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Autor: Filipe Mathusso Lunavo 
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INTRODUÇÃO 
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John Napier (1550-1617) e aperfei...
CONCEITO DE LOGARITMO 
Dados os números reais b (  0   ≠ 1), N (positivo), chama-se logaritmo do número N, na base b, ao n...
CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO DE LOGARITMO 
A definição dos logaritmos tem como consequências algumas condições a que os loga...
2. Para que o logaritmo exista, é necessário que a base seja diferente de 1, ou seja b ¹ 1. 
Exemplo: log 4 = x vamos most...
log (9 81) log 729 3 3 ´ = 
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2ª Propriedade: Logaritmo de um Quociente 
O logaritmo de uma fração 
numerador da fraç...
3ª Propriedade: Logaritmo de uma Potência 
O logaritmo da patência é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base d...
5ª Propriedade: a b loga b = 
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3 
3 
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2 
 
 = Û = Û 
- 
a a 
1 - =  
3 
1 
2 
3 
log 8 log 2 log 
3 
1 
2 
1 
2 
2 
 ...
3. Calcule o valor de y. 
Lembre-se que a c a c b b log = log Û = 
a) 
512 
8 
32 ´ 16 
log y = log 32 + log 16 - log 8 ⇒ ...
Û = - 4 y 
5 
3 
3 
3 
3 
= Û y = Û y = ´ Û y 2 = 3 
Û y = Û y = y 
3 
2 2 
3 
o) log 2 2 2 2 2 2 2 2 2 
2 
2 
2 
2 
5 5 
...
 
5 
 6 
5 4 
log p 
b)  
 
5 
5 
 
 
Resolução: p p p 5 5 5 
log =  
+ 6 
= - + log log 5 log 4 6log 
5 5 5 
6 ...
Para facilitar a compreensão, vamos escrever uma função logarítmica na forma de função exponencial: 
log x y y 3x 3 = Û = ...
x x 
3 
x - 
1 1 
 
3 
= =  
 
 
 =  = 
-3 3 27 
2 
x - 
1 2 
 =  
1 
x - 
1 1 
 =  
1 x 
0 
 =  
1 x 
1 ...
As tabelas que construímos, nos levam a afirmar que uma função logarítmica tem como inversa a função exponencial, 
e de ac...
Em suma, podemos resumir estes últimos dois exemplos da seguinte maneira: 
 O domínio da função exponencial é o conjunto i...
Os seus contradomínios também são iguais. 
Diferenças: 
 Zero de função: Para a parábola da função ( ) log ( 1) 2 f x = x ...
Dadas as funções f x x 2 ( ) = log , g 
Para a função
(
): log 2 2 x + = 
Para a função (
): log 2 2 x - = 
 x = - = x = - = x = x 
2 = =  
2 x = = x = = x = 
 As funções
(
) (
) são obtidas através da função 
negativas respectivamente. 
Agora vamos construir o gráfico da seguinte função 
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Logaritmo e função logaritmica (exercícios resolvidos sobre logaritmos, logaritmos, função logaritmica). Filipe Mathusso Lunavo

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Logaritmo e função logaritmica (exercícios resolvidos sobre logaritmos, logaritmos, função logaritmica). Filipe Mathusso Lunavo

  1. 1. Formandos da Escola Profissional de Estaquinha _Bùzi em uma visita à Escola Agrária de Gorongosa Y|Ä|Ñx `tà{âááÉ _âÇtäÉ
  2. 2. Ficha Técnica: Matemática Real - 10ª Classe/ Logaritmo e Função logarítmica. Autor: Filipe Mathusso Lunavo Revisão dos Exercícios: Domingos Joaquim Estaquinha, Búzi - Sofala/ Moçambique/ Setembro de 2014 Filipe Mathusso Lunavo Página 2 Logaritmo e Função Logarítmica
  3. 3. INTRODUÇÃO Os logaritmos que hoje estudamos, a sua invenção e definição foram dada por John Napier (1550-1617) e aperfeiçoado pelo inglês Henry Briggs (1561 1561-1630). A sua origem é grega e significa a razão dos números e “aritmo”, número. Em 1614 Neper publicou o seu trabalho sobre logaritmos no livro “Descrição das Maravilhosas Regras dos Logaritmos” no qual expõe o uso dos logaritmos. – “logos” significa razão Através dos logaritmos, pode-se transformar as operações de multiplicação em soma, de divisão em subtração, entre outras Contudo, pode-se dizer que o nome para expoente, conforme veremos a seguir. John Napier ( 1550-1617), barão de Marchiston (Escócia) logaritmo é uma nova denominação APLICAÇÕES DOS LOGARITMOS NO QU transformações possíveis. QUOTIDIANO Os logaritmos possuem inúmeras úmeras aplicações no cotidiano. Na Física é utilizado para medir a intensidade do som Na Química utilizam as funções logarítmicas para calcular o pH (potencial hidrogeniônico) de uma solução. som; Na computação, é utilizado o logaritmo na base 2 para representar dígitos de informação (bits). Na geologia, os logaritmos permitem medir a amplitude (ou a “força”) de algum abalo sísmico através da Escala Richter Richter. Na medicina para calcular as taxas de natalidade e mortalidade de indivíduos de uma poulção (plantas e animais), assim como para calcular a propagação de doenças em sistemas ipidemológicos. ipidemo Para não ter problemas na resolução ou na percepção dos Logaritmos, vamos lembrar alguns casos de potências, como os seguintes: 25 = am ´ am : a-2 = 1 -  1 2 2   =    ou  1 - 2      a 4 1  ´  1  =   2 ´ 2 = 2 ´ 2 = 2 + = 2 30 = a 0 o seu resultado é 1. a1 = 125 = - - 2 4 1  Vamos decompor o 125. 125 Henry Briggs (1561- 1630) - Inglês 25 5 1 RECORDE 2´ 2´ 2´ 2´ 2 = 32 an = am+n an = am-n 2 1   2 ( 4) 6 2 2 2 2 2 - + - -         ´ = 4 2 4 2 4 6 1 porque qualquer nº elevado a ou a = a 53 porque: Logo: 125 = 53 5 5 5
  4. 4. CONCEITO DE LOGARITMO Dados os números reais b ( 0 ≠ 1), N (positivo), chama-se logaritmo do número N, na base b, ao número x que é necessário elevar a b para se obter N, isto é, o logaritmo que satisfaz a relação bx = N, dizemos que x é o logaritmo de N na base b. Isto é expresso simbolicamente da seguinte forma: logbN = x. Onde: N- é o logaritmando ou antilogaritmo; b- é a base do logaritmo e; x- é o logaritmo. Exemplos: log 32 5 2 = porque 32 = 25 . Aqui podemos observar o seguinte: logbN = x 32-N; 2-b e 5-x e como sabemos que 25 = 2´ 2´ 2´ 2´ 2 = 32 log 2 1 2 = porque 2 = 21 log 1 0 5 = porque 50 = 1 Nota 1: Quando a base do sistema de logaritmos é igual a 10 , usamos a expressão logaritmo decimal e na representação simbólica escrevemos somente logN ao invés de log10N. Assim é que quando escrevemos logN = x , devemos concluir pelo que foi exposto, que 10x = N. a) log10=1 porque 101 = 10. b) log100= 2 porque 102 = 100 Nota 2: Existe também um sistema de logaritmos chamado neperiano (em homenagem a John Napier - matemático escocês do século XVI, inventor dos logaritmos), cuja base é o número irracional e = 2,7183... e indicamos este logaritmo pelo símbolo ln. Assim, M M e log = ln . Este sistema de logaritmos, também conhecido como sistema de logaritmos naturais, tem grande aplicação no estudo de diversos fenômenos da natureza. a) lne =1 b) ln 4 log 4 e e =
  5. 5. CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO DE LOGARITMO A definição dos logaritmos tem como consequências algumas condições a que os logaritmos devem sempre obedecer. 1ª Condição: log 1 = 0 b . Quando o logaritmando é igual a 1 a solução é sempre nula, pois de acordo com a fórmula bx = N, qualquer número elevado a 0 tem como soulção 1. Exemplos: * log 1 0 3 = * log 1 0 1 = * log 1 0 1000000 = 2 2ª Concição: log b = 1 b . Quando a o valor do logaritmando for igual ao valor da base, a solução será 1. Porque pela fórmula bx = N, teremos b1 = b 1 1 = * log 7 1 7 = * log 32 1 32 = Exemplos: * 1 3 log 3 b log = , então pela fórmula teremos bm = bm 3ª Condição: Se bm m 1 - 3 = =   = - 1  5 = * log 81 log 34 4 3 3 = = * 3 Exemplos: * log 53 3 4 3 log 64 log 4 log 1 4 1 4 4  4ª Condição: Se b a a b log = ou seja: b elevado ao logaritmo de a na base b é igual a a. Porque? Porque: b a a b log = então ba a b log = 4 4 = = *5log 25 log 525 25 Exemplos: * 4log 3 log 43 3 5 5 = = 5ª Condição: Se a c a c b b log = log Û = . Esta propriedade é muito utilizada na solução de exercícios envolvendo equações onde aparecem logaritmos (equações logarítmicas). Exemplos: * log log 5 5 a = Û a = * log 27 = log c Û c = 27 1 1 3 3 2 2 PARTICULARIDADES NO USO DE LOGARITMO O uso dos logaritmos tem algumas restrições tais como: 1. Para que o logaritmo exista, é necessário que o logaritmando não seja negativo, isto é, 0. Exemplo: log (- 25) = x 5 , pela definição de logaritmo, teremos: (- 25) = 5x , logo é impossível calcular o logaritmo (valor de x), pois qualquer potência de base positiva o resultado é sempre positivo. Filipe Mathusso Lunavo Página 5 Logaritmo e Função Logarítmica
  6. 6. 2. Para que o logaritmo exista, é necessário que a base seja diferente de 1, ou seja b ¹ 1. Exemplo: log 4 = x vamos mostrar porque não é possível. Observa a tabela: 1 x 1 2 3 Vamos agora tomar os valores da tabela, substituindo no lugar de x, para melhor sustentarmos a nossa explicação de porque não é possível achar o logaritmo. Se x=1 pela fórmula teremos: 11 = 1 ¹ 4 Se x= 212 = 1´1 = 1 ¹ 4 Se x=3 13 = 1´1´1 = 1 ¹ 4 Logo é impossível calcular o valor de x nesta equação, porque qualquer potência de 1 é sempre igual a 1. 3. Para que o logaritmo exista, é necessário que a base não seja nula nem negativa ou seja 0 ≠ 1. Exemplo: ( ) ( )x log 27 x 27 3 3 = ⇒ = - - , neste contesto é impossível calcular o valor de x, pois não nehuma potência de base negativa (-3) é igual a 27. Embora em alguns casos pode-se calcular, mas quando se trata de logaritmo, de acordo com a definição, não se pode calcular ( veja a conclusão a seguir). Ex 2: ( ) ( )x log 16 x 16 4 4 = ⇒ = - - Ex 3: ( ) ( )x log 216 x 216 6 6 = ⇒ = - - Conclusão sobre as particularidades de uso de logaritmos: Da definição de logaritmo, conclui-se que somente os números reais positivos possuem logaritmo. PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS 1ª Propriedade:Logaritmo de um Produto O logaritmo de um produto é igual a soma dos logaritmos dos fatores. Simbolicamente: (m n) m n b b b log ´ = log + log Exemplos:  ´ = + = + = Ex 1: ( ) 4 2 log 9 81 log 9 log 81 log 3 log 3 log 1 3 1 3 2 ( 4) 2 4 6 - - 1 3  +  log 1 3 4 1 3 2 1 3 1 3 1 3 1 3 = - + - = - - = -      ou 1 6   ´ = = = - ( ) 6  6 = - 1 3 log 9 81 log 729 log 3 log 1 3 1 3 1 3 3  log (9 ´ 81) = log 9 + log 81 = log 3 2 + log 34 = 2 + 4 = 6 Ex 2: 3 3 3 3 3 ou Filipe Mathusso Lunavo Página 6 Logaritmo e Função Logarítmica
  7. 7. log (9 81) log 729 3 3 ´ = 3 = = 2ª Propriedade: Logaritmo de um Quociente O logaritmo de uma fração numerador da fração e do denominador Simbolicamente: 64   log 4 4 - =   m Ex 1: log 64 log ordinária é igual a diferença entre os logaritmos do denominador. m n  4 4 = - = - = ou   Prova: log 4 4 = =  log 4 1 64   log 2 2 - =  Ex 2: log 64   log  = log 16 = 2 2 64 4 81   log 3 3 - =     EX 3: log 81 3    log = 3  log 81 - log 3 3  31 = 81 Û = ´ 3 2 = 2 2 3 16  64 16  4    81 3     Prova: Filipe Mathusso Lunavo Logaritmo e Função Logarítmica 9 9 3 3 3 b log  log 36 6 m 16 log 4 log 42 3 2 1 4 3  = 41 = Û  4 4 64 16   2 2 = - = - = ou log 4 log 2 log 22 6 2 4 2 6 64  = 2 = Prova: 16 log 24 4  24 Û 4   log 3 = log (3 4 ) - log 3 = log 3 2 - log 3 3 3 3 3 3 4 ( ) 4 2 3 = - = lo - = - 3 log 3 log 3 3 log 3 (1) 3 2 3 3 4 Û 3 = ´ Û = 3 3 3 3 3 n b b log log - =  Página 7 = 16 = 2 -1 = 1 ou 1 2 2 4 2 2 2 (2) = - = =
  8. 8. 3ª Propriedade: Logaritmo de uma Potência O logaritmo da patência é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência. Ou Quando um logaritmo estiver elevado a um expoente, na próxima passagem esse expoente irá multiplicar o resultado desse logaritmo. Simbolicamente: x m x b Exemplos: log m = log b = 5 = = 3 3 Ex 1: log 243 log 3 5log 3 5 3 3 3 - ( ) 1 Ex 2:  3 2    = -  = = =  = - 1 4 3 log 2 1 4 3 log 64 log 4 log 4 log 1 4 2 1 4 2 1 4 1 4 4   3 3  - 1 Prova 4 2 (4 3 ) 64 4 2  = = =   2 = = ´ = Podemos comprovar que está certo pela fórmula de logaritmo 28 = 256 , Ex 3: log 16 2log 24 2 4 8 2 2 como nós sabemos que 162 = 256 . 4ª Propriedade: Mudança de Base Se soubermos o logaritmo de N na base b e desejamos obter o logaritmo de N numa base a, essa mudança de base, muito importante na solução de exercícios, poderá ser feita de acordo com a fórmula : x x b b m m log = log ¸log Exemplos: 4 2 2 2 = ¸ = ¸ = = Prova: 43 = 64 Û 64 = 64 Ex 1: log 64 log 64 log 4 log 2 log 22 6 : 2 3 2 6 36 6 6 6 = ¸ = ¸ = ¸ = Ex 2: log 1296 log 1296 log 36 log 6 log 62 6 2 3 6 6 Filipe Mathusso Lunavo Página 8 Logaritmo e Função Logarítmica
  9. 9. 5ª Propriedade: a b loga b = Exemplos: log4 64 = = ´ Ex 1: 4 4log 43 4 3 6ª Propriedade: 7 = = log 3 49 7 1 ¸ = 4 log 72 + - = + - =  - - - log = N a a b = b N 4 log a N b b log 49 4 3 3 5 log Û x = Filipe Mathusso Lunavo Logaritmo e Função Logarítmica a log = Exemplos: Ex 1: 3 Ex 2: log ( 27 81) log 1 3 3 3 9 6 3 2 3 2 (3) (2)   7 = 1 1 27 log 81 3 8 = - 1. Calcule o valor de: a) log9 log 81 log 81 9 3 = ¸ b) 3log c) log 0,25 2 2 =a Û 5 9 = = ou log 9 log 3 log 32 4 2 2 3 3 = ¸ = - = log 2 3 2 d) 5 125 125 = 12 N 2 3 3  2 1 3 log log 81 3 log 27 2 1 3 3 3 1 3  - = - = 1 6 6 Exercícios Resolvidos 81 log 92 2 3 4 1 3 2 2 = - = - 2 2 1 2 2 1 4 2 25 100 2 2 a = Û a = Û a = Û a = - 1 25 Û x = Û x = Û x =  5 1 25 5 5 125 5 5  Página 9 -3 -  3 1 3 log 4 1 3    -   Ûa = -2 1 2 1  x 2 Û - 2 ´ 5 = 5  
  10. 10. 1 2 Û - x = Û x = - Û x = - 2 2 5 5 2 log 3 9 3 log 9 3 3 3 = = = log 3 e) 1 3 3 3 2 log 4 log 16 2 5 4 4 4 = = = = f) 0,4 5 5 5 log 16 3 log 6 3 5 3 6 6 = = = g) 0,6 5 5 log 6 h) 4 7     - = - 4 = - 1 7 7 1 2 log log 2 1 = = 2 = 7 log 16 1 2 7 7 log 16 4 1 2 4 2 i) 3 8 1 2 = = = = ´ = 4 3 2 3 2 4 log 2 4 4 2 4 4 log 8 4 log 8 3 2. Calcule o valor dos logaritmos a) log 18 log 6 log 5 log 15 3 3 3 3 - - + log 18 log 15 log 6 log 5 3 3 3 3 ⇒ + - - = ´ - ´ = ´ 3 3 3 3 3 3 = ´ = = = log (18 15) log 6 5 log 2 log 3 3 log 9 log 3 2 18 15 ´ 6 5 b) log 64 log 27 2 3 - para acharmos a solução desta expressão temos que achar em parte a solução de cada logaritmo, isto é: log 64 2 26 6 2 = a ⇒ a = ⇒ a = = b ⇒ b = 3 ⇒ b = log 27 3 3 3 - = - = 64 log 27 6 3 3 3 2 3 lo c) log 16 log 32 2 4 - 2 = a⇒ a = ⇒ a = log 16 2 24 4 5 2 4 = b ⇒ b = ⇒ b = ⇒ b = log 32 4 25 22 25 3 2 - = - = 8 - 5 = 2 4 2 5 2 log 16 log 32 4 (1) (2) Filipe Mathusso Lunavo Página 10 Logaritmo e Função Logarítmica
  11. 11. 1 + - d) log 8 log 27 2 log 36 3 6 2   = Û = Û - a a 1 - =  3 1 2 3 log 8 log 2 log 3 1 2 1 2 2  = b Û 3 = b Û b = log 27 log 3 3 ( ) d 2 - 2 d d 3 3 - = Û = Û = - 2log 36 log 6 4 6 6 + - = - + - = - log 8 log 27 2log 36 3 3 4 4 3 6 1 2 e) log 18 + log 6 - log 12 = log (18 ´ 6) ¸ 12 = log 108 ¸ 12 = log 9 = log 32 = 2 3 3 3 3 3 3 3 f) log (log 125) 5 1 Vamos resolver em partes. 3 5 =a Û a = Ûa = ( ) 1 log 125 5 53 3 1  b b    =    = Û  = = Û - b  Û b = - 1 3 1 3 3 1 3 log log 125 log 3 1 5 1 3 3    g) (2 log 5) log 2 + log 1+ 3 + 3 2 10 Vamos resolver em parte o valor de cada logaritmo log 2 = 1 2 = log 1 0 10 ( 2 + log 5 ) = 2 ´ log 5 = ´ = log 2 log 1 3( ) 1 0 45 46 3 3 3 9 5 45 + + + 2 log 5 = + + = 3 3 2 10 3 h) ( ) 4 18 2 3 2 6 4 1 2 = + 0 4 6  ´ log 2 log + 0 log 3 6 4 3 ´ log 2 log 2 + log 1 log 81 3 3 ´ log 64 log 8 3 2 1 2 2 3 1 2 2 2 1 2 - =   ´ -  =    = - 4 9 2 8  = ´ - 4  = - = - 18 2 18  2 Filipe Mathusso Lunavo Página 11 Logaritmo e Função Logarítmica
  12. 12. 3. Calcule o valor de y. Lembre-se que a c a c b b log = log Û = a) 512 8 32 ´ 16 log y = log 32 + log 16 - log 8 ⇒ log y = log ⇒ log y = log 4 4 4 4 4 4 4 4 8 log log 64 64 4 4 ⇒ y = y = b) log log 27 log 27 log 10 2log 3 2 2 2 2 2 y = + + - ( ) = ´ - 2 ⇒ = - log log 27 10 log 3 log log 270 log 3 2 y y 2 2 2 2 2 2 ⇒ = - ⇒ = ¸ ⇒ = log y log 270 log 9 log y log 270 9 log y log 30 2 2 2 2 2 2 2 30 ⇒ y = c) log log 5 5 2 2 y = Û y = d) log log 8 8 15 15 y = Û y = e) log 1000 log lg 10 log 3 10 = y Û = y Û y = 1 1 3 3 1 3 3 1 3 3 f) log log 7 7 1000 1000 y = Û y = g) lg y = lg 4Û y = 4 Lembre-se dos logaritmos de base 10. h) 1 2 1   = - Û = Û = - y - y - y y  3 3 3 Û = 2 log 8 3 2 3  1 2 1 = Û = Û 2 ´ 2 = 2 Û = Û = 1 i) log 3 3 3 2 9 9 y y y y y 2 2 j) log 216 = 3 Û (2 y )3 = 63 ⇒ (2 y )3 = 23 ´ 33 Û y = 3 2 y k) lg y = lg 3 + lg 5Û lg y = lg 3´ 5Û lg y = lg15Û y = 15 l) 7 2  4 + = Û - = Û = + Û = 3 Û =  y - y y y y 2 3 2 2 2 3 2 lg 2 3 2 lg (1) (2)   m) lg(5y + 9) = lg y + lg2Ûlg(5y + 9) = lg 2y Û5y + 9 = 2y Û5y - 2y = -9 3 9 Û 3y = -9Û y = - Û y = - 3 log 3 2y- 1 = log 8y 3 n) 4 3 5 5 3 1 1 ( ) ( ) y y Û 3 - 1 = 4 Û - = Û y - 1 = y Û - = 1 3 3 y y y y 3 4 1 3 1 3 1 2 8 2 2 4 2 3 3 24 4 Û y - y = Û y - y = Û - y = Û -y = ´ Û -y = /-1 5 12 5 4 12 4 12 5 12 4 12 9 12 4 12 1 3 3 4 1 3 (4) (3) (4) Filipe Mathusso Lunavo Página 12 Logaritmo e Função Logarítmica
  13. 13. Û = - 4 y 5 3 3 3 3 = Û y = Û y = ´ Û y 2 = 3 Û y = Û y = y 3 2 2 3 o) log 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 5 ( ) 1 5  p) log y = 5Û 2 = y Û 2 = y Û 22 = y Û 25 = y Û 32 = y        2 2 4. Calcule: 1 lg 0,001 = a Û10a = Û a = -3 Û a = - q) 10 1000 3 1000 r) lg10000 = a Û10a = 104 Û a = 4 1 lg = a Û a = -2 Û a = - s) 10 100 2 100 5. Sendo log 3 3 a = - , log 4 3 b = e log 2 3 c = , determine: a) (ab) 3 log Resolução : log log 3 4 1 3 3 a + b = - + = ab b) 3 2 log c 3 3 3 a + b - c = - + - = - = - Resolução: log log log 2 3 4 22 1 4 3 c) a b 3 log + = - + log b = - + 4 = - 6 + 4 = - 2 = - 3 3 log log 3 3 Resolução: 1 2 2 2 3 2 a b 6. Sabendo que log a = 5 b e log c = -3 b determine o valor de : a) (ac) b log Resolução: log (ac) = log a + log c = 5 + (- 3) = 5 - 3 = 2 b b b  c  a   c b log Resolução: 8 5 3 log log log - = - - = - =  b)    c a b b b a c) log 3 ac b Resolução: ( ) 2 3 + = 5 + - 3 log 3 = 3 log log = = ac a c ac b b b 3 log 3 b d) ( )4 log ac b Resolução: log ( )4 log 4 log 4 54 ( 3)4 (5 3)4 24 16 ac = a + c = + - = - = = b b b 7. Desenvolva, aplicando as propriedades dos logaritmos a) (a2b) log 2 Resolução: log (a 2 b) = log a 2 + log b = 2log a + log b 2 2 2 2 2 Filipe Mathusso Lunavo Página 13 Logaritmo e Função Logarítmica
  14. 14.  5  6 5 4 log p b)   5 5   Resolução: p p p 5 5 5 log =  + 6 = - + log log 5 log 4 6log 5 5 5 6 4 log 4  c) log 8 2   p p p l = + +  l  = + +    log 2 log 2 log log log 2 log 8 8 8 8 8 8 l g g g  l g l log 2 2 log 2 8 8 8 = ´p + ¸ = p + ´ = p + g l g 2 log 2 1 2 FUNÇÃO LOGARÍTMICA y = ax a〉0 Considere a função , denominada função exponencial, onde a base a é um número positivo e diferente de 1 (, e a ¹ 1 definida para todo x real. Observe que nestas condições, ax é um número positivo, para todo x Є R, onde R é o conjunto dos números reais.Denotando o conjunto dos números reais positivos por IR+ , poderemos escrever a função exponencial como segue: f: R ® R+ * ; y = ax , 0 a ≠ 1. Vamos determinar a função inversa da função y = ax , onde 0 a ≠ 1. Permutando x por y, vem: x = ay y = logax Portanto, a função logarítmica é então: f: R+ * ® R ; y = logax , 0 a≠ 1 .Mostramos a seguir, os gráficos das funções exponencial ( y = ax ) e logarítmica ( y = logax ), para os casos a 1 e 0 a ≠ 1. Observe que, sendo as funções, inversas, os seus gráficos são curvas simétricas em relação à bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes, ou seja, simétricos em relação à reta y = x. 1 ( ) = log ; ( ) log ( 2) 6 f x = x - ; ( ) log (3 1) Exemplos: f x x 4 ( ) = log ; g x x 2 1 f x = x + 3 Gráfico da função logarítmica Vamos fazer o estudo da função f x x 3 ( ) = log construindo a tabela e respectivo gráfico. Filipe Mathusso Lunavo Página 14 Logaritmo e Função Logarítmica
  15. 15. Para facilitar a compreensão, vamos escrever uma função logarítmica na forma de função exponencial: log x y y 3x 3 = Û = Tabela da função y = 3x Tabela da função x 3 log x y = 3x y 1 1 1 = x = - =  y 3 3 27 3  3 =   -3 3 27 -2 1 1 = x = - =   y 9  2 = 3 3 3  -1 1 1 = x = - =   y 3  1 = 3 3 3  0 y = 3x = 30 = 1 1 1 y = 3x = 31 = 3 3 2 y = 3x = 32 = 9 9 3 y = 3x = 33 = 27 27 Gráfico da função logarítmica 1 y 1 9 2 1 3 1 -1 1 2 3 -1 -2 -3 x x 3 log y 1 27 1 1 log 3 3 3 3 33 3 x = - 27 = = 3 = - 3 1 9 1 1 log 3 3 3 2 32 2 x = - 9 = = 3 = - 3 1 3 1 1 log 3 3 3 1 31 1 x = - 3 = = 3 = - 3 1 log log 1 0 3 3 x = = 0 3 log log 3 1 3 3 x = = 1 9 log log 9 log 32 2 3 3 3 x = = = 2 3 3 3 x = = = 3 27 log log 9 log 33 3 Observando o gráfico, concluímos que: x -3 -2 -1 Domínio: Df = IR+ Contradomínio: D´ f = IR Zero da função: x = 1 A função é crescente A curva da função não intercepta o eixo das ordenadas. A função é positiva, isto é: f (x) 0; xÎ]1;+¥[ A função é negativa, isto é, f (x) 0; xÎ]0;1[ Nota: Esta função a base é positiva e maior que 1. Vejamos agora o gráfico de uma função logarítmica onde a base é maior que zero e menor que 1 ( 0 a 1). 1 ( ) = log . Passando para forma de função exponencial teremos: Considere a função f x x 3 x   = 1 y   3 . Filipe Mathusso Lunavo Página 15 Logaritmo e Função Logarítmica
  16. 16. x x 3 x - 1 1  3 = =     =  = -3 3 27 2 x - 1 2  =  1 x - 1 1  =  1 x 0  =  1 x 1  =  1 y 3 1 x 2  =  1 y 9 1 x 3  =  1 y 27 3 2 1   = 1 y  y Tabelas -2 -1 0 1 2 3 Gráfico  3 y 3 3   y 27  = =  3 9 1 3 3    =  y 9  = =  3 3 1 3 3    =  y 3 1 1 3 3  =     =  y 1 1 3 1 3 3  =     =  1 9 1 3 3  =     =  1 27 1 3 3  =     =  -2 -1 1 2 3 4 -1 -2 x 1 = log y x y x 3 27 1 -  y y =  3 «  1 3 3 3    =    1 - 9 2  y y =  2 «  1 3 3 3    =    1 - 3 1  y y =  1 «  1 3 3 3  =       1 = y « y = 1 log 1 0 3 1 3 1 1 1 = y « y = 3 log 3 1 9 y y   1  = «     =  1 3 3 1 3 1 9 2 1 27 y y 1   = «    =  1 3 3 1 3 1 27 3 A partir do gráfico, podemos constatar que: Domínio: Df = IR+ Contradomínio: D´ f = IR Zero de função: x = 1 A função é decrescente. 3 1 3    1 3    1 3     A curva da função de f não intercepta o eixo das ordenadas. -3 -2 -1 0 1 2 3 A função é positiva, isto é, f (x) 0; xÎ]0;1[ A função é negativa, isto é, f (x) 0; xÎ]1;+¥[ Filipe Mathusso Lunavo Página 16 Logaritmo e Função Logarítmica
  17. 17. As tabelas que construímos, nos levam a afirmar que uma função logarítmica tem como inversa a função exponencial, e de acordo com as tabelas, com a 1ª função com qual trabalhamos, podemos esboçar os seguintes gráficos. Vamos denominar a função y = 3x como f (x) = 3x a logarítmica mantemos x 3 log Graficamente teremos 3 2 1 y f ( x ) = 3 x y = x -2 -1 1 2 3 4 -1 -2 x x 3 log Pela observação dos gráficos, vemos que eles, apresentam uma simetria em relação à bissectriz do primeiro e do terceiro quadrante y=x. Portanto a função f (x) = 3x , é inversa da função x 3 log . Ainda, se 0 a 1 teremos os seguintes gráficos: Vamos denominar a função x   = 1 y   3 como x   = 1 ( ) a logarítmica mantemos x x f   3 1 log 3 y = (1/3)^x y y = log(1/3,x) y = x 4 3 2 1 -1 1 2 -1 x Filipe Mathusso Lunavo Página 17 Logaritmo e Função Logarítmica
  18. 18. Em suma, podemos resumir estes últimos dois exemplos da seguinte maneira: O domínio da função exponencial é o conjunto imagem (contradomínio) da função logarítmica e o domínio da função logarítmica é o conjunto imagem da função exponencial, isto é, (Df = IR) = (D´g = IR+ ) e (Dg = IR) = (D´ f = IR+ ). Isto acontece pelo facto destas funções serem inversas entre si. As funções f (x) e g(x) são crescentes para a 0 . As funções f (x) e g(x) são decrescentes para 0 a 1. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE FUNÇÕES DO TIPO y (x b) a = log ± Como já vimos como se adquirem os dados da tabela de uma função logarítmica nos exemplos anteriores, aqui vamos fazer a demonstração de apenas dois casos. Dadas as funções: f x x 2 ( ) = log , ( ) log ( 1) 2 g x = x + e ( ) log ( 1) 2 h x = x - y = log(2,x+1) y y = log(2,x-1) y = log(2,x) 3 2 1 · -3 -2 -1 1 2 3 4 5 · -1 -2 -3 x · Como podemos ver, os gráficos das funções ( ) log ( 1) 2 g x = x + e ( ) log ( 1) 2 h x = x - , surgem através da translação de b unidades para cima f x x 2 ( ) = log , se b for positivo e b unidades para baixo da função f x x 2 ( ) = log se b for negativo. Existem elementos comuns, comuns para todas as parábolas, hora vejamos: As três parábolas são crescentes em todos os seus domínios; Os seus domínios são iguais. Filipe Mathusso Lunavo Página 18 Logaritmo e Função Logarítmica
  19. 19. Os seus contradomínios também são iguais. Diferenças: Zero de função: Para a parábola da função ( ) log ( 1) 2 f x = x + , x=0 Para a parábola da função ( ) log ( 1) 2 g x = x - , x=2. Como podemos notar no exemplo que acabamos de mostrar, a base do logaritmo é maior que 1, agora vamos trabalhar com logaritmo cuja base é positiva, mas menor que 1. 1 ( ) = log , ( ) log ( 1) Dadas as funções: f x x y = log(1/2,x) y y = log(1/2,x+1) y = log(1/2,x-1) 3 2 1 2 1 g x = x + e ( ) log ( 1) 2 1 h x = x - -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 x 2 A diferença que agora encontramos, é de que todas as três funções são decrescentes, diferentemente no exemplo anterior. Vamos ainda seguir com outros exemplos. Mas queremos chamar atenção de que o valor do logaritmando nas funções que seguem, não está entre parênteses, daí que a representação gráfica será diferente com a que está acima Filipe Mathusso Lunavo Página 19 Logaritmo e Função Logarítmica
  20. 20. Dadas as funções f x x 2 ( ) = log , g Para a função
  21. 21. ( ): log 2 2 x + = Para a função ( ): log 2 2 x - =  x = - = x = - = x = x 2 = =  2 x = = x = = x = As funções
  22. 22. ( ) ( ) são obtidas através da função negativas respectivamente. Agora vamos construir o gráfico da seguinte função Filipe Mathusso Lunavo Logaritmo e Função Logarítmica ( ) log 2 2 x = x + e ( ) log 2 2 h x = x - Todas as funções são crescentes; As funções são definidas para valores de x 0, isto é, o domínio de Df ,Dg As funções não intercepta o eixo das ordenadas, porque não estão definidas para x = 0. As funções interceptam o eixo das abcissas quando y = 0 (zeros de função) sendo:
  23. 23. ( ), 0,25 e Podemos determinar os zeros da função da seguinte maneira: 1 2 log 2 2 2 2   log 2 22 4 1 = x = pela translação de 2 unidades positivas e f ( x ) = log x + 2 e ( ) log 1 2 1 g x = 2 Todas as funções são decrescentes As funções são definidas para valores de 0 b 1, isto é, o domínio ( As funções não interceptam o eixo das ordenadas (yy), porque não estão definidas para x=0. As funções interceptam o eixo das abcissas quando y= 0 (zeros da função, sendo: f (0), x = 4 e g Página 20 s Dg,Dh = IR+ . , 1, , 4 0,25 4 2 x - , D = IR+ f ) 1 g(0), x = ). 4
  24. 24. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE FUNÇÕES DO TIPO Dadas as funções: ( ) log ( 2 f x = x + As funções acimas, são crescentes porque o base do logaritmo maior que zero (0), acontecerá o que vai observar Dada as funções: f ( x ) = log ( 1 1 m x = x + - Filipe Mathusso Lunavo Logaritmo e Função Logarítmica 2 ( ) log ( 1) 2 2 · y (x b) c a = log ± + 1)+1; ( ) log ( 1) 2 2 g x = x + + ; ( ) log ( 2 h x = x ( ) log ( 1) 2 m x = x + Observando os gráficos, notamos que todas as funções são crescentes. Todas as funções interceptam o eixo das ordenadas (yy) em: para a função f(x), g(x), y=3; h(x), y= -1 e Os zeros de função (onde as funções interceptam o eixo das abcissas 1 x = - ; g(x), função f(x), 2 x = 1 e m(x), x = 2 3 x = - ; h(x), é maior que 1 unidade mas se for memor que 1 e á nos gráficos a baixos. x +1)+1; ( ) log ( 1) 2 1 g x = x + + ; ( ) log ( 2 1 h x = x 2 Como podemos observar nos gráficos, constatamos alterações em: Todos os gráficos são decrescentes; Os zeros de função (onde as funções interceptam o eixo das abcissas função f(x), x = 1; g(x), 1 x = - e m(x), x 2 Página 21 +1)-1 e - 2 y= 1; m(x), y= -2. abcissas-xx): para a 4 +1)-1 e abcissas-xx): para a ; x = 3; h(x), 3 = - 4
  25. 25. Filipe Mathusso Lunavo Natural do distrito de Machanga, Província de Sofala Professores do Futuro Nhamatanda, é professor de Contabilidade Simplificada no 1º, 2º e Estaquinha Para quaisquer reclamação ou sugest phlipwilker@gmail.com Filipe Mathusso Lunavo Logaritmo e Função Logarítmica Sofala. Formado pela ADPP Escola de Matemática, Física, Informática na Escola Profissional Familiar Rural de Estaquinha 3º ano. Também leccionou Matemática na Escola Secund (6ª e 7ª Classes) durante 3 anos. sugestão na melhoria deste texto, envie um correio electrónico para: Página 22 . e – Búzi, . Secundária São José de

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