferencia de la medida de 2 ángulos complementarios es 80g. Hallar la medida del mayor ángulo en
radianes
A) /20 B) 3/20 C) 9/20 D) 22/45 E) /3

9. Siendo rad  xºy'. Hallar y x
16
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
10. Un alumno, al querer copiar 60º se equivoca y copia 60g ¿Cuál fue el error cometido en radianes?
    
A) rad B) rad C) rad D) rad E) rad
6 3 30 10 21
16 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez

16. Sistema de Medidas Angulares Cuarto Año
11. Si: x  2  x  2g ; calcular el valor de x:
A) 43 B) 51 C) 36 D) 38 E) 39
12. Calcular la medida de un ángulo expresado en radianes, si se cumple que: S  7 x  1 ; C  8x
2 2   2
A) rad B) rad C) rad D) rad E) rad
3 3 3 5 5
13. Un ángulo es tal que los números que indican su medida en grados sexagesimales (S), grados
centesimales (C) y radianes (R) respectivamente cumplen con la condición:
S R C S R C
   1 . Hallar la medida de dicho ángulo en radianes:
180   190   200
  
A) rad B) rad C) rad D) rad E) 2rad
20 2 40
14. La diferencia de las inversas de los números de grados sexagesimales y centesimales correspondientes a la
medida de un ángulo, es igual al doble del número de radianes de su medida entre 81. Luego dicha medida
en el sistema centesimal es:
A) 27g B) 30g C) 54g D) 60g E) 90g
g
3 5
15. Los ángulos internos de un triángulo miden: 27º; rad y   ; Hallar “x”
4 x 
A) 0,25 B) 0,50 C) 1 D) 2 E) 4
x 
16. Sean los ángulos complementarios de medidas:  = (10x)g y  = 
 rad
 30 
Luego uno de ellos es:
A) 45º B) 63º C) 36º D) 60º E) 40º
17. Calcular la medida del menor de dos ángulos suplementarios, sabiendo que su diferencia es 0,1 rad.
A) 20g B) 110g C) 180g D) 220g E) 90g

18. Si: rad < > xºy’; calcular: x – y
25
A) 5 B) 7 C) –5 D) –12 E) 19
19. Se ha medido un ángulo en grados centesimales y sexagesimales; la diferencia de los números que
representan dichas medidas es 3,2. Indicar la medida de dicho ángulo en el sistema circular.
16 8  2 4
A) rad B) rad C) rad D) rad E) rad
5 5 125 25 25
20. Un ángulos positivo mide Sº ó Cg. Hallar 10
C de la igualdad: SC = CS
10 9 C) 9 D) 10 E) 1
A) B)
9 10
Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 17

17. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi
Tema nº 03 : razones trigonométricas de ángulos agudos
Capacidades:
 Reconocer los catetos opuestos, adyacentes e hipotenusa en un triángulo rectángulo
 Definir las razones trigonométricas de ángulos agudos.
 Aplicar las razones trigonométricas de ángulos agudos.
Definición: Se denomina de esta manera al resultado de dividir dos lados de un triángulo rectángulo
tomados con respecto a uno de sus ángulos agudos. Dichos resultados se nombran de la siguiente
manera:
Se lee:
Veamos como se observa esto en un triángulo, sea el triángulo ABC; recto en C.
18 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez

18. Razones Trigonométricas Cuarto Año
OBSERVACIONES:
1. El valor de una razón trigonométrica depende sólo de la medida del ángulo.
2. Conocido el valor de una razón trigonométrica se pueden encontrar los valores de las cinco
restantes.
3. Como en todo triángulo rectángulo la hipotenusa es mayor que los catetos, entonces:
  SenA y CosA  1 ; SecA y CscA  1
EJEMPLO 1 :
En un triángulo rectángulo ABC, recto en A, reducir: E = a . SenB + c . CtgC
Resolución:
EJEMPLO 2 :
3
Tg = ; determine: E = 13 .Sen + 6. Ctgademás "" es un ángulo agudo
2
EJEMPLO 3 :
En un triángulo rectángulo ABC, recto en C, se sabe que: 4 . TgA=TgB, determine "SecA".
Resolución: Graficando el triángulo rectángulo.
Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 19

19. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi
EJEMPLO 4:
" Tg . Ctg ", si : AP  3PB
Del gráfico; calcular:
EJEMPLO 5:
En un triángulo rectángulo, un cateto es la mitad de la hipotenusa. Calcular la tangente del
mayor ángulo agudo del triángulo.
Razones Trigonométricas Recíprocas
Siendo  un ángulo agudo se cumple:
1
csc    sen . csc   1
sen
1
sec    cos  . sec   1
cos 
1
ctg    tg  .ctg   1
tg 
Ejemplo:
3 4 1
Si: sen   csc   cos    sec   5
4 3 5
5 3 3 2
ctg    tg   csc    sen 
3 5 2 3
20 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez

20. Razones Trigonométricas Cuarto Año
Razones Trigonométricas De Ángulos Complementarios
Dos ángulos agudos se llaman complementarios si su suma es un ángulo recto.
En la figura se muestra:
 y : Son ángulos complementarios ( +  = 90º)
Hemos nombrado el ángulo opuesto al cateto b como  y al ángulo opuesto al cateto a como  en
consecuencia:
b a
sen   cos  ; cos    sen
c c
b a
tg    ctg  ; ctg    tg 
a b
c c
sec    csc ; csc   sec 
a b
Debido a estas relaciones las razones:
 seno y coseno
 tangente y cotangente
 secante y cosecante
Teorema del complemento RTα  co  RTcomplemento de  
Se llaman co–razones trigonométricas una de la otra
Ejemplos:
sen40º = cos50º sec20º = csc70º
tg80º = ctg10º ctg3º = tg87º
cos62º = sen28º csc24º = sec66º
Ejercicio:
si: sen(40º + ) = cos(10º + ); 12º <  < 24º, halle 
Resolución
Por lo anterior se tiene:
(40º + ) + (10º + ) = 90º
2 = 40º  = 20º
Ejercicios Para La Clase
1. Según el gráfico, hallar: E = Tg  + 2Cos 
E  3 . Csc 2   3 . Ctg
a) 2 b) 3 c) 4
a) 5 b) 7 c) 9 d) 5 e) 6
d) 11 e) 13
2. Según los gráficos, hallar: 3. En un triángulo rectángulo ABC ( B = 90°)
Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 21

21. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi
Reducir: E = senA . secC + senC . secA
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
4. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B),
reducir: J = sen2A + sen2C + sec2A - ctg2C
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
5. Calcular: Sen  ,si"  "es agudo; además:
3
1 a) 1 b) 2 c) 2
Tg 
2 2
d) 3 e) 3
3 3 3
a) 3 b) 4 c) 6 11. Del gráfico, hallar:
1 Ctg  Ctg  Ctg
6 E
Ctg
d) 2 e) 6
6. Si "  " es un ángulo agudo tal que:
1
Cos 
3
Calcular: M = 8 Csc2  + Tg2 
a) 15 b) 17 c) 21
d) 18 e) 16
1 13
1 5
Sen 
5
 Sen 
5 (Considere " a) 7 b) 7 c) 5
7. Si:
 " y "  " ángulos agudos); Calcular: 12
Csc 2   Csc 2  d) 7 e) 5
E 12. Siendo ABCD un cuadrado, hallar:
2
W = Tg  . Ctg 
a) 12 b) 13 c) 14
d) 15 e) 16
8. En un triángulo ABC, recto en B, se cumple
que: 2 . TgA = CscC
Calcular: SenA.
3 1 1
a) 4 b) 2 c) 4
3 2 3
d) 2 e) 3
9. En un triángulo ABC, recto en A, se tiene
que: SenB = 2 . SenC
Calcular: E = CosB . CosC. 13. De la figura, calcular: Ctg  - Tg 
a) 0,5 b) 0,4 c) 0,3
d) 0,2 e) 0,1
10. Del cuadrado ABCD, calcular:
M = Tg  + Tg 
a) 3 b) -1 c) -2
d) 1 e) 2
22 Prof.: Rodolfo Carrillo
Velásquez

22. Razones Trigonométricas Cuarto Año
14. En el triángulo rectángulo ABC, recto en A;
18. De la figura, hallar
(Tan   2)2
se cumple que: CosB . CosC = 3/7,
Hallar: TgB + TgC.
5 8 5
a) 4 b) 3 c) 3
7 7 2 mn m
d) 3 e) 2

15. Del gráfico, calcule "Tg  ". n
a) 1 b) 4 c) 2
d) 3 e) 0
19. Del gráfico mostrado, calcular: " Tg  Tgw"
, si: ABCD es un cuadrado.
B C
w
2a
E
3a
16. El perímetro de un triángulo rectángulo es 
de 338 m. Si la tangente de uno de los A D
ángulos agudos es 2,4. ¿Cuánto mide el a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3
cateto menor? d) 0,4 e) 0,5
a) 13 m b) 33,8 m c) 50 m
d) 56,33 m e) 55 m 20. En un triángulo ABC, recto en C, se sabe :
SecA  2
17. Determinar la hipotenusa de un triángulo SecB 3
rectángulo, sabiendo que la suma de sus
Calcular:
catetos es 6 m y el producto de los Senos
de los ángulos agudos es 0,22. E  13  CosA  3  CtgB
a) 3 m b) 4 m c) 5 m a) 1 b) 2 c) 3
d) 6 m e) 7 m d) 4 e) 5
TAREA DOMICILIARIA
1. En un triángulo ABC, recto en B, reducir:
E = TgA.SenC - CosC 5
Sec  
5. Si: 3
2. En un triángulo rectángulo ABC (  B= 90º)
Reducir: Calcular: E= 6 .Tg  + 10 .Sen 
M = Cos2A + Cos2C + Csc2A - Tg2C
6. Si se sabe que: Sec  =3 y además "" es
3. Si "" es agudo y Ctg  = 2/3; agudo, calcular: E = Sen  . Tg 
Hallar: M = 13 . Cos  8. Tg
4. De la figura mostrada, calcular: 7. Si "" es un ángulo agudo y Cos  = 3/4.
M = 2 Sen  + Cos  Calcular: E = Csc2  +
4
Ctg 
7
8. Siendo "  " un ángulo agudo tal que:
6
Cos  = . Calcular:
9
Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 23

23. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi
M = 5.Csc2  + 4.Tg2  Calcular: E = 13 .SenA + 6.TgB
9. En un triángulo ABC, recto en B, se sabe 18. Del gráfico, calcular: Ctg  - Ctg  .
que: TgA = 2,4 ; Calcular: J = CscC + CtgC. C
2
10. Si: Sen  =  Tg  = 7 ; (Si "  " y
5
"  " son  s agudos)
Calcular:
A B
4 . Csc  7. Ctg2  D
E Tg
11 M
19. Del gráfico mostrado, calcular:
Tg
11. En un triángulo rectángulo ABC (  B=90°)
reducir:
 SenA . CtgC 
E   TgA
 CosC 
12. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B)
se sabe que: b2. SenA. SenC = 8
¿Cuál es el área del triángulo?
20. Si "  " es la medida de un ángulo agudo y
13. En un triángulo rectángulo, el Coseno de uno Tg  2
de sus ángulos agudos es 0,96. se cumple que: 3 ; calcular:
Si su hipotenusa mide 50 m. Hallar el T  13 Sen   12 Cot 
perímetro de dicho triángulo.
a) 112 m b) 224 m c) 96 m a) 12 b) 14 c) 16
d) 18 e) 20
d) 52 m e) 412 m
21. En un triángulo rectángulo ABC recto en "C"
14. El perímetro de un triángulo rectángulo es
150u y la cosecante de uno de los ángulos se cumple que: 4SenA=7SenB; calcular:
agudos es 2,6. Calcular la longitud del E  65 Sen 2 A  42 TgB
mayor cateto. a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30
a) 20 u b) 30 u c) 40 u
d) 50 u e) 60 u 22. Del gráfico mostrado, calcular:
B
15. En el gráfico, hallar "Sec  ".

F
4

A C
2 2a E a
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 3/2
3
23. En un triángulo rectángulo, los lados
16. En un triángulo ABC, recto en B, se sabe: menores miden 3 cm y 5 cm. Si el menor
ángulo agudo de dicho triángulo mide "  ".
SenA = 2.SenC
Determine: T = Sec2A + Tg2A.
Halle el valor de: W  17 Sen 2  1
17. En un triángulo ABC, recto en C, se a) 1,5 b) 2,5 c) 3,5
SecA 3 d) 4,5 e) 5,5

cumple que: SecB 2
24 Prof.: Rodolfo Carrillo
Velásquez

24. Razones Trigonométricas Cuarto Año
Ejercicios de repaso
1. Si: Sen(x+ y - 20º) . Csc (70º - z) = 1
Calcular: 10. Indicar verdadero (V) ó falso (F) según
Tg x  y  Sec ( y  z ) corresponda:
D  I. Sen15º = Cos75º ...... ( )
Ctgz Cscx II. Tg40º. Ctg50º = 1 ......... ( )
a) 1 b) 2 c) 3 III. Sec20º = Csc20º .......... ( )
d) 4 e) 5 IV. Cos(x+y) . Sec(x+y) = 1 .. ( )
V. Tg10º . Tg80º = 1 ............. ( )
2. Si: a) VFVFV b) FFVFV c) VFFVF
3sec 20  csc 70 d) VFFVV e) VVVFF
sec  
3csc 70
11. Si: Tg = Ctg40º y Sec = Csc70º.
Calcular: T = sen . tg
Hallar " +"
a) 40º b) 50º c) 60º
3. Siendo: d) 70º e) 80º
1 1
Tg = Sen40º Csc40º - Cos10º . Sec10º
2 3 12. Hallar "x"
("" es agudo), calcular: C = 2 . Csc2 -17 Sabiendo que: Tg (8x - 9º) = Ctg3x.
a) 32 b) 57 c) 52 a) 1º b) 3º c) 5º
d) 53 e) 74 d) 7º e) 9º
4. En el siguiente gráfico, hallar "x", si se 13. Calcule el valor de "x"; en:
cumple que: Sen4 = Cos2 Sen2x. Csc40º = 1.
a) 10º b) 20º c) 25º
d) 28º e) 30º
14. Siendo: Sen4x - Cosx = 0
Hallar: L = 5 . Sen(2x + 1º) + 2 . Sen(2x - 6º)
a) 1 b) 2 c) 3 d)4 e) 5
15. Si: Senx = Cos2x
Calcular: R = Tg2x . Tgx
a) 1 b) 2 c) 3
d) 6 e) 2
5. Sabiendo que:
Tg(30º+x) + tg(7x-20º) = Ctg(60º-x) + Ctg4x 16. Sabiendo que: Sen4x . Csc(x+30º) = 1
Calcular el valor de "x" (agudo) Calcular: J = Tg3x . Tg6x
a) 2º b) 4º c) 6º
d) 8º e) 10º 17. Si: Tg7x = Ctg(2x+9°)
Sen4x . Csc3y = 1
6. Hallar " + " tal que: Calcular: K = Cos5x . Ctg4y . Ctg(4x+6°)
Tg(3-35°) = Ctg(90° -) ; 2-=15º
18. Sabemos que:
7. Reducir: J=(3.Sen40º+4 . Cos50º)Csc40º Tg3x . Ctg (x+40º) = 2Sen30º.
Hallar: K = Cos3x + 4Tg(x + 17º)
8. Calcular el valor de "x" (agudo) en:
4Sen (22º+ x) .Cos(68º-x) = Tg(30º+x) . Tg(60º-x)19. Siendo "" un ángulo agudo donde se
cumple:
9. Si: Tg3 . Ctg(2 + 10º) = Sen50º. Sec40º
Sen42º Tg32º Calcular: A = 1 + Tg3 . Tg4 . Tg5 . Tg6
n= +
Cos48º Ctg58º
20. Calcular:
Calcular:
D = (3sec40° + csc50°)cos40°
P  Sen
  Tg  a) 1 b) 3 c) 4
3n 2n d) 8 e) 12
Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 25

25. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi
Tema nº 04 : razones trigonométricas de ángulos Notables
Capacidades:
 Aplicar las razones trigonométricas de ángulos notables.
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS DE ÁNGULOS NOTABLES: Son aquellos triángulos rectángulos en los
cuales conociendo las medidas de sus ángulos agudos se pude establecer la proporción en la que se
encuentran los lados de dicho triángulo. Dos de los más usados son :
60º
45º
2 2
1 1
45º 30º
1 3
Mientras que uno aproximado, pero reconocido por sus diversas aplicaciones es el de 37º y 53º.
53º
5
3
37º
4
A partir de estos se determinarán otros adicionales como:
67º 30' 75º 71º 30'
4+ 2 2 4 10
1 6- 2 1
22º 30' 15º 18º 30'
2+1 6+ 2 3
63º 30' 82º 74º
5 5 2 25
1 1 7
26º 30' 8º 16º
2 7 24
Razones Trigonométricas de los Ángulos Agudos: 30º, 60º, 45º, 37º Y 53º: Las razones
trigonométricas de estos ángulos se obtienen a partir de los siguientes triángulos rectángulos.
RECTÁNGULOS NOTABLES: 3
sen30º  sen60º 
Triángulo Notable de 30º Y 60º 2
Tenemos: 3
cos30º  cos60º 
2
tg30º  tg60º 
ctg60º 
ctg30º 
sec60º  2
sec30º 
2 3
Csc60º 
Csc30º  3
26 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez

26. R.T. de Ángulos Notables Cuarto Año
Triángulo Notable De 45º y 45º
2
sen45º 
2
cos45º 
tg45º  1
ctg45º 
sec45º 
Csc30º  2
Triángulo Notable De 37º y 53º
sen37º  sen53º 
cos37º  cos53º 
tg37º  tg53º 
4
ctg37º  ctg53º 
3
5 5
sec37º  sec53º 
4 3
5 5
Csc37º  Csc53º 
3 4
De los triángulos anteriores se obtiene:
Ángulo
30º 37º 45º 53º 60º
R.T.
1 3 2 4 3
sen
2 5 2 5 2
3 4 2 3 1
cos
2 5 2 5 2
3 3 4
tg 1 3
3 4 3
4 3 3
ctg 3 1
3 4 3
2 3 5 5
sec 2 2
3 4 3
5 5 2 3
csc 2 2
3 4 3
OBSERVACIÓN: LOS VALORES DE LAS SEIS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
DEPENDEN ÚNICAMENTE DE LA MEDIDA DEL ÁNGULO Y NO DE LAS LONGITUDES
DE LOS LADOS DEL TRIÁNGULO RECTÁNGULO.
Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 27

27. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi
Lo anterior lo podemos describir a continuación, en la siguiente figura.
BC
Del Triángulo Rectángulo ACB tenemos que: sen 
AB
B'C '
Por otra pare, del triángulo rectángulo AC’B’ tenemos que: sen  
AB '
Luego:
BC B'C '

AB AB '
Así encontramos el mismo valor para sen sin importar cual sea el triángulo rectángulo que utilicemos
para calcularlo, una idea similar podría servir para las otras razones trigonométricas.
28 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez

28. R.T. de Ángulos Notables Cuarto Año
Ejercicios Para La Casa
1. Indicar lo incorrecto: 3 5
1
Sen30º 
a) 2 b) Sec45º= 2 d) 7 e) 7
2
Sen53º 
4 Tg37º 
3 9. Si: Csc = Tg 60°
c) 5 d) 5
e) Sec60º=2 Calcular: T = 2 . Cos+ Sen
5 4
2. Si: C = (Sen45º + Sec45º) Sec60º a) b) c) 1
3 3
S = 2Tg37º + Tg45º
d) 2 e) 2,5
Calcular: C + S
10. Sabiendo que: Sen = Cos60º.Cos45º (""
a) 3 b) 4 c) 5
es agudo). Calcular:
d) 7 e) 9
M=
Cot 2   2
3. Siendo:
T = 2sen30° + tg45° a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
R = sec60° + sec245°
I = 5(sen53° - sen37°)
Calcular: T - R + I Sec 4 x  2Sen 2 x
11. Si: f(x) =
a) 1 b) 2 c) 3 tg 3x
d) 4 e) 5 Calcular: f(15°)
a) 1 b) 2 c) 3
4. Calcular: d) 4 e) 5
Sen45.Cos30(Sec37  Tg37)
T
Sec45.Csc60(Csc53  Cot53) 12. Del gráfico mostrado, calcular: "Tg".
a) 1 b) 1,5 c) 2,5
d) 1,75 e) 1,25
5. Calcular:
4Sen30º.Cos60º. Tg 45º.Sec 37º.Csc53º
T=
5 5 5
a) b) c)
2 4 6 1 1
a) 1 b) c)
4 5 2 4
d) e)
5 8 d) 2 e) 4
6. Resolver: 5x . Cos53° - Sec60° = x . Tg45°
1 Si ABCD es un cuadrado, hallar: Tg
a) 1 b) c) 2
2
1
d) e) 3
3
7. Resolver:
3x .Tg53º - Csc30º = 2x . Cos60º + 4 . Sec37º
1 5 7
a) b) c)
3 3 3
5 3
d) e)
2 2
8. Siendo: Tg= Sen 60º.
Calcular "Sen" 14. Si en el gráfico: AB = BC.
2 3 2 Calcule: T an
a) 3 b) 5 c) 7
Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 29

29. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi
B
M
 53º
A C
2 4 2
a) b) c)
9 9 3
1 2
d) e)
3 5
18. Calcular: P = 10. Tg + 11Tg
15. Calcular:
2
E  Cot 30 º. Sec 60 º. Cot 45 º
2 Tg2 30 º  Sec 2 45 º
a) 2 b) 2,25 c) 2,5
d) 2,75 e) 3
16. Según el gráfico, hallar: Ctg
19. Del gráfico mostrado, calcular: " Cotw " .
a
4a
w 45 º
a) 1 b) 1,5 c) 2
17. En el gráfico, hallar: T = Tg + Ctg d) 2,5 e) 3
E  4 Tg   6 Sen   3 Cos 
20. Calcular: 4 6 3
a) 5,5 b) 6,5 c) 7,5
d) 8,5 e) 9,5
tarea domiciliaria
1. Determine "U + N + I", siendo:
U = Sec53º + Tg53º. 4. Calcular: E= 3Tg53º - 2 Sec45º + 2Sen30º
N = Tg60º . Cos30º.
I = Ctg45º + Sen30º.
Tg 2 60ºSec 2 45ºCsc 2 30º
V
2. Calcular: 5. Calcular: Tg45ºSen30º
"T + R + I"; si:
T = Tg45º + Ctg45º - 1 Tg4 60º Sec 4 45º
R = 2Sen30º + 4Cos60º - 2 E
6. Calcular: (Sec30º Ctg60º )2
I = 5Sen37º - 4Ctg53º + 1
3. Calcular: E=Sen53º + 2Sen37º + Tg45º 7. Calcular "m" en:
m Csc30º + 6Tg53º = m + 20 . Sen37º
30 Prof.: Rodolfo Carrillo
Velásquez

30. R.T. de Ángulos Notables Cuarto Año
8. Hallar "x" de la ecuación:
3xTg53°+2Sec245°=12x Sen30°- 17
9. Sabiendo que "" es agudo, y además:
2
Tg=Sen30º. Calcule: M=4 Sec + Ctg
16. Si se cumple que: Sen2x = Cos3x para "x"
10. Si: Tg - Sen45º . Tg60º = 0 ("" agudo) agudo, calcular: E = 4Tg(2x+1º)+3Tg(3x-1º).
a) 5 b) 6 c) 7
Calcular: E = 10 . Sen2 + 6Csc2
d) 8 e) 9
11. Si:
17. Si se cumple que: Sen(3x-17º)Csc(x+13º) = 1
  Calcular: E = Csc2x+Cot3x+Sec4x
Ctg  Tg  Sec ("  " es agudo)
4 3 a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
10 (Sen   Cos)
Calcular el valor de:
18. Si: SenxSecy = 1, con x e y agudos.
12. Si: Sen = Tg37º xy xy
E  Tg( ).Cot ( ). Tgx.Tgy
1 Calcular: 2 3
P  7 Cos 
Calcular: 4 a) 1 b) 2 c) 3
d) 5 e) 6
13. Si:
x x x 19. Sabiendo que: Tg(3x-10º)Tg40º = 1
Sec    Tg    2Sen  
3 4 6 Calcular: E = 3Sec3x+5Sen(2x-3º)
f(x)  a) 5 b) 6 c) 7
x
1  tg2   d) 8 e) 9
3
Calcular: f(). 20. Si:
14. De la figura, calcular "Tg". f  Csc   Tan   2  Cos 
(x) 3n 2n n 1
f(2)
Calcular:
a) 20 b) 21 c) 22
3
d) 2 e) 0
15. Del gráfico, calcular "Tg".
Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 31

31. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi
TEMA nº 05 : Razones Trigonométricas de Ángulos de Cualquier
Magnitud (R.T.C.M.)
Capacidades:
 Definir las razones trigonométricas en el Plano Cartesiano
 Calcular el valor de las razones trigonométricas de un ángulo en posición normal, conociendo un
punto de su lado final.
 Reconocer los ángulos cuadrantales y sus razones trigonométricas
Ángulo En Posición Normal: Un ángulo trigonométrico está en POSICIÓN NORMAL, si
su vértice está en el origen de coordenadas y su lado inicial coincide con el lado positivo del eje X.
Si el lado final está en el segundo cuadrante, el ángulo se denomina ÁNGULO DEL SEGUNDO
CUADRANTE y análogamente para los otros cuadrantes.
Si el lado final coincide con un eje se dice que el ÁNGULO NO PERTENECE A NINGÚN CUADRANTE.
Ejemplos:
  I 90º  a ningún cuadrante
  II  no está en posición normal
  III
ÁNGULO CUADRANTAL
Un ángulo en posición normal se llamará CUADRANTAL cuando su lado final coincide con un eje. En
consecuencia no pertenece a ningún cuadrante.
Los principales ángulos cuadrantes son: 0º, 90º, 270º y 360º, que por “comodidad gráfica” se
escribirán en los extremos de los ejes.
32 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez

32. Circunferencia Trigonométrica Cuarto Año
Propiedad
Si  es un ángulo en posición normal positivo y menor que una vuelta entonces se cumple:
Si   I 0 <  < 90º
Si   II 90º <  < 180º
Si   III 180º <  < 270º
Si   IV 270º <  < 360º
Ejemplos:
1. Si   III ¿En qué cuadrante está 2/3?
Resolución
Si   III  180º <  < 270º

60º < 3 < 90º

2
120º < <3 270º
 Como .2/3. está entre 120º y 180º, entonces pertenece al:
.II Cuadrante.

 70 º
2. Si   II ¿A qué cuadrante pertenece 2 ?
Resolución
Si   II  90º <  < 180º

45º < 2 < 90º

 70 º
115º < 3 < 160º
 Como /2 + 70º está entre 115º y 160º, entonces pertenece al:
.II Cuadrante.
ÁNGULO COTERMINALES
Dos ángulos en posición normal se llamarán COTERMINALES o COFINALES si tienen el mismo lado final y
el mismo lado inicial (así sea en sentido contrario).
Ejemplos:
   SON COTERMINALES    NO SON COTERMINALES
Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 33

33. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi
410º y 50º SON COTERMINALES –240º  30º NO SON COTERMINALES
1. Propiedad
La diferencia de las medidas de dos ángulos coterminales siempre nos dará como resultado un
número positivo entero de vueltas.
Si    son coterminales tal que  >  entonces se cumple:
. –  = k(360º). K  Z+
Ejemplos:
1. 750º y 30º coterminales porque 750º – 30º = 720º (2 vueltas)
2. 330º y –30º coterminales porque 330º –(–30º) = 360º (1 vueltas)
3. 7 y 3 coterminales porque 7 – 3 = 4 (2 vueltas)
4. 450º y –90º coterminales porque 450º –(–90º) = 540º (no tiene vueltas exactas)
Razones Trigonométricas De Ángulos En Posición Normal: Si  es un
ángulo cualquiera en posición normal, sus razones trigonométricas se definen como sigue:
r  x2 y2
x  Abcsi sa

Y  ordenada
r  radi o

y ORDENADA r RADIO VECTOR
sen    csc  
r RADIO VECTOR y ORDENADA
70
x ABCSISA r RADIO VECTOR
cos     sec   
r RADIO VECTOR x ABSCISA
y ORDENADA x ABSCISA
tg     ctg   
x ABSCISA y ORDENADA
OBSERVACIONES:
1. EN VERDAD “r” ES LA LONGITUD DE RADIO VECTOR OP.
POR CUESTIONES PRÁCTICAS VAMOS A DENOMINAR A
“r” COMO VECTOR.
2. PARA RECORDAR LAS DEFINICIONES ANTERIORES,
UTILICE EL SIGUIENTE CAMBIO:
CATETO OPUESTO = ORDENADA
CATETO ADYACENTE = ABSCISA
RADIO VECTOR= HIPOTENUSA
34 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez

34. Circunferencia Trigonométrica Cuarto Año
Signos De Las Razones Trigonométricas En Cada Cuadrante
1) Primer Cuadrante
En el primer cuadrante TODAS las razones trigonométricas son POSITIVAS porque la ABSCISA (x) la
ordenada (y) y el radio vector (r) son positivas.
2) Segundo Cuadrante
En el segundo cuadrante el SENO y la COSECANTE son POSITIVAS porque la ORDENADA (y) y el RADIO
vector (r) son positivas. Las demás razones trigonométricas son negativas.
3) Tercer Cuadrante
En el tercer cuadrante la TANGENTE y la COTANGENTE son POSITIVAS porque la ABSCISA (x) y la
ordenada (y) son negativas. Las demás razones trigonométricas son negativas.
4) Cuarto Cuadrante
En el cuarto cuadrante el COSENO y la SECANTE son POSITIVAS porque la ABSCISA (x) y el radio vector
(r) son positivos. Las demás razones trigonométricas son negativas.
5) Cuadro – Resumen
Son Positivos
Razones Trigonométricas De Ángulos Cuadrantales: Como ejemplo modelo
vamos a calcular las razones trigonométricas de 90º, análogamente se van a calcular las otras razones
trigonométricas de 0º, 180º, 270º y 360º.
Del gráfico observamos que x = 0  r = y =1 , por tanto:
y y
r y
Sen 90º = = = 1
x 0
Cos 90º = r = r = 0
y y
Tg 90º = x = 0 = No definido (N.D.) .
x 0
y y
Ctg 90º = = = 0
Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 35