1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2013-III
TRIGONOMETRÍA
“Sector Circular” Semana Nº 2
SECTOR CIRCULAR l : longitud de arco
Es aquella porción de círculo limitado por dos  : Número de radianes del ángulo
radios y un arco de circunferencia central
r: radio de la circunferencia
Ejemplo:
Del gráfico mostrado, calcular la longitud
de arco (l), siendo 0: centro.
De la figura se obtiene:
A0B Sector Circular
Solución:
l =  . 18
6
l = 3 cm
Longitud de Arco (l); Es aquella en unidades de
longitud de un arco de circunferencia, se calcula PROPIEDAD:
mediante el producto del número de radianes
del ángulo central y el radio de la
circunferencia.
A1 L 
Deducción: Sea la circunferencia con  1 
centro en “0” y radio “r” comparando la A2 L2 
longitud de arco y el ángulo central como (Radio constante)
se muestra en la figura siguiente:
Área Del Sector Circular: El área de un
Sector Circular se calcula mediante el producto
del número de radianes del ángulo con el radio
de la circunferencia elevado al cuadrado
dividido entre dos.
Deducción:
Teniendo en cuenta el significado
geométrico de 1rad. se tiene:
Longitud de Arco Ángulo Central
l  rad.
r 1 rad.
De donde se obtiene l=.r. Comparando (por regla de tres simple)
Área de un Sector Circular Ángulo Central
Donde:
 r2 2 rad.
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S  rad. En esta figura el número de vueltas que da la
Resolviendo se obtiene: rueda de radio (r) al desplazarse desde “A”
r2 también: S  l r l2 hasta “B” se calcula:
S  S 
2 2 2 L ; g
Ejemplo: nv 
lc ; g  n
Del gráfico mostrado, calcular el área del
2r r 2
sector A0B. 0: centro. (lc : longitud descrita por el centro de la rueda).
(*) Cuando una rueda (aro, disco) va rodando sobre
una superficie curva.
Solución:
 62
S  .
3 2
S = 6 cm2
Área del Trapecio Circular:
 R  r   R  r 
n  n 
2r 2r
(*) Ruedas unidas por una faja o en contacto.
 L1  L2 
S  d
 2 
S  SCOD  SAOB
Valor numérico del ángulo central Se cumple:
1r1 = 2r2
= L1  L 2 ; (0 <  < 2 )
n1r1 = n2r2
d
L1 = L2
NÚMERO DE VUELTAS (nv): El número de
(*) Ruedas unidades por sus centros.
vueltas que da una rueda de radio “r” al
desplazarse (sin resbalar) se calcula mediante
el cociente de la longitud que describe el centro
de la rueda dividido entre 2r. (perímetro de la
rueda).
Se cumple: 1 = 2 n1 = n2 L1 L2

r1 r2
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Propiedad R
R
R
7S
R 5S
3S
S
0
R R R R
PROBLEMA RESUELTOS
1) Halle el área sombreada: A g
a)  C º
b) 2  R2
c) 3  R1
o 30º 6
d) 4 
En una bicicleta se cumple que:
e) 5  1R1 = 2R2
RESOLUCIÓN D ºR1 = (g)R2
B
 9 
ºR1   º    R2
A  10 
a C R1 9

R 2 10
RPTA.: C
o 30º 6
Sx = SAOB  SCOD 3) Se tienen dos ruedas conectadas por una
b
faja; si hacemos girar la faja, se observa
  D
Sx  a²  b² B que las ruedas giran ángulos que suman
2 2 144º. Determine la diferencia de los
 números de vueltas que dan estas ruedas
Sx  a²  b²
2  si sus radios miden 3 m y 5 m
1 a) 1 b) 1 c) 1 d) 1 e) 1
Sx    6² 3 8 9 4 10
2 6  RESOLUCIÓN
36 1 + 2 = 144º
Sx 
12
Sx  3 5
RPTA.: C 3
2) Se tiene una bicicleta cuyas ruedas
tienen por radios R1 y R2 (R1 < R2); cuando  L1 = L2  1R1 = 2R2
la rueda menor gira º la mayor gira g. 1 R 2 V 5
¿En qué relación se encuentra los radios?   1 
2 R1 V2 3
a) 3 b) 8 c) 9 d) 3 e) 9
7 13 10 10 4
RESOLUCIÓN 1  144 1
 2 
Si 1 y 2 son los ángulos que giran la rueda 2 2 180 2
menor y mayor respectivamente.
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B
2 2
V1  V2   8k   V1  V2  2k
5 5 r
1 1
k V1  V2  2 A
20 20 L
1

r
10
0
24
RPTA.: E
4) Halle el número de vueltas que da la
rueda de radio (r = 1) al ir de la posición A B
hasta la posición B.
De la figura:
L 24

241r 240r
20
L = 24,1 
o RPTA.: B
r
A o B r
6) En la figura, el trapecio circular ABCD y
a) 85 b) 9 c) 10 d) 10,5 e) 11 el sector circular COD tienen igual área.
RESOLUCIÓN Halle: m
RECORRIDA
n
#V 
2 r a) 2
A
Sabemos: r = () (21) = 21 2 D
 # vueltas = 21  b) 1
2  1 2
o m n
#v = 10,5
RPTA.: D c) 2
d) 2 C
5) De la figura mostrada, la rueda de radio B
r, gira sin resbalar sobre la superficie de e) 1
radio 240 r. ¿Cuál es la longitud recorrida RESOLUCIÓN
por el centro de la rueda hasta que el punto
B este en contacto con la superficie de la
curva, si: m AOB = 120º, r = 18u?
B rad S n
r
m S
A
m² 
menor : S 
2 


B  
n² 
240 r A mayor : 2S  
2 

a)24  b) 24,1 c)24,2 d) 24,3 e) 24,4 1 m²

RESOLUCIÓN 2 n²
 1 m m 2
L AB = 240º 18u  24   
180 2 n n 2
RPTA.: A
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7) Se tiene un sector circular y un varié si aumentamos el radio una longitud “x”
cuadrado, con equivalente área e igual .determinar “x”
perímetro; luego la medida, en radianes, de A) R B) 2R C) R/2 D) R/3 E) 3R
su ángulo central correspondiente resulta
ser: 3) De la figura mostrada, Siendo O centro del
A)1 rad B) 2 rad C) 1 D)4rad E) 1 rad sector circular AOB y COD, AC  BD  x ,
rad
2 4
RESOLUCIÓN LCD  x  1 , LAB  x  1 , entonces el valor de
 .x , es:
Condiciones:
i) S =S  L R  a²
2
 R.L = 2a²
ii) Perímetro = Perímetro
A) 1 B) 1,5 C)2 D) 2,5 E) 3
 2R + L = 4a
a 4) De la figura mostrada si AOB, COD y EOF
son sectores circulares, además;
OA  OB  LCD , CE  DF  LAB ;
AC  BD  LEF . Calcule: M  1  
3
a S a
1
a
 (2R+L)²=16a²(2R+L)² = 8(2a²)
 4R² + 4R.L + L² = 8(R.L)
 4R²  4R.L +L² = 0
 (2RL)² = 0  2R  L = 0
 2R = L  2R =  R   = 2 A) 1 B) 1 C)1 D) 2 E) 4
RPTA.: B
4 2
PROBLEMA DE CLASE 5) De la figura AOB y COD son sectores
circulares. El área de la región COD es S y
1) De la figura mostrada calcule: L2  2 L3 , si L1 , de la región ABCD es 2S; si LAB  l ,
11.L1 determine CB
L 2 y L 3 son longitudes de arcos y
AB = BC = CD y “K” es el área del sector
circular JAH
A) S B) S C) S
l
6  2 3  l

72 3  l
8  2 3 
D) S E) S
A) 4 B) ½ C) 1 D) 3/2 E) 2
l
9  2 3  l

11  2 3 
2) La medida del ángulo central de un sector
circular de radio R es 24º y se desea 6) La figura adjunta es una semicircunferencia
disminuirlo 18º de tal manera que el área no donde O es el punto medio de AD. Si el área
de la región sombreada es  y m<BOC =
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90º, determine el área de la región
triangular BDC.
A) 2  2 B) 2  3 C) 2  7
A)  B) 2 C)  2
 2  2  2 D) 2  4 E) 2  5
D) 2 E)   2
 2  2 10)Determine el área de un sector circular en
función de su perímetro P, si se sabe que
7) En la figura mostrada, Se muestra dos dicha área es máxima.
circunferencias de radios r1 y r2 (r1 < r2) y L1 2 2 2 2 2
A) P B) P C) P D) P E) P
, L2 son las longitudes de arco de los
sectores circulares , AOB y COD 2 4 8 16 32
respectivamente. calcular L1/L2 11)En la figura mostrada, el extremo “A” del
péndulo recorre los arcos L1 y L2 hasta llegar
a C . Halle “x” (en m), si L1 + L2 = 8m
A) r1 .r2 1 B) r2 .r1 1 C) r1  r2
D) r1 .r2 E) r1  r2
A) 7 B) 8 C) 8.5 D) 9 E) 9.2
8) En la semicircunferencia mostrada, O es el
centro; además el área de la región 12)Si el perímetro de la región sombreada es
sombreada es “x”, Siendo A1 y A2 las áreas
, calcule la longitud del lado del
de los sectores circulares AOB y COD
respectivamente. Determine A1 + A2. cuadrado ABCD.
A) ½ B) 1 C) D) E) 2
A) 2x B) x C) 3x 13)De la figura mostrada sí r  3 ; AM = 6,
4  3 3 8  6 3 4  3 3 MB =8. Calcule el número entero de vueltas
D) x E) x que da la rueda al ir desde A hasta B sin
8  3 3 8  6 3 deslizamiento.
9) En la figura mostrada, R A  RB  2cm ,
O' O' '  2 2cm , Calcule el área de la
región sombreada.
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A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
14) En la figura. Si la rueda “A” gira un ángulo de
300g ¿Qué ángulo girara la rueda D?
RA = 3, RB = 4, RC = 1, RD =2
A) R  3r B) R  3r C) R  3r D) 3R  r E) 3R  r
6r 6r 2r 2r 6r
3) Dos ruedas de radio r y R (r < R), recorren
A) 1620º B) 1680º C)1690º D) 1720º E) 1800º la misma distancia horizontal. Si la suma del
número de vueltas de ambas ruedas es igual
15)En el sistema mostrado, las ruedas A y B a 10 veces su diferencia. Entonces, el
están unidas por una faja, y las ruedas B y C cociente entre los ángulos barridos, de la
están unidas por un eje común. Halle el
rueda menor a la rueda mayor es:
número de vueltas que da la rueda “C” si la
rueda “A” barre un ángulo de 2160º A) 9 B) 9 C) 10 D) 11 E) 11
11 10 9 9 10
4) En la circunferencia de la figura mostrada,
dos autos A y B parten del punto P en la
misma dirección, con velocidades VA y VB
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 respectivamente; después de un tiempo “t”
el ángulo central formados por sus
PROBLEMA DE REPASO posiciones finales mide 90º. Calcule el valor
de a (en radianes), si se cumple que V A es a
VB como 2 es a 5.
1) En la figura mostrada r1 = 2u , r2 = 4u , r3 =
3u, r4 = 8u ; si las dos esferitas se
encuentran inicialmente al mismo nivel y la
rueda de radio r1, gira un ángulo de medida 1
rad, entonces la diferencia de alturas (h),
después de este giro (en u), es:
A)  B)  C)  D)  E) 
6 5 4 3 2
5) Se tiene dos monedas colocadas sobre una
mesa. Las monedas tienen diámetros D1 y
D2, siendo D1 > D2. La moneda más grande
esta fija y la moneda pequeña rueda sobre
el borde de la otra, haciendo un recorrido
A) 2.5 B)2 C) 3 D) 3,5 E) 1 completo y dando exactamente 3 vueltas.
calcule: D1
2) De la figura mostrada, determinar el
D2
número de vueltas que da una rueda de
A) 2 B) 1,5 C) 2, 5 D) 3 E) 3,5
radio r para recorrer el circuito MNP.
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6) En la figura, m<ABC = 30(x+1)º/ animados con un movimiento uniforme con
LAC = (2x - 1)m y el radio de la circunferencia
tiene por medida 3m, calcular x. velocidades de . Calcule el
tiempo en que por primera vez se encuentran
los tres móviles.
A) 6 min B) 8 C)10 D) 12 E) 14
11)En la figura mostrada, la rueda “A” gira 20
vueltas y la rueda “B” gira 5 vueltas. Calcule
la separación entre sus puntos de tangencia,
en cm respecto al suelo.
Si rA = 2cm y rB = 8cm
A) ¼ B) 1/3 C) ½ D) 1 E) 2
7) En la figura, las áreas de las superficies
ABCD y DOC cumplen la relación
S ABCD = 2.S DOC .calcule 2m
 3
n A) 21  15  B) 32  20 
C) 52  10  D) 81  20  E) 43  30 
12)En el sistema adjunto. ¿Cuánto medirá el
ángulo (en radianes) que se debe girar para
que los centros de las esferas A y B se
A)0 B) ½ C) 1 D) 3/2 E) 2 encuentren a la misma altura si inicialmente
dicha diferencia de alturas es de 14
8) En la figura mostrada ABCD es un cuadrado unidades?
de lado 4u. calcule el área de la región 5u
sombreada.
2u
A
B
a) 0,5 b) 1 c) 1,5 d) 2 e) 2,5
A)   1 B)   2 C)   3 D)   4 E)   5 13)De la figura, calcular S1 ; siendo S1: Área
S2
9) El tramo de una vía férrea curvilínea está
formado por 36 arcos sucesivos. El primer del sector AOB y S2: Área del sector COD.
arco corresponde a un ángulo de  , con
rad
37
un radio tal como R, el segundo corresponde
a un ángulo central doble del anterior, el
tercero corresponde a un ángulo el triple del
primero y con un ángulo también el triple del
primero y así sucesivamente hasta el último
arco. Encontrar la longitud total de la vía
férrea curvilínea.
A) 430R B) 432R C) 438R D) 500R E) 600R
a) a b) a c) a d) a e) a
10)Sobre una pista circular, 3 móviles parten al a b a b a  2b a  2b 2a  b
mismo tiempo de un mismo punto y están
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