BIOLOGIA_banco de preguntas_editorial icfes examen de estado .pdf
Semana 6
1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
180
CEPUNS R
360
R.T.()
RT()
Ciclo 2013-II 90
R Co R.T.()
TRIGONOMETRÍA 220
“Reducción al Primer Cuadrante” Semana Nº 6
Definición:
Tanº Tan (270 º 30º ) Cot 30º 3
240
Es el procedimiento mediante el cual se determinan
las razones trigonométricas de un ángulo que no es * ()
agudo, en función de otro que sí lo sea.
Csc 330 º Csc(360 º 30 º ) Csc 30 º 2
R.T.( ) R.T.( )
* ()
II. Ángulo cuya medida es mayor que 360º:
: no es agudo : sí es agudo En este caso, se procede de la siguiente manera:
La conversión de una razón trigonométrica (R.T) de
un ángulo cualquiera en otra razón equivalente de un R.T. () = R.T. () ; donde 360º
ángulo del primer cuadrante se llama:”reducción al q
primer cuadrante”
También reducir al primer cuadrante un ángulo Residuo
significa encontrar los valores de las RT de cualquier
ángulo en forma directa mediante reglas prácticas. Por ejemplo, calculemos:
Casos:
3
I. Ángulos cuyas medidas están en Sen 2580 º Sen 60 º * Tan 3285º = Tan
2
<90º ; 360º>: En este caso, el ángulo original "α"
se descompone como la suma o resta de un ángulo
2580º 360º 3285º 360º
cuadrantal (90º ; 180º ; 270º ó 360º) con un ángulo 2520º 7 3240º 9
que sea agudo; para luego aplicar :
* 60º 45º
180 3
R Sen 2580 Sen 60º.()
º R.T * Tan 3285º = Tan45º = 1
RT() 360 2
2580º
90 360º 3285º 360º
R Co R.T.()
2520º
220 7 3240º 9
60º 45º
Donde el signo que deberá anteponerse al
resultado dependerá del cuadrante al que pertenezca *
el ángulo original " α " Sec1200º = Sec120º = Sec(90º + 30º) = Csc30º = 2
1200º 360º ()
Por ejemplo; calculemos: 1080º 3
3
Sen120 º Sen (90 º 30 ) Cos 30 º
120º
()
2
* Si el ángulo estuviese expresado en radianes, se
procede de la siguiente manera:
1
Cos120 º Cos(180 º 60º ) Cos60º
Sen133 Sen 1 1
2 * Cos127 C
* () 2 2 3
133 4 127 6
132 33 126 21
* 1 1
1
Centro Preuniversitario de la UNS S-06 Ingreso Directo
2. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría.
Por ejemplo, calculemos:
* Cos127 Cos 1 1 C Cos Cos 2 Cos 3 Cos 4 Cos 5 Cos 6
3 3 2 7 7 7 7 7 7
127 6
En esta expresión note que:
126 21 6 Cos Cos 6
1 7 7 7 7
R.T. a ; a 2b 2 5 Cos 2 Cos 5
Es decir, si fuese: b 7 7 7 7
Se divide: 3 4 Cos 3 Cos 4
a 2b 7 7 7 7
q Luego:
r este residuo reempla za al numerador "a "
C Cos 6 Cos 5 Cos 4 Cos 4 Cos 5 Cos 6
Tan 1315 Tan 3 * Sen 1345 7 7 7 7 7 7
4 4 3
Reduciendo, quedaría C = 0
1315 8 1345
51 164 PROBLEMAS RESUELTOS
35
3 1. Reducir:
*
sen(180º ) tg 270º sec 90º
Q
III. Ángulos de medida negativa: Se cos(90º ) ctg 360º csc 180º
procede de la siguiente manera: A) 0 B) -3 C)-1
D) 3 E) 1
Sen(-x) = -Senx Csc(-x) = -Cscx RESOLUCIÓN
Cos(-x) = Cosx Sec(-x) = Secx Q sen ctg csc
sen ctg csc
Tan(-x) = - Tanx Cot(-x) = - Cotx Q 1 1 1 1
Por ejemplo, calculemos:
RPTA.: C
2
Sen (45 º ) Sen 45 º
* 2
2. Si
Cos (60 º ) Cos 60 º 1 3
* 2 Calcule:
sen 15 cos 92
Tan (120 º ) Tan 120 º Tan (90 º 30 º ) (Cot 30 º ) 3 P
927 1683
() sec csc
2 2
IV. Ángulos relacionados: A) 3 B) 1 C) 1 D) 3 E) 5
16 16 16 16
Senx Seny 16
Si : x y 180º Cosx Cosy
Tanx Tany RESOLUCIÓN
1. sen 15 sen 15 sen sen
cos 92 cos
Senx Seny 1683
csc sec
Si : x y 360º Cosx Cosy 2
Tanx Tany 927
sec csc
2. 2
Reemplazando:
2
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3. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría.
P
sen cos
sen cos * ctg 2 3 ctg 2 2 ctg 180 ctg
csc sen 1
sen cos
sen2 cos2 Q
cos 2 tg
Q
cos 2
reemplazando: cos 2 ctg cos 180 2
tg 90
ctg
3
P sen2 cos2
3 3
Q
cos 2 ctg
2
2 cos 2 ctg
3 1 3
2
RPTA.: D
2 2
16
RPTA.: A 5. Reducir:
H cos 7 cos 3 cos 4 cos 6
7 7 7
3. Reduce:
cos x cos 24 x cos 53 x
W A) 0 B) 1 C) 2 D) ½ E) 3
47
sen x
2 RESOLUCIÓN
A) -1 B) 1 C) -3 D) 3 E) 0
H cos 7 cos 3 cos 4 cos 6
RESOLUCIÓN 7 7 7
3 3
* cos x cos x H cos cos
cos cos
7 7 7
7
* cos 24 x cos 2 12 x cos x
3 3
* cos 53 x cos 52 x cos x cos x H cos cos cos cos
7 7 7 7
*
sen x
47 47
sen
x sen 22 3 x
2 2
2
H=0 RPTA.: A
cos x cos x cos x
W
cos x 6. Si: ctg20 a
W=1 RPTA.: B Calcule: csc 200º sen110º
E
cos 290º csc 430º
4. Siendo “ ” y “ ” las medidas de dos
A) a B) -a C) a2 D) a2 E) 1
ángulos complementarios:
RESOLUCIÓN
cos 2 4 tg 3 2
Q ( ) ()
cos 4 6 ctg 2 3 E
csc 200 sen110
()
A) -1 B) 1 C) 0 D) -2 E) 2 cos 290 csc 430
()
RESOLUCIÓN csc 20 sen70
E
sen20 csc 70
* 90 csc 20 cos20
E
sen20 sec 20
* cos 2 4 cos 2 2 2 cos 180 2 cos 2 cos2 20º
E
sen2 20º
2
* cos 4 6 cos 4 4 2 cos 360º 2 cos2 cos 20
E
sen20
* tg 3 2 tg 2 2 tg 180º tg
E ctg2 20º
3
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4. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría.
E a2 RPTA.: D
sec1217 2
I. 6
PROBLEMA DE CLASE n
II. sen(n) cos(n) (1) , n Z
1. Calcular:
2 3 29 (csc csc ) ctg o
R Cos Cos Cos . . . Cos III. Si:
30 30
30 30
Entonces pertenece al IIIC:
29 Tér min os
a) 0 b) 1 c) - 1 d) 2 e) – 2 A) Sólo I B) Sólo II
C) Sólo III D) II y III E) Todas
2. Simplificar:
Tan 5 Sen 7 Sec 9
8. Si es un arco del primer cuadrante positivo
K 2 2 2
Cos (5 )Csc(7 )Ctg(9 ) y menor que una vuelta, hallar el intervalo de
sen( ) . Si: 1 2 .
a) 0 b) - 1 c) 1 d) - 2 e) 2
A) cos 2 sen( ) 1
3. Cuál es la relación que existe entre x e y. B) -1 sen() sen1
40 x 15 4 x 2 y 89 C) -1 sen() cos1
Tg Ctg Cos
10 10 2 D) cos1< sen() 1
a) 2y = 3x b) y = 3x c) 2y – 3x = k
d) y = 3x + k e) 2y – 3x = 2k E) sen2 < sen() 1
9. Reduzca:
4. Sabiendo que:
37 77 E csc 2005 tg 2003
Ksen ctg cos(sen) 2
2 2
17 23
Entonces el valor de: M = |sen + csc| en csc 2 c ot 2
x
términos de K es: (k > 0)
a) 2 b)1 c) -1 d)-2 e)0
( k 2 1) ( k 2 1)
A)2K B) 1/K C) 2/K D) 2 E) k
10. Al reducir: (Examen de admisión 2011 – II)
37
tg 99 x . cos x . sec90 x
5. En un cuadrilátero convexo ABCD se cumple: 2
R
A B C A B C 91
sen(A B C) cos2 sen2 ctg x .sen 40 x
2 2 2 2 2 2 2
Entonces el valor del ángulo D es: a) 1 b) senx c) cosx d) - secx e) cscx
A) 45º B) 60º C) 90º D) 135º E) 150º
11. Si: cos 10º = a. ¿a que es igual
E = sen100º.cos190º?
3
a) a b) 2a c) a/2 d) a2 e) -a2
6. Dado el siguiente intervalo: 2 2
(Segundo examen sumativo 2011 – II)
Además:
cos sen tg ctg
12. ¿Qué relación existe entre a y b? sabiendo
5; 5 . Calcular:
que:
A) 2/5 B)/5 C)3/5 D)4/5 E)
2a 3b 6 3a 2b
Tg Ctg 0
7. Cuál de las siguientes proposiciones son 8 4
verdaderas: a) ½ b) 1/3 c) ¼ d) 1/5 e) 1/6
13. El valor de la siguiente expresión:
4
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5. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría.
Es igual a: PROBLEMA DE REPASO
Sen 7 Sen
12 12 1. Simplifique:
7 sec(x 360).cos(x 270)tg(180 x)
Cos Cos E
12 12 cos(270 x).sen(x 306)csc(90 x)
a) 0 b) 1 c) – 1 d) 2 e) - 2 a)-1 b)-sec x c)cotx d)-cotx e)-tgx
14. Analice la veracidad de las proposiciones 2. Determinar el valor de: Cos1200º
siendo , n Z 3
i. Sen(n ) Sen a) 1 b) 0 c) ½ d) -½ e) 2
ii. Sec(781 Cos ) Sec(Cos )
iii. 1 1 3. Simplificar:
Ctg 3n Ctg
3
x x Tg Tg Ctg Ctg
.
a) FFFF b) FFVF c) FVVV E 2 2
d) FVVF e) VFVF .Ctg
Ctg 3
Tg Tg
.
2 2
15. Si A y B son ángulos complementarios, al a) -2 b) 0 c) 1 d) -1 e) 2
simplificar:
4. Si a y b son ángulos complementarios,
Sen (A 2B)Tan (2 A 3 B)
E simplificar la expresión:
Cos (2 A B)Tan (4 A 3 B)
Sen 6a 7b.Tg 13b 14a
Se obtiene: M
Cos 4b 5a.Tg 10a 11b
a) 3 b) 2 c) 2 d) 1 e) 1 a) -2 b) -1 c) 2 d) 0 e) 1
5. Del gráfico.
16. Si A y B son ángulos complementarios, al y
simplificar:
Sen (A 2B)Tan (2 A 3 B)
E
Cos (2 A B)Tan (4 A 3 B)
Se obtiene: b x
a
a) 3 b) 2 c) 2 d) 1 e) 1
17. Del gráfico, calcule: Tg
C Determinar:
3 Sen a b Sena Senb
K 3
6 Cos a b Cosa Cosb
6
1 1 1 1 1
45º a) 2 b) 3 c) 4 d) 2 e) 3
A B
M
xy
6. Si 2 entonces al simplificar:
a) 1 b) 2 c) -1 d) -2 e) ¾
3sec x.sec y cos(8x 9y)
F
tgx tgy sen(9x 8y)
Se obtiene:
5
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a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e)5 13. Simplifique:
sen179 sen173 sen167 sen161
E
3 3 cos109 cos103 cos97 cos91
tg
7. Si se cumple: 2 2
a) 2 b)0 c)-1 d)1 e)-1/2
M 13 sen(2) cos( )
Calcular: 14. Del gráfico, hallar: Tg
IIC C
1
a) 5 b) -3 c) -2 d) -5 e) 13
37º
8. Calcule el valor de: A
D
B
M tg 11 5csc 5 2sec 10 a) ¾ b) -3/4 c) 3/7 d) -3/7 e) -4/7
4 6 3
a) 6 b)5 c)4 d) 2 e) 3 cot 1,4.
15. De la figura, calcule tg cot , si
y
9. Simplifique:
(a-4;a)
sec(x 360).cos(x 270)tg(180 x)
E
cos(270 x).sen(x 306)csc(90 x)
a) -1 b)-sec x c)cotx d)-cotx e)-tgx x
sec x 3 2 a) -74/35 b) -15/24 c) -7/24
10. Si
2
d) -12/35 e) -24/35
17
cos x
P 2 tg 3sen 4cos 4cot 3 3
11 16. Si
3sec x
Calcule: 2 Además
IC y IIC Halle el valor de:
a)-3/10 b)-1/10 c) ½ d)-1/12 e)-1/14 E 10 sec(180º ) 5sen( 270º)
a) 6 b) -4 c) -10 d) 14 e) 13
11. Calcule el valor de:
cos(20) cos(160) 17. Si a y c son suplementarios, además a y b son
Q
cot(35).cot(55).sen110 complementarios. Reducir:
a)0 b)-1 c)1 d)-2 e) 2 4 cos(2a 3c)Csc(4b 3c) Sen(a b c)
M
tg (a b c) Sen(a b c)
12. Si se cumple que: a) -3 b)2 c) -1 d)-2 e) 0
cos300° = n.tg225°
18. Calcular el valor de
2 8 143
sec m.sec Tg
5 5 6
E Cos(2k 1) ; k Z
109 253 2
Calcule: m + n Sen Sec
3 6
a) 2 b)0 c)3/2 d)4 e)-1/2 a) 2 b) 2 c) 2 3 d) 2 3 e) 2 3
7 7 21 21 15
6
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