1. VECTORES
1 Producto Punto

2. PRODUCTO PUNTO
 
 El producto punto entre a y b es el numero real
   
a  b  a b cos 
 El valor máximo del producto
 
punto se da cuando   0º  a b
 El valor mínimo del producto
 
punto se da cuando   180º   a b
 
 Si   90º los vectores a y b son
perpendiculares y viceversa
2

3. PRODUCTO PUNTO
 Cuando los vectores se presentan en coordenadas cartesianas se
multiplican las coordenadas correspondientes y se suman los
productos, es decir:
A  ax , a y , az  B  bx , by , bz 
 
 
A  B  ax bx  a y by  az bz
 Propiedades:
      
    
 
 
   2
1) A A  A 2) A B  C  A B  AC
3

4. PRODUCTO PUNTO
 Ejemplo 1: hallar el producto punto de los vectores u y v
 
si se sabe que sus magnitudes son u  6 y v  3 y el ángulo
entre ellos es   12º
Solución:
   
u  v  u v cos    6  3 cos12º  17,6º
 Ejemplo 2: hallar el producto punto de los vectores
     
si se sabe que sus coordenadas son u  3i  2 j y v  4i  3 j
Solución:
     
  
u  v  3i  2 j  4i  3 j   3 4    2  3  12  6  6
4

5. PRODUCTO PUNTO
 Ejemplo 3: determinar el ángulo que hay entre los vectores
 
u y v del ejercicio anterior
Solución:  
      u v 
u   3   2   3, 6
2 2
u  v  u v cos    cos 1    
   u v 
 u v  
v   4    3  5, 0
2 2
   cos   6 
u v   cos 
1
  3, 6  5, 0  

   
u v
cos       cos 1  0,3
u v
  70,5º
5