1. TEOREMA DE CHEBYSHEV
El teorema de Chebyshev “solamente” nos facilita el límite inferior;
P[ - k < X< + k ] 1- 1 /k2
Este teorema nos va permitir determinar la mínima porción de valores que se encuentran a
cierta cantidad de desviaciones estándares (K) de la media.
FORMULA: 1 – 1
K²
2. Sea X una variable aleatoria con media y varianza ² finita. Para cualquier k>0 (positiva) se
verifica:
P[ X- k ] 1 /k²
complementario
P[ X- < k ] 1- 1 /k²
P[ - k < X< + k ] 1- 1 /k²
Podemos expresar en términos de probabilidad la dispersión de los valores de la variable alrededor
de su media utilizando la varianza como medida de dispersión y sin necesidad de conocer la
distribución
TEOREMA DE CHEBYSHEV
3. Si en la desigualdad de Chebyshev tomamos k=3 tendremos:
P[ X- 3 ] 1 /3²
supone que indica que la probabilidad de que una variable aleatoria difiera de su media
en al menos tres veces su desviación típica será menor o igual que 1/9, para cualquiera
que sea la distribución de probabilidad de la variable
o en el caso complementario, por lo menos 8/9 del total de la masa de la distribución de
probabilidad está comprendida en el intervalo (-3, +3)
P[ - 3 < X< + 3 ] 1- 1 /3²
TEOREMA DE CHEBYSHEV
4. APLICACIONES DE LA DESIGUALDAD DE
CHEBYSHEV
Dentro de las principales aplicaciones de la desigualdad de Chebyshev, podemos
mencionar las siguientes:
Cálculo de cotas para probabilidades, lo cual es importante cuando es difícil
dar un valor exacto de la probabilidad;
Demostración de teoremas límite en probabilidad.
Cálculo de tamaño de muestra en la aproximación de la media de una
población.
5. Ejemplo: obtener cuál es la probabilidad máxima de que una variable aleatoria difiera de su
media en al menos 2,3,4 y 5 veces la desviación típica
Si k=2 P[ X- 2 ] 1 /2²
Si k=3 P[ X- 3 ] 1 /3²
Si k=4 P[ X- 4 ] 1 /4²
Si k=5 P[ X- 5 ] 1 /5²
TEOREMA DE CHEBYSHEV
6. Ejemplo
El número de periódicos vendidos diariamente en un quiosco es una variable aleatoria de
media 200 y desviación típica 10. ¿cuántos ejemplares diarios debe encargar el quiosquero
para tener seguridad de al menos un 99% de no quedarse sin existencias?
Particularizando la expresión extendida del teorema de Chebyshev,
para tener la seguridad de al menos el 99% k=10, por tanto,
resultando el intervalo (100<x<300) luego 300 (extremo superior) son los periódicos que
garantizan no quedarse sin existencia con al menos un 99% de probabilidad .
2
k
1
110k200x10k200P
100
1
1100200x100200P
TEOREMA DE CHEBYSHEV