4º álgebra

Índice

ÁLGEBRA - 4 to AÑO DE SECUNDARIA
Pág.

T E M A 1 Sucesiones y Progresiones ....................................................................... 2

Sucesiones ................................................................................................................................... 2

Progresiones Aritméticas ...................... 5

Progresiones Geométricas.............................................................................................................. 8

T E M A 2 Funciones................................................................................................... 11

Relaciones Binarias ....................................................................................................................... 11

Clases de Relaciones .................................................................................................................... 17

Función ..................................................................................................................................... 25

Dominio y Rango de una Función................................................................................................... 31

Gráfica de Funciones .................................................................................................................... 38

T E M A 3 Logaritmos................................................................................................. 51

T E M A 4 Ecuaciones con Valor Absoluto................................................................. 60

T E M A 5 Ecuaciones de Grado Superior .................................................................. 63

T E M A 6 Inecuaciones de Grado Superior............................................................... 70

Inecuaciones Lineales ................................................................................................................... 70

Inecuaciones Cuadráticas............................................................................................................... 73

Inecuaciones de grado superior...................................................................................................... 75

T E M A 7 Inecuaciones con Valor Absoluto ............................................................. 78

T E M A 8 Sistema de Inecuaciones........................................................................... 81

T E M A 9 Binomio de Newton................................................................................... 84

Factorial de un Número ................................................................................................................ 84

Números Combinatorios ................................................................................................................ 86

Binomio de Newton ...................................................................................................................... 92

Álgebra  I.E.P. Corpus
Christi

Tema nº 01: SuceSioneS y progreSioneS
Capacidades:
 Resuelve problemas con sucesiones.
 Calcula el término “n” ésimo de una progresión geométrica y aritmética.
 Calcula la suma de términos de una progresión geométrica y aritmética.
 Resuelve problemas, aplicando propiedades de una progresión aritmética y geométrica.

Exploración y Desequilibrio:
 En una competencia de tiros al blanco dan las siguientes listas de números:
a) 5; 9 ; 11; 15 ............
b) 3; 6; 9; 12; .........
c) -5; -1; 3; 7 ...............
d) a; 3a; 5a; 7a; .........

 ¿En cuál de ellas, la razón entre cada par de términos es la misma?
 ¿Qué letra continua? A; D; G; J;.....
 Calcule es sexto término de la sucesión:
4; 6; 11; 21; 38;…………
 ¿Qué letra continua? C; O; R; P; U; S; .....
Desarrollo del Tema:
1. Sucesión: Se llama sucesión a la secuencia ordenada de términos, regidos por una ley de
formación.
Ejemplo:
5; 12; 19; 26; 33; . . . . .

2; 6; 18; 54; 162;. . . . . .

4; 9; 16; 25; 36;. . . . . .

A; D; H; M; ………….

2. Sucesión Aritmética Lineal o de 1er Orden:
Es cuando la razón es constante en la primera línea, también se le llama progresión
aritmética (P.A.)
Si: t1; t2 ; t3 ; t4 ; t5 ;……….tn (razón constante)

t tn = t 1 +
Donde: r(n-1) ó
t = t 0 + r.n
tn :n Término enésimo
t1 : primer término
r : razón
n : número de término
t0 : término anterior al primero
3.- Sucesión Cuadrática o de 2º Orden:

t tn = an2 +
bn + c

Regla práctica para calcular el término enésimo de una sucesión cuadrática:

Ecuación Segundo Año

Si: t0 ; t1; t2 ; t3 ; t4 ; t5 ;……….tn
l m n p q
r r r r

Donde : a = r/2
b=l–a
c = t0

Sucesión Geométrica:

t tn = t1 x
qn-1
Donde:
tn : Término enésimo
t1 : primer término
r : razón geométrica
n : número de término

Sucesión Armónica o Progresión Armónica:

t 2t n-1 x
2tn+1
Sucesiones Polinomiales de Orden mayor que dos:
t tn =
Se usará el método más práctico que es el: uso de los números combinatorios
2t n-1+2tn+1
n!
Cn =
k

( n − k ).! xk!
ºSi: t1; t2 ; t3 ; t4 ; t5 ;……….tn
a b c d e…….
m n p q ……
r r r
n-1 n-1 n-1 n-1
El enésimo término se calcula así: tn = t1 C + a.C + m.C + r.C
0 1 2 3

prÁcTica DirigiDa

1) ¿Qué término sigue?
4; 5; 10; 19; 32;…. 5) 1, 5; 4; 8; 9; 11; x; y . Hallar x+y
a) 49 b) 27 c) 32 d) 35 e) 37 a)14 b) 16 c) 30 d) 27

2) Hallar x + y, en la sucesión 6) 1/2; 1/2; 1; 3; 12; 60; ......
8; 7; 10; 9; 12; 11: x; y a) 360 b) 630 c)120 d)180
a) 20 b) 25 c) 22 d) 27 e) 25
7) 2, 5; 9; 15; 16; 45; 23; x; y. Hallar
3) ¿Qué número continua? x-y
19; 38; 36; 72; 70; 140; x a)135 b) 105 c)30 d)72
a)280 b)210 c)122
d)138 e)125 8) A, D; I; O; . . . .
a)Y b) X c) V d) W
4) ¿Qué letra continua?
B; K; E; O; H; S; K; ? 9) En la sucesión cuántos términos acaba
a) X b) Y c) V d) W e) S en 5.

Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez
3

Christi
11; 24; 37; 50;……;2598 a)840 b)843 c)942 d)823 e)834
a) 20 b) 42 c) 28 d) 30 e) 25
18)Busca información del tema de
10)¿Cuál es el término más cercano a Sumatorias y relaciona sus fórmulas
1000 que pertenece a la progresión con las referentes a Progresión
aritmética? Geométrica.
20; 39; 58; 77;….
a)999 b)989 c)908 ENCUENTRA EN CADA CASO EL NÚMERO QUE SIGUE:

d)1008 e)1029
19)5; 6; 9; 17; 34; ......
11)¿Cuántos términos tiene la siguiente a) 65 b) 60 c) 75 d) 59
sucesión de primer orden?
12n; 17n; 24n; 31n;........ 620n
20) 6, 7; 13; 20; 33; 53; . .
a) 73 b) 75 c) 77 d) 79 e) 81
a)73 b) 86 c) 90 d) 70
12)Si la siguiente sucesión:
9/4; 17/9; 27/16; 39/25;...... 21)3; 6; 11; 19; 31; .....
Tiene 20 términos. Determinar la a) 47 b) 48 c) 36 d) 52
diferencia de los términos de la última
fracción. 22)1; 1; 1; 2; 12; .....
a) 54 b) 70 c) 76 d) 62 e) 64 a) 250 b) 160 c) 288 d)24

13)Hallar el término de lugar ba de la 23) E; G; K; P;.....
siguiente P.A: a) Y b) V c) X d) W
a8b; a93; b04; ba5;....
a) 302 b)303 c)352 d)402 e)403
24) B, F; I; M; O...
14)Dada la sucesión de primer orden: a)R b) S c) T d) V
a2 + 1; 7a; 9a - 1;....
Hallar el primer término que contenga 3 25) 17; 29; 48; 76; 116; 172; ….
cifras. a) 249 b) 237 c) 194 d) 227
a)102 b)105 c)108 d)107 e)109
26)3, 6; 18; 66; ....
15)Calcular el último término de la fila 30 a)192 b) 258 c)266 d)272
del siguiente triángulo numérico:
1
27)40, 37; 33; 26; 14; . . . . .
3 5
5 7 9 a)-19 b) -5 c)-10 d) 0
7 9 11 13
9 11 13 15 17 28)1, 4; 3; -1; 9; -4; 27; . . . .
............................................. a)5 b) 10 c) -5 d)16
a)140 b)120 c)118 d)117 e)108
29)-2, -1; 1; 5; 13; . . . .
16)En el triángulo numérico, hallar la suma a)50 b) 29 c)25 d) 35
del primer y último término de la fila
20. 30)D; G; J; M; X; U; R ; ….
1 ….. F1 a) Ñ B) O C) P D) F
3 5 ….. F2
7 9 11 ….. F3
13 15 17 19 …. F4 31) 5, .?; 32; 68; 140; 284
21 23 25 27 29...... F5 a) 14 b) 10 c) 12 d) 20
.............................................
a)900 b)450 c)801 d)702 e)800 32)El número equivocado en: 2; 5, 10;
12; 26; 29; 58; 61; 122; es:
17)Calcular el término 30 de la sucesión: a)5 b) 10 c) 12 d) 26
2; 3; 6; 11;...................
progreSioneS ariTmÉTicaS


 En un test de capacidad se dan las siguientes listas de números:
a) 3; 7 ; 11; 15; ............
b) 3; 6; 9; 12;.........
c) 4; 12; 20; 28; 34; 42………
d) -5; -1; 3; 7;...............

 ¿En cuál de ellas, la razón es constante?

 ¿Cuánto es la suma de los 10 primeros números naturales?

 ¿Cuánto es la suma de los 100 primeros números naturales? ¿Será fácil calcularlo?

Progresión: Es una sucesión de números que se caracteriza por aumentar o disminuir una
cantidad en forma constante, llamada razón. Pudiendo ser ésta por diferencia o cociente

Progresión Aritmética: Cuando la razón se obtiene por diferencia

 La progresión aritmética es considerada creciente cuando la razón es positiva.
Ejemplo: 3; 9 ; 15; 21 ............

 La progresión aritmética es considerada decreciente cuando la razón es negativa.
Ejemplo: 30; 26; 22; 18 ............

an = a1 + (n-1)r
n
Fórmulas S n = ( a1 + a n )  
básicas 2
Donde:
 a1 = Primer término
 an = Ultimo término
 n = número de términos
 Sn = Suma de los “n” primeros términos

prÁcTica DirigiDa

1. Tres términos de una P.A, creciente tercero y séptimo término es igual a 8.
tienen como suma 42, y como producto Hallar al término 100 de la P.A.
2 688 el mayor es: a) 185 b) –80 c) –186 d) 200
a) 4 b) 8 c) 16 5. En una P.A. cuyo primer término es 16 la
d)32 suma del cuarto y noveno término es
igual a la semisuma del undécimo y
2. ¿Cuántos múltiplos de 7 existen entre 11 decimoséptimo ¿Cuál es el valor del
y 173? quinto término?
a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 a) 24 b) 32 c) 40 d) 48

3. En la P.A: X.....-59, -61, Hallar el número 6. En una P.A. creciente de 7 términos la
de términos, si la suma de todos los suma del 3ro. 4to. y 5to. término es 54 y
términos es nulo. el producto de los términos primero y
a) 62 b)63 c) 64 d)F.D. último es 180. Halla la razón de la P.A.
a)2 b)3 c) 4
4. La suma del segundo y quinto término de d)5
una P.A. es igual a 14; la suma del

5

Christi
7. La suma de tres términos de una P.A. es
33. El cuadrado del último térmno excede 19. En la P.A: X.....-59, -61, Hallar el
a la suma de los cuadrados de los dos número de términos, si la suma de
primeros en 11 ¿Cúal de los sgtes no todos los términos es nulo.
pertenece a P.A? a) 62 b)63 c) 64 d)F.D.
a) 8 b)11 c) 14 d) 17
20. La suma del segundo y quinto término
8. Interpolemos, usando la fórmula de an de una P.A. es igual a 14; la suma del
en: tercero y séptimo término es igual a 8.
 5 medios aritméticos entre 8 y 32 Hallar al término 100 de la P.A.
 10 medios aritméticos entre -15 y a) 185 b) –80 c) –186 d) 200
40
 6 medios aritméticos entre -7 y -56 21. En una P.A. cuyo primer término es 16
 7 medios aritméticos entre 5 y 9 la suma del cuarto y noveno término es
igual a la semisuma del undécimo y
9. El duodécimo término de una progresión decimoséptimo ¿Cuál es el quinto
aritmética es 15 y la diferencia común término?
es -3. Determina el primer término. a) 24 b) 32 c) 40 d) 48

10. La diferencia común de una progresión 22. ¿Cuántos términos deben tomarse de la
aritmética es 2/5 y el décimo término es P.A.; -9, -6, -3.......; para que
30. Halla el primer término. la suma sea 66.
a) 9 b) 10 c)11 d)12
11. EL primer término de una progresión
aritmética es 6 y el noveno término es 23. La suma de todos los números naturales
-74. Halla la diferencia común. múltiplos de 6, menores que 200 es:
a)3366 b)3663 c)3636 d)3676
12. Determina la razón “r” de -4; …, 116;
donde 116 es décimo sexto término. 24. ¿Cuántos múltiplos de 13 existen entre
25 y 261?
13. El primer término de una progresión a) 17 b) 18 c) 19 d) 20
aritmética es -42, el enésimo término 6
y la razón es 3. ¿cuál es el número de 25. La suma de los cinco términos de una
términos? progresión aritmética es 315, y la
diferencia entre el quinto y el primero
14. ¿Qué lugar ocupa el número 109 en la es 28, ¿cuál es la progresión?
P.A.: -15; -11; -7; .......?
a) 32 b) 24 c) 16 d)30 26. Un obrero debe depositar una carretilla
de arena, alrededor de cada uno de 30
15. El quincuagésimo (50) múltiplo de 3 es: árboles que están en línea recta,
a) 150 b) 144 c) 141 d)153 separados 6 metros. Si el montón de
arena está a 10m del primer árbol,
16. Tres términos de una P.A, creciente encontrar la distancia recorrida luego de
tienen como suma 42, y como producto realizado el trabajo.
2 688 el mayor es: a) 2910 b)5820 c)11640 d)4045
a) 4 b) 8 c) 16 d)32
17. Halla la suma de los números impares 27. Determinar el término central de una
desde 29 hasta 137. P.A. de 7 términos, Sabiendo que la
a) 4565 b) 4594 c) 4536 d) suma de los términos de lugar impar es
4702 77 y la de los de lugar par es 56.
a) 19 b) 14 c) 16 d)24
18. Halla el número de términos y la suma 28. En una P.A. creciente de 7 términos la
de ellos, en una P.A. cuya razón es 3, suma del 3ro. 4to. y 5to. término es 54
su primer término es 6 y su último y el producto de los términos primero y
término 123. último es 180. Halla la razón de la P.A.
a) 39 y 2577 b) 40 y 2586 a)2 b)3 c) 4 d)5
c) 39 y 2580 d) 40 y 2577


29. Desde los puntos A y B distantes entre 39. En una P.A, se cumple:
sí 510 m, se mueven simultáneamente a1 + a5 = 14 , a3 + a6 = 20
dos cuerpos, uno al encuentro del otro.
Calcular a4:
El I de ellos recorre en el primer minuto
50 metros y en cada minuto siguiente a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11
dos metros más que el precedente. El II
cuerpo recorre en el primer minuto 40 40. Si: a, 2a, a2 son los 3 primeros términos
metros y en cada minuto siguiente 4 de una P.A. Calcular la suma de los 10
metros más que el precedente. primeros:
¿Después de cuántos minutos se a) 160 b) 165 c) 166
encuentran estos dos cuerpos?
a) 5 b)15 c) 34 d)30 d) 144 e) 150
30. Sabiendo que el término central de una
P.A. de 40 términos es 22,5. Calcular la 41. El primer término de una P.A. es 5. El
suma de todos sus términos último es 45; y la suma de todos los
a) 900 b) 843 c) 964 d)845 términos es 400. Calcular el # de
términos.
31. ¿Cuántos medios aritméticos se deben a) 14 b) 15 c) 16
interpolar entre 4 y 40 para que la suma
de la P.A. resultante sea de 220? d) 17 e) 18
a)8 b)10 c) 9 d) 5
42. En una P.A. de 25 términos, el décimo
32. El mayor de tres números que forman tercero es igual a 30. La suma de todos
una P.A. es el doble del menor. ¿Cuál es los términos de la P.A es:
el mayor de estos números, si su a) 1250 b) 1000 c) 875
producto es 17496.
a) 36 b) 27 c) 90 d)59 d) 750 e) 700

33. Determinar el décimo quinto término de 43. Hallar la razón de una P.A. de 3
una P.A.. Si la suma de sus “n” términos términos, tales que al adicionar 3; 10 y
está determinado por: Sn = n(n+8). 2 respectivamente se obtenga números
a) 37 b) 43 c) 64 d)45 proporcionales a 2, 4 y 3.
a) 2 b) 4 c) 5
34. Los tres términos en P.A. que
aumentados en 2, 3 y 8 d) 6 e) 7
respectivamente son proporcionales a
10, 25 y 50. ¿Cuál no es uno de sus
términos? 44. Considere una P.A. cuyo sexto término
a) 2 b) 7 c) 12 d)15 es 3/5 del tercer término, que es
positivo, si el producto de los mismos es
35. Si se sabe que a, a2 y 3a son los tres 15. Determinar el número de términos
términos de una P.A. entonces la suma que se debe tomar de esta P.A. para
de los diez primeros términos es: 1
a) 110 b) 84 c) 116 d)124 que sumen 30 .
3
36. La suma de cuatro números racionales
45. Los lados de un triángulo rectángulo forman
en P.A. es 20 y la suma de sus inversos
una progresión aritmética. Hallar la suma de
es 25/4. ¿Cuál de los siguientes no lo
las tangentes de sus dos ángulos agudos.
es?
a)4 b) 6 c) 8 d) 10 46. Se va a pagar una deuda de 150 soles en
letras que forman una progresión aritmética.
37. La suma de tres números en P.A. es El primer pago que se realizará será de 30
22,5. Si al centro se le resta 1,5 se soles y cada pago posterior será dos soles
transforma en una P.G.. Uno de los menos que el pago anterior. ¿En cuántas
números que no pertenece es: letras se terminará de pagar?
a) 7,5 b) 3 c) 12 d)5 a) 6 b) 7 c) 4
38. Busca información del tema de d) 25 e) 19
Sumatorias y relaciona sus fórmulas con
las referentes a Progresión Aritmética

7

Christi
progreSioneS geomÉTricaS


 En las siguientes listas de números: ¿En cuál de ellas, la razón es constante?
a) 1; 8; 27; 64;...............
b) 3; 6; 12; 24;.........
c) 2; 6; 24; 120;.........
d) 1; 1 ; 1; 1;............
3 9 27

 Calcular la suma de las áreas de todos los cuadrados que se pueden inscribir
sucesivamente a partir de un cuadrado de 1m de lado.

 Una hoja de papel se parte por la mitad; después se superponen las dos mitades y se
vuelven a partir por la mitad, y así sucesivamente. Después de 8 cortes. ¿Cuántos trocitos
de papel habrá?


Progresión Geométrica: Cuando la razón se obtiene por cociente.

an = a1.r n-1
Sn =a.
(r n
−1 )
1
( r − 1)
a1
Pn = ( a1 .a n ) n
S∞ =
(1 − r )
Donde:
 a1 = Primer término
 an = Ultimo término
 n = número de términos
 Sn = Suma de los “n” primeros términos
 Pn = Producto de los n primeros términos
 S∝ = Suma de los infinitos términos

RECUERDA:
Las progresiones geométricas pueden ser CRECIENTES y DECRECIENTES.
Una progresión geométrica es creciente si su primer término es positivo y la razón es
positiva y mayor que 1, y es decreciente si su primer término es positivo y la razón es
positiva y menor que 1.

Si la razón es negativa, los términos de la progresión resultan alternadamente positivo y
negativo; y por lo tanto, uno mayor, uno menor, uno mayor, etc.

Ejemplos:
1) 4; 8; 16; 32; 64; 128; …. es una progresión geométrica creciente; Porque su primer
término es positivo y la razón es 2, positiva y mayor que 1.
2) 81; 27; 9; 3; 1;, …… es una progresión geométrica decreciente; porque su primer
1
término es positivo y la razón es , positiva y menor que 1.
3
3) La progresión geométrica: -1; 5; -25; 125; …. no es creciente ni decreciente, pues la
razón es negativa que es -5.


prÁcTica DirigiDa

1. Interpolemos, usando la fórmula de an y que la suma de los dos primeros es
en: igual a 60.
 5 medios geométricos entre 3 y a)60 b) 764 c) 5/3 d) 768
192
 4 medios geométricos entre 5 y 10. Si la suma de los 6 primeros términos de
-1215 una P.G. es igual a 9 veces la suma de los
 5 medios geométricos entre 36 y tres primeros términos, entonces la razón
9/16 es:
 4 medios geométricos entre ½ a) 2 b) 3 c) 4 d)8
y-1/2048
 Dos medios geométricos entre 5 y 11. La diferencia del tercer término menos el
625 sexto de una P.G. es 26 y el cociente es
27. Calcular el primer término
2. El sexto término de una P.G. es 1024 y la a) 243 b) 234 c)5/9 d)1/9
razón es 4. Entonces el tercer término es:
a) 16 b) 4 c) 16 d)64 12. En una P.G. creciente de tres términos se
multiplica el primer término por 4, al
3. Si el producto de tres números que están segundo por 7 y al tercero por 6,
en P.G. es 1000 y la razón es 3. ¿Cúal de obteniéndose una P.A.. Hallar la razón de
los sgtes no pertenece a P.G.? la P.G.
a)10/3 b)10 c) 30 d) 3 a) 2 b) 3 c) 4 d)5

4. La suma de los 3 términos de una P.G. es 13. La suma de los 3 términos de una P.G.
10,5. Si el término medio es tres, hallar la es 10,5. Si el término medio es tres,
razón: hallar la razón:
a) 3,8 b)3,5 c) 1,5 d) 2 a)3,8 b)3,5 c) 1,5 d) 2

5. Calcula el primer término de una P.G. en 14. Calcula el primer término de una P.G.
el que el tercer término es 3 y el séptimo en el que el tercer término es 3 y el
es 3/16 séptimo es 3/16
a) 12 b) 8 c) 1/3 d) 1/9 a) 12 b) 8 c) 1/3 d) 1/9

6. Encontrar el primer término de una P.G. 15. Encontrar el primer término de una P.G.
en la cual el 3ro y 6to término son 1/18 y en la cual el 3ro y 6to término son 1/18
1/486 respectivamente. y 1/486 respectivamente.
a) 2 b) 3 c) 1/3 d) a) 2 b) 3 c) 1/3 d) 1/2
1/2 16. Hallar el número de términos de una
PG. cuyo primer término es 3, sabiendo
7. Los 4 medios geométricos interpolados que la suma de ellos es 1092 y la razón
entre 160 y 5 de una P.G. es: es 3.
A) 5, 10, 20, 40 B) 10, 30, 60, 90 a)6 b) 8 c) 4 d) 5
C) 80, 40, 20, 10 D) 120, 90, 60, 30

17. Los 4 medios geométricos interpolados
8. Hallar el número de términos de una PG.
entre 160 y 5 de una P.G. es:
cuyo primer término es 3, si la suma de
A) 5, 10, 20, 40 B) 10, 30, 60, 90
ellos es 1092 y la razón es 3.
C) 80, 40, 20, 10 D) 120, 90, 60, 30
a)6 b) 8 c) 4 d) 5
18. La diferencia del tercer término menos
el sexto de una P.G. es 26 y el cociente
9. Una P.G. tiene 4 términos, encuentre el es 27. Calcular el primer término
último término si se sabe que la razón a) 243 b) 234 c)5/9 d)1/9
común es igual a 1/3 del primer término

9

Christi
19. La cantidad que hay que sumar a 5, 13 transforma en una PG.. Uno de los
y 29, para que formen una P.G. es: números que no pertenece es:
a) 2 b) 3 c) 4 d)5 a) 7,5 b) 3 c) 12 d)5
20. ¿Cuántos antecesores (padre, abuelos, 30. Una PG. admite 4 términos, siendo la
bisabuelos,. . .) tiene una persona suma de sus extremos 27 y los
después de 6 generaciones? centrales 18. ¿Cual de los términos no
a)64 b)126 c) 128 )256 lo es?
a) 24 b) 3 c) 12 d) 5
31. Hallar el mayor de tres números
21. Tres madres impacientes esperan
positivos de una PG., sabiendo que la
consulta con niños de 1, 37, 289 días. El
suma es 26 y la suma de sus inversas
pediatra para entretenerlas, les pide
es 13/18.
que averigüen dentro de cuántos días
a) 18 b) 3 c) 6 d) 15
las edades de sus niños estarán en PG.
a) 5 b) 3 c) 4 d)6
32. Las edades de 4 personas están en P.G.
El producto de todas ellas es 3779136 y
22. ¿Cuántos antecesores el más joven de ellos tiene 24 años.
(padre, abuelos, bisabuelos,...) tiene
una persona después de 10 33. Calcular la suma de las áreas de todos
generaciones? los cuadrados que se pueden inscribir
a) 1024 b) 2048 c) 2046 d) 1349 sucesivamente a partir de un cuadrado
23. Alrededor de un punto se ha construido de 4m de lado
infinitos ángulos, cuyas medidas esta en a) 32m2 b)16m2 c)64m2 d) 48m2
progresión geométrica de razón ½. La
medida del primer ángulo es:
34. Sea una P.G. se tiene: que la razón
a) 90º b) 150º c)120º d) 180º
S5 31
entre: = . Hallar el término 8.
24. Se deja caer una pelota desde una S3 7
altura de 90m, si en cada rebote la
pelota se leva 1/3 de la altura de lo cuál 35. Si se aumenta una misma cantidad a los
cayó la última vez. ¿Qué distancia
números 20, 50 y 100, se forma una
recorre la pelota hasta quedar en
P.G. cuya razón es:
reposo?
a) 1/2 b) 1/3 c) 2
a) 180 b)135 c) 90 d)225
d) 4/3 e) 5/3
25. Los 4 medios geométricos interpolados
36. ¿Cuál es la razón de una PG. de 12
entre 1215 y 5 de una PG. es:
términos, siendo el primero 1 y el
B) 500, 100, 20,10 b) 10, 50, 150,
último 2048?
750
a) 1 b) 2 c) 4
C) 405, 135, 45, 15 d) 625, 250, 125, 25
d) 8 e) 16
26. En una PG. creciente de tres términos
se multiplica el primer término por 4, al
37. La suma de los 6 primeros términos de
una P.G. es igual a nueve veces a suma
segundo por 7 y al tercero por 6,
de los 3 primeros términos entonces la
obteniéndose una PA. Hallar la razón de
razón de la PG. es:
la PG.
a) 2 b) 3 c) 4 d) 7 e) 8
a) 2 b) 3 c) 4 d)5
27. Si el producto de tres números que 38. Si le sumamos 3 números consecutivos
están en P.G. es 1000 y la razón es 3. a 3, 7 y 16 respectivamente, obtenemos
¿Cúal de los sgtes no pertenece a P.G.? una P.G. calcular la razón de la P.G.
a)10/3 b)10 c) 30 d) 3 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
28. Determinar el término central de una
PG. de 5 términos, Sabiendo que el 1 1 1
39. Sumar: + + + ...
producto de todos ellos es 1024 3 12 48
a) 3 b) 4 c) 5 d)6 a) 1 b) 2 c) 1/2

29. La suma de tres números en PA. es d) 1/4 e) 4/9
22,5. Si al centro se le resta 1,5 se


40. La suma de tres números en progresión Hallar el segundo término de la progresión
geométrica creciente es 70; si los extremos se geométrica dada.
multiplican por 4 y el intermedio por 5, los a) 15 b) 10 c) 30
productos están en progresión aritmética. d) 20 e) 18

11

Tema nº 02 : funcioneS
Capacidades:

 Define y grafica funciones.
 Resuelve problemas con funciones.

PAR ORDENADO R: A → B
Es un conjunto que consta de 2 elementos al subconjunto de A × B obtenido mediante:
dispuestos en un determinado orden.
R = {(a ;b ) ∈ A × B /a ∈ A ∧ b ∈ B ∧ a R b }
( A ; B )
P r im e ra Segunda
a R b Indica que entre a ∈ A y b ∈ B se cumple
c o m p o n e n te c o m p o n e n te
alguna condición establecida.

Propiedades: • Ejemplo: Dado A = {1, 2, 3, 4} y B = {5, 6}
1. (A;B) ≠ (B;A) Construir una relación de A en B, definida por:
2. Si: (A;B) = (C;D) → A = C ∧ B = D R = {(a;b) ∈ A × B/a + b < 9}

• Ejemplo: Resolución:
Hallar (x + y), si se sabe que: * Obteniendo A × B:
(4x - 1;13) = (7; 2y - 1) A × B = {(1;5),(1;6),(2;5),(2;6),(3;5),(3;6),(4;5),(4;6)}

Resolución: Igualando las componentes: * Analizando cada par ordenado:
* 4x - 1 = 7 →x=2 (1;5) → 1 + 5 = 6 < 9 (cumple)
* 2y - 1 = 13 →y=7 (1;6) → 1 + 6 = 7 < 9 (cumple)
∴x+y=9 (2;5) → 2 + 5 = 7 < 9 (cumple)
(2;6) → 2 + 6 = 8 < 9 (cumple)
PRODUCTO CARTESIANO (3;5) → 3 + 5 = 8 < 9 (cumple)
Dados 2 conjuntos "A" y "B" no vacíos; se llama
(3;6) → 3 + 6 = 9 = 9 (no cumple)
"producto cartesiano de A y B" (A × B) al
conjunto de pares ordenados obtenido mediante: (4;5) → 4 + 5 = 9 = 9 (no cumple)
(4;6) → 4 + 6 = 10 > 9 (no cumple)
A × B = { (a ;b )/a ∈ A ∧ b ∈ B } ∴ R = {(1;5),(1;6),(2;5),(2;6),(3;5)}

• Ejemplo: Del ejemplo anterior podemos establecer:
Siendo: A = {3; 4; 5} 1. Como R es una relación de A en B, entonces:
B = {1; 2} * A: conjunto de partida de la relación.
A × B = { ( 3 ; 1 ) ,( 3 ;2 ) ,( 4 ; 1 ) ,(4 ; 2 ) ,( 5 ; 1 ) ,( 5 ;2 ) } * B: conjunto de llegada de la relación.
B × A = { ( 1 ; 3 ) ,( 1 ;4 ) ,( 1 ; 5 ) ,(2 ; 3 ) ,( 2 ; 4 ) ,( 2 ;5 ) }
2. Dominio de R: Dom(R) = {1; 2; 3}
Propiedades: (Conjunto de las primeras componentes)
1. A × B ≠ B × A (observar ejemplo anterior)
2. Siendo n(A) = número de elementos del 3. Rango de R: Ran(R) = {5;6}
conjunto A, (Conjunto de las segundas
→ n(A × B) = n(A) . n(B)
componentes)

RELACIÓN BINARIA
Dados 2 conjuntos "A" y "B" no vacíos; se define
"relación binaria de A en B":

Funciones Cuarto Año

Ejemplos:

1. En la siguiente igualdad de pares ordenados: Resolución: Obteniendo cada conjunto.
(2a +3b;-1) = (4;3a + b) A = {2; 3; 4}
Calcular el valor de "a + b" B = {2; 3; 4}
Resolución: Luego:
Por igualdad de pares ordenados se debe A×B=
cumplir: {(2;2),(2;3);(2;4),(3;2),(3;3),(3;4),(4;2), (4;3),(4;4)}
2a + 3b = 4.......... 1)
....( Graficando:
 B
3a + b = −1.......... 2)
....(
4
Resolviendo:
(1 ) × 3 : 6a + 9b = 12 A × B
3
(2 ) x -2 : -6 a - 2 b = 2
2
7b = 14
b = 2 1
A
E n (1 ): a = -1
0 1 2 3 4
piden : a + b = 1
b. A = {x ∈ IN /3 < x + 2 ≤ 5}
B = {x ∈ IR / |x - 4| ≤ 1}
2. Sea A = {1; 2; 3} y dadas las relaciones: R y Resolución: Obteniendo cada conjunto.
1
R en "A" definida por: A = {2; 3}
2 B = [3; 5]
R = {(x;y) ∈ A × A/x < y} El conjunto "A" posee sólo 2 elementos; en
1
R = {(x;y) ∈ A × A/x + y = 5} cambio el conjunto "B" está dado por un
2 intervalo.
Calcule el número de elementos de R ∪ R
1 2
Resolución: Graficando:
B
Para determinar: R y R debemos construir el
1 2
producto cartesiano así: 5
A×A=
E le m e n t o s
{(1;1),(1;2),(1;3),(2;1),(2;2),(2;3),(3;1), (3;2),
de "B"
(3;3)} 3
Luego:
* Los elementos de R son todos aquellas
1 A
(x;y) donde x < y: R = {(1;2),(1;3),(2;3)} 0 1 2 3 4 5
1
* Los elementos de R son todos aquellos
2 E le m e n t o s
(x;y) donde x + y = 5: R = {(2;3),(3;2)} de "A "
2
Finalmente, el conjunto R ∪ R , viene a ser: c. A = {x ∈ IR/3 < x ≤ 6}
1 2
R ∪ R = {(1;2),(1;3),(2;3),(2;3),(3;2)} ó B = {x ∈ IR/1 ≤ x < 5}
1 2
R ∪ R = {(1;2),(1;3),(2;3),(3;2)} Resolución: Los dos conjuntos están dados por
1 2
∴ n(R ∪ R ) = 4 intervalos.
1 2 Graficando en el plano cartesiano.

3. En cada caso, se dan 2 conjuntos "A" y "B",
calcular:
"A × B" y graficarlos sobre el plano cartesiano.

a. A = {x ∈ IN / |x - 3| < 2}
x+2
1< ≤2
B = {x ∈ IN / 3 }

B Resolución:
5 * Construyendo la relación: 2x - y = 3
4
si: x = 1 → reemp.: 2(1) - y = 3
3 E le m e n t o s
de "B" → y = -1 ∉ M
2

1
x=2 → reemp.: 2(2) - y = 3
A → y=1∈M
0 1 2 3 4 5 6

E le m e n t o s d e " A " Luego (2;1) ∈ R
El rectángulo sombreado contiene todos los
pares ordenados (x;y) ∈ A × B. Las líneas x=3 → reemp.: 2(3) - y = 3
punteadas del rectángulo indican que en dicha → y=3∈M
parte de la gráfica el intervalo es abierto (A:
<3;6]; B: [1;5>) Luego (3;3) ∈ R
En el caso que la línea sea contínua, el
extremo del intervalo correspondiente es x=4 → reemp.: 2(4) - y = 3
cerrado. y=5∉M

4. Sea: M = {1; 2; 3; 4} un conjunto sobre el Se concluye que: R = {(2;1); (3;3)}
cual se define la relación: Dom(R) = {2;3} → a = 2 + 3 = 5
R = {(x,y)/2x - y = 3} Ran(r) = {1;3} → b = 1 + 3 = 4
Si "a" representa la suma de todos los elementos ∴a-b=1
del dominio de R y "b" a la suma de todos los
elementos del rango de R, calcular (a - b)

problemaS para la claSe
Bloque I Calcular: n(R)
a) 1 b) 2 c) 3
1. A partir de la igualdad: d) 4 e) 5
(a + b; 3a - 5) = (5; 4)
Hallar "2b - a" 6. Dados los conjuntos:
a) 1 b) 2 c) 3 A = {x ∈ IN/2 < x - 1 < 7}
d) 4 e) 5 B = {x ∈ IN/|x - 5| = 2}
Calcular: n(A × B)
2. Dada la operación: a) 7 b) 4 c) 8
(3x - 1;4) + (2x + 1;y + 2) = (y + 1;10) d) 6 e) 5
Hallar "x + y"
a) 1 b) 3 c) 5 7. Si: A = {1; 2; 3} ∧ B = {2; 4; 6}
d) 7 e) 9 Expresar por extensión la relación R; de "A" en
"B" definida así: R = {(x;y) ∈ A × B/y = 2x}
3. Teniendo lo siguiente: a) R = {(1;2),(2;4)}
(x + 1;y) + (3x - 1; 6) = (12;x + 7) b) R = {(1;1),(2;4),(3;5)}
Calcular "x + y" c) R = {(2;4),(1;6)}
a) 1 b) 3 c) 5 d) R = {(1;2),(2;4),(3;6)}
d) 7 e) 9 e) R = {(1;2),(2;4),(4;8)}

4. A partir de los conjuntos: 8. Dados los conjuntos:
A = {1; 2; 5; 6} A = {x ∈ IR/3 ≤ x + 1 ≤ 4}
B = {3; 5; 7} B = {x ∈ IR/0 ≤ x - 2 ≤ 2}
Construir la relación "R" definida por: Hallar "A × B", "B × A" y graficar cada caso:
R = {(x;y) ∈ A × B/x + y = 8}
9. Determinar los pares ordenados (x; y) que
5. Dado el conjunto: A = {2; 3; 4}, se define una 2
verifican la igualdad: (x ; x + y) = (y; 2)
relación "R", mediante:
a) {(-2; 1), (4; 1)} b) {(1; -2), (1; 4)}
2
R = {(x;y) ∈ A /x + y = 3º} c) {(-3; 1), (4; 2)} d) {(-2; 4), (1; 1)}


e) {(4; -2), (1; 1)} Indicar cuál de todos los pares ordenados
dados, no pertenecen al conjunto A × B; ni al
10.De la gráfica: conjunto B × A.
y a) (1; 6) b) (5; 4) c) (4; 4)
(8 ;1 1 ) d) (1; 7) e) (2; 5)

7. Sean los conjuntos:
A = {x ∈ ZZ /-1 ≤ x < 5}
(a + b ;5 ) B = {x ∈ ZZ / 2 ≤ x ≤ 4} y las
(1 2 ;a + 2 ) correspondencias:
R = {(x;y) ∈ A × B/x < y}
1
R = {(x;y) ∈ A × B/x + y = 3}
2
x
Hallar el número de elementos de:
Hallar "ab" Dom (R ) ∧ Ran (R )
1 2
a) 5 b) 10 c) 15
a) 0 b) 1 c) 2
d) 20 e) 25
d) 3 e) 4
Bloque II
8. Dados:
1. Dados los conjuntos:
A = {x ∈ IN / x = impar ∧ 3 < x < 11}
A = {x ∈ ZZ /|x - 1| ≤ 1}
3
2 B = {x ∈ IN / x ≤ 100 ∧ x = 12}
B = {x ∈ ZZ /x = 5x}
Cuáles de las relaciones:
Hallar "A × B", "B × A" y graficar cada caso.
I. R = {(9;2),(5;4),(7;3)}
1
2. Dados los conjuntos: II. R = {(3;1),(5;2),(7;3),(9;4)}
2
III. R = {(5;12),(7;4)}
A = {x ∈ ZZ /|x| < 2} 3
x +1 están definidas de "A" en "B"
a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III
B = {x ∈ ZZ /-1 < 3
< 0} d) I y III e) II y III
Hallar "A × B" y "B × A", graficar en cada
caso: 9. Si: A = {1; 2; 3; 4; 5}
Se define la relación:
3. Dados los conjuntos: R = {(1;1),(2;2),(3;3),(5;1),(2;4),(5;4),(5;2),
P = {x ∈ IR /4 ≤ 3x - 2 ≤ 7} (4;3),(3;5)}
Q = {x ∈ IR /0 ≤ x - 2 ≤ 1} Si: M = {x ∈ A/(x;2) ∈ R}
Hallar "P × Q" y "Q × P", graficar en cada N = {y ∈ A/(3;y) ∈ R}
caso: P = {x ∈ A/(x;5) ∈ R}
Entonces (M ∪ N) - P es:
4. Dados los conjuntos: a) {2;5} b) {3;5} c) {3}
A = {x ∈ IN /|x - 6| = 5} d) {5} e) {1;2;4;5}
x −1
10.Dados los conjuntos:
B = {x ∈ IN /1 < 2 < 3} A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
Hallar: n(B × A) B = {1; 3; 5}
a) 1 b) 6 c) 4 C = {2; 4; 6}
d) 8 e) 5 y las correspondencias:
P = {(x;y) ∈ B × A/x + y es par}
2 2 2 Q = {(x;y) ∈ C × B/x + y es impar}
5. Si: A = {-1; 0; 1} y R = {(x;y) ∈ A /y = x }
Hallar el número de elementos de "P v Q" si
Hallar: n(R)
existe.
a) 5 b) 4 c) 3
a) 15 b) 18 c) 21
d) 2 e) 1
d) 27 e) 30
Bloque III
+
A = {x ∈ ZZ /|x - 1| < 4} 2
1. Dados los conjuntos: F = {x ∈ ZZ /x + 5 =
3x − 1 6x}
B = {x ∈ ZZ /2 < 4 < 5} 2
G = {x ∈ IR / x + 8 ≤ 6x}

entonces: F × G, tiene la forma:
a) b) c) A = {1;4} ∪ {x ∈ IR /2 ≤ x ≤ 3}
B = {x ∈ IR / 5 ≤ x ≤ 7}
d) e) entonces A × B tiene la forma:

2. Dados los conjuntos: a) b) c)
A = {1;5} ∪ {x ∈ IR /2 ≤ x ≤ 4} d) e)
B = {x ∈ IR / 2 ≤ x ≤ 3} 7. Si: A = {x ∈ ZZ /4 < x + 4 < 9}
entonces "A × B", tiene la forma: 3 2
B = {x ∈ IR / x - 5x - x + 5 = 0}
a) b) c) Definimos: R = {(x;y) ∈ A × B/x < y}
Hallar la suma de los elementos que
conforman el dominio de la relación "R".
d) e) a) 6 b) 7 c) 9
d) 10 e) 11
3. Si "A" y "B" son los conjuntos definidos por:
A = {x ∈ IR / 3 ≤ x ≤ 6} 2
B = {y ∈ IR / -1 ≤ y ≤ 4} 8. Sean los conjuntos: A = {x ∈ IR / |x| ≤ 1}
Entonces, el área de la región limitada por el B = {x ∈ IR / 6 ≤ 3x ≤ 12}
gráfico de A × B, es: indicar la gráfica aproximada de A × B
2
a) 10u b) 15 c) 20
d) 12 e) 18 a) b) c)

4. Dados los pares ordenados:
P = (2; 3a - b); Q = (-5; 7); R = (a - 3b; -1) d) e)
cuya representación en el plano cartesiano
genera tres puntos. Los puntos "P" y "Q" están 9. Dados los conjuntos:
sobre una misma recta horizontal, mientras 2
M = {x ∈ IN / (x - 2)(x - 3) = (x - 2)2x}
que "Q" y "R" sobre una misma recta vertical. 2
Luego "a + b" es igual a: N = {x ∈ IR / x ≤ |x| + 2}
a) 3 b) -3 c) 2 Indicar lo incorrecto:
d) -2 e) 6 a) (2; 0) ∈ M × N b) (3; 1) ∈ M × N
5
( ; 0)
5. La gráfica del conjunto: A={1; 2};× ∈ <1; 2> es: c) (0; 3) ∈ N × M d) 2 ∈M×N
2 2
e) (3; -2) ∈ M × N

1 1
10.En el conjunto A = {1; 2; 3; 4; 5} se define una
a) 1 2 b) 1 2 2 2
relación "R" por: R = {(x;y) ∈ A / x - 2 ≤ y}
2
2
Si: m = suma de elementos del dominio de R.
1 1 n = suma de elementos del rango de R
c) 1 2 d) 1 2 Hallar "m + n"
2
a) 16 b) 18 c) 20
d) 22 e) 24
1

e) 1 2

Tarea Domiciliaria

1. Dada la igualdad: sabiendo que:
(4x - 3; 5x + 2y) = (1;11) A = {1; 2; 3}
Hallar "x + y" B = {2; 4; 5}
2 e indicar el número de elementos de "R"
2. Sabiendo que: (a ;a + 1) = (9;-2)
Hallar "a"
4. Si: A = {x/x ∈ IN ∧ 1 < x < 4}
B = {x/x ∈ IN ∧ 3 ≤ x ≤ 5}
3. Construir la relación "R", donde:
R = {(x; y) ∈ A × B/x + y > 6} Indicar un par ordenado de A × B
5. Si: P = {y/y ∈ IN ; y = 3x + 1 ∧ 2 < x < 7}


N = {x/x ∈ ZZ ; x = y -3 ∧ -1 ≤ y ≤ 1} 17.Realizar la gráfica de la relación:
Indicar: n(P × N) 2
R = {(x;y) ∈ R /x ∈ [-2;5>; y ∈ [-1;4]}
3
6. Si: A = {1;2}; B = {1;2}
18.Realizar la gráfica de la relación:
Hallar: M = {(x;y) ∈ A × B/y = 2x}
2
R = {(x;y) ∈ R / x ∈ [-3;5>; y ∈ [-2;4]}
2
7. Si: A = {x ∈ IN / "x" es impar ∧ 7 ≤ x ≤ 12} 19.Sean los conjuntos:
B = {x ∈ IN / "x" es par ∧ 5 < x < 11} A = {1;2;3;4;5;6}
determinar: R = {(x;y) ∈ A × B/x + y = 15} B = {1;4;9;16;25;36;49}
dar como resultado n(R) 2
R = {(x;y) ∈ A x B/y = (2x + 1) }
Halle su dominio y su rango.
8. Si: P = {x ∈ IN /5 < x + 5 < 10}
2 20.Sean las relaciones:
Q = {x ∈ IR /x - 4 = 0}
Definimos la relación: R = {(x; y) ∈ P × Q/x > y} 2
R = {(x;y)/y = x - 1, x ∈ {1;2;3;4}}
Hallar la suma de los elementos que S = {(x;y)/y = 2x + 1, x ∈ {1;2;3;4}}
conforman el rango de la relación. Halle: n(Dom(R)) + n(Ran(S))

9. Dados los conjuntos: 21.Determinar los pares ordenados (x;y) que
2 2
M = {x ∈ ZZ /x + 2 = 38} verifican la igualdad: (x ; x + y) = (y;2)
2
N = {x ∈ IR / x + 8 ≤ 6x}
22.Si: A = {1;2;3;4;5}
Entonces, M × N, tiene la forma:
R ∧R ⊂A×A
1 2
10.Dados los conjuntos: R = {(x;y)/x < y}
1
A = {2;4} ∪ {x ∈ IR /3 ≤ x ≤ 7/2 }
R = {(x;y)/x + y = 6}; Hallar: Dom(R ∩ R )
B = {x ∈ IR /3 ≤ x ≤ 5} 2 1 2
Entonces: A × B; tiene la forma:
11.Si: A = {x ∈ IN / "x" es impar; x ∈ ]1;8[} P = {x ∈ IN /1 < x < 4}
Q = {x ∈ IN /1 ≤ x ≤ 4}
B = {x ∈ IN / "x" es par; x ∈ [4;10]}
de las afirmaciones:
Determinar: V = {(x;y) ∈ A x B/x + y < 12}
I. (1;1) ∈ P × Q
II. (2;1) ∈ Q × P
12.Del siguiente enunciado: III.(3;3) ∈ P × Q
S = {(2; 3), (1; 5), (2; 4),(1; 7)} ¿Cuáles son verdaderas?
Determinar el dominio de "S"
13.Si: A = {1;2;3}; B = {2;5} A = {3;5;7}; B = {2;4;6}
M = {(x;y) ∈ A × B/x + y ≤ 5} se definen las relaciones:
R = {(x;y) ∈ A × B/x + y = 9}
Determinar el n(M) 1
R = {(x;y) ∈ A × B/y = 4}
2
14.Sea: A = {1;2;3;4;5} y las relaciones en "A" Hallar: Dom(R - R )
F = {(x;y) ∈ A x A/x < y} 1 2
G = {(x;y) ∈ A x A/x + y = 5}
25.De B = {1;2;3;4} y las relaciones:
¿Cuántos elementos tiene F ∪ G?
R = {(x;y) ∈ B × B/y = x}
1
15.R es una relación en A = {2; 3; 9} definida R = {(x;y) ∈ B × B/y < x}
2
2 R = {(x;y) ∈ B x B/x < y}
por: R = {(x;y)/y + 1 ≤ x }; hallar: n(R) 3
Hallar: n(R ) + n(R ) - n(R )
3 2 1
16.Sabiendo que:
A = {x ∈ IN/4 < x < 7} ; B = {-1; 0; 1}
26.De A = {x ∈ IN/x ≤ 9} y definimos:
Indicar lo correcto: 2
a) (-1; 0) ∈ A × B b) 7 ∈ A R = {(x,y) ∈ A /y = x}
c) (4; 7) ∈ A × B d) (5; 0) ∈ A × B e) 0 ∈ A 2
T = {(x,y) ∈ A /x < 4 ∧ y > 7}

2 R = {(x;y) ∈ Z × Z/y = ax + b}
S = {(x,y) ∈ A /y = 2x}
Hallar el valor de "a + b"
Hallar: n(R) + n(S) + n(T)
29.Graficar: R = {(x;y)/y = 2x + 1, x ∈ A} donde:
27.Traza la gráfica de la relación:
A = {-1; 0; 2; 3}
2
R = {(x;y) ∈ R /x ∈ <-1;5>; y ∈ <-2;4>}
2
30.Traza la gráfica de la siguiente relación:
R = {(x;y) ∈ R × R/5x - 3y + 7 = 0; x ∈ <-2;4]}
28.Si los pares ordenados (2n;0), (0;-n) y (n;1) 1
pertenecen a la relación:

CLASES DE RELACIONES 2. La relación:
Sabemos que, a partir de un conjunto "A", se "x es hermano de y"
puede definir una relación "R" en "A", es decir: también es simétrica, puesto que:
R∈A×A "Alberto es hermano de José"
Expresar mediante: entonces:
R = {(x;y) ∈ A × A/x Ry} "José es hermano de Alberto"

donde "x R y" indica la condición que debe
cumplirse para que el par ordenado (x;y) ∈ R.
C. "R" es transitiva, si se cumple:
• Ejemplo: (x ;y ) ∈ R ∧ (y ;z ) ∈ R → (x ;z ) ∈ R
Dado: A = {2;3;4;5;6;7}, el conjunto
R = {(x;y) A × A/x + y = 9} Ejemplos:
es una relación en A, cuyos elementos son: 1. Dado el conjunto A = {2;4;6}
(2;7), (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), (7;2) se define la relación:
Siendo "R" una relación de "A" en "A" (relación en R = {(2;2),(2;4),(4;4),(6;6),(4;2)}
A), se puede realizar la siguiente clasificación:
si:
A. "R" es reflexiva, si cumple: (2 ;2 ) ∈ R ∧ (2 ;4 ) ∈ R → (2 ;4 ) ∈ R
∀ x ∈ A → (x ;x ) ∈ R (correcto)

es decir, cualquier elemento del conjunto "A",
(2 ;4 ) ∈ R ∧ (4 ;4 ) ∈ R → (2 ;4 ) ∈ R
se relaciona consigo mismo mediante la (Correcto)
relación "R" (4 ;4 ) ∈ R ∧ (4 ;2 ) ∈ R → (4 ;2 ) ∈ R
Ejemplo: Dado el conjunto: A = {2; 3; 4}
se define: (Correcto)
R = {(2;2), (2;3), (2;4), (3;3), (3;4)} (2 ;4 ) ∈ R ∧ (4 ;2 ) ∈ R → (2 ;2 ) ∈ R
si: 2 ∈ A → (2;2) ∈ R (correcto)
(Correcto)
3∈A → (3;3) ∈ R (correcto)
∴ R es transitiva.
4∈A → (4;4) ∈ R (correcto)
∴ R es reflexiva.
2. La relación entre conjuntos:
x ⊂ y ("x" está incluido en "y")
B. "R" es simétrica, si cumple:
es transitiva, puesto que:
(x ;y ) ∈ R → (y ;x ) ∈ R A ⊂ B ∧ B ⊂ C → A ⊂ C
Ejemplos:
En forma gráfica:
1. Dado el conjunto: A = {4; 7; 9}
U
se define la relación:
R = {(4;7), (7;9), (7;4), (9;7), (4;4)} C
B
si: (4;7) ∈ R → (7;4) ∈ R (correcto) A
(7;9) ∈ R → (9;7) ∈ R (correcto)
(4;4) ∈ R → (4;4) ∈ R (correcto)
∴ R es simétrica.


D. "R" es una relación de equivalencia, si es Este conjunto de pares ordenados conforma el
reflexiva, simétrica y transitiva a la vez. plano cartesiano:
Ejemplos:
y
1. Con el conjunto A = {1; 3; 5}
analicemos la relación definida en "A" P (a ;b )
R = {(1;1),(3;3),(5;5),(1;3),(3;1)} II I
veamos si "R" es reflexiva
si: 1 ∈ A →(1;1)∈R 0 x
(1 ;1 ) ∈ R ∧ (1 ;3 ) ∈ R → (1 ;3 ) ∈ R
(correcto)
III IV
3 ∈ A → (3;3) ∈ R
(3 ;3 ) ∈ R ∧ (3 ;1 ) ∈ R → (3 ;1 ) ∈ R
(correcto) donde: eje x: eje de abscisas
eje y: eje de ordenadas
5 ∈ A → (5;5) ∈ R 0: origen de coordenadas
(1 ;3 ) ∈ R ∧ (3 ;1 ) ∈ R → (1 ;1 ) ∈ R I, II, III, IV: cuadrantes
(correcto)
luego, R es reflexiva.
Cada par ordenado (a;b) del conjunto R , se
2
Veamos si "R" es simétrica puede representar en el plano mediante un punto
si: (1;1) ∈ R → (1;1) ∈ R (correcto) P, donde:
(1;3) ∈ R → (3;1) ∈ R (correcto) a: coordenada de "P" en el eje "x"
(5;5) ∈ R → (5;5) ∈ R (correcto) b: coordenada de "P" en el eje "y"
Entonces, si definimos una relación "R",
luego "R" es transitiva mediante:
2
R = {(x;y) ∈ R /x R y}
como la relación "R" es reflexiva, simétrica
y transitiva a la vez Se dice que la gráfica de la relación R es un
∴ R es de equivalencia
conjunto de puntos representados en el plano
cartesiano, cuyas coordenadas satisfacen dicha
2. La relación de igualdad:
relación.
R = {(x;y)/x = y}
es reflexiva, pues ∴∀ x → (x,x) ∈ R
• Ejemplo: A partir del conjunto A = {-2; 0; 4}
es simétrica, pues (x;y) ∈ R→ x = y
graficar la relación R, dada por:
→y=x
→ (y;x) ∈ R R = {(x;y) ∈ A × A/x + y > 0}
Resolución:
es transitiva, pues * Construyendo la relación:
( x ,y ) ∈ R ∧ ( y ; z ) ∈ R R = {(-2;4),(0;4),(4;-2),(4;0),(4;4)}

→x=y∧y=z * Los 5 pares representan 5 puntos que se
→x=z ubican en el plano:
→ (x;z) ∈ R

∴ R es relación de equivalencia.

GRÁFICA DE RELACIONES
Se sabe que el producto cartesiano de 2
conjuntos "A" y "B", está dado por:
A × B = {(x;y)/x ∈ A ∧ y ∈ B}

si hacemos: A = B = R (conjunto de número
reales) se tiene el conjunto.
2
R × R = R = {(x;y)/x ∈ R ∧ y = R}

y
se define una relación:
4 2 2 2
R = {(x;y) ∈ A /x + y = 1}
3 indicar verdadero (V) o falso (F)
2 I. R es reflexiva
1 II. R es simétrica
-4 -3 -2 -1 x
0 1 2 3 4 III. R es transitiva
IV. R es de equivalencia
-1
Resolución: Construyendo la relación:
-2 G r á f ic a d e la
R = {(-1;0),(1;0),(0;1),(0;-1)}
-3
r e la c ió n " R "
Ahora, analizando cada proposición:
-4 I. ¿R es reflexiva?
No es necesario conocer todos los pares si: -1 ∈ A → (-1;-1) ∈ R (incorrecto)
ordenados de una relación para graficarla; 0 ∈ A → (0;0) ∈ R (incorrecto)
solamente con obtener algunos puntos y después 1 ∈ A → (1;1) ∈ R (incorrecto)
unirlos mediante segmentos es suficiente
(tabulación). luego, R no es reflexiva.
II. ¿R es simétrica?
• Ejemplo: Graficar la relación:
si: (-1;0) ∈ R → (0;-1) ∈ R (correcto)
2
R = {(x;y) ∈ R / x + y - 2 = 0} (1;0) ∈ R → (0;1) ∈ R (correcto)
Resolución: luego, R es simétrica.
* Calculamos algunos pares ordenados
(tabulando): III. ¿R es transitiva?
si: x = -2→ reempl.: -2 + y - 2 = 0→ y = 4 si:
x = -1→ reempl.: -1 + y - 2 = 0→ y = 3 (-1 ;0 ) ∈ R ∧ (0 ;-1 ) ∈ R → (-1 ;-1 ) ∈ R
x = 0→ reempl.: 0 + y -2 = 0→ y = 2
x = 1→ reempl.: 1 + y - 2 = 0→ y = 1 (incorrecto)
x = 2→ reempl.: 2 + y - 2 = 0→ y = 0 basta que no cumpla con esta condición
con estos calculos se construye la tabla: para decir que R no es transitiva.
x -2 -1 0 1 2
IV. Como R no es reflexiva ni transitiva, luego
y 4 3 2 1 0 R no es de equivalencia.
Rpta.: I - F / II - V / III - F / IV - F
hemos obtenido los puntos:
(-2;4), (-1;3), (0;2), (1;1), (2;0)
2. En el conjunto: A = {1;2;4;5;6} se define la
relación:
* Ahora, los ubicamos en el plano y los
a+9
unimos con segmentos.
y R = {(4;1),(1;6),(5;2),(2;5),(4; 2 ),(5;3b -
4 4),(6;6)}
si "R" es una relación transitiva, calcular "a + b"
3
Resolución: Como la relación es transitiva.
2 * (4;1) ∈ R ∧ (1;6) ∈ R → (4;6) ∈ R
a+9
1
Como: (4; 2 ) es el único par con
primera componente 4, entonces:
-2 -1 0 1 2 x a+9 a+9
(4; 2 ) = (4; 6) → 2 =6
La figura corresponde a la gráfica de una
→ a=3
recta.
* (5;2) ∈ R ∧ (2;5) ∈ R → (5;5) ∈ R
Ejemplos:
Como en el caso anterior:
1. Sea el conjunto: A = {-1;0;1}


(5; 3b - 4) = (5;5) → 3b - 4 = 5 obtenga la gráfica de dicha relación.
→ b=3
∴a+b=6 Resolución:
Dando diversos valores a "x" y calculando los
3. Se define la siguiente relación en Z: valores correspondientes a "y", obtenemos los
R = {(x ; y) ∈Z x Z / x ≤ y} pares de valores que figuran en la siguiente
La relación R es transitiva. tabla:
¿Verdadero o Falso?
Resolución: x 0 1 2 3 4 5 6 -1
Para que la relación "R" sea transitiva, debe y 0 8 6 0 -4 0 1 8 -2 4
cumplir lo siguiente:
(x ;y ) ∈ R ∧ (y ;z ) ∈ R → (x ;z ) ∈ R cada par de valores corresponde a un punto en
el plano. Al ubicarlos en el plano, se unen
veamos: mediante segmentos y tenemos la gráfica de la
considerando los pares ordenados: relación.
(x,y) ∈ R ∧ (y;z) ∈ R → (x;z) ∈ R
De la figura:
luego, estos elementos deben satisfacer la
condición dada:
20
x≤y∧y≤z→x≤z
→ (x;z) ∈ R 10
lo que queríamos comprobar: 0 3 5
∴ R es transitiva. -2 -2 1 2 4 6

4. Se define una relación en R mediante: -1 0
3 2
(x;y) ∈ R ↔ y = x - 8x + 15x -2 0

problemaS para la claSe

Bloque I a) 1 b) 2 c) 3
1. A partir del conjunto A = {3;4;5} d) 4 e) 5
Se definen las relaciones en A:
R = {(3;3),(4;3), (4;5), (5;5)} 4. Para el conjunto: A = {1;3;5}
1
Se define la relación reflexiva.
R = {(3;3),(3;5), (4;4), (5;4)}
2 R = {(1;a-2), (3;3), (5;b+3), (1;3), (3; a - b)}
R = {(3;3),(4;4), (5;3), (5;5)} Indicar verdadero (V) o falso (F).
3
Indicar cuáles son reflexivas. I. R es simétrica.
a) Sólo R b) R y R b) Sólo R II. R es transitiva.
1 1 2 3 III. R es de equivalencia.
d) Sólo R e) R y R a) VVF b) VFF c) FVV
2 2 3
d) FFF e) VVV
2. Dado el conjunto: A = {1; 2; 3; 4}
Se definen las relaciones siguientes: 5. Se define una relación simétrica S, de tal
R = {(1;1), (2;1), (1;2), (3;3)} forma que:
S = {(1;4), (4;1), (3;4), (4;3)} (4; 2) ∈ S → (2; 2a + b) ∈ S
T = {(2;4), (4;2), (3;2), (3;3)} (5; 1) ∈ S → (1; a + 2) ∈ S
¿Cuáles son simétricas? Hallar el valor de "b".
a) R b) S c) Todas a) 2 b) -3 c) -6
d) R y S e) R y T d) 3 e) -2

3. Se tiene la relación simétrica: 6. Sea T una relación transitiva tal que:
R = {(5; 7), (7; 2a + b), (1; 8), (3b - 1; 1)} (2; 9) ∈ T ∧ (9; m + 2) ∈ T → (2; 11) ∈ T
Definida sobre un conjunto "A". (5; 7) ∈ T ∧ (7; 9) ∈ T → (5; n+2) ∈ T
Calcular (a + b).

I. R es reflexiva.
Calcular: m+n II. R es simétrica.
a) 9 b) 7 c) 16 III. R es transitiva.
d) 2 e) 4 a) Sólo I b) I y II c) Sólo III
d) II y III e) Todas
7. La relación R = {(2;a+b), (4;5), (5b;9)}
Tiene por gráfica: 2
B 2. Si el par ordenado (a - 16; a+ 2) pertenece al
segundo cuadrante de un plano cartesiano,
9 calcular la suma de los valores enteros de "a"
que verifican esta condición.
6+b a) 3 b) 2 c) -1
d) 4 e) 5
5
3. Dada la siguiente gráfica.
y
0 A
2 4 a+ 4
Hallar "a . b". 3
a) 10 b) 12 c) 14
d) 16 e) 20 2
1
8. Dada la gráfica de una relación reflexiva en: -3 -2 -1
A = {1, 3, 4, 7} A 0 1 2 3 x
Calcular "m + n + p" (3 p -2 )
-1
a) 4 b) 5 4 -2
c) 6 d) 7
e) 8
(2 n -1 ) -3

m Indicar a qué relación corresponde:

0 A a) y = 2x b) y = 2x -1 c) y = 2x +1
9. Dada la gráfica de una relación R en 1A. 3 4 7
A d) y = x + 1 e) y = x - 1
5
4. Las siguientes relaciones:
3 R = {(a;b), (b;c), (a;c), (c;c)}
S = {(a;a), (b;b), (a;c), (a;b)}
T = {(a;a), (b;a), (c;c)}
1
Se definen a partir de A = {a; b; c}
A Indicar lo correcto.
0 1 3 5 a) R es transitiva
con A = {1;3;5}. Luego: b) S es transitiva
a) R es reflexiva b) R es simétrica c) T es transitiva
c) R es transitiva d) R es equivalencia d) Ninguna es transitiva
e) Todas e) R y S son transitivas

10.Con el conjunto: A = {1;3;4} 5. Con el conjunto A = {1; 2; 3}
Se define la relación: Se define la relación:
S = {(x;y) ∈ A x A / (x + y) es par} R = {(1;1), (2;2), (3;3), (1;2), (2;1)}
Indique lo correcto. Señale lo correcto.
a) S es reflexiva b) S es simétrica a) R no es reflexiva
c) S es transitiva d) S es equivalencia b) R no es simétrica
e) Todas c) R no es transitiva
d) R es de equivalencia
Bloque II e) Todas son correctas

1. En el conjunto A = {2; 3; 5; 6} 6. Graficar la relación en R:
Se considera la relación: 2
S = {(x;y) ∈ R / 2x - y + 1 = 0}
2
R = {(x;y) ∈ A / x = y ∨ x + y = 8 }
Podemos afirmar que:

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