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Ecuaciones de las cónicas y de sus elementos
- 1. LA CIRCUNFERENCIA Forma canónica 𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟐 = 𝒓 𝟐 Forma ordinaria ( 𝒙 − 𝒉) 𝟐 + ( 𝒚 − 𝒌) 𝟐 = 𝒓 𝟐 Forma General 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎 Los coeficientes de 𝒙 𝟐 𝒚 𝒚 𝟐 deben ser “iguales” 𝐶 (− 𝐷 2 ; − 𝐸 2 ) 𝑟 = 1 2 . √𝐷2 + 𝐸2 − 4𝐹 Si: 𝐷2 + 𝐸2 – 4𝐹 > 0, representa una circunferencia. Si: 𝐷2 + 𝐸2 – 4𝐹 = 0, representa un punto. Si: 𝐷2 + 𝐸2 – 4𝐹 < 0, representa un conjunto vacío. PARÁBOLA CON VÉRTICE EN EL ORIGEN (𝟎, 𝟎) HORIZONTAL VERTICAL Ecuación estándar 𝒚 𝟐 = 𝟒𝒑𝒙 𝒙 𝟐 = 𝟒𝒑𝒚 Abre 𝐻𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎 𝑜 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎 𝐻𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎 𝑜 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 Coordenadas del foco ( 𝑝, 0) (0, 𝑝) Ecuación de la directriz 𝑥 = −𝑝 𝑦 = −𝑝 Eje 𝑒𝑗𝑒 𝑥 𝑒𝑗𝑒 𝑦 Longitud focal 𝑝 𝑝 Longitud del lado recto |4𝑝| |4𝑝| Excentricidad 𝑒 = 𝑑( 𝑃𝐹) 𝑑( 𝑃𝑙) = 1 𝑒 = 𝑑( 𝑃𝐹) 𝑑( 𝑃𝑙) = 1
- 2. PARÁBOLA CON VÉRTICE (𝒉, 𝒌) HORIZONTAL VERTICAL Ecuación estándar ( 𝒚 − 𝒌) 𝟐 = 𝟒𝒑( 𝒙 − 𝒉) ( 𝒙 − 𝒉) 𝟐 = 𝟒𝒑( 𝒚 − 𝒌) Abre 𝐻𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎 𝑜 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎 𝐻𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎 𝑜 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 Coordenadas del foco (ℎ + 𝑝, 𝑘) (ℎ, 𝑘 + 𝑝) Ecuación de la directriz 𝑥 = ℎ − 𝑝 𝑦 = 𝑘 − 𝑝 Ecuación del eje 𝑦 = 𝑘 𝑥 = ℎ Longitud focal 𝑝 𝑝 Longitud del lado recto |4𝑝| |4𝑝| Longitud del radio vector | 𝑥1 − ℎ + 𝑝| | 𝑦1 − 𝑘 + 𝑝| Excentricidad 𝑒 = 𝑑( 𝑃𝐹) 𝑑( 𝑃𝑙) = 1 𝑒 = 𝑑( 𝑃𝐹) 𝑑( 𝑃𝑙) = 1 Ecuación General 𝑩𝒚 𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎 𝑩 ≠ 𝟎 ; 𝑫 ≠ 𝟎 𝑨𝒙 𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎 𝑨 ≠ 𝟎 ; 𝑬 ≠ 𝟎
- 3. ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN (𝟎, 𝟎) HORIZONTAL VERTICAL Forma canónica 𝒙 𝟐 𝒂 𝟐 + 𝒚 𝟐 𝒃 𝟐 = 𝟏 𝒙 𝟐 𝒃 𝟐 + 𝒚 𝟐 𝒂 𝟐 = 𝟏 Eje focal 𝑒𝑗𝑒 𝑥 𝑒𝑗𝑒 𝑦 Focos (±𝑐, 0) (0, ±𝑐) Vértices (±𝑎, 0) (0, ±𝑎) Semieje mayor 𝑎 𝑎 Semieje menor 𝑏 𝑏 Relación pitagórica 𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2 𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2 Excentricidad 𝑒 = 𝑐 𝑎 = √𝑎2 − 𝑏2 𝑎 ; 0 < 𝑒 < 1 𝑒 = 0, representa una circunferencia 𝑒 = 𝑐 𝑎 = √𝑎2 − 𝑏2 𝑎 ; 0 < 𝑒 < 1 𝑒 = 0, representa una circunferencia Longitud del lado recto 2𝑏2 𝑎 2𝑏2 𝑎 Longitud de los radios vectores 𝑟1 = 𝑎 − 𝑒𝑥1 𝑟2 = 𝑎 + 𝑒𝑥1 𝑟1 = 𝑎 − 𝑒𝑦1 𝑟2 = 𝑎 + 𝑒𝑦1 Suma de radios vectores 𝑟1 + 𝑟2 = 2𝑎 𝑟1 + 𝑟2 = 2𝑎
- 4. ELIPSE CON CENTRO (𝒉, 𝒌) HORIZONTAL VERTICAL Forma ordinaria (𝒙 − 𝒉) 𝟐 𝒂 𝟐 + (𝒚 − 𝒌) 𝟐 𝒃 𝟐 = 𝟏 (𝒙 − 𝒉) 𝟐 𝒃 𝟐 + (𝒚 − 𝒌) 𝟐 𝒂 𝟐 = 𝟏 Eje focal 𝑦 = 𝑘 𝑥 = ℎ Focos (ℎ ± 𝑐, 𝑘) (ℎ, 𝑘 ± 𝑐) Vértices (ℎ ± 𝑎, 𝑘) (ℎ, 𝑘 ± 𝑎) Semieje mayor 𝑎 𝑎 Semieje menor 𝑏 𝑏 Directrices 𝑥 = ℎ ± 𝑎2 𝑐 𝑦 = 𝑘 ± 𝑎2 𝑐 Relación pitagórica 𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2 𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2 Excentricidad 𝑒 = 𝑐 𝑎 = √𝑎2 − 𝑏2 𝑎 ; 0 < 𝑒 < 1 𝑒 = 0, representa una circunferencia 𝑒 = 𝑐 𝑎 = √𝑎2 − 𝑏2 𝑎 ; 0 < 𝑒 < 1 𝑒 = 0, representa una circunferencia Longitud del lado recto 2𝑏2 𝑎 2𝑏2 𝑎 Longitud de los radios vectores 𝑟1 = 𝑎 − 𝑒𝑥1 𝑟1 = 𝑎 + 𝑒𝑥1 𝑟1 = 𝑎 − 𝑒𝑥1 𝑟1 = 𝑎 + 𝑒𝑥1 Suma de radios vectores 𝑟1 + 𝑟2 = 2𝑎 𝑟1 + 𝑟2 = 2𝑎 Ecuación General 𝑨𝒙 𝟐 + 𝑩𝒚 𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎 A y B son de igual signo. 𝐴 < 𝐵 𝑨𝒙 𝟐 + 𝑩𝒚 𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎 A y B son de igual signo. 𝐴 > 𝐵
- 5. HIPÉRBOLA CON CENTRO EN EL ORIGEN (𝟎, 𝟎) HORIZONTAL VERTICAL Forma canónica 𝒙 𝟐 𝒂 𝟐 − 𝒚 𝟐 𝒃 𝟐 = 𝟏 𝒚 𝟐 𝒂 𝟐 − 𝒙 𝟐 𝒃 𝟐 = 𝟏 Eje focal 𝑒𝑗𝑒 𝑥 𝑒𝑗𝑒 𝑦 Vértices (±𝑎, 0) (0, ±𝑎) Focos (±𝑐, 0) (0, ±𝑐) Longitud del eje transverso 2𝑎 2𝑎 Longitud del eje conjugado 2𝑏 2𝑏 Excentricidad 𝑒 = 𝑐 𝑎 = √𝑎2 + 𝑏2 𝑎 ; 𝑒 > 1 𝑒 = 𝑐 𝑎 = √𝑎2 + 𝑏2 𝑎 ; 𝑒 > 1 Longitud del lado recto 2𝑏2 𝑎 2𝑏2 𝑎 Relación pitagórica 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 Asíntotas 𝑏𝑥 ± 𝑎𝑦 = 0 ⟺ 𝑦 = ± 𝑏 𝑎 𝑥 𝑏𝑦 ± 𝑎𝑥 = 0 ⟺ 𝑦 = ± 𝑎 𝑏 𝑥
- 6. HIPÉRBOLA CON CENTRO (𝒉, 𝒌) HORIZONTAL VERTICAL Forma ordinaria (𝒙 − 𝒉) 𝟐 𝒂 𝟐 − (𝒚 − 𝒌) 𝟐 𝒃 𝟐 = 𝟏 (𝒚 − 𝒌) 𝟐 𝒂 𝟐 − (𝒙 − 𝒉) 𝟐 𝒃 𝟐 = 𝟏 Eje focal 𝑦 = 𝑘 𝑥 = ℎ Centro 𝐶(ℎ, 𝑘) 𝐶(ℎ, 𝑘) Vértices (ℎ ± 𝑎, 𝑘) (ℎ, 𝑘 ± 𝑎) Focos (ℎ ± 𝑐, 𝑘) (ℎ, 𝑘 ± 𝑐) Extremo del eje conjugado 𝐵(ℎ, 𝑘 ± 𝑏) 𝐵(ℎ ± 𝑏, 𝑘) Longitud del eje transverso 2𝑎 2𝑎 Longitud del eje conjugado 2𝑏 2𝑏 Excentricidad 𝑒 = 𝑐 𝑎 = √𝑎2 + 𝑏2 𝑎 ; 𝑒 > 1 𝑒 = 𝑐 𝑎 = √𝑎2 + 𝑏2 𝑎 ; 𝑒 > 1 Longitud del lado recto 2𝑏2 𝑎 2𝑏2 𝑎 Relación pitagórica 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 Asíntotas ( 𝑦 − 𝑘) = ± 𝑏 𝑎 ( 𝑥 − ℎ) ( 𝑦 − 𝑘) = ± 𝑎 𝑏 ( 𝑥 − ℎ) Directrices 𝑥 = ℎ ± 𝑎 𝑒 𝑦 = 𝑘 ± 𝑎 𝑒 Ecuación General 𝑨𝒙 𝟐 + 𝑩𝒚 𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎 A y B tienen signo opuesto. A es positivo y B es negativo. 𝑨𝒙 𝟐 + 𝑩𝒚 𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎 A y B tienen signo opuesto. A es negativo y B es positivo.