Medidas de Tendência Central e Dispersão

Medidas de Tendência
Central e Dispersão

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Distribuição normal
• Formato de sino onde a maioria dos valores se concentram em torno
da média.

• É uma distribuição simétrica em relação a média

• Variável quantitativa

σ=1

µ=0


Por que é importante que as variáveis possam
ser descritas por uma distribuição normal?

Para utilizar uma gama modelos estatísticos mais robustos e utilização de
testes paramétricos


Se a distribuição da população for normal e a amostra
retirada aleatoriamente for maior que 30 casos, vale afirmar
que a distribuição da amostra também será normal
População (N) | Média: µ | Variância: σ2

Amostra (n) | Média: x | Variância: s2


Distribuição binomial tende para a normal quando a amostra > 30
Histograma: (p=q=0,5) n=31, ou seja, (0,5 + 0,5)31
*Probabilidade de sucesso: p e Probabilidade de falha q=1-p

Bernoulli
Distribuição binomial simétrica Distribuição normal (1654-1705)
% y 15

10

Moivre
5
(1667-1754)

0
x
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Acontecimentos
favoráveis

Gauss
(1777-1855)
Teorema binomial (Ars conjectandi, Bernoulli 1713)
Approximatio ad summam terminorum binomii (Moivre, 1733)


Conceitos
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL OU DE POSIÇÃO

Representação por meio de um valor único ou
central, determinado conjunto de informações
que variam

Valor central = “abstração”

Medidas mais utilizadas em análise estatística
Média Aritmética
Mediana
Moda
Quartis

Média Aritmética ou Média ( x )

soma de um conjunto de observações (∑ x) dividida
∑
pelo número de observações (n)

X1+X2+X3+...+Xn
x= n

∑x
x= n


Média Aritmética
Centro de gravidade – ponto de equilíbrio
19, 4, 14, 4, 25, 4, 10, 12, 14, 4, 16, 3, 20, 21, 4

Média = 12


~
Mediana (x)

É o valor que divide a distribuição ordenada da amostra
em duas partes iguais

Mediana

50% 50%


Mediana
12, 4, 4, 25, 4, 49, 12, 3, 20, 26, 25, 4, 30, 4

Mediana = 12


Mediana
Média = 16
12, 4, 4, 25, 4, 49, 12, 3, 20, 26, 25, 4, 30, 4
Moda = 4
Mediana = 12
Amplitude = 46

Média = 12
19, 4, 14, 4, 25, 4, 10, 12, 14, 4, 16, 3, 20, 21, 4 Moda = 4
Mediana = 12
Amplitude = 22


Propriedades da mediana

• Não sofre influência quando temos no conjunto
valores discrepantes (tanto para mais como para
menos)

• Para definir a mediana os dados devem estar
ordenados (crescente ou decrescente)

• A mediana é o ponto central da distribuição

• Quando o total de observações for um número par a
mediana é a média aritmética dos valores centrais


Comparação
MÉDIA X MEDIANA


Simetria

MÉDIA=MEDIANA=MODA

MÉDIA<MEDIANA<MODA MÉDIA>MEDIANA>MODA


Moda
• Valor mais freqüente em uma distribuição

• Única medida de tendência central que pode ser utilizada
para variáveis categóricas

• Uma distribuição pode ser modal, bimodal ou polimodal
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13


Moda
Estatura em 213 estudantes universitários da UFRGS (Callegari-Jacques)
30

25

20

15

10

5

0

40 30
35
25
30
20
25
20 15
15
10
10
5
5
0 0
Mulheres (n=140 – Média 164) Homens (n=73 – Média 177)

Quartis
Valores que dividem uma série ordenada de dados em quatro
grupos, cada um reunindo 25%.

• A distância interquartílica (Q3 – Q1) representa melhor uma
distribuição assimétrica, quando comparada ao desvio-padrão
ou amplitude.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Q3
Q1
Q2 P75
P25
P50
Mediana


Conceitos

MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE

Amplitude de Variação
Variância
Desvio Padrão
Quartis e Percentis
Distância Interquartílica


Amplitude

Definição:

Diferença entre o mais alto e o mais baixo
escore em uma distribuição

A=S–I
S – escore mais alto
I – escore mais baixo


Amplitude

• Vantagens:

• Rápido e fácil

• Desvantagens:

• Índice aproximado da variabilidade de uma
distribuição

• Sensível a um único valor


Exemplo de Amplitude

T u rm a Id ad e A m p litu d e

A 1345678 8–1=7

B 2456679 9–2=7

C 123344 4–1=3

D 1 2 3 3 4 13 13 – 1 = 12


Amplitude da variação
Média = 16
12, 4, 4, 25, 4, 49, 12, 3, 20, 26, 25, 4, 30, 4
Moda = 4
Mediana = 12
Amplitude = 46

Média = 12
19, 4, 14, 4, 25, 4, 10, 12, 14, 4, 16, 3, 20, 21, 4 Moda = 4
Mediana = 12
Amplitude = 22


Variância
Média = 16
12, 4, 4, 25, 4, 49, 12, 3, 20, 26, 25, 4, 30, 4
Moda = 4
Mediana = 12
Amplitude = 46

Desvio = X - X

Exemplo: 49 – 16 = 33


Variância
Média = 15,857
12, 4, 4, 25, 4, 49, 12, 3, 20, 26, 25, 4, 30, 4
Moda = 4
Mediana = 12
Amplitude = 46

X X-X Res X X-X Res
3 3-15,857 12 12-15,857

4 4-15,857 20 20-15,857

Quanto > desvio >
4 4-15,857 26 25-15,857

distância da média
4 4-15,857 25 25-15,857
4 4-15,857 25 26-15,857

4 4-15,857 30 30-15,857

4 4-15,857 49 49-15,857

12 12-15,857
Total


Variância
Média = 15,857
12, 4, 4, 25, 4, 49, 12, 3, 20, 26, 25, 4, 30, 4
Moda = 4
Mediana = 12
Amplitude = 46

X X-X Res X X-X Res

Soma dos desvios
3 3-15,857 -12,857 12 12-15,857 -3,857

4 4-15,857 -11,857 20 20-15,857 4,143
acima da média é
4 4-15,857 -11,857 26 25-15,857 9,143

igual a soma dos
4 4-15,857 -11,857 25 25-15,857 9,143

desvios abaixo da
4 4-15,857 -11,857 25 26-15,857 10,143

4 4-15,857 -11,857 30 30-15,857 14,143
média
4 4-15,857 -11,857 49 49-15,857 33,143

12 12-15,857 -3,857
Total 0


Variância
Média = 15,857
12, 4, 4, 25, 4, 49, 12, 3, 20, 26, 25, 4, 30, 4
Moda = 4
Mediana = 12
Amplitude = 46

Σ(x – x)2
X X-X Res X X-X Res
3 3-15,857 165,3024 12 12-15,857 14,87645

4 4-15,857 140,5884 20 20-15,857 17,16445
Limitação: neste formato
4 4-15,857 140,5884 26 25-15,857 83,59445
só é possível comparar
4 4-15,857 140,5884 25 25-15,857 83,59445
conjuntos de dados com
4 4-15,857 140,5884 25 26-15,857 102,8804
tamanhos idênticos
4 4-15,857 140,5884 30 30-15,857 200,0244
(mesmo número de
observações)
4 4-15,857 140,5884 49 49-15,857 1098,458

12 12-15,857 14,87645
Total 2483,714


Variância
X X-X Res X X-X Res
3 3-15,857 165,3024 12 12-15,857 14,87645

4 4-15,857 140,5884 20 20-15,857 17,16445

4 4-15,857 140,5884 26 25-15,857 83,59445
4 4-15,857 140,5884 25 25-15,857 83,59445
4 4-15,857 140,5884 25 26-15,857 102,8804

4 4-15,857 140,5884 30 30-15,857 200,0244

4 4-15,857 140,5884 49 49-15,857 1098,458

12 12-15,857 14,87645
Total 2483,714

n

Σ(x – x)2
2.483,714
i=l
177,4082
s2 = = =
14
(n-1)

Variância
• Vantagens:
• Valores absolutos
• Dá maior ênfase aos valores extremos (>sensibilidade ao grau
de desvio na distribuição)
• Desvantagens:
• Dificuldade na interpretação devido a alteração da medida
(elevado ao quadrado)
• Valores elevados
• Apresenta unidade de medida igual ao quadrado da unidade de
medida dos dados originais
Ex: variável medida em metros, a variância será expressa em m2


Desvio Padrão

s=v 2
s
Vantagens

• Apresenta as propriedades da variância
• Tem a mesma unidade de medida dos dados originais


Desvio Padrão

s=v 2
s
s= 13

X=16

Desvio Padrão
Relação entre a média e desvio padrão em uma
distribuição normal

s=v 2
s


Desvio Padrão
Relação entre a média e desvio padrão em uma
distribuição normal

+-1s
+-1,96 s
+-2,58 s

Comparações


Exercício
Um treinador deseja selecionar, dentre os jovens que estão prestando
serviço militar no quartel Q, aqueles com uma estatura de no mínimo 180
cm, para formar um time de basquete. Que percentagem é esperada de
jogadores em potencial, sabendo-se que a estatura tem distribuição
normal e, nesses jovens, a média é 175 cm e o desvio padrão, 6 cm?


Resultado
Para X = 175, z = (x - µ)/σ = 175 – 175) / 6 = 0

Para x = 180, z = (x - µ)/σ = 180 – 175) / 6 = 0,83

A área entre z = 0 e z = 0,83 é 0,2967 e a área além de 0,83 é (0,5 – 0,2967) = 0,2033

Portanto, 20,33% dessa população são constituídos de indivíduos com
estatura igual ou superior a 180 cm.

(estatura)
175 180

Z (variável padronizada)
0,83
0


Exercício
Se 140 jovens estão prestando serviço militar no quartel Q o número
esperado de rapazes que pode ser convidado para participar do time de
basquete é?


Resultado

Portanto, 20,33% de 140 = 0,2033 x 140 = 28,46, isto é 28 jovens.

(estatura)
175 180

Z (variável padronizada)
0,83
0


Tela do Epi Info


“Nós (epidemiologistas) usamos a
estatística da mesma maneira que um
bêbado usa um poste de luz: muito
mais para suporte do que para
iluminação”
Winifred Castle


Referências
• www.famat.ufu.br/ednaldo/ednaldo.htm

• Jekel, James F. Epidemiologia, bioestatística e medicina preventiva — Porto
Alegre: Artes Médicas Sul, 1999

• Beiguelman, Bernardo. Curso prático de bioestatística — Ribeirão Preto, SP:
Fundação de Pesquisas Científicas de Ribeirão Preto, 2002

• Métodos quantitativos em medicina / Eduardo Massad... [et al.] — Barueri, SP:
Manole, 2004

• Leão, Ennio, et al. Pediatria ambulatorial — 3ª ed. Belo Horizonte: COOPEMED,
1998

• Triola, Mario. Introdução à Estatística. LTC – Livros Técnicos e Científicos
Editora S.A., 1999

• Epi Info 6.04d Manual

• Sidia M. Callegari-Jacques. Bioestatística – Princípios e Aplicações – Editora
Artmed.

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