Matemática 7 s_8a_ef_volume_4

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  1. 1. 7a SÉRIE 8o ANO ENSINO FUNDAMENTAL II Caderno do Professor Volume4 MATEMÁTICA MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3 03/06/13 11:4003/06/13 11:4003/06/13 11:4003/06/13 11:40
  2. 2. ENSINO MÉDIO – 1a SÉRIE CURRÍCULO DO ESTADO DE SÃO PAULO 1 a edição revista GOVERNO DO ESTADO DE SÃO PAULO SECRETARIA DA EDUCAÇÃO São Paulo, 2013 CADERNO DO PROFESSOR MATEMÁTICA VOLUME 4 MATERIAL DE APOIO AO ENSINO FUNDAMENTAL – 7a SÉRIE/8o ANO MATEMÁTICA_CP_7s_Vol4_2013.indd 1 30/07/13 09:57
  3. 3. Governo do Estado de São Paulo Governador Geraldo Alckmin Vice-Governador Guilherme Afif Domingos Secretário da Educação Herman Voorwald Secretário-Adjunto João Cardoso Palma Filho Chefe de Gabinete Fernando Padula Novaes Subsecretária de Articulação Regional Rosania Morales Morroni Coordenadora da Escola de Formação e Aperfeiçoamento dos Professores – EFAP Silvia Andrade da Cunha Galletta Coordenadora de Gestão da Educação Básica Maria Elizabete da Costa Coordenador de Gestão de Recursos Humanos Jorge Sagae Coordenadora de Informação, Monitoramento e Avaliação Educacional Maria Lucia Guardia Coordenadora de Infraestrutura e Serviços Escolares Ana Leonor Sala Alonso Coordenadora de Orçamento e Finanças Claudia Chiaroni Afuso Presidente da Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDE Barjas Negri MATEMÁTICA_CP_7s_Vol4_2013.indd 2 30/07/13 09:57
  4. 4. CONCEPÇÃO E COORDENAÇÃO GERAL COORDENADORIA DE GESTÃO DA EDUCAÇÃO BÁSICA – CGEB Coordenadora Maria Elizabete da Costa Diretor do Departamento de Desenvolvimento Curricular de Gestão da Educação Básica João Freitas da Silva Diretora do Centro de Ensino Fundamental dos Anos Finais, Ensino Médio e Educação Profissional – CEFAF Valéria Tarantello de Georgel Coordenação Técnica Roberto Canossa Roberto Liberato EQUIPES CURRICULARES Área de Linguagens Arte: Carlos Eduardo Povinha, Kátia Lucila Bueno, Pio de Sousa Santana e Roseli Ventrela. Educação Física: Marcelo Ortega Amorim, Maria Elisa Kobs Zacarias, Mirna Leia Violin Brandt, Rosangela Aparecida de Paiva e Sergio Roberto Silveira. Língua Estrangeira Moderna (Inglês e Espanhol): Ana Paula de Oliveira Lopes, Jucimeire de Souza Bispo, Marina Tsunokawa Shimabukuro, Neide Ferreira Gaspar e Sílvia Cristina Gomes Nogueira. Língua Portuguesa e Literatura: Angela Maria Baltieri Souza, Claricia Akemi Eguti, Idê Moraes dos Santos, João Mário Santana, Kátia Regina Pessoa, Mara Lúcia David, Marcos Rodrigues Ferreira, Roseli Cordeiro Cardoso e Rozeli Frasca Bueno Alves. Área de Matemática Matemática: Carlos Tadeu da Graça Barros, Ivan Castilho, João dos Santos, Otavio Yoshio Yamanaka, Rodrigo Soares de Sá, Sandra Maira Zen Zacarias e Vanderley Aparecido Cornatione. Área de Ciências da Natureza Biologia: Aparecida Kida Sanches, Elizabeth Reymi Rodrigues, Juliana Pavani de Paula Bueno e Rodrigo Ponce. Ciências: Eleuza Vania Maria Lagos Guazzelli, Gisele Nanini Mathias, Herbert Gomes da Silva e Maria da Graça de Jesus Mendes. Física: Carolina dos Santos Batista, Fábio Bresighello Beig, Renata Cristina de Andrade Oliveira e Tatiana Souza da Luz Stroeymeyte. Química: Ana Joaquina Simões S. de Matos Carvalho, Jeronimo da Silva Barbosa Filho, João Batista Santos Junior e Natalina de Fátima Mateus. Área de Ciências Humanas Filosofia: Tânia Gonçalves e Teônia de Abreu Ferreira. Geografia: Andréia Cristina Barroso Cardoso, Débora Regina Aversan e Sérgio Luiz Damiati. História: Cynthia Moreira Marcucci e Maria Margarete dos Santos. Sociologia: Alan Vitor Corrêa, Carlos Fernando de Almeida, Sérgio Roberto Cardoso e Tony Shigueki Nakatani. PROFESSORES COORDENADORES DO NÚCLEO PEDAGÓGICO Área de Linguagens Educação Física: Ana Lucia Steidle, Eliana Cristine Budisk de Lima, Fabiana Oliveira da Silva, Isabel Cristina Albergoni, Karina Xavier, Katia Mendes, Liliane Renata Tank Gullo, Marcia Magali Rodrigues dos Santos, Mônica Antonia Cucatto da Silva, Patrícia Pinto Santiago, Regina Maria Lopes, Sandra Pereira Mendes, Sebastiana Gonçalves Ferreira Viscardi, Silvana Alves Muniz, Thiago Candido Biselli Farias e Welker José Mahler. Língua Estrangeira Moderna (Inglês): Célia Regina Teixeira da Costa, Cleide Antunes Silva, Ednéa Boso, Edney Couto de Souza, Elana Simone Schiavo Caramano, Eliane Graciela dos Santos Santana, Elisabeth Pacheco Lomba Kozokoski, Fabiola Maciel Saldão, Isabel Cristina dos Santos Dias, Juliana Munhoz dos Santos, Kátia Vitorian Gellers, Lídia Maria Batista Bomfim, Lindomar Alves de Oliveira, Lúcia Aparecida Arantes, Mauro Celso de Souza, Neusa A. Abrunhosa Tápias, Patrícia Helena Passos, Renata Motta Chicoli Belchior, Renato José de Souza, Sandra Regina Teixeira Batista de Campos e Silmara Santade Masiero. Língua Portuguesa: Andrea Righeto, Edilene Bachega R. Viveiros, Eliane Cristina Gonçalves Ramos, Graciana B. Ignacio Cunha, Letícia M. de Barros L. Viviani, Luciana de Paula Diniz, Márcia Regina Xavier Gardenal, Maria Cristina Cunha Riondet Costa, Maria José de Miranda Nascimento, Maria Márcia Zamprônio Pedroso, Patrícia Fernanda Morande Roveri, Ronaldo Cesar Alexandre Formici, Selma Rodrigues e Sílvia Regina Peres. Área de Matemática Matemática: Carlos Alexandre Emídio, Clóvis Antonio de Lima, Delizabeth Evanir Malavazzi, Edinei Pereira de Sousa, Eduardo Granado Garcia, Evaristo Glória, Everaldo José Machado de Lima, Fabio Augusto Trevisan, Inês Chiarelli Dias, Ivan Castilho, José Maria Sales Júnior, Luciana Moraes Funada, Luciana Vanessa de Almeida Buranello, Mário José Pagotto, Paula Pereira Guanais, Regina Helena de Oliveira Rodrigues, Robson Rossi, Rodrigo Soares de Sá, Rosana Jorge Monteiro, Rosângela Teodoro Gonçalves, Roseli Soares Jacomini, Silvia Ignês Peruquetti Bortolatto e Zilda Meira de Aguiar Gomes. Área de Ciências da Natureza Biologia: Aureli Martins Sartori de Toledo, Claudia Segantini Leme, Evandro Rodrigues Vargas Silvério, Fernanda Rezende Pedroza, Regiani Braguim Chioderoli e Sofia Valeriano Silva Ratz. Ciências: Davi Andrade Pacheco, Franklin Julio de Melo, Liamara P. Rocha da Silva, Marceline de Lima, Paulo Garcez Fernandes, Paulo Roberto Orlandi Valdastri, Rosimeire da Cunha e Wilson Luís Prati. Física: Ana Claudia Cossini Martins, Ana Paula Vieira Costa, André Henrique Ghelfi Rufino, Cristiane Gislene Bezerra, Fabiana Hernandes M. Garcia, Leandro dos Reis Marques, Marcio Bortoletto Fessel, Marta Ferreira Mafra, Rafael Plana Simões e Rui Buosi. Química: Armenak Bolean, Cirila Tacconi, Daniel B. Nascimento, Elizandra C. S. Lopes, Gerson N. Silva, Idma A. C. Ferreira, Laura C. A. Xavier, Marcos Antônio Gimenes, Massuko S. Warigoda, Roza K. Morikawa, Sílvia H. M. Fernandes, Valdir P. Berti e Willian G. Jesus. Área de Ciências Humanas Filosofia: Álex Roberto Genelhu Soares, Anderson Gomes de Paiva, Anderson Luiz Pereira, Claudio Nitsch Medeiros e José Aparecido Vidal. Geografia: Ana Helena Veneziani Vitor, Célio Batista da Silva, Edison Luiz Barbosa de Souza, Edivaldo Bezerra Viana, Elizete Buranello Perez, Márcio Luiz Verni, Milton Paulo dos Santos, Mônica Estevan, Regina Célia Batista, Rita de Cássia Araujo, Rosinei Aparecida Ribeiro Libório, Sandra Raquel Scassola Dias, Selma Marli Trivellato e Sonia Maria M. Romano. História: Aparecida de Fátima dos Santos Pereira, Carla Flaitt Valentini, Claudia Elisabete Silva, Cristiane Gonçalves de Campos, Cristina de Lima Cardoso Leme, Ellen Claudia Cardoso Doretto, Ester Galesi Gryga, Karin Sant’Ana Kossling, Marcia Aparecida Ferrari Salgado de Barros, Mercia Albertina de Lima Camargo, Priscila Lourenço, Rogerio Sicchieri, Sandra Maria Fodra e Walter Garcia de Carvalho Vilas Boas. Sociologia: Aparecido Antônio de Almeida, Jean Paulo de Araújo Miranda, Neide de Lima Moura e Tânia Fetchir. GESTÃO DO PROCESSO DE PRODUÇÃO EDITORIAL FUNDAÇÃO CARLOS ALBERTO VANZOLINI Presidente da Diretoria Executiva Antonio Rafael Namur Muscat Vice-presidente da Diretoria Executiva Alberto Wunderler Ramos GESTÃO DE TECNOLOGIAS APLICADAS À EDUCAÇÃO Direção da Área Guilherme Ary Plonski Coordenação Executiva do Projeto Angela Sprenger e Beatriz Scavazza Gestão Editorial Denise Blanes Equipe de Produção Editorial: Ana C. S. Pelegrini, Cíntia Leitão, Karinna Alessandra Carvalho Taddeo, Mariana Góis, Marina Murphy, Michelangelo Russo, Natália S. Moreira, Olivia Frade Zambone, Priscila Risso, Regiane Monteiro Pimentel Barboza, Rodolfo Marinho, Stella Assumpção Mendes Mesquita e Tatiana F. Souza. Direitos autorais e iconografia: Beatriz Fonseca Micsik, Érica Marques, José Carlos Augusto, Maria Aparecida Acunzo Forli e Maria Magalhães de Alencastro. 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  5. 5. COORDENAÇÃO TÉCNICA Coordenadoria de Gestão da Educação Básica – CGEB COORDENAÇÃO DO DESENVOLVIMENTO DOS CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS DOS CADERNOS DOS PROFESSORES E DOS CADERNOS DOS ALUNOS Ghisleine Trigo Silveira CONCEPÇÃO Guiomar Namo de Mello Lino de Macedo Luis Carlos de Menezes Maria Inês Fini (coordenadora) Ruy Berger (em memória) AUTORES Linguagens Coordenador de área: Alice Vieira. Arte: Gisa Picosque, Mirian Celeste Martins, Geraldo de Oliveira Suzigan, Jéssica Mami Makino e Sayonara Pereira. Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, Carla de Meira Leite, Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti, Renata Elsa Stark e Sérgio Roberto Silveira. LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo. LEM – Espanhol: Ana Maria López Ramírez, Isabel Gretel María Eres Fernández, Ivan Rodrigues Martin, Margareth dos Santos e Neide T. Maia González. Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, José Luís Marques López Landeira e João Henrique Nogueira Mateos. Matemática Coordenador de área: Nílson José Machado. Matemática: Nílson José Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli. Ciências Humanas Coordenador de área: Paulo Miceli. Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís Martins e Renê José Trentin Silveira. Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo e Sérgio Adas. História: Paulo Miceli, Diego López Silva, Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e Raquel dos Santos Funari. Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers. Ciências da Natureza Coordenador de área: Luis Carlos de Menezes. Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo. Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão, Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume. Física: Luis Carlos de Menezes, Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell Roger da Purificação Siqueira, Sonia Salem e Yassuko Hosoume. Química: Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Fernanda Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião. Caderno do Gestor Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de Felice Murrie. EQUIPE DE PRODUÇÃO Coordenação executiva: Beatriz Scavazza. Assessores: Alex Barros, Antonio Carlos de Carvalho, Beatriz Blay, Carla de Meira Leite, Eliane Yambanis, Heloisa Amaral Dias de Oliveira, José Carlos Augusto, Luiza Christov, Maria Eloisa Pires Tavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo Roberto da Cunha, Pepita Prata, Renata Elsa Stark, Solange Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti. EQUIPE EDITORIAL Coordenação executiva: Angela Sprenger. Assessores: Denise Blanes e Luis Márcio Barbosa. Projeto editorial: Zuleika de Felice Murrie. Edição e Produção editorial: R2 Editorial, Jairo Souza Design Gráfico e Occy Design (projeto gráfico). APOIO Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDE CTP, Impressão e Acabamento Esdeva Indústria Gráfica S.A. A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos*deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº- 9.610/98. * Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais. * Nos Cadernos do Programa São Paulo faz escola são indicados sites para o aprofundamento de conhecimentos, como fonte de consulta dos conteúdos apresentados e como referências bibliográficas. Todos esses endereços eletrônicos foram checados. No entanto, como a internet é um meio dinâmico e sujeito a mudanças, a Secretaria da Educação do Estado de São Paulo não garante que os sites indicados permaneçam acessíveis ou inalterados. * As fotografias da agência Abblestock/Jupiter publicadas no material são de propriedade da Getty Images. * Os mapas reproduzidos no material são de autoria de terceiros e mantêm as características dos originais, no que diz respeito à grafia adotada e à inclusão e composição dos elementos cartográficos (escala, legenda e rosa dos ventos). Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas São Paulo (Estado) Secretaria da Educação. Caderno do professor: matemática, ensino fundamental - 7a série, volume 4 / Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José Machado, Roberto Perides Moisés, Walter Spinelli. São Paulo: SEE, 2013. ISBN 978-85-7849-438-4 1. Matemática 2. Ensino Fundamental 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês. II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV. Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Spinelli, Walter. VII. Título. CDU: 373.5:51 S239c MATEMÁTICA_CP_7s_Vol4_2013.indd 4 30/07/13 09:57
  6. 6. Senhoras e senhores docentes, A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo sente-se honrada em tê-los como colabo- radores na reedição do Caderno do Professor, realizada a partir dos estudos e análises que per- mitiram consolidar a articulação do currículo proposto com aquele em ação nas salas de aula de todo o Estado de São Paulo. Para isso, o trabalho realizado em parceria com os PCNP e com os professores da rede de ensino tem sido basal para o aprofundamento analítico e crítico da abor- dagem dos materiais de apoio ao currículo. Essa ação, efetivada por meio do programa Educação — Compromisso de São Paulo, é de fundamental importância para a Pasta, que despende, neste programa, seus maiores esforços ao intensificar ações de avaliação e monitoramento da utilização dos diferentes materiais de apoio à implementação do currículo e ao empregar o Caderno nas ações de formação de professores e gestores da rede de ensino. Além disso, firma seu dever com a busca por uma educação paulista de qualidade ao promover estudos sobre os impactos gerados pelo uso do material do São Paulo Faz Escola nos resultados da rede, por meio do Saresp e do Ideb. Enfim, o Caderno do Professor, criado pelo programa São Paulo Faz Escola, apresenta orien- tações didático-pedagógicas e traz como base o conteúdo do Currículo Oficial do Estado de São Paulo, que pode ser utilizado como complemento à Matriz Curricular. Observem que as atividades ora propostas podem ser complementadas por outras que julgarem pertinentes ou necessárias, dependendo do seu planejamento e da adequação da proposta de ensino deste material à realidade da sua escola e de seus alunos. O Caderno tem a proposição de apoiá-los no planejamento de suas aulas para que explorem em seus alunos as competências e habilidades necessárias que comportam a construção do saber e a apropriação dos conteúdos das disciplinas, além de permitir uma avalia- ção constante, por parte dos docentes, das práticas metodológicas em sala de aula, objetivando a diversificação do ensino e a melhoria da qualidade do fazer pedagógico. Revigoram-se assim os esforços desta Secretaria no sentido de apoiá-los e mobilizá-los em seu trabalho e esperamos que o Caderno, ora apresentado, contribua para valorizar o ofício de ensinar e elevar nossos discentes à categoria de protagonistas de sua história. Contamos com nosso Magistério para a efetiva, contínua e renovada implementação do currículo. Bom trabalho! Herman Voorwald Secretário da Educação do Estado de São Paulo MATEMÁTICA_CP_7s_Vol4_2013.indd 5 30/07/13 09:57
  7. 7. SUMÁRIO Ficha do Caderno 7 Orientação geral sobre os Cadernos 8 Situações de Aprendizagem 12 Situação de Aprendizagem 1 – Áreas de figuras planas 12 Situação de Aprendizagem 2 – Teorema de Tales: a proporcionalidade na Geometria 25 Situação de Aprendizagem 3 – O teorema de Pitágoras: padrões numéricos e geométricos 39 Situação de Aprendizagem 4 – Prismas 57 Orientações para Recuperação 62 Conteúdos de Matemática por série/volume do Ensino Fundamental 63 MATEMÁTICA_CP_7s_Vol4_2013.indd 6 30/07/13 09:57
  8. 8. 7 FICHA DO CADERNO Áreas, Tales, Pitágoras e volumes Nome da disciplina: Matemática Área: Matemática Etapa da educação básica: Ensino Fundamental Série/Ano: 7a /8o Volume: 4 Temas e conteúdos: Áreas de figuras planas Teorema de Tales: a proporcionalidade na Geometria Teorema de Pitágoras Prismas: área e volume MATEMÁTICA_CP_7s_Vol4_2013.indd 7 30/07/13 09:57
  9. 9. 8 ORIENTAÇÃO GERAL SOBRE OS CADERNOS Os temas escolhidos para compor o conteú- do disciplinar de cada volume não se afastam, de maneira geral, do que é usualmente ensi- nado nas escolas, ou do que é apresentado pelos livros didáticos. As inovações preten- didas referem-se à forma de abordagem dos mesmos, sugerida ao longo de cada Caderno. Em tal abordagem, busca-se evidenciar os princípios norteadores do presente currí- culo, destacando-se a contextualização dos conteúdos, as competências pessoais envol- vidas – especialmente as relacionadas com a leitura e a escrita matemática –, bem como os elementos culturais internos e externos à Matemática. Em todos os Cadernos, os conteúdos estão organizados em oito unidades aproximadamen- te de mesma extensão, que podem corresponder a oito semanas de trabalho letivo. De acordo com o número de aulas disponíveis por semana, o professor explorará cada assunto com maior ou menor aprofundamento, ou seja, escolhe- rá uma escala adequada para o tratamento do mesmo. A critério do professor, em cada situa­ ção específica, o tema correspondente a uma das unidades pode ser estendido para mais de uma semana, enquanto o de outra unidade pode ser tratado de modo mais simplificado. É desejável que o professor tente contem- plar todas as oito unidades, uma vez que, juntas, compõem um panorama do conteúdo de cada volume e, muitas vezes, uma das uni- dades contribui para a compreensão das ­outras. ­Insistimos, no entanto, no fato de que somente o professor, em sua circunstância particular e levando em consideração seu in- teresse e o dos alunos pelos temas apresenta- dos, pode determinar adequadamente quanto tempo dedicar a cada uma das unidades. Ao longo dos Cadernos, são apresentadas, além de uma visão panorâmica de seu conteú- do, quatro Situações de Aprendizagem (1, 2, 3 e 4), que pretendem ilustrar a forma de abor- dagem sugerida, instrumentando o professor para sua ação em sala de aula. As atividades são independentes e podem ser exploradas com mais ou menos intensidade, segundo seu interesse e de sua classe. Em razão das limita- ções no espaço dos Cadernos, nem todas as unidades foram contempladas com Situações de Aprendizagem. Por isso, priorizou-se ex- plicitar a forma de abordagem dos temas nas atividades oferecidas. Em cada Caderno, sempre que possível são apresentados materiais disponíveis (textos, softwares, sites, vídeos, entre outros) em sin- tonia com a forma de abordagem proposta, que podem ser utilizados pelo professor para o enriquecimento de suas aulas. Compõem o Caderno, ainda, algumas con- siderações sobre a avaliação a ser realizada, bem como o conteúdo considerado indispen- sável ao desenvolvimento das competências enunciadas para este volume, em cada Situa- ção de Aprendizagem apresentada. MATEMÁTICA_CP_7s_Vol4_2013.indd 8 30/07/13 09:57
  10. 10. 9 Matemática – 7a série/8o ano – Volume 4 Conteúdos básicos do volume No volume 4 da 7a série/8o ano, o foco da aprendizagem será a Geometria. Abordare- mos temas importantes, como o cálculo de áreas, os teoremas de Tales e de Pitágoras e os prismas. Os conteúdos que foram objeto de estudo do volume 2, como os processos que envolvem estimativas, o trabalho com as operações algébricas e os produtos notáveis, podem ser agora, no volume 4, utilizados nas deduções das fórmulas das áreas das fi- guras mais comuns como o paralelogramo, o losango, o trapézio e o triângulo. Para esse tra- balho, nos apoiamos na expressão da área do retângulo (produto da medida da base pela medida da altura) e no conceito de equiva- lência de figuras planas, isto é, figuras que, mesmo diferentes, possuem a mesma área. O uso das fórmulas como recurso de síntese de ideias é apresentado ao aluno como um modo de orientar sua leitura do enunciado e das figuras, permitindo a identificação dos termos necessários à resolução do problema. Nesse sentido, ante uma situação que envol- va a determinação da área de um trapézio, por exemplo, a fórmula pode chamar a aten- ção do aluno a observar os lados paralelos, que são as bases, e a distância entre eles, a altura. Em algumas situações, esses valores não são fornecidos explicitamente, e é neces- sária uma análise mais detalhada da figura, com necessidade de prolongar um lado, traçar uma altura ou uma diagonal, por exemplo. Situações como essas reforçam a ideia de que a compreensão do problema e a aplicação da fórmula são etapas para resolvê-lo. Em seguida, será apresentada a propor- cionalidade que o teorema de Tales estabelece entre os segmentos determinados por retas pa- ralelas traçadas sobre transversais, fortalecen- do o vínculo entre a abordagem geométrica e a numérica. A partir de situações que exploram essa proporcionalidade de forma intuitiva, é sugerida uma demonstração desse teorema com o objetivo de validar as ideias adquiridas de maneira informal. Para contornar o pro- blema de segmentos incomensuráveis que a demonstração formal exige, e que é tema do volume 1 da 8a série/9o ano, os argumentos da demonstração encontram-se apoiados em cálculos de áreas de triângulos, o que permite aprofundar o estudo de áreas, tratado na Situa­ção de Aprendizagem anterior. Os teoremas de Tales e de Pitágoras apre- sentam-se como excelentes situações para o professor abordar a Matemática a partir de uma perspectiva histórica, o que entende- mos ser uma fonte de motivação e de criação de significados. Em relação ao teorema de Pitágoras, o desafio proposto foi criar, a partir de um con- junto de situações-problema, uma síntese de ideias que induzisse à equivalência entre a área do quadrado construído sobre a hipotenusa e a soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos de um triângulo retângulo. Com o teorema de Pitágoras, os problemas geométricos ganham uma qualidade dife- rente. A relação entre os lados do triângulo retângulo permite explorar as figuras geomé- tricas de novas maneiras. Vários conceitos MATEMÁTICA_CP_7s_Vol4_2013.indd 9 30/07/13 09:57
  11. 11. 10 associados a polígonos, como a determinação das medidas da altura e das diagonais, podem ser explorados de forma mais significativa. Nos volumes 3 e 4 da 8a série/9o ano, as noções sobre o teorema de Pitágoras são ampliadas, particularmente quando são apresentadas as relações métricas no triângulo retângulo e as razões trigonométricas. Com a compreensão do número π (pi) e o cálculo de área de círculos, proporemos uma generalização do padrão pita- górico para outras figuras, além do quadrado, sobre os lados do triângulo retângulo. Nós, professores, sabemos a importância dos teoremas de Tales e de Pitágoras tanto no estudo da Geometria no Ensino Fundamen- tal como na compreensão de vários fatos que serão apresentados aos alunos no decorrer de sua escolaridade básica. O teorema de Tales é uma ideia essencial aplicada nos estudos de semelhança e de razões trigonométricas, temas do volume 3 da 8a série/9o ano, nos estudos de colinearidade de pontos e de seções planas nos sólidos geométricos, objeto de estudo do Ensino Médio. A aplicação do teorema de Pitágoras é muito abrangente, podendo ser identificada na trigonometria, na geometria analítica, quando são estudadas a distân- cia entre pontos e as equações das cônicas, e na geometria espacial métrica. Na sequência, dando continuidade ao tra- balho iniciado na 6a série/7o ano, quando foram apresentadas as formas espaciais, o foco agora será o estudo particularizado do prisma. Algumas relações métricas e o cálculo da área da superfície e do volume tornaram o tra- balho com os prismas uma síntese de toda a Geometria discutida no volume, constituindo uma oportunidade para o professor discutir as conexões entre as duas geometrias: plana e espacial. Na Situação de Aprendizagem 1, o trabalho com áreas de figuras planas é iniciado com o estudo sobre equivalência de polígonos, isto é, polígonos que possuem a mesma área, embora sejam de formatos diferentes. Em seguida, pro- pomosalgunsprocedimentosdeestimativacom o auxílio de malhas. Para o cálculo da área de polígonos, exploramos a necessidade do uso e da demonstração de fórmulas, ­apoiando-nos na decomposição de figuras e no cálculo da área de retângulos, procedimento que con- sideramos conhecido pelos alunos. Na etapa seguinte, os exercícios propostos como exem- plos visaram explorar situações de análise de informações contidas no enunciado ou na figu- ra, para a aplicação de fórmulas. Vale ressaltar que os cálculos de áreas de polígonos estarão presentes em várias situações do volume, não se esgotando, portanto, nesse momento. Na Situação de Aprendizagem 2, apresenta- mos o teorema de Tales e suas aplicações em situações contextualizadas. Como ponto de partida, propusemos algumas situações que exploram, de forma intuitiva, a proprieda- de que o teorema estabelece. A demonstração do teorema de Tales, além de dar continuidade MATEMÁTICA_CP_7s_Vol4_2013.indd 10 30/07/13 09:57
  12. 12. 11 Matemática – 7a série/8o ano – Volume 4 aos processos de demonstração iniciados com as deduções das fórmulas das áreas dos polígo- nos, permite explorar uma habilidade frequen- temente aplicada na Matemática: a capacidade de generalização e validação de fatos apoiados em situações intuitivas. Na Situação de Aprendizagem 3, o teorema de Pitágoras é foco da aprendizagem. Nela, apresentamos uma sequência de atividades que explora, em uma perspectiva histórica, a análi- se de fatos relacionados a padrões numéricos e geométricos que, por sua vez, tornam-se argu- mentos na demonstração desse teorema. Esta Situação de Aprendizagem também apresenta um conjunto de exercícios exemplares que per- mite a identificação e a aplicação do teorema de Pitágoras em situações contextualizadas. Vale ressaltar que neste momento privilegiamos os cálculos que envolvem raízes de quadra­dos perfeitos, uma vez que os números irracionais são objeto de estudo do volume 1 da 8a série/ 9o ano. Caso o professor ache conveniente traba- lhar com esses números no contexto do teorema de Pitágoras, pode apoiar-se em aproximações ou mesmo no uso da calculadora. Dando continuidade ao estudo iniciado na 6a série/7o ano, quando foram trabalhados os poliedros e a relação de Euler, a Situação de Aprendizagem 4 trata dos prismas e dos cálcu- los métricos relacionados a eles, como a medida de diagonais, a área da superfície e o volume. O trabalho com os prismas também visa construir um padrão de formalização de conceitos relati- vos a objetos espaciais, que serão explorados na 8a série/9o ano, com os estudos do cilindro. Mais uma vez, vale lembrar que as situa- ções-problema propostas aqui têm por objeti- vo auxiliar a prática educativa. São exercícios exemplares que devem ser combinados àqueles que o professor acumulou em seus anos de do- cência. Fica a critério do professor a escolha e a exploração mais detalhadas das Situações de Aprendizagem propostas. Quadro geral de conteúdos do volume 4 da 7a série/8o ano do Ensino Fundamental Unidade 1 – Apresentação do teorema de Tales. Unidade 2 – Reconhecimento e aplica- ção do teorema de Tales em situações de contexto. Unidade 3 – Apresentação do teorema de Pitágoras. Unidade 4 – Reconhecimento e aplicação do teorema de Pitágoras em situações de contexto. Unidade 5 – Apresentação do cálculo de áreas de figuras planas. Unidade 6 – Áreas de figuras planas. Unidade 7 – Prismas. Unidade 8 – Problemas métricos envol- vendo área e volume de prismas. MATEMÁTICA_CP_7s_Vol4_2013.indd 11 30/07/13 09:57
  13. 13. 12 SITUAÇÕES DE APRENDIZAGEM Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 1 Nesta Situação de Aprendizagem, o foco do estudodaGeometriaestánocálculodaáreadefi- guras planas. Esse estudo teve início no volume 3 da 5a série/6o ano, quando o uso das malhas se combinou com a decomposição das figuras. Na 6a série/7o ano, volume 2, o trabalho de “ladrilhar o plano”possibilitou a apresentação dos polígo- nos regulares e algumas de suas propriedades. No volume 1 da 7a série/8o ano, aplicamos noções de área de retângulos para o desenvolvimento das expressões algébricas e dos produtos notá- veis. Dessa forma, fomos construindo a noção de que medir ou avaliar uma superfície é deter- minar quantas vezes ela contém outra superfície tomada por unidade. Ao mesmo tempo, foram deduzidas fórmulas para o cálculo da área de algumas figuras específicas, como o retângulo SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 ÁREAS DE FIGURAS PLANAS Tempo previsto: 10 aulas. Conteúdos e temas: áreas de figuras planas representadas em malhas, áreas de triângulos e quadriláteros. Competências e habilidades: estimar áreas de figuras regulares e irregulares; compreender di- ferentes processos de cálculos de áreas; aplicar fórmulas para cálculo de áreas de polígonos; identificar os termos necessários ao cálculo da área de um polígono. Estratégias: compor e decompor figuras planas, resolução de situações-problema. e o quadrado. O trabalho que propomos nesta Situação de Aprendizagem tem por objetivo explorar e ampliar as ideias e os processos apren- didos para o cálculo da área de figuras, refinando o olhar do aluno sobre a identificação dos termos essenciais para esse cálculo (medidas da base, da altura e das diagonais). Para o desenvolvimento desse tema, a no- ção intuitiva da equivalência de polígonos apresenta-se como central, servindo de apoio às deduções das fórmulas para o cálculo das áreas do paralelogramo, do losango, do tra- pézio e do triângulo. Em seguida, apresenta- mos alguns procedimentos para o cálculo de área de figuras desenhadas sobre malhas qua- driculadas. Nesta Situação de Aprendizagem, procuramos também explorar as diferenças entre os conceitos de área e perímetro e a apli- cação de conceitos algébricos na resolução de MATEMÁTICA_CP_7s_Vol4_2013.indd 12 30/07/13 09:57
  14. 14. 13 Matemática – 7a série/8o ano – Volume 4 problemas que envolvem o cálculo de áreas. Cabe ressaltar que nas demais Situações de Aprendizagem o cálculo da área de polígonos continuará sendo explorado. Equivalência de figuras planas Dois polígonos iguais têm, evidentemen- te, a mesma área. Dois polígonos diferentes, entretanto, podem ter a mesma área. Quando dois polígonos têm a mesma área, dizemos que eles são equivalentes. A noção de equivalência pode ser associada à equidecomposição de po- lígonos. Naturalmente, se dois polígonos são formados pelas mesmas partes, ou seja, se são equicompostos, eles têm a mesma área. Embora menos evidente, a recíproca desse teo- rema, isto é, que dois polígonos com a mesma área são equidecomponíveis, foi demonstrada por dois matemáticos, o húngaro F. Bolyai e o alemão P. Gerwien, e recebeu o nome de teo- rema de Bolyai-Gerwien. O importante, neste momento, é apresentar ao aluno, de forma intuitiva, as propriedades relativas a esses teoremas. Duas situações refe- rentes à forma e às dimensões dos polígonos devem ser consideradas: na primeira, a equiva- lência é facilmente percebida na forma, e por isso aplica-se à decomposição do polígono (um quadrado formando um retângulo a partir de um corte feito pela metade de seus lados); na segunda, ela é percebida pelas dimensões dos polígonos (o quadrado e o retângulo têm áreas iguais): 4 m 4m 8 m 2m Consideramos que a primeira forma é mais conveniente para introduzir esse tema por ser mais intuitiva e não exigir o uso de fórmulas ou cálculos. Pode-se iniciar a discussão apresentando a si- tuação de equidecomposição a seguir. Tomando um cartão no formato de um retângulo ABCD, com um corte em sua diagonal AC, pode-se di- vidi-lo em dois triângulos (1) e (2). Promovendo um movimento no triângulo (2), de modo que o lado BC coincida com o lado AD, obtém-se uma nova figura: o triângulo EFG. D A B C D A B (2) (1) C G E F (2) (1) MATEMÁTICA_CP_7s_Vol4_2013.indd 13 30/07/13 09:57
  15. 15. 14 Embora as figuras sejam diferentes, pode- mos dizer que o triângulo formado com as pe- ças do retângulo possui algo em comum com o retângulo: eles ocupam a mesma porção do plano, eles têm a mesma área. Neste momento o professor pode enunciar que “quando duas figuras planas possuem áreas iguais, dizemos que elas são equivalentes”. Atividade 1 Considere o hexágono regular ABCDEF. Com apenas um corte, construa um paralelo- gramo que seja equivalente a ele. Se desejar, com o auxílio de régua e compasso, construa um hexágono regular de papel e encontre um corte que o transforme em um paralelogramo. C A B DE F Cortando o hexágono pela diagonal CF, obtemos dois trapézios isósceles. Coincidindo os lados CD com AF, obtemos um paralelogramo. Para provar que não há excessos nem espaços vazios nesse encaixe, podemos argumentar que os dois trapézios têm a mesma altura e que os ângu- l­os formados no encaixe são suplementares. C A B DE F Como dissemos, um segundo caso que deve ser abordado na equivalência de figuras é aquele que envolve o cálculo de suas áreas com o uso das fórmulas, isto é, sem a ne­cessidade da decomposição. Por exemplo, estes retângu- los são equivalentes porque possuem a mesma área: A = 72 cm2 . 12 cm 6cm 4cm 18 cm Vale observar que, nessa perspectiva, o professor pode explorar o fato de que figu- ras equivalentes (mesma área) podem pos- suir perímetros diferentes. No caso, o pri- meiro retângulo possui 36 cm de perímetro, enquanto o segundo possui 44 cm. A aborda- gem de situações que envolvem cálculos de áreas e perímetros possibilita fixar melhor ambos os conceitos e preparar o aluno para estudar posteriormente a geometria espacial, quando observamos que prismas equivalentes, isto é, com mesmo volume, podem possuir áreas das faces diferentes. Esse fato permite um tipo muito interessante de investigação: o da cons- trução de embalagens com mesma capacidade e menor custo de material. Atividade 2 Dois retângulos são equivalentes. No primei- ro, a base mede 125 cm e a altura mede 80 cm. MATEMÁTICA_CP_7s_Vol4_2013.indd 14 30/07/13 09:57
  16. 16. 15 Matemática – 7a série/8o ano – Volume 4 No segundo, a base mede 50 cm e desconhece-se a altura. a) Descreva uma forma de encontrar a al- tura do segundo retângulo e encontre seu valor. Como os retângulos são equivalentes, eles possuem a mesma área, que, neste caso, é o produto da base pela altura. Dividin- do-se essa área pela medida da base do segundo, encontramos a altura pedida. Denominando a altura desconhecida por h, temos: A = 125 . 80 = 10 000 cm2 , logo 50 . h = 10 000 Portanto: h = 200 cm. b) Compare o perímetro dos dois retângu- los. O que você observa? O perímetro do primeiro será 410 cm, enquanto o do segundo será 500 cm. Obser­ va-se que, embora eles tenham a mesma área, seus perímetros são diferentes. A atividade a seguir explora, sob forma de investigação, uma situação que envolve áreas e perímetros. Atividade 3 Um retângulo tem base de 16 cm e altura de 4 cm. Encontre as medidas de um retângulo equivalente a este que possua o menor perímetro possível. 4cm 16 cm Para resolver essa atividade, o aluno pode inicialmente calcular a área do retângulo: 64 cm2 . A pesquisa sobre o retângulo de menor perímetro equivalente a esse, que pode ser feita por meio de uma tabela, deve conduzi- -lo a um quadrado de lado 8 cm. Trata-se de uma oportunidade para o professor reto- mar o conceito de que o quadrado é também um retângulo. Fórmula de Pick: calculando áreas por contagem Em 1899, o matemático tcheco Georg Alexander Pick publicou um artigo que apre- sentava uma fórmula para cálculo de áreas de polígonos cujos vértices eram pontos de uma malha quadriculada. Observando a composi- ção e decomposição de figuras planas na ma- lha, Pick percebeu um padrão que associava a área de um polígono à quantidade de pon- tos da malha que se situavam no seu interior e sobre seu perímetro. A fórmula de Pick, para um polígono cujos vértices são pontos de uma malha quadricu- lada, é: A B I= + − 2 1, em que A é a área do polígono, B é a quantidade de pontos da ma- lha situados sobre a fronteira do polígono e I é o número de pontos da malha existentes no interior do polígono. O professor pode propor aos alunos a construção de polígonos sobre malhas e o cálculo de suas áreas aplicando a fórmula de MATEMÁTICA_CP_7s_Vol4_2013.indd 15 30/07/13 09:57
  17. 17. 16 Pick. A  seguir sugerimos três figuras – um quadrado, um paralelogramo e um triângulo retângulo – e nos propomos a verificar se há equivalência entre os três polígonos. O pro- fessor pode observar, pela contagem de qua- dradinhos, a validade intuitiva da fórmula de Pick. Figura Valor de B Valor de I Cálculo Área Quadrado 8 1 A = + − 8 2 1 1 A = 4 u Paralelogramo 6 2 A = + − 6 2 2 1 A = 4 u Triângulo retângulo 6 0 A = + − 6 2 0 1 A = 2 u Pelo exposto observamos que o quadrado e o paralelogramo dados são polígonos equiva- lentes. Atividade 4 Em uma tábua foram fixados, à mesma dis- tância, alguns pregos formando um geoplano. Com um elástico o professor formou a figura a seguir. Aplique a fórmula de Pick para en- contrar a área do polígono ABCD. A D B C Na figura temos B = 5, I = 24, logo A = 2,5 + 24 – 1 = 25,5 u. Observe que o mesmo problema pode ser resolvido da for- ma indicada a seguir, pela diferença entre a área do retângulo completo e a área dos 4 triângulos retângulos que o contornam: D A C B A = − + + +9 5 3 4 2 2 7 2 5 1 2 2 4 2 . . . . . A u= − =45 19 5 25 5, , . MATEMÁTICA_CP_7s_Vol4_2013.indd 16 30/07/13 09:57
  18. 18. 17 Matemática – 7a série/8o ano – Volume 4 As atividades a seguir, embora explorem o cálculo de áreas de figuras irregulares, ainda se apoiam no uso das malhas quadriculadas. O método aqui proposto permite a estimativa de áreas e é empregado em várias atividades do cotidiano. Calculando áreas de figuras irregulares Aerofotogrametria é um conjunto de téc- nicas que permite a elaboração de mapea- mentos com base em fotografias tiradas por câmeras instaladas em aviões ou satélites. Fotogrametristas são os profissionais que analisam as formas e as dimensões dos obje- tos baseando-se nessas fotografias métricas. Esses profissionais têm recursos para deter- minar áreas de regiões como cidades, países ou parques ambientais. A seguir, propomos um método para determinar, de forma apro- ximada, áreas de ­regiões irregulares em um mapa. Neste caso, consideramos que os mapas foram construídos por meio de um sistema de projeção que preserva a propor- cionalidade entre as áreas representadas e as áreas reais (existem mapas que são construí- dos tendo em vista outras finalidades, como as relacionadas à navegação, e que não pre- servam tais proporções). Atividade 5 Para calcular o valor aproximado da área de uma região irregular, podemos desenhá-la sobre uma malha quadrangular, em que cada quadradinho indica uma unidade de área (1u), e utilizar o seguinte processo: 1. Conta-se o número de unidades da ma- lha totalmente contidas na região, indi- cada por A1 . 2. Conta-se o menor número de unidades da malha que envolve totalmente a re- gião, indicada por A2 . 3. Calcula-se a média aritmética entre as duas quantidades de unidades da malha contadas nos processos 1 e 2. A A A u= + = + =1 2 12 33 2 22,52 A A1  = 12 u A2  = 33 u MATEMÁTICA_CP_7s_Vol4_2013.indd 17 30/07/13 09:57
  19. 19. 18 4. Se a figura estiver em escala, devemos conhecer a área da unidade da malha para multiplicá-la pelo valor ­encontrado anteriormente. Utilize o procedimento que acabamos de descrever para calcular a área aproximada do Estado de Minas Gerais destacado no mapa a seguir. PARÁ MATO GROSSO MATO GROSSO DO SUL TOCANTINS MINAS GERAIS SÃO PAULO PARANÁ RIO DE JANEIRO 53 000 km 2 ESPÍRITO SANTO RIO GRANDE DO SUL SANTA CATARINA GOIÁS DF BAHIA PERNAMBUCO PARAÍBA ALAGOAS SERGIPE RIO GRANDE DO NORTE PIAUÍ CEARÁMARANHÃO AMAZONAS ACRE RORAIMA AMAPÁ RONDÔNIA Contamos 4 unidades da malha totalmente interiores à região do Estado de Minas Gerais e 18 unidades como o menor nú- mero de unidades da malha que envolve completamente a mesma região. Aplican- do-se o método descrito, temos: MATO GROSSO MATO GROSSO DO SUL TOCANTINS SÃO PAULO PARANÁ RIO DE JANEIRO ESPÍRITO SANTO GOIÁS DF BAHIA MINAS GERAIS MATO GROSSO MATO GROSSO DO SUL TOCANTINS SÃO PAULO PARANÁ RIO DE JANEIRO ESPÍRITO SANTO GOIÁS DF BAHIA MINAS GERAIS © WagnerBarbosaBatellaadaptadoporConexãoEditorial © WagnerBarbosaBatella adaptadoporConexãoEditorial © WagnerBarbosaBatellaadaptadoporConexãoEditorial MATEMÁTICA_CP_7s_Vol4_2013.indd 18 30/07/13 09:57
  20. 20. 19 Matemática – 7a série/8o ano – Volume 4 A A A u= + = + =1 2 2 4 18 2 11 Como cada unidade da malha corresponde a 53 000 km2 , temos: A = 11 . 53 000 = 583 000 km2 . A área ocupada pelo Estado de Minas ­Gerais é aproximadamente 583 000 km2 . É possível explorar esse exemplo sugerindo que os alunos pesquisem sobre a “área real”que o Estado de Minas Gerais ocupa. Como resul- tado dessas pesquisas, o valor deve aproximar-se de 588 400 km2 . A título de informação, Minas Gerais é o quarto Estado mais extenso do Bra- sil e representa, aproximadamente, 6,9% da área do território nacional. O professor pode sugerir, se achar opor- tuno, aos alunos que construam figuras irre- gulares sobre a malha e que determinem a área da figura aplicando as duas fórmulas e comparando os resultados. As fórmulas das áreas de figuras planas As noções sobre áreas apresentadas até o momento envolvem os retângulos e os proce- dimentos de estimativa e cálculo de áreas de figuras apoiados em malhas. Inicia-se agora a etapa de exploração do cálculo da área de ou- tros polígonos. O ponto de partida foi a primei- ra noção de área construída com os alunos: a área de retângulos. É necessário, portanto, que o seguinte enunciado seja significativo para os alunos: Se um retângulo tem lados de medidas a e b, então a sua área é dada por A = a . b. Com base na fórmula da área do retângulo, chegamos facilmente à expressão que estabe- lece a área de um quadrado de lado a: A = a2 . Para calcular a área de um triângulo, parale- logramo ou trapézio, necessitamos das medidas da base e da altura. A identificação da altura des­- sas figuras costuma se apresentar como uma dificuldade para os alunos. No caso do parale- logramo, cada lado pode ser considerado por base e a altura será a distância entre essa base e o lado paralelo a ela. No trapézio, as bases serão os lados paralelos, e a altura, a distância entre eles. Já no triângulo, cada lado pode ser consi- derado base. Nos dois quadriláteros citados é indiferente considerar se a altura passa ou não pelos vértices, pois ela é a mesma em qualquer lugar em que se meça a distância entre as parale- las. Em geral, no triângulo, a altura será relativa ao lado que se toma por base e deve passar pelo vértice oposto ao lado tomado por base. A aplicação de uma propriedade, de um teo- rema ou de uma fórmula na resolução de um problema é importante porque permite chegar- mos, de forma mais rápida, à solução, sem que tenhamos que proceder a todos os passos da demonstração. As fórmulas podem ser entendi- das como um resumo de raciocínios. Contudo, suas aplicações não podem prescindir de uma análise dos dados do problema e de uma “lei- tura” atenta da figura. Aseguir,vamosdeduzirasfórmulasdasáreas das figuras geométricas mais simples: parale- logramo, trapézio, losango e triângulo. Para isso, o conceito central a ser aplicado é o da equivalência entre cada uma dessas figuras e um MATEMÁTICA_CP_7s_Vol4_2013.indd 19 30/07/13 09:57
  21. 21. 20 retângulo. Sugerimos ao professor que apresente essas demonstrações usando figuras construídas em papelão e que discuta com o grupo de alunos cada passo, verificando se todos compreendem. Uma estratégia que pode ser aplicada é solici- tar, em alguns momentos, que um aluno retome os argumentos e as interpretações utilizados na demonstração e que, ao final desta, cada aluno faça seu registro no caderno. Área do paralelogramo A área do paralelogramo é obtida a partir da equivalência com a área de um retângulo de base e altura, respectivamente, congruentes à base e à altura do paralelogramo considerado. Vamos mostrar isso a partir do paralelogramo ABCD: A D B C Do vértice A, baixamos um segmento AE, perpendicular às paralelas AB e CD. Nesse caso, AE será a altura relativa às bases AB e CD. A h ED B C Vamos destacar o triângulo ADE e trans- portá-lo para o outro lado do paralelogramo, que, desse modo, vai transformar-se em um retângulo equivalente ABE’E. A h ED B C A h E  ’E C b B Observando a composição, percebemos que ambos os quadriláteros possuem a mesma al- tura, AE, e a mesma base AB. Logo, o mesmo produto da medida AE. AB, que determina a área do retângulo, determina também a área do paralelogramo. Denotando cada dimensão por h (altura) e b (base), temos que a área do paralelogramo é: A = b · h Área do losango Inicialmente, o professor pode lembrar aos alunos que chamamos de losango um paralelo- gramo equilátero, isto é, com lados congruentes. MATEMÁTICA_CP_7s_Vol4_2013.indd 20 30/07/13 09:57
  22. 22. 21 Matemática – 7a série/8o ano – Volume 4 Como o losango é um paralelogramo, sua área pode ser obtida pelo produto da base (lado do losango) pela altura (distância entre a base e o lado paralelo a essa base). A C B D B b h DA C A = b . h Outra possibilidade é mostrar que o losango ABCD equivale a um retângulo ACFE em que um lado é igual a uma das diagonais do losango e o outro é metade da outra diagonal. A CM FE B D D d 2 A oud= . 2 A D d= . 2 D Área do triângulo A área do triângulo pode ser deduzida a partir da área do paralelogramo. Dado um triângulo qualquer ABC, acrescentamos a ele o triângulo AB’C, idêntico a ele, formando um paralelogramo. A B C A h b B B’ C A área do triângulo é, portanto, igual à me- tade da área do paralelogramo, que é determi- nada pelo produto da medida da base b pela altura h. Logo, a área A do triângulo é igual a: A b h ou A b h = = 1 2 2 .     . Área do trapézio Neste momento, consideramos que os alu- nos já conhecem algumas ideias e procedimen- tos para demonstração de fórmulas de áreas. A fórmula da área do trapézio pode ser encon- trada por eles a partir de um desafio. Inicial- mente, o professor divide a sala em grupos de três alunos e propõe a seguinte atividade: MATEMÁTICA_CP_7s_Vol4_2013.indd 21 30/07/13 09:57
  23. 23. 22 Atividade 6 Trapézio é todo quadrilátero convexo que tem apenas dois lados paralelos. No trapézio GALO, dado a seguir, B é a medida da base GA (base maior) e b é a medida da base LO (base menor). A altura do trapézio é indi- cada por h e representa a distância entre as bases. A área do trapézio é dada pela expres- são: A B b h = +( ). 2 . Encontre uma maneira de demonstrá-la apoiando-se na figura a seguir. A LO b base menor base maior h altura B G Uma das possibilidades é compor um parale- logramo a partir da justaposição de um tra- pézio congruente ao dado, segundo a figura: base menor base menorbase maior h altura B + b Com ele, aplicando a fórmula da área do pa- ralelogramo, encontramos: A B b h = +( ). 2 . Terminadas as deduções dessas fórmulas, o professor pode propor aos alunos uma série de exercícios que já fazem parte de sua seleção, quando trata deste tema, ou que podem ser es- colhidos entre os vários encontrados na maio- ria dos livros didáticos de 7a série/8o ano. Um primeiro tipo de exercício pode ser aquele em que o aluno deve reconhecer na figura os dados essenciais para o cálculo de sua área. Em um segundo momento, o professor pode explorar enunciados e deixar a construção da figura a cargo do aluno. Outra etapa é retomar o cálcu- lo de áreas combinado aos conhecimentos de cálculos algébricos, como propomos a seguir. Atividade 7 A figura indica uma folha de latão que será usada na montagem de uma peça (as medidas estão em metro). x + 10 x x x x 2x + 4 2x + 4 a) Se calcularmos a área da superfície da folha de latão necessária à construção da peça, ela será uma expressão que depende do valor de x. Escreva essa ex- pressão. A área da folha pode ser calculada decom- pondo-a em quatro retângulos: A = x (2x + 4) + x (2x + 4) + x ( x + 10) + + (x + 10) . (2x + 4) A = 7x2  + 42x + 40. b) Encontre o valor da área dessa superfí- cie quando x = 4 metros. Sendo x = 4, substituindo este valor na ex- pressão anterior, temos: A = 7 . 42  + 42 . 4 + 40, A  =  320 m2 . MATEMÁTICA_CP_7s_Vol4_2013.indd 22 30/07/13 09:57
  24. 24. 23 Matemática – 7a série/8o ano – Volume 4 A atividade a seguir representa outro de- safio aos alunos, pois envolve o conhecimento de fórmulas e das relações entre as figuras en- volvidas. Tomando este problema como mo- delo, o professor pode sugerir aos alunos um pequeno projeto que explore sobreposições e dobraduras de figuras. Vale ressaltar que no percurso das outras Si- tuações de Aprendizagem, o cálculo da área é retomado, ampliando sua noção na geometria plana e espacial. Atividade 8 Separe duas folhas de papel sulfite. Dispo- nha uma sobre a outra como mostra a figura. Discuta com seu colega se a folha de cima co- briu a metade, mais da metade ou menos da metade da folha de baixo. Observando a figura, constatamos que o quadrilátero que cobre parte da folha pode ser decomposto em dois triângulos (ABC e BCD), sendo que ABC possui como base o lado maior do retângulo (b) e altura, o lado menor (h). Portanto, sua área equivale à metade da área do papel retangular. Como ainda resta computar a área do outro triân- gulo (BCD), podemos concluir que a área coberta é maior que metade da folha. A b C B h D Considerações sobre a avaliação Espera-se, ao final desta Situação de Apren- dizagem, que os alunos tenham ampliado suas estratégias para o cálculo de áreas, combinando métodos de estimativa e uso de malhas com o uso de fórmulas. As demons- trações das fórmulas se apresentam como um recurso não só de sua compreensão, mas também de estratégia que os alunos podem adotar, decompondo figuras em outras mais simples. A fórmula, como dissemos anterior- mente, deve auxiliar o pensamento do aluno na identificação dos elementos essenciais ao cálculo da área. Ela deve indicar a necessidade da determinação da base, da altura ou da dia- gonal e, para isso, o aluno pode aplicar várias noções relativas às medidas aprendidas ante- riormente, como o conceito de perímetro e de proporciona­lidade. O trabalho com áreas permite também retomar muitos casos de fato- ração (produtos notáveis). Nesse sentido, vale MATEMÁTICA_CP_7s_Vol4_2013.indd 23 30/07/13 09:57
  25. 25. 24 a pena explorar alguns ­exercícios em que os dados são ­indicados por letras. Lembramos que o cálculo de área é aplicado em várias situações cotidianas e profissionais. Além do material que o professor já possui para tra- tar desse tema, em vários livros e vestibulares podem ser encontrados bons exercícios para adaptá-los à linguagem da 7a série/8o ano. Para avaliação, sugerimos que o professor aborde problemas: ff que, partindo dos dados nas figuras, neces- sitem do uso direto da fórmula, o que exige a identificação dos elementos necessários ao cálculo da área; ff em que os alunos devam desenhar a figura e interpretar o enunciado; ff que envolvam termos algébricos; ff que permitam o uso de estratégias de esti- mativa. A avaliação, no caso, pode apontar esse caminho para o professor. A dificuldade em qualquer um dos aspectos pode ser supera­da com exercícios que tenham maior signi­fica- do para os alunos. Assim, por exemplo, se for identificada uma dificuldade no tratamento algébrico, o professor poderá partir de proble- mas com dados numéricos e ir, pouco a pou- co, acrescentando termos indicados por letras, como em um processo de generalização. Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do tema O professor pode encontrar um traba- lho muito interessante sobre a fórmula de Pick no site: http://cmup.fc.up.pt/cmup/ pick/index.html (acesso em: 16 maio 2013) ou no artigo “Como calcular a área de um polígono se você sabe contar” do livro Meu professor de Matemática e outras histórias, de Elon Lages Lima, editado pela SBM. Se o professor achar oportuno, pode apresentar aos alunos o site http://www.google.com/intl/ pt-PT/earth/index.html (acesso em: 16 maio 2013). Ele apresenta um modelo tridimensional do espaço, do globo terrestre e de várias regiões, construído a partir de fotos de satélites. Seria um interessante recurso para o professor iniciar a discussão sobre a importância da aerofotogra- metria. O professor pode encontrar em vários livros didáticos demonstrações e problemas in- teressantes sobre áreas de figuras geométricas. O texto “Temas e problemas elementares” (SBM – Coleção do Professor de ­Matemática), de que um dos autores é Elon Lages Lima, apresenta um capítulo sobre áreas com pro- blemas interessantes para serem resolvidos em sala de aula. Por fim, na RPM, Revista do Professor de Matemática, no 11, há um ar- tigo sobre polígonos equidecomponíveis, de auto­ria de Elon Lages, em que encontramos a de­monstração do teorema que envolve a equidecomposição de polígonos e de sua recí- proca, denominada teorema de Bolyai-Gerwien. MATEMÁTICA_CP_7s_Vol4_2013.indd 24 30/07/13 09:57
  26. 26. 25 Matemática – 7a série/8o ano – Volume 4 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2 TEOREMA DE TALES: A PROPORCIONALIDADE NA GEOMETRIA Tempo previsto: 10 aulas. Conteúdos e temas: teorema de Tales e suas aplicações em situações contextualizadas. Competências e habilidades: perceber a Matemática como conhecimento historicamente cons- truído; compreender o processo de demonstração; criar argumentos lógicos; explorar relações entre elementos geométricos e algébricos; desenvolver a capacidade de síntese e generalização de fatos; reconhecer situações que podem ser resolvidas pela aplicação do teorema de Tales. Estratégias: demonstração, resolução de situações-problema contextualizadas, criação de hipóteses. Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 2 O teorema de Tales, ou teorema dos seg- mentos proporcionais, geralmente é ­enunciado da seguinte forma: “Se um feixe de retas pa- ralelas, indicado pelas retas a, b e c, é inter- ceptado por duas transversais, d e e, então os segmentos determinados pelas paralelas sobre as transversais são proporcionais”. A a C c E e F B b D d AB BC DE EF = A ideia de proporcionalidade que ele expres- sa é importante na combinação de ­elementos ­geométricos e numéricos porque permite de- senvolver noções matemáticas, como: o estudo da semelhança de figuras e o estudo de perspec- tiva. São várias as possibilidades de aplicação do teorema de Tales em situa­ções-problema contextualizadas. A partir da noção de seme- lhança de figuras, em particular de triân- gulos, objeto de estudo do volume 3 da 8a série/ 9o ano, o teorema de Tales passa a ter uma posição subsidiária, pois a proporcionalidade que a semelhança sugere é mais abrangente que a proposta pelo uso desse teorema. A apresentação da proporcionalidade ex- pressa pelo teorema de Tales será feita, inicial- mente, de forma intuitiva, explorando paralelas traçadas em um triângulo. Em seguida, propo- mos uma demonstração desse teorema apli- cando o cálculo de áreas, recurso que evita o enfrentamento de grandezas incomensurá- veis, necessárias a sua demonstração formal, e que será objeto de estudo na 8a série/9o ano. Uma vez demonstrado o teorema, são sugeri- das algumas atividades que exploram sua apli- cação e de sua recíproca. MATEMÁTICA_CP_7s_Vol4_2013.indd 25 30/07/13 09:57
  27. 27. 26 A primeira noção a ser desenvolvida com os alunos é uma interpretação do teorema de Tales relativo aos triângulos, que pode ser expressa da seguinte forma: “Se uma reta paralela a um lado de um triângulo intersecta os outros dois lados em pontos distintos, então ela determina segmentos que são pro- porcionais a esses lados”. Isso significa que, dado um triângulo qualquer de vértices A, B e C, tomado o segmento DE paralelo à base BC, vale a proporção: AD AB AE AC = Ou seja, de modo equivalente: A B C AD DB AE EC = A D E B C Para que os alunos tenham um primeiro contato com essa proporcionalidade de seg- mentos em um triângulo, sugerimos que se desenvolva, de forma dialogada com a classe, a próxima atividade. A leitura da situação des- crita no problema deve vir acompanhada de sua figura. No primeiro momento, o profes- sor pode dirigir um pouco mais as noções de proporcionalidade geométrica que serão apren- didas, apoiando-se no conhecimento de pro- porcionalidade que os alunos já adquiriram. Atividade 1 Sílvio é um jardineiro que está trabalhando no projeto de um canteiro triangular, em uma esquina da praça de seu bairro. A B C Inicialmente, ele propõe que o canteiro seja composto por dois tipos diferentes de folha- gens rasteiras, e que a divisão entre elas seja feita por uma faixa paralela à base BC, indica- da na figura pelo segmento DE. Desse modo, Sílvio fez as seguintes medições no canteiro: AD = 4 m, DB = 4 m e AE = 3 m. Qual deve ser a medida de EC? A D 4 m 3 m 4 m E B C Neste momento, o professor pode deixar que os alunos construam algumas hipóteses sobre a medida de EC. Intuitivamente, eles podem MATEMÁTICA_CP_7s_Vol4_2013.indd 26 30/07/13 09:57
  28. 28. 27 Matemática – 7a série/8o ano – Volume 4 estabelecer o critério de que, sendo D o ponto médio de AB, E também o será de AC. Por- tanto, a medida de EC deve ser 3 metros. Concluída essa primeira fase, o professor pode propor o mesmo problema, mas admi- tindo, agora, que o ponto D não seja médio de AB. A D 2 m 1,5 m 6 m E B C Com essa atividade, buscamos evidenciar a proporcionalidade entre os segmentos deter- minados pela paralela nos lados do triângulo. Nesse caso, pode-se pensar de duas formas: percebe-se a proporcionalidade 2 para 1,5 ou 2 para 6. A medida encontrada para EC deve ser, portanto, 4,5 metros. Vamos aproveitar o mesmo enunciado para explorarmos outras proporções possíveis de se- rem construídas. Atividade 2 Pelas dimensões encontradas no primeiro projeto, Sílvio percebeu que poderia explorar melhor o canteiro dividindo-o mais uma vez por outra faixa paralela à base BC, indicada na figura pelo segmento FG. Isso permitiria plantar outro tipo de folhagem, deixando o canteiro ainda mais bonito. A D F 2 m 1,5 m 5 m 1 m E G B C Com base nessas dimensões encontre as medidas de EG e GC. O segmento EG = 3,75 m e GC = 0,75 m. Neste momento, é conveniente uma pe- quena generalização da proporcionalidade entre os lados do triângulo determinados pe- las paralelas à base. O professor pode apro- veitar para explorar as proporções entre as medidas de cada uma das partes como: AD AB AE AC = 2 8 1,5 6 ou AB FB AC GC = 8 1 6 , ou Professor, neste momento inicial é impor- tante observar se os alunos estabelecem correta- mente as posições dos termos na proporção. Nesse sentido, deve-se ressaltar a ordem dos termos que compõem a proporção. Atividade 3 Lucas queria estimar a medida mais extensa do pequeno lago que havia perto de sua casa. Pensando sobre o problema, ele inicialmente MATEMÁTICA_CP_7s_Vol4_2013.indd 27 30/07/13 09:57
  29. 29. 28 fez um esquema da situação, indicando essa extensão por AB e imaginando dois triân- gulos ABD e BCE, sendo as bases AD e EC paralelas (Figura 1). Depois, foi ao local e fincou 5 estacas, cada uma correspondente a um vértice dos triângulos de seu esquema. Contou com passos as medidas correspon- dentes aos lados AE, BD e CD e completou seu esquema como na Figura 2. C BE A D C BE 4 passos 9 passos 3 passos A D Figura 2 O procedimento criado por Lucas permite a resolução do problema? Se sua resposta foi afirmativa, expresse os cálculos efetuados por ele e o valor, em passos, por ele encontrado para a extensão AB. O objetivo desta atividade é fazer o aluno explicitar, por meio de uma argumenta- ção lógica, seu conhecimento a respeito da propriedade aprendida. No caso, o método aplicado por Lucas permite calcular a me- dida AB por considerar os segmentos AD e EC paralelos, determinando, nos lados do triângulo, segmentos proporcionais. Obser- vando que a razão de proporcionalidade é ​  BD  ____  DC  ​ = ​  9  __  3  ​= 3, podemos concluir que AB = 12 passos. Na atividade a seguir, apresentamos aos alunos a expressão do teorema de Tales rela­ cionada ao triângulo. Posteriormente ela será ampliada para a proporção entre os segmentos determinados por paralelas nas transversais. Atividade 4 De uma praça em formato retangular saem 4 avenidas, α, β, ϕ e θ, uma de cada vértice do retângulo. Ligando cada par de avenidas há três ruas, 1, 2 e 3, sempre paralelas em cada caso. Os pontos de encontro entre as ruas de mesmo número são nomeados pelas letras do alfabeto, A, B, C, D, etc. Observe na figura os pontos M e P. O ponto M está na rua “2 Leste”, enquanto o ponto P está na rua “3 Norte”. Figura 1 MATEMÁTICA_CP_7s_Vol4_2013.indd 28 30/07/13 09:57
  30. 30. 29 Matemática – 7a série/8o ano – Volume 4 Praça NORTE Avenida θ Avenida α M P Avenida β Avenida ϕ OESTE LESTE3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 SUL L K J A E I C G B F D H a) Considere apenas a parte Sul e as seguin- tes distâncias entre os pontos e verifique se é válida a proporção ​  GH  ____   HI ​ = ​  DE  ____   EF ​. GH = 50 m HI = 40 m DE = 60 m EF = 48 m A solução desta atividade exige um cuidado na leitura do enunciado e das informações contidas na gravura. ​  50  ___   40  ​= ​  60  ___   48  ​ ⇔ 50 . 48 = 60 . 40 = 2 400. b) A proporção verificada no item anterior é a expressão matemática do teorema de Tales, segundo o qual “se uma reta para- lela a um lado de um triângulo intersecta os outros dois lados em pontos distintos, então ela determina segmentos que são proporcionais a esses ­lados”. Considere agora o lado Leste da praça da figura e escreva a expressão matemática do teore- ma de Tales. AB BC DE EF = . c) Dado que AB = 36 m, calcule a medi- da BC. 36 60 48 28 8 BC BC m= = , . d) Na figura, a distância entre os pontos J e K é igual a 32 m. Sendo assim, calcule as medidas de KL a partir da proporciona- lidade entre os segmentos do lado Norte e de KL com base na proporcionalidade entre os segmentos do lado Oeste. JK KL AB BC KL KL m= = = 32 36 28 8 25 6 , , . JK KL GH HI KL KL m= = = 32 50 40 25 6, . MATEMÁTICA_CP_7s_Vol4_2013.indd 29 30/07/13 09:57
  31. 31. 30 Atividade 5 Se a praça da figura da atividade ante- rior for retirada do mapa, observa-se que as avenidas θ e ϕ encontram-se no ponto X, enquanto as avenidas α e β encontram-se no ponto Y. NORTE Avenida θ Avenida α M P Avenida β Avenida ϕ OESTE LESTE3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 SUL L K J A E I C G B F D H Y X Adotando as medidas fornecidas ou cal- culadas na atividade anterior, e dado que JX = 10 m e AY = 8 m, calcule: a) GX OESTE X I G K J H L 3 2 32 m 50 m 10 m 1 JX JK GX GH GX GX m= = = = 10 32 50 125 8 15 625, JX JK GX GH GX GX m= = = = 10 32 50 125 8 15 625, . b) DY M LESTE A Y E C B F D 3 2 36 m 8 m 60 m 1 AY AB DY DE DY DY m.= ⇒ = ⇒ = = 8 36 60 40 3 13 33, ...  MATEMÁTICA_CP_7s_Vol4_2013.indd 30 30/07/13 09:57
  32. 32. 31 Matemática – 7a série/8o ano – Volume 4 A próxima etapa do nosso estudo contem- plará a demonstração do teorema de Tales. Para dar início a ela, sugerimos que o professor aproveite a situação para fazer considerações históricas sobre a vida de Tales, remetendo às formas particularmente diferentes que o co- nhecimento matemático tinha nas civilizações egípcia e grega. Uma perspectiva histórica: quem foi Tales? Na Ciência, temos alguns exemplos de pro- priedades ou fórmulas vinculados a nomes de seus proponentes como: a fórmula de Bhaskara, as leis de Newton, as leis de Kepler, a geometria euclidiana e os teoremas de Tales e de Pitágoras. Esse nexo entre “autor e obra” serve, muitas vezes, como fonte de argumentação e indica- ção da aplicação da ideia que ele representa. Dessa forma, é comum usarmos expressões como: “aplique Tales”, “resolva por Pitágoras” ou “resolva por Bhaskara”. A noção expressa pelo teorema de Tales abre um grande espectro de novos problemas geométricos. No tema desta Situação de Aprendizagem, dois fatos devem ser destacados: quem foi ­Tales? O que é um teorema? Com a primeira questão, o professor tem a oportunidade de inserir a história da Mate- mática em seu curso. A abordagem histórica possibilita o combate à visão do conhecimento como pronto e acabado. Nesse caso, ela per- mitirá uma comparação entre formas diferen- tes de fazer Matemática. A forma empírica, do “ensaio e erro”, que caracteriza a mate- mática dos egípcios e babilônios, tornou-se o fundamento da forma dedutiva empregada pelos gregos. É impossível omitir uma ou outra na construção do conhecimento geomé- trico. Tales é o personagem que circula entre as riquezas culturais de ambas as civilizações e que, criando seus próprios nexos, forma a base do que seria a tradição grega de fazer Matemá- tica. Com Tales, a Geometria se transformou de conhecimento empírico, cujos resultados­ se deduzem diretamente da prática, em conhe- cimento dedutivo, baseado na aplicação das leis da lógica. Contudo, os trabalhos de Tales e Pitágoras ainda careciam de uma organização, e essa tarefa coube a outro geômetra grego, Euclides, em meados do século III a.C. Tales viveu por volta de 585 a.C. e apren- deu muito com a matemática egípcia. À sua vida estão associadas grandes façanhas, como a de prever um eclipse e a de medir a altura da pirâmide de Quéops observando sua som- bra. Pelo que se sabe, é o primeiro personagem da história a quem se atribuem descobertas na Matemática desligadas da Geometria do mundo real. Atividade 6 Inicialmente, o professor pode orientar uma pesquisa sobre a vida de Tales. É possível que haja controvérsias entre algumas informa- ções que os alunos encontrarão. Isso, como dito anteriormente, deve-se ao fato de serem poucos os registros sobre sua vida. O profes- sor pode ilustrar esta aula com o apoio de um mapa, localizando o Egito, a Grécia e, parti- cularmente, a cidade de Mileto, antiga cidade grega, hoje pertencente à Turquia. MATEMÁTICA_CP_7s_Vol4_2013.indd 31 30/07/13 09:57
  33. 33. 32 A noção de teorema A atividade prática dos povos egípcios e babilônios levou à descoberta de um gran- de número de fatos geométricos. Esses eram aprendidos indutivamente por meio de pro- cessos experimentais. No contato com essa produção, os geômetras gregos perceberam que alguns desses fatos podiam ser obtidos a partir de outros, por deduções lógicas. Isso lhes sugeriu que algumas verdades geomé- tricas, tomadas como mais simples e gerais, serviriam de base para a dedução de outras propriedades geométricas. Tendo por base um pequeno número de afirmações tomadas como verdadeiras, deno­ minadas axiomas ou postulados (do grego, digno de confiança), demonstrava-se um con- junto de proposições geométricas, ao qual se deu o nome de teoremas. Essa foi uma das maiores contribuições gregas ao conhecimen- to matemático e científico: o método deduti- vo. Tales é considerado um dos fundadores da geometria dedutiva. Como dissemos, no início desta Situação de Aprendizagem, queremos demonstrar que “se um feixe de retas paralelas é intersectado por duas transversais, então os segmentos de- terminados pelas paralelas sobre as transver- sais são proporcionais”. Em um processo de demonstração, o des- taque fica por conta das argumentações que devem ter por base conhecimentos já adquiri- dos. A seguir propomos uma apresentação do teorema de Tales, cuja base da argumentação é o conhecido cálculo da área de um triângulo. A vantagem dessa abordagem é não precisar se referirasegmentosincomensuráveis,nemàno- çãodesemelhançasdefiguras,temasda8a série/ 9o ano. Dando continuidade ao trabalho de demonstrações, que teve início com as áreas, o objetivo aqui é apresentar aos alunos uma forma característica de fazer Matemática, for- ma essa que será também abordada na Situa- ção de Aprendizagem 3, cujo tema é o teorema de Pitágoras. A demonstração do teorema de Tales Atividade 7 Para a demonstração do teorema de Tales, iniciaremos por sua interpretação relativa aos triângulos, já explorada de forma intuitiva nas atividades anteriores. Segundo esse teorema: “Se uma reta paralela a um lado de um triân- gulo intersecta os outros dois lados em pontos distintos, então ela determina segmentos que são proporcionais a esses lados”. Inicialmente vamos considerar um triân- gulo qualquer de vértices A, B e C. “Se uma reta paralela a um lado de um triângulo (considerado por base) intersecta os outros dois lados em pontos distintos, então ela de- termina segmentos que são proporcionais a esses lados”. O professor pode começar a ati- vidade construindo com os alunos a seguinte representação: dado um triângulo qualquer de vértices A, B e C, tomado o segmento DE paralelo à base BC, queremos mostrar que é válida a proporção ​  AD  ____   DB ​ = ​  AE  ____   EC  ​ . MATEMÁTICA_CP_7s_Vol4_2013.indd 32 30/07/13 09:57
  34. 34. 33 Matemática – 7a série/8o ano – Volume 4 A B C A D E B C Começamos por estudar a área do triân- gulo ADE: ela pode ser calculada de duas formas distintas: A D E B C A D E B C AADE  =  1 2  . AE . DG ou AADE  =  1 2  . AD . EF Dessa forma, temos: AE . DG = AD . EF, que é o mesmo que a pro- porção ​  AE  ____   AD  ​ = ​  EF  ____   DG  ​ (1) Vamos agora observar os triângulos DEC e BDE. Destacando que a base dos dois triân- gulos é DE e que a altura correspondente a ela é também a mesma (h), podemos concluir que possuem a mesma área. ACDE  = ABDE A D E G B C h F A D E B C h (h: altura relativa à base DE, ou ao vértice C, considerando o triângulo CDE; ou ao vértice B, considerando o triângulo BDE). Contudo, podemos determinar a área des- ses triângulos de outra forma: ACDE  =  1 2  . CE . DG e ABDE  =  1 2  . BD . EF Logo, CE . DG = BD . EF e ​  EC  ____   BD ​ = ​  EF  ____   DG  ​ (2) F G MATEMÁTICA_CP_7s_Vol4_2013.indd 33 30/07/13 09:57
  35. 35. 34 Comparando as expressões (1) e (2), temos que: ​  EC  ____   BD​= ​  AE  ____   AD  ​ Ou, como preferimos: ​  AD  ____   DB ​ = ​  AE  ____   EC  ​ A B D DB EC C E AD AE Com essa demonstração construímos a pro- porcionalidade entre as partes dos lados do triângulo obtidas por segmentos determinados por uma paralela a uma base. Outro passo nesse estudo é generalizar essa proporção quando se toma a parte e o todo dos segmen­tos deter- minados por uma paralela à base. Isso é pos- sível por meio da adição da área do triân­gulo ADE às áreas dos triângulos CDE e BDE. Como vimos, ACDE = ABDE , logo: ACDE + AADE = ABDE + AADE , isto é: AACD = AABE A B D C E F A D CB E G h Observando os triângulos ACD e ABE, podemos deduzir que: AACD = ​  1  __   2  ​ AC . DG e AABE = ​  1  __   2  ​ AB . EF Como as áreas são iguais temos que: ​  1  __   2  ​  AC . DG = ​  1  __   2  ​  AB . EF e, portanto, AC . DG = AB . EF, que pode ser escrito como a seguinte proporção: ​  EF  ____   DG  ​ = ​  AC  ____   AB  ​ Mas, como visto em (2) ​  EC  ____   BD ​ = ​  EF  ____   DG  ​, logo ​  EC  ____   BD ​ = ​  AC  ____   AB  ​ Portanto, concluimos que: ​  AB  ____   DB ​ = ​  AC  ____   EC  ​ A B D DB EC C EAB AC Outra forma de chegarmos à mesma con- clusão é por meio da adição de uma unidade em cada termo da proporção encontrada an- teriormente. Assim: ​  AD  ____   DB ​ + 1 = ​  AE  ____   EC  ​ + 1 ​  AD + DB  _________   DB ​= ​  AE + EC  _________   EC  ​ ​  AB  ____   DB ​ = ​  AC  ____   EC  ​ Essa demonstração que fizemos, contudo, não permite uma generalização para a interpre- tação do teorema de Tales como: “Se um feixe de retas paralelas é intersectado por duas trans- versais, então os segmentos determinados pelas paralelas sobre as transversais são proporcio- nais”. Isto porque a demonstração feita até aqui está associada à proporcionalidade que envolve segmentos que têm uma de suas extremidades num vértice do triângulo. Para essa generaliza- ção propomos o seguinte procedimento: 1. Tomamos inicialmente o mesmo triân- gulo ABC e prolongamos dois de seus MATEMÁTICA_CP_7s_Vol4_2013.indd 34 30/07/13 09:57
  36. 36. 35 Matemática – 7a série/8o ano – Volume 4 lados de modo a criar uma nova base PQ, paralela à BC. A B P Q C 2. Da mesma forma que criamos a propor- ção ​  AD  ____   DB ​ = ​  AE  ____   EC  ​ , encontraremos a pro- porção ​  AB  ____   BP ​ = ​  AC  ____   CQ  ​, que pode ser escrita como  ​  AC  ____   AB  ​ = ​  CQ  ____   BP ​ . 3. Retomamos a proporção ​  AB  ____   DB ​ = ​  AC  ____   EC  ​ , que é equivalente à ​  AC  ____   AB  ​ = ​  EC  ____   DB ​ . 4. Comparando as proporções dos itens 1 e 2, podemos escrever que ​  CQ  ____   BP ​= ​  EC  ____   DB ​ e, portanto, estamos aptos a concluir que  ​  DB  ____   BP ​  = ​  EC  ____   CQ  ​ . A B D P Q C E Com essa proposição, o teorema de Tales torna-se independente da figura do triângulo, podendo ser interpretado como proporções entre segmentos obtidos por retas paralelas e transversais. Vale salientar que a recíproca desse teore- ma é verdadeira. Isto é: dado um triângulo de vértices A, B e C, tomando-se os pontos D e E sobre os lados ​ ÄÄÄ  AB​e ​ ÄÄÄ  AC​, respectivamente, se ​  AD  ____   DB ​ = ​  AE  ____   EC  ​ , então ​ ÄÄÄ  BC​é paralelo a ​ ÄÄÄ  DE​. Determinação da distância entre dois pontos inacessíveis O teorema de Tales é aplicado a várias situa- ções em que se necessita determinar a distância entre dois pontos inacessíveis entre si. O objeti- vo das atividades propostas a seguir é colocar o aluno diante de situações-problema que envol- vem, de forma prática, um método de determi- nação de distâncias usando o teorema de Tales. Atividade 8 Como alternativa à crise energética, uma cidade resolveu construir uma pequena hidre- létrica aproveitando a correnteza de um rio situado nas suas proximidades. A figura a se- guir representa parte do projeto da construção da barragem da hidrelétrica. Considerando DE paralelo a BC, qual deve ser o compri- mento da barragem a ser construída? 24 m B x D 18 m C 60 m E A MATEMÁTICA_CP_7s_Vol4_2013.indd 35 30/07/13 09:57
  37. 37. 36 Observando as condições da figura, podemos montar a seguinte proporção: ​  24  ___ x ​= ​  18  ___  42  ​ , o que implica x = ​  24 . 42  ______  18  ​= 56. Logo, a barragem terá 56 m de comprimento. Atividade 9 Informações sobre temperaturas são mui- to úteis e frequentes no nosso cotidiano. Nas previsões do tempo são comuns as informa- ções das temperaturas máxima e mínima no decorrer de um período. Quando nos sentimos doentes, uma das primeiras providências a ser tomada é medir a temperatura do corpo, com o auxílio de um termômetro. A escala térmica mais utilizada no Brasil é a Celsius (ºC). Seu nome é uma homenagem ao astrônomo sue- co Anders Celsius (1701-1744), que a propôs em 1742. A escala térmica considera, como referências, o ponto de congelamento e o pon- to de ebulição da água. Na escala Celsius, o ponto de congelamento é 0 ºC e o de ebulição, 100  ºC. Contudo, existem diversas escalas tér- micas. Nos Estados Unidos e na Inglaterra, a escala utilizada é a Fahrenheit (ºF), que con- sidera 32  ºF o ponto de fusão (congelamento) e 212  ºF o ponto de ebulição. De posse desse conhecimento, podemos montar o seguinte diagrama: 100 Tc 0 ºC 212 ebulição da água fusão do gelo Tf 32 ºF a) Encontre a expressão que determina a conversão da temperatura na escala Celsius para a escala Fahrenheit. 100 Tc 0 ºC 212 ebulição da água fusão do gelo Tf 32 ºF T Tc f− − = − − 0 100 0 32 212 32 T Tc f 100 32 180 = − T T c f = −5 32 9 .( ) b) O noticiário informa que em Londres a temperatura é de 46 ºF. Converta essa temperatura em grau Celsius e res- ponda: está frio em Londres? Aplicando a expressão encontrada no item anterior, temos que: Tc = ​  5 (46 – 32)  __________  9  ​= ​  5 . 14  _____  9  ​7 7,8 ºC. Temperatura de um ambiente frio. c) Em contato com um cidadão america- no, que deseja passar as férias de ­janeiro no Brasil, uma agente informa que, nes- se período, a temperatura média em certa cidade no Nordeste brasileiro é de 32 ºC. Sem saber julgar a temperatura pela escala Celsius, o turista pede que a agente informe a temperatura na esca- la Fahrenheit. Qual é a medida encon- trada pela agente nessa escala? MATEMÁTICA_CP_7s_Vol4_2013.indd 36 30/07/13 09:57
  38. 38. 37 Matemática – 7a série/8o ano – Volume 4 Podemos aplicar novamente a expressão dada no primeiro item ou aplicar o teorema de Tales nas escalas: 32 0 100 0 32 212 32 − − = − − Tf 32 100 32 180 = −Tf Tf − =32 32 180 100 . T Ff = + =57 6 32 89 6, , º 100 32 0 ºC 212 ebulição da água fusão do gelo Tf 32 ºF A temperatura de 32ºC corresponde a 89,6ºF. Caso o professor queira, pode ainda explo- rar uma terceira escala térmica, o Kelvin (K). O zero Kelvin, quando convertido para grau Celsius, equivale à temperatura de –273 ºC. 100 0 –273 ºC 373ebulição da água fusão do gelo 273 0 K A atividade a seguir, embora envolva a relação entre duas unidades de medidas diferentes, também pode ser interpretada como uma situação de aplicação do teore- ma de Tales. Essa ideia é explorada de forma mais sistemática no estudo referente a fun- ções lineares. Atividade 10 Para apoiar uma planta trepadeira, um jar- dineiro constrói, com algumas varas de bambu, uma treliça. Tomando duas varas transversais, ele fixou, com corda, outras três varas com a intenção de que elas ficassem paralelas umas às outras. Terminada a construção, ele efetuou algumas medidas que estão expressas na figura a seguir. Com base nas medidas apresentadas, é possível afirmar se ele conseguiu o parale- lismo desejado? Em caso negativo, o que ele deverá fazer para consegui-lo? 20 cm 26 cm 30 cm 36 cm A intenção dessa atividade é explorarmos a recíproca do teorema de Tales. No caso, aplicando as proporções dos segmentos, te- mos que 20 26 30 36 ≠ . Logo, os três bambus não estão paralelos. 20 cm 26 cm 30 cm x MATEMÁTICA_CP_7s_Vol4_2013.indd 37 30/07/13 09:57
  39. 39. 38 Para resolver essa situação, ele poderá pen- sar de algumas formas, entre elas, ampliar o segmento de 36 cm para 39 cm, pois indi- cando seu segmento correspondente por x, en- contramos na proporção 20 26 = 30 x , x = 39 cm. Considerações sobre a avaliação Ao final desta Situação de Aprendizagem, espera-se que os alunos tenham compreendi- do os princípios do método de demonstra- ção em Geometria e que tenham ampliado seus conhecimentos sobre proporcionalida- de, observando que a Geometria permite o enfrentamento de várias situações-problema contextualizadas. Espera-se também que a abordagem histórica tenha sido um elemento motivador do curso. É comum alguns alunos reagirem de forma negativa à perspectiva his- tórica da Matemática, essencialmente por- que ela exige leitura e compreensão de textos. Vale lembrar que as competências leitora e escritora são preocupações permanentes des- te Projeto, e que, portanto, devemos manter o firme propósito de proporcionar aos alu- nos Situações de Aprendizagem em que elas sejam exploradas. O reconhecimento de uma situação em que se aplica o teorema de Tales ou sua recíproca é es- sencialnestaetapadotrabalho.Na8a série/9o ano, quando o foco da aprendizagem for semelhança de figuras, em especial semelhança de triângulos, essa habilidade será retomada e aprofundada. Para avaliação, o professor pode incluir ou- tros problemas que já fazem parte de sua lista de exercícios ou pesquisar, nos livros didáticos, outras situações que permitam ao aluno aplicar, em diferentes contextos, o teorema de Tales. Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do tema No livro As demonstrações em Geometria, de A.I.Feitosa(ColeçãoMatemáticaAprendendo e Ensinando, da Editora Atual e Editora Mir), encontramos um grande suporte conceitual sobre o tema “demonstrações geométricas”. O livro O teorema do papagaio, de Denis Guedj (Cia. das Letras), é uma obra instigante, que nos leva a pensar sobre vários problemas mate- máticos a partir de uma perspectiva histórica. Particularmente no capítulo 3, o personagem Pierre Ruche, um antigo livreiro francês, aborda a vida e as façanhas de Tales de forma simples e muito envolvente, afinal trata-se de “um thriller da história da Matemática”. É um livro para jovens repleto de enigmas e fatos importantes da história da Matemática. O livro História da Matemática, de Carl Boyer, é outra referência importante quando pensamos na abordagem histórica da Mate- mática. O livro Euclides, a conquista do espaço, do matemático Carlos Tomei (publicado pela Editora 34, na Coleção “Imortais da Ciência”), está escrito em linguagem acessível e apresen- ta os fatos essenciais do processo de axioma- tização que Euclides inaugura na Ciência. Na RPM (Revista do Professor de Matemática), nos números 21 e 23, encontramos uma dis- cussão sobre a forma como demonstramos o teorema de Tales. MATEMÁTICA_CP_7s_Vol4_2013.indd 38 30/07/13 09:57
  40. 40. 39 Matemática – 7a série/8o ano – Volume 4 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 O TEOREMA DE PITÁGORAS: PADRÕES NUMÉRICOS E GEOMÉTRICOS Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 3 Assim como no teorema de Tales, no en- sino do teorema de Pitágoras a perspectiva histórica se justifica como elemento motiva- dor da aprendizagem. Nesse caso, a tarefa do professor é facilitada pelo grande número de publicações sobre o tema. Aqui comentaremos as diferenças entre a matemática aplicada dos egípcios e a mate- mática abstrata dos gregos, destacando a im- portância da combinação entre elas; afinal, a abstração permite que essas noções sejam aplicadas em diferentes contextos. A forma- lização do conhecimento feita por Pitágoras, a partir de dados empíricos dos egípcios, for- talece tanto o papel da história como o da modelagem no ensino de Matemática. As atividades iniciais permitem a constru- ção da lógica que servirá de referência para o professor demonstrar o teorema de Pitágo- ras, que pode ser enunciado como: Tempo previsto: 13 aulas. Conteúdos e temas: teorema de Pitágoras; demonstrações geométricas e algébricas. Competências e habilidades: justificar um resultado a partir de fatos considerados mais sim- ples; identificar padrões numéricos e geométricos; interpretar enunciados; perceber a Mate- mática como conhecimento historicamente construído. Estratégias: proposição de atividades de investigação, resolução de problemas. Em um triângulo retângulo, a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados cons- truídos sobre os catetos. a2 = b2 + c2 b A C c a B b2 c2 a2 Lembramos que o teorema de Pitágoras é re- tomadona8a série/9o anoemdoismomentos:no MATEMÁTICA_CP_7s_Vol4_2013.indd 39 30/07/13 09:57
  41. 41. 40 volume 3, quando o foco será as relações mé- tricas no triângulo retângulo, e no volume 4, quando, após os estudos relativos ao número p (pi) e à área dos círculos, o teorema é genera- lizado com a exploração de qualquer figura se- melhante sobre os lados do triângulo retângulo. Uma perspectiva histórica Assim como na aprendizagem do teorema de Tales, propomos ao professor que organize, juntoaosalunos,umaatividadedepesquisaso- bre Pitágoras e sua visão de mundo. No debate deapresentação,oprofessorpodebuscarpara- lelos entre Tales e Pitágoras, como serem gre- gos, terem vivido parte de suas vidas no Egito, interessarem-se por assuntos mais abstratos da Matemática e aplicarem o processo de- monstrativo neste campo de conhecimento. Pitágoras de Samos (ilha do mar Egeu) foi um filósofo que exerceu, no século VI a.C., forte influência na civilização grega. Em seus traba- lhos, identificamos a originalidade de constru- ção de um sistema formal de reconhecimento, classificação e exploração de padrões numéri- cos e geométricos. O centro da motivação das pesquisas de Pitágoras e seus discípulos en- contra-se na ideia de conceber uma ordenação matemática do cosmos. Os pitagóricos acredi- tavam que os segredos espirituais do Universo poderiam ser desvendados por relações numé- ricas e, para eles, os números deixaram de ser utilizados somente para contagem e revelaram outras propriedades. Embora a motivação pos- sa ser alvo de críticas, deve-se admitir, contudo, que ela gerou uma contribuição fantástica ao conhecimento matemático. Consideramos os fatos relacionados às pró- ximas três atividades como essenciais na cons- trução lógica da demonstração do teorema de Pitágoras. O objetivo é colocar o aluno diante de situações-problema próximas às enfrenta- das pelos pitagóricos. Esse resgate combina a história da Matemática e a resolução de pro- blemas em uma só abordagem de ensino. Atividade 1 É muito difícil estudar Geometria sem o apoio de desenhos. Os gregos, em muitas de suas demonstrações geométricas, apoiavam- -se na observação de figuras. A figura é um importante veículo para a imaginação ma- temática. Para ilustrar o valor da figura no processo demonstrativo, pode-se recorrer à história da morte de Arquimedes. Uma das várias versões narra que Arquimedes encon- trava-se diante de uma figura, quando sua cidade, Siracusa, foi invadida pelo exército romano. Um soldado, inclinando-se sobre uma figura desenhada na areia, ordenou a ­Arquimedes que o acompanhasse, ao que este teria respondido: “Não perturbe meus círculos”. Sentindo-se desafiado, o soldado desembainhou a espada e o matou. Um dos problemas clássicos da Antiguidade grega era o da duplicação da área do quadra- do. Imagina-se que Tales tenha sido o primeiro a demonstrá-lo. No entanto, esse problema não escapou também das anotações de Pitágoras. O problema consiste em, dado um quadrado, en- contrar outro que tenha o dobro de sua área. Na malha a seguir construiu-se um quadrado. Encontre outro quadrado cuja área seja o do- bro da dele. MATEMÁTICA_CP_7s_Vol4_2013.indd 40 30/07/13 09:57
  42. 42. 41 Matemática – 7a série/8o ano – Volume 4 Se o aluno buscar a forma algébrica para resolver este problema, ele encontrará uma raiz não inteira, que dificilmente poderá ser obtida, a não ser por aproximação. A exemplo dos antigos gregos, podemos resol- ver o problema evitando o número irracio- nal. Para isso, é preciso que nos apoiemos no método figurativo, como mostramos na solução. A1 A2 A3 A4 A5 Em caso de dificuldade, o professor pode indicar alguns passos para que os alunos re- solvam o problema. Um deles é comentar que a área do quadrado preto é igual à de dois triângulos retângulos isósceles, obtidos pelo corte do quadrado pela sua diagonal. A atividade a seguir retoma as ideias trata- das no volume 1 da 7a série/8o ano, quando as propriedades algébricas foram resultado de uma interpretação de padrões geométricos. Naquela ocasião, o foco estava na expressão algébrica associada ao padrão numérico; agora o objetivo é utilizar a forma figurada da sequência como recurso para a compreen­são de um fato numérico. Atividade 2 Na investigação de padrões em sequên- cias numéricas, Pitágoras apoiava-se na representação figurativa destes. Números figurados são aqueles representados por determinada configuração geométrica. A forma figurada permite observar a “anatomia” da sequência. A seguir, cada termo da se- quência está representado por certa dispo- sição de quadradinhos. a) Faça a representação figurativa dos pró- ximos dois números da sequência. MATEMÁTICA_CP_7s_Vol4_2013.indd 41 30/07/13 09:57
  43. 43. 42 b) Associando cada figura ao número de quadradinhos que a compõem, escre- va a sequência numérica que corres- ponde à sequência figurativa. Você reconhece os termos dessa sequência? É uma sequência de números ímpares {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13}. c) Observando a sequência figurativa, percebemos que o primeiro elemento é um quadrado de uma unidade de lado. Quando encaixamos o segundo termo no primeiro, completamos um quadrado cujo lado tem uma unidade a mais que o primeiro termo. Numeri- camente encontramos a seguinte rela- ção: 1 + 3 = 4. 1 1 + 3 = 4 1 + 3 + 5 = 9 1 + 3 + 5 + 7 = 16 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 Quando encaixamos o terceiro termo nesse quadrado, completamos um novo quadrado que tem por lado, novamente, uma unidade a mais que o anterior. Numericamente temos: 1 + 3 + 5 = 9. Em cada encaixe em um quadra- do de lado x obtemos um quadrado maior, de lado x + 1. Repita essa operação com os outros termos da sequência. Organize suas anotações e, refletindo um pouco mais sobre as condições oferecidas no problema, expresse, em palavras, uma conclusão que relacione o quadrado dos números naturais com os números ímpares. Da sequência apresentada podemos dizer que o quadrado de um número natural n, não nulo, pode ser obtido pela soma dos n primei- ros números ímpares. Atividade 3 A propriedade que concluímos na ativida- de anterior foi uma das que mais fascinaram Pitágoras. a) Aplique-a para encontrar o quadrado do número 13. 132  = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + + 19 + 21 + 23 + 25 = 169. b) Como podemos aplicar esse método para determinar a raiz quadrada de um número? Aplique-o para o número 64. 64 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15. Logo, a raiz quadrada de 64 é 8, pois ele é decomposto na soma dos oito primeiros nú- meros ímpares. c) Verifique que a raiz quadrada de 72 não é um número inteiro. O número 72 não pode ser decomposto so- mente pela soma de números ímpares 72 = 1 +3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 8. Atividade 4 A civilização egípcia é notável quando o assunto é construção. Apoiada em uma mate- mática experimental, essa civilização construiu um conjunto arquitetônico cujo destaque são as enormes pirâmides. Grande parte do pro- cesso de construção civil se apoia na formação de ângulos retos. Para se ter uma ideia, a base da pirâmide de Quéops, construída há mais de 4 500 anos, é composta por pedras esquadreja- das e tem por base um quadrilátero muito pró- ximo de um quadrado. O problema de traçar ângulos retos foi resolvido pelos egípcios de MATEMÁTICA_CP_7s_Vol4_2013.indd 42 30/07/13 09:57
  44. 44. 43 Matemática – 7a série/8o ano – Volume 4 modo tão engenhoso quanto simples. Como descobriram que todo triângulo de lados 3, 4 e 5 unidades de comprimento era necessaria- mente um triângulo retângulo, os arquitetos e construtores egípcios usavam uma corda com 13 nós distribuídos em intervalos iguais. Do- brando a corda de modo que formasse um tri- ângulo de lados 3, 4 e 5, e emendando-a pelas extremidades (1o e 13o nós), obtinham um ân- gulo reto, oposto ao lado 5. Como todo projeto, o professor pode pedir um relatório em que estejam detalhados os proces- sos envolvidos e os conhecimentos adquiridos. Atividades como essas, que envolvem circu- lação de alunos pela sala ou pela escola, ne- cessitam de preparo prévio. O professor pode discutir com os alunos a melhor forma de levar a termo a execução das tarefas. O objetivo da próxima atividade é levar o aluno a construir uma relação entre os qua- drados dos números do triângulo 3, 4 e 5. Esse fato se caracterizará como um caso particular do teorema de Pitágoras. Vamos fazer como os agrimensores egípcios e criar um esquadro de barbante. Tomando um pedaço de barbante, distribua 13 nós de modo que suas distâncias sejam iguais. Atenção: use do bom senso para definir essa distância. Essa etapa deve ser feita com muito capricho! Uma vez construído o esquadro de barbante, vamos verificar se as paredes da sala de aula ou outra estrutura que contenha linhas horizontais e ver- ticais estão no esquadro. Essa atividade pode ser utilizada como um pequeno projeto proposto a grupos de alunos. ©ConexãoEditorial 4 5 3 MATEMÁTICA_CP_7s_Vol4_2013.indd 43 30/07/13 09:57
  45. 45. 44 Atividade 5 Pitágoras, em sua viagem pelo Egito, tomou conhecimento da propriedade do triângulo 3, 4 e 5. Seu espírito crítico logo o levaria a esta- belecer uma outra relação entre esses números. Vamos acompanhar nesta atividade um supos- to caminho percorrido por Pitágoras. Vamos chamar de quadrado geométrico de um segmen- to a construção de um quadrado que tenha esse segmento por lado. Com o segmento construímos seu quadrado geométrico Vamos chamar de quadrado aritmético o cálculo em potência de expoente quadrado (2 ) do número que representa a medida daquele lado. Com o número 3 encontramos o quadra- do aritmético 32 = 9. a) Utilizando um papel quadriculado, cons- trua os quadrados geométricos dos seg- mentos de medidas: 3, 4 e 5. Pinte de cores diferentes o interior de cada um deles. Calcule os quadrados aritméticos dos números 3, 4 e 5 e escreva seus resul- tados sobre os quadrados geométricos. 9 16 25 b) Analisando os valores dos quadrados aritméticos, podemos concluir uma re- lação entre eles. Tente descobri-la. Com esta atividade experimental, esperamos que os alunos concluam que os números 3, 4 e 5, lados do triângulo retângulo, se relacio- nam pela expressão 32  + 42  = 52 . Caso isso não aconteça, o professor pode lançar mão de perguntas como: é possível estabelecer uma relação entre esses três valores, aplicando alguma operação mate- mática? Será que somando os dois valores menores obtemos o valor do maior? 9 16 25 MATEMÁTICA_CP_7s_Vol4_2013.indd 44 30/07/13 09:57

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