Semana 3 completo

1
Centro Preuniversitario de la UNS S-03 Ingreso Directo
b
a
H
COSenA 
b
c
H
CA
CosA 
c
a
CA
COTanA 
a
b
CO
HCscA 
c
b
CA
HSecA 
a
c
CO
CA
CotA 
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2015-I
TRIGONOMETRÍA
“RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO”
Lic.. Rodolfo Carrillo V. Edgar Fernández C
Razón Trigonométrica: Son aquellos números que
resultan de dividir dos lados de un triángulo
rectángulo.
Teorema de Pitágoras: “La suma de los cuadrados
de los catetos es igual al cuadrado de la
hipotenusa”
. a2
+ b2
= c2
Teorema: “Los ángulos agudos de un triángulo
rectángulo son complementarios”
. A + B = 90º
Definición De Las Razones Trigonométricas Para
Un Ángulo Agudo: Dado el triángulo ABC, recto en
“C”, se establecen las siguientes definiciones:
Sen =
Hipotenusa
OpuestoCateto
=
c
a
Cos =
Hipotenusa
AdyacenteCateto =
c
b
tg =
AdyacenteCateto
OpuestoCateto
=
b
a
Ctg =
OpuestoCateto
AdyacenteCateto
=
a
b
Sec =
AdyacenteCateto
Hipotenusa
=
b
c
csc =
OpuestoCateto
Hipotenusa
=
a
c
Razones Trigonométricas Recíprocas
Siendo  un ángulo agudo se cumple:
1csc.
1
csc  

 sen
sen
;
1sec.cos
cos
1
sec  

 ;
1.
1
 

 ctgtg
tg
ctg
Razones Trigonométricas De Ángulos
Complementarios
Dos ángulos agudos se llaman complementarios si su
suma es un ángulo recto.
En la figura se muestra:
 y : Son ángulos complementarios ( +  = 90º)
Hemos nombrado el ángulo opuesto al cateto b
como  y al ángulo opuesto al cateto a como  en
consecuencia:
 cos
c
b
sen ;  sen
c
a
cos
 ctg
a
b
tg  ;  tg
b
a
ctg 
 cscsec 
a
c
;  seccsc 
b
c
Debido a estas relaciones las co-razones son::
 seno y coseno.
 tangente y cotangente.
 secante y cosecante.
Semana Nº 3

Lic.. Rodolfo Carrillo V. Edgar Fernández C Trigonometría.
2
Teorema del complemento
   deocomplementRTcoαRT 
Se llaman co–razones trigonométricas una de la
otra.
NOTA:
 Si:








1
1
1



CtgTg
SecCos
CscSen
 Si:     º90  RTcoRT
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES
45º
45º
1
1
2
30º
60º
1
2
3
37º
53º
3
5
4
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES
30º 37º 45º 53º 60º
Sen
2
1
5
3
2
2
5
4
2
3
Cos
2
3
5
4
2
2
5
3
2
1
Tan
3
3
4
3
1
3
4
3
Cot 3
3
4
1
4
3
3
3
Sec
3
32
4
5
2
3
5
2
Csc 2
3
5
2
4
5
3
32
A partir de estos se determinarán otros
adicionales como:
26º30'
63º30'
1
5
2
8º
82º
1
7
16º
74º
7
25
24
5 2
22º30'
67º30'
1
4 + 2 2
2 + 1
15º
75º
6 - 2
4
6 + 2
18º30'
71º30'
1
10
3
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
* CÁLCULO DE LADOS: Es el procedimiento
mediante el cual se determinan los lados
faltantes de un triángulo rectángulo, en
términos de un lado que sí se conoce; y de un
ángulo agudo que también se conoce.
Criterio:
conocido).(T.R
conocidoLado
odesconocidLado 
Casos:
1.

A B
C
L
 BCTan
L
BC
 AC
L
AC
I)
II)
2.

A B
C
L
 ABCot
L
AB
 AC
L
AC
I)
II)
3

A B
C
L  BCSen
L
BC

L
AB
I)
II)

3
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Halle “ctg” del gráfico, si:
BCAB 
A) 32 B) 33 C) 3 D) 6/3 E) 9/3
RESOLUCIÓN
3n
APM: ctg 
3
n
33ctg  RPTA.: B
2. Si ,AD3CD  halle: tg
(tomar: sen37º=0,6)
A)
16
1 B)
8
1 C)
8
3 D)
16
3 E)
4
1
RESOLUCIÓN
Se pide:
16
3
k16
k3
tg  RPTA.: D
3. Si el triángulo ABC es equilátero.
Determine tg.
A)
5
3 B)
6
3 C)
7
3 D)
8
3 E)
9
3
RESOLUCIÓN
k 3 3
tg
7k 7
   RPTA.: C
4. Siendo “” y "β" las medidas de 2
ángulos agudos tales que:
 1sec.11cos
1csc.cos 
Halle:    '30º52sen.'30º37tgW 
A)1 B) ½ C) 3
2
D) 3 E)
3
3
RESOLUCIÓN
Datos:
i) cos11.sec  =111=  … (I)
ii) 1csc.cos 
  )º..(90º90csc.º90 IIsen  
  '30º7
2
º15
º9011:)(  IIenI
M
B
A C
120º

B
A C
a
D
3a

CA
53º
D

M
B

A C
2n
2n
3n2 3n 3nP
3n
60º
60º60º
30º
4n
30º
n 30º
4n
3n 3

n
A
53º
CD
9K
15K
12K
4K

5K
53º
3K
B
A C
a = 2k
D
3a = 6k
 60º
30º
60º
8k
60º
7k k
k 3

4
  '30º82
2
º165
2
º15
11:Ien"" 






Piden:
    ?'30º52.'30º37   sentgW
    
2
1
º30.º45  sentgW
RPTA.: B
5. En la figura ABCD es un cuadrado, M y N
son puntos medios. Determine "cot " .
A) 2 B) 1 C) 3 D) ½ E) 1/3
RESOLUCIÓN
De la figura: 3Cot RPTA.: D
6. Del gráfico, halle “x”, en términos de “”.
A) 3cos 2Sen  
B) 2cos 3Sen  
C) 2sen 3cos  
D) 3sen 2cos  
E) 2sen 3cos  
RESOLUCIÓN
  CosSenx 23 RPTA.: D
PROBLEMA DE CLASE
1) Si: º45;º0 y , además:
1)º152().52(   TgTg ;
1)º152().(   CscCos
Calcule    2)º15( TgTg
A) 2 B) 32 C) 4 D) 34 E) 6
2) Sí
2
0
41
40 
  ySen , hallar






4

Ctg
a)
4
541  b)
4
541  c)
4
341 
d)
4
341  e)
4
3
3º EXAMEN SUMATIVO 2010 III
3) En la figura AOB es un cuadrante, tal que
OD = 4 DE, entonces el valor de tg es:
A)
4
141  B)
4
341  C)
4
541 
D)
4
1 E)
2
1
B
CD
A

N
M
3

2
x

2a 2a
2a
a
45º
a2
a

x
3

2

Sen3
Cos2

5
4) Del grafico calcular :
A) 4 B) 9 C) 16 D) 81 E) 100
5) Del gráfico , Calcular Ctg
Si ABCD: Cuadrado
A) 6 B) 12 C) 18 D) 9 E) 14
6) Del gráfico halle:  cos senW
127º
109

A)1 B)
17
7 C)
17
23 D)
17
7 E)
17
23

7) En un triángulo ABC, recto en C, se cumple que:
. Hallar el valor de la
expresión
A) B) C) D) E)
(EXAMEN ORDINARIO 2014 II)
8) Halle el valor aproximado de:
105
4
º37
4
º53












 CtgCtgE
A) 2 B)3 C) 4 D)5 E) 6
9) Del gráfico. Halle:  22
sec tgW 

a)5 b) 1/5 c) 1 d) 7/2 e)7/3
10) Del gráfico que se muestra encontrar el valor
de 6x+4y, si se sabe que BC=12m y BM es
mediana relativa a la hipotenusa.
A M C
B
37°
x
y
A) 20 B)21 C) 24 D)25 E) 28
11) Si AB = 3 ; ED = 2BC , además AD toma mínimo
valor Calcular Tg
A) B) C) 3 D) 3,5 E) 4,5
12) El arco de 90º se divide dos partes de manera
que el seno: de la primera parte es igual al
triple del seno de la segunda parte. La secante
del arco de la primera parte, es:
a) 5 b) 7 c) 8 d) 10 e) 11
(2º EXAMEN SUMATIVO UNS 2008 – III)
13) Calcular:

6
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
14) En el gráfico mostrado, calcular "tg ".
Si: O y O' son centro y P, Q y T son puntos de
tangencia.
a) 1/3 b) ½ c)
2
2 d) 2 e) 2 2
3º EXAMEN SUMATIVO 2009 III
15) En la figura mostrada determine






2
4
4
c
r en
función de , Si AB = c
A)    CosSen  112 B)    CosSen  112
C)    CosSen  112 D)    CosSen  112
E)   22
112 
CosSen 
16) En la figura, halle el perímetro del
rectángulo OABC si se conoce “  ”, y el
radio del cuadrante MON es “r”.
A)  2r sen cos  
B)  r csc sen  
C)  r sen cos  
D)  2r csc sec  
E) 2
r sec csc 
O
r
MA
C

N
B
17) En la figura, Calcule (AD – DB) si AB = 3
y AC = 27/16.
A) 34 B) 33 C) 32 D) 3 E)
2
3
18) En la figura mostrada, ABCD es un cuadrado y
M es un punto medio del lado AB. Hallar ctg .
A M B
D C

A) 5 B)4 C) 3 D) 2 E) 1
19) De la figura mostrada. si AD =2 , DE = 6 ,
EC = 4, determine BD.BE

7
A)  CosSec ..8 B)  SecSec ..8
C)  SenSec ..8 D)  SecCos ..8
E)  SecSen ..8
PROBLEMA DE REPASO
1) En un triángulo rectángulo, la longitud de un
cateto es media proporcional entre el otro
cateto y la hipotenusa. Si es la medida del
menor ángulo agudo, entonces el valor de
sen  , es:
A)
2
13  B) ½ C)
2
15  D)
2
13  E)
2
2
2) En la figura mostrada BC = 25u, Calcule AD
A) 20 B) 25 C) 30 D) 35 E) 40
3) Si  y  además
    1º1954º21552   tgTg ,
    1º552   CscCos
Calcule    º45º53   tgTg
A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10
4) Si los catetos de un triángulo rectángulo son
como 3 es a 5, el coseno del ángulo agudo
mayor Es:
a)
43
1 b)
34
1 c)
34
3 d)
43
3 e)
3
34
5) En la figura mostrada AB = 2, m<DAC = 30º;
mADB = 15º, Calcule la longitud del segmento
DC.
A) 2 B) 1 C) 3 D) 3 E) 31
6) En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se
tiene que:
46
2












SecAtgASecC
A
Cot ,
calcule  TgACosC 20
A) 21 B) 23 C) 25 D) 27 E) 29
7) En la figura mostrada ABCD es un cuadrado, O
es centro de la circunferencia, E es punto de
tangencia , Calcule: tg + 2
A)
2
2 B) 12  C) 12  D)
2
12  E) 22
8) Calcular aproximadamente el valor de:












4
º53
3
4
º37
2 ctgctg
A) 10 B) 510  C) 5
D) 52103  E) 53102 
9) Calcular el valor de:
   xCosxSenTg
CscCscCos


º60º30'30º26
º45º10º.802 4
A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13
10) Si se cumple
2
15
23
º

 , donde  y  son
ángulos agudos, calcule:

8
   
   

3342
223


CtgCsc
SecTg
A) -1 B) 1 C) 2 D) -2 E) -3
11) Calcule la suma de los cuadrados de los senos
de los ángulos que forman la diagonal de un
cubo con las aristas que parten del vértice de
donde partió la diagonal.
A) ½ B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
12) Calcule : 












2
15
2
15 22 ºº
CtgtgE
A) 31630  B) 31630  C) 31230 
D) 31230  E) 330 
13) Del gráfico adjunto calcule el valor de
 CtgCtg 3 .Dado que AB = 8 y BD = EC = 2.
A) 37  B) 39  C) 37 
D) 39  E) 37 
14) En un triángulo mostrado, calcule Cos2 , si
el área de la región triangular ADC es el
cuádruple de la región ABD.
A) 2 B) 1 C)
3
15 D) 4 E) ¼
15) Calcule el valor numérico de la expresión:
 
º6032
4
2
3
200
8
3
50
32
CscTg
CosTg
gg




















A) 1/3 B) ½ C) 2/3 D) 5/6 E) 1
16) Reducir la siguiente expresión:
 
º)º().º(
º.º
276327
63271
SenxCtgxCtg
CosCsc


A) -1 B) -½ C) ½ D) 0 E) 1
17) En la figura adjunta, AB = 8r; AD = DC. Calcule
el valor de Csc
A) 3 B) 5 C) 6 D) 10 E) 13
18) En la figura ABCD es un cuadrado y BC = 3BP.
Determinar Tg + Ctg
A) 0,5 B) 1,5 C) 2,5 D) 3,5 E) 4,5
19) En un triángulo rectángulo de lados mayores
de 24 y 26u, se inscribe un rectángulo de modo
que dos de sus lados coincide con los catetos y
uno de sus vértices está en la hipotenusa.
Determine el área máxima del rectángulo.
30 B) 40 C) 50 D) 60 E) 90
20) En un triángulo rectángulo, recto en “A”, uno de
sus catetos es el doble de la diferencia entre
la hipotenusa y el otro cateto. Calcule la
tangente del otro ángulo agudo
A) ½ B) 2/3 C) ¾ D) 4/5 E) 5/3

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