Matemática 7 s_8a_ef_volume_3

815 visualizações

Publicada em

apostila professor estado

Publicada em: Educação
0 comentários
0 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

  • Seja a primeira pessoa a gostar disto

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
815
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
11
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
27
Comentários
0
Gostaram
0
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Matemática 7 s_8a_ef_volume_3

  1. 1. 7a SÉRIE 8o ANO ENSINO FUNDAMENTAL II Caderno do Professor Volume3 MATEMÁTICA MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3MATEMÁTICA_PROFESSOR.indd 3 18/04/13 19:1318/04/13 19:1318/04/13 19:1318/04/13 19:13
  2. 2. ENSINO MÉDIO – 1a SÉRIE CURRÍCULO DO ESTADO DE SÃO PAULO 1 a edição revista governo do estado de são paulo secretaria da educação São Paulo, 2013 CADERNO DO PROFESSOR MATEMÁTICA VOLUME 3 MATERIAL DE APOIO AO ENSINO FUNDAMENTAL – 7a SÉRIE/8o ANO MATEMÁTICA_CP_7s_Vol3_2013.indd 1 09/05/13 14:08
  3. 3. governo do estado de são paulo Governador Geraldo Alckmin Vice-Governador Guilherme Afif Domingos Secretário da Educação Herman Voorwald Secretário-Adjunto João Cardoso Palma Filho Chefe de Gabinete Fernando Padula Novaes Subsecretária de Articulação Regional Rosania Morales Morroni Coordenadora da Escola de Formação e Aperfeiçoamento dos Professores – EFAP Silvia Andrade da Cunha Galletta Coordenadora de Gestão da Educação Básica Maria Elizabete da Costa Coordenador de Gestão de Recursos Humanos Jorge Sagae Coordenadora de Informação, Monitoramento e Avaliação Educacional Maria Lucia Guardia Coordenadora de Infraestrutura e Serviços Escolares Ana Leonor Sala Alonso Coordenadora de Orçamento e Finanças Claudia Chiaroni Afuso Presidente da Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDE Barjas Negri MATEMÁTICA_CP_7s_Vol3_2013.indd 2 09/05/13 14:08
  4. 4. CONCEPÇÃO E COORDENAÇÃO GERAL COORDENADORIA DE GESTÃO DA EDUCAÇÃO BÁSICA – CGEB Coordenadora Maria Elizabete da Costa Diretor do Departamento de Desenvolvimento Curricular de Gestão da Educação Básica João Freitas da Silva Diretora do Centro de Ensino Fundamental dos Anos Finais, Ensino Médio e Educação Profissional – CEFAF Valéria Tarantello de Georgel Coordenação Técnica Roberto Canossa Roberto Liberato EQUIPES CURRICULARES Área de Linguagens Arte: Carlos Eduardo Povinha, Kátia Lucila Bueno, Pio de Sousa Santana e Roseli Ventrela. Educação Física: Marcelo Ortega Amorim, Maria Elisa Kobs Zacarias, Mirna Leia Violin Brandt, Rosangela Aparecida de Paiva e Sergio Roberto Silveira. Língua Estrangeira Moderna (Inglês e Espanhol): Ana Paula de Oliveira Lopes, Jucimeire de Souza Bispo, Neide Ferreira Gaspar e Sílvia Cristina Gomes Nogueira. Língua Portuguesa e Literatura: Angela Maria Baltieri Souza, Claricia Akemi Eguti, Idê Moraes dos Santos, João Mário Santana, Kátia Regina Pessoa, Mara Lúcia David, Marcos Rodrigues Ferreira, Roseli Cordeiro Cardoso e Rozeli Frasca Bueno Alves. Área de Matemática Matemática: João dos Santos, Juvenal de Gouveia, Otavio Yoshio Yamanaka, Patrícia de Barros Monteiro, Sandra Maira Zen Zacarias e Vanderley Aparecido Cornatione. Área de Ciências da Natureza Biologia: Aparecida Kida Sanches, Elizabeth Reymi Rodrigues, Juliana Pavani de Paula Bueno e Rodrigo Ponce. Ciências: Eleuza Vania Maria Lagos Guazzelli, Gisele Nanini Mathias, Herbert Gomes da Silva e Maria da Graça de Jesus Mendes. Física: Carolina dos Santos Batista, Fábio Bresighello Beig, Renata Cristina de Andrade Oliveira e Tatiana Souza da Luz Stroeymeyte. Química: Ana Joaquina Simões S. de Matos Carvalho, Jeronimo da Silva Barbosa Filho, João Batista Santos Junior e Natalina de Fátima Mateus. Área de Ciências Humanas Filosofia: Tânia Gonçalves e Teônia de Abreu Ferreira. Geografia: Andréia Cristina Barroso Cardoso, Débora Regina Aversan e Sérgio Luiz Damiati. História: Cynthia Moreira Marcucci, Lydia Elisabeth Menezello e Maria Margarete dos Santos. Sociologia: Alan Vitor Corrêa, Carlos Fernando de Almeida, Sérgio Roberto Cardoso e Tony Shigueki Nakatani. PROFESSORES COORDENADORES DO NÚCLEO PEDAGÓGICO Área de Linguagens Educação Física: Ana Lucia Steidle, Daniela Peixoto Rosa, Eliana Cristine Budisk de Lima, Fabiana Oliveira da Silva, Isabel Cristina Albergoni, Karina Xavier, Katia Mendes, Liliane Renata Tank Gullo, Marcia Magali Rodrigues dos Santos, Mônica Antonia Cucatto da Silva, Patrícia Pinto Santiago, Sandra Pereira Mendes, Sebastiana Gonçalves Ferreira, Silvana Alves Muniz, Thiago Candido Biselli Farias e Welker José Mahler. Língua Estrangeira Moderna (Inglês): Célia Regina Teixeira da Costa, Cleide Antunes Silva, Ednéa Boso, Edney Couto de Souza, Elana Simone Schiavo Caramano, Eliane Graciela dos Santos Santana, Elisabeth Pacheco Lomba Kozokoski, Fabiola Maciel Saldão, Isabel Cristina dos Santos Dias, Juliana Munhoz dos Santos, Kátia Vitorian Gellers, Lídia Maria Batista Bomfim, Lindomar Alves de Oliveira, Lúcia Aparecida Arantes, Mauro Celso de Souza, Neusa A. Abrunhosa Tápias, Patrícia Helena Passos, Renata Motta Chicoli Belchior, Renato José de Souza, Sandra Regina Teixeira Batista de Campos, Silmara Santade Masiero e Sílvia Cristina Gomes Nogueira. Língua Portuguesa: Andrea Righeto, Angela Maria Baltieri Souza, Edilene Bachega R. Viveiros, Eliane Cristina Gonçalves Ramos, Graciana B. Ignacio Cunha, João Mário Santana, Letícia M. de Barros L. Viviani, Luciana de Paula Diniz, Márcia Regina Xavier Gardenal, Maria Cristina Cunha Riondet Costa, Maria José de Miranda Nascimento, Maria Márcia Zamprônio Pedroso, Patrícia Fernanda Morande Roveri, Ronaldo Cesar Alexandre Formici, Selma Rodrigues e Sílvia Regina Peres. Área de Matemática Matemática: Carlos Alexandre Emídio, Clóvis Antonio de Lima, Delizabeth Evanir Malavazzi, Edinei Pereira de Sousa, Eduardo Granado Garcia, Evaristo Glória, Everaldo José Machado de Lima, Fabio Augusto Trevisan, Inês Chiarelli Dias, Ivan Castilho, José Maria Sales Júnior, Luciana Moraes Funada, Luciana Vanessa de Almeida Buranello, Mário José Pagotto, Paula Pereira Guanais, Regina Helena de Oliveira Rodrigues, Robson Rossi, Rodrigo Soares de Sá, Rosana Jorge Monteiro, Rosângela Teodoro Gonçalves, Roseli Soares Jacomini, Silvia Ignês Peruquetti Bortolatto e Zilda Meira de Aguiar Gomes. Área de Ciências da Natureza Biologia: Aureli Martins Sartori de Toledo, Claudia Segantini Leme, Evandro Rodrigues Vargas Silvério, Fernanda Rezende Pedroza, Regiani Braguim Chioderoli e Sofia Valeriano Silva Ratz. Ciências: Davi Andrade Pacheco, Franklin Julio de Melo, Liamara P. Rocha da Silva, Marceline de Lima, Paulo Garcez Fernandes, Paulo Roberto Orlandi Valdastri, Rosimeire da Cunha e Wilson Luís Prati. Física: Ana Claudia Cossini Martins, Ana Paula Vieira Costa, André Henrique Ghelfi Rufino, Cristiane Gislene Bezerra, Fabiana Hernandes M. Garcia, Leandro dos Reis Marques, Marcio Bortoletto Fessel, Marta Ferreira Mafra, Rafael Plana Simões e Rui Buosi. Química: Armenak Bolean, Cirila Tacconi, Daniel B. Nascimento, Elizandra C. S. Lopes, Gerson N. Silva, Idma A. C. Ferreira, Laura C. A. Xavier, Marcos Antônio Gimenes, Massuko S. Warigoda, Roza K. Morikawa, Sílvia H. M. Fernandes, Valdir P. Berti e Willian G. Jesus. Área de Ciências Humanas Filosofia: Álex Roberto Genelhu Soares, Anderson Gomes de Paiva, Anderson Luiz Pereira, Claudio Nitsch Medeiros e José Aparecido Vidal. Geografia: Ana Helena Veneziani Vitor, Célio Batista da Silva, Edison Luiz Barbosa de Souza, Edivaldo Bezerra Viana, Elizete Buranello Perez, Márcio Luiz Verni, Milton Paulo dos Santos, Mônica Estevan, Regina Célia Batista, Rita de Cássia Araujo, Rosinei Aparecida Ribeiro Libório, Sandra Raquel Scassola Dias, Selma Marli Trivellato e Sonia Maria M. Romano. História: Aparecida de Fátima dos Santos Pereira, Carla Flaitt Valentini, Claudia Elisabete Silva, Cristiane Gonçalves de Campos, Cristina de Lima Cardoso Leme, Ellen Claudia Cardoso Doretto, Ester Galesi Gryga, Karin Sant’Ana Kossling, Marcia Aparecida Ferrari Salgado de Barros, Mercia Albertina de Lima Camargo, Priscila Lourenço, Rogerio Sicchieri, Sandra Maria Fodra e Walter Garcia de Carvalho Vilas Boas. Sociologia: Aparecido Antônio de Almeida, Jean Paulo de Araújo Miranda, Neide de Lima Moura e Tânia Fetchir. GESTÃO DO PROCESSO DE PRODUÇÃO EDITORIAL FUNDAÇÃO CARLOS ALBERTO VANZOLINI Presidente da Diretoria Executiva Antonio Rafael Namur Muscat Vice-presidente da Diretoria Executiva Alberto Wunderler Ramos GESTÃO DE TECNOLOGIAS APLICADAS À EDUCAÇÃO Direção da Área Guilherme Ary Plonski Coordenação Executiva do Projeto Angela Sprenger e Beatriz Scavazza Gestão Editorial Denise Blanes Equipe de Produção Editorial: Ana C. S. Pelegrini, Cíntia Leitão, Mariana Góis, Michelangelo Russo, Natália S. Moreira, Olivia Frade Zambone, Priscila Risso, Regiane Monteiro Pimentel Barboza, Rodolfo Marinho, Stella Assumpção Mendes Mesquita e Tatiana F. Souza. Direitos autorais e iconografia: Débora Arécio, Érica Marques, José Carlos Augusto, Maria Aparecida Acunzo Forli e Maria Magalhães de Alencastro. MATEMÁTICA_CP_7s_Vol3_2013.indd 3 09/05/13 14:08
  5. 5. COORDENAÇÃO TÉCNICA Coordenadoria de Gestão da Educação Básica – CGEB COORDENAÇÃO DO DESENVOLVIMENTO DOS CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS DOS CADERNOS DOS PROFESSORES E DOS CADERNOS DOS ALUNOS Ghisleine Trigo Silveira CONCEPÇÃO Guiomar Namo de Mello Lino de Macedo Luis Carlos de Menezes Maria Inês Fini (coordenadora) Ruy Berger (em memória) AUTORES Linguagens Coordenador de área: Alice Vieira. Arte: Gisa Picosque, Mirian Celeste Martins, Geraldo de Oliveira Suzigan, Jéssica Mami Makino e Sayonara Pereira. Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, Carla de Meira Leite, Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti, Renata Elsa Stark e Sérgio Roberto Silveira. LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo. LEM – Espanhol: Ana Maria López Ramírez, Isabel Gretel María Eres Fernández, Ivan Rodrigues Martin, Margareth dos Santos e Neide T. Maia González. Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, José Luís Marques López Landeira e João Henrique Nogueira Mateos. Matemática Coordenador de área: Nílson José Machado. Matemática: Nílson José Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli. Ciências Humanas Coordenador de área: Paulo Miceli. Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís Martins e Renê José Trentin Silveira. Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo e Sérgio Adas. História: Paulo Miceli, Diego López Silva, Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e Raquel dos Santos Funari. Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers. Ciências da Natureza Coordenador de área: Luis Carlos de Menezes. Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo. Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão, Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume. Física: Luis Carlos de Menezes, Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell Roger da Purificação Siqueira, Sonia Salem e Yassuko Hosoume. Química: Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Fernanda Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião. Caderno do Gestor Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de Felice Murrie. EQUIPE DE PRODUÇÃO Coordenação executiva: Beatriz Scavazza. Assessores: Alex Barros, Antonio Carlos de Carvalho, Beatriz Blay, Carla de Meira Leite, Eliane Yambanis, Heloisa Amaral Dias de Oliveira, José Carlos Augusto, Luiza Christov, Maria Eloisa Pires Tavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo Roberto da Cunha, Pepita Prata, Renata Elsa Stark, Solange Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti. EQUIPE EDITORIAL Coordenação executiva: Angela Sprenger. Assessores: Denise Blanes e Luis Márcio Barbosa. Projeto editorial: Zuleika de Felice Murrie. Edição e Produção editorial: R2 Editorial, Jairo Souza Design Gráfico e Occy Design (projeto gráfico). APOIO Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDE CTP, Impressão e Acabamento Esdeva Indústria Gráfica S.A. A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos*deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº- 9.610/98. * Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais. * Nos Cadernos do Programa São Paulo faz escola são indicados sites para o aprofundamento de conhecimentos, como fonte de consulta dos conteúdos apresentados e como referências bibliográficas. Todos esses endereços eletrônicos foram checados. No entanto, como a internet é um meio dinâmico e sujeito a mudanças, a Secretaria da Educação do Estado de São Paulo não garante que os sites indicados permaneçam acessíveis ou inalterados. * As fotografias da agência Abblestock/Jupiter publicadas no material são de propriedade da Getty Images. * Os mapas reproduzidos no material são de autoria de terceiros e mantêm as características dos originais, no que diz respeito à grafia adotada e à inclusão e composição dos elementos cartográficos (escala, legenda e rosa dos ventos). Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas São Paulo (Estado) Secretaria da Educação. Caderno do professor: matemática, ensino fundamental - 7a série, volume 3 / Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José Machado, Roberto Perides Moisés, Walter Spinelli. São Paulo: SEE, 2013. ISBN 978-85-7849-365-3 1. Matemática 2. Ensino Fundamental 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês. II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV. Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Spinelli, Walter. VII. Título. CDU: 373.3:51 S239c MATEMÁTICA_CP_7s_Vol3_2013.indd 4 09/05/13 14:08
  6. 6. Senhoras e senhores docentes, A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo sente-se honrada em tê-los como colabo- radores na reedição do Caderno do Professor, realizada a partir dos estudos e análises que per- mitiram consolidar a articulação do currículo proposto com aquele em ação nas salas de aula de todo o Estado de São Paulo. Para isso, o trabalho realizado em parceria com os PCNP e com os professores da rede de ensino tem sido basal para o aprofundamento analítico e crítico da abor- dagem dos materiais de apoio ao currículo. Essa ação, efetivada por meio do programa Educação — Compromisso de São Paulo, é de fundamental importância para a Pasta, que despende, neste programa, seus maiores esforços ao intensificar ações de avaliação e monitoramento da utilização dos diferentes materiais de apoio à implementação do currículo e ao empregar o Caderno nas ações de formação de professores e gestores da rede de ensino. Além disso, firma seu dever com a busca por uma educação paulista de qualidade ao promover estudos sobre os impactos gerados pelo uso do material do São Paulo Faz Escola nos resultados da rede, por meio do Saresp e do Ideb. Enfim, o Caderno do Professor, criado pelo programa São Paulo Faz Escola, apresenta orien- tações didático-pedagógicas e traz como base o conteúdo do Currículo Oficial do Estado de São Paulo, que pode ser utilizado como complemento à Matriz Curricular. Observem que as atividades ora propostas podem ser complementadas por outras que julgarem pertinentes ou necessárias, dependendo do seu planejamento e da adequação da proposta de ensino deste material à realidade da sua escola e de seus alunos. O Caderno tem a proposição de apoiá-los no planejamento de suas aulas para que explorem em seus alunos as competências e habilidades necessárias que comportam a construção do saber e a apropriação dos conteúdos das disciplinas, além de permitir uma avalia- ção constante, por parte dos docentes, das práticas metodológicas em sala de aula, objetivando a diversificação do ensino e a melhoria da qualidade do fazer pedagógico. Revigoram-se assim os esforços desta Secretaria no sentido de apoiá-los e mobilizá-los em seu trabalho e esperamos que o Caderno, ora apresentado, contribua para valorizar o ofício de ensinar e elevar nossos discentes à categoria de protagonistas de sua história. Contamos com nosso Magistério para a efetiva, contínua e renovada implementação do currículo. Bom trabalho! Herman Voorwald Secretário da Educação do Estado de São Paulo MATEMÁTICA_CP_7s_Vol3_2013.indd 5 09/05/13 14:08
  7. 7. SUMÁRIO Ficha do Caderno 7 Orientação geral sobre os Cadernos 8 Situações de Aprendizagem 11 Situação de Aprendizagem 1 – Expandindo a linguagem das equações 11 Situação de Aprendizagem 2 – Coordenadas cartesianas e transformações no plano 25 Situação de Aprendizagem 3 – Sistemas de equações lineares 38 Situação de Aprendizagem 4 – Equações com soluções inteiras e suas aplicações 50 Orientações para Recuperação 58 Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do tema 60 Considerações finais 61 Conteúdos de Matemática por série/volume do Ensino Fundamental 62 MATEMÁTICA_CP_7s_Vol3_2013.indd 6 09/05/13 14:08
  8. 8. 7 FICHA DO CADERNO Expandindo o mundo das equações Nome da disciplina: Matemática Área: Matemática Etapa da educação básica: Ensino Fundamental Série/Ano: 7a /8o Volume: 3 Temas e conteúdos: Equações Representações no plano através de coordenadas Sistema de equações Equações em diversos domínios MATEMÁTICA_CP_7s_Vol3_2013.indd 7 09/05/13 14:08
  9. 9. 8 ORIENTAÇÃO GERAL SOBRE OS CADERNOS Os temas escolhidos para compor o con- teúdo disciplinar de cada volume não se afas- tam, de maneira geral, do que é usualmente ensinado nas escolas, ou do que é apresentado pelos livros didáticos. As inovações pretendi- das referem-se às suas formas de abordagem sugeridas ao longo de cada Caderno. Em tal abordagem, busca-se evidenciar os princípios norteadores do presente currículo, destacando- -se a contextualização dos conteú­dos, as com- petências pessoais envolvidas, especialmente as relacionadas com a leitura e a escrita matemá- tica, bem como os elementos culturais internos e externos à Matemática. Em todos os Cadernos, os conteúdos estão organizados em oito unidades com extensões aproximadamente iguais, que podem corres- ponder a oito semanas de trabalho letivo. De acordo com o número de aulas disponíveis por semana, o professor explorará cada assunto com mais ou menos aprofundamento. A crité- rio do professor, em cada situação específica, o tema correspondente a uma das unidades pode ser estendido para mais de uma semana, enquanto o de outra unidade pode ser tratado de modo mais simplificado. É desejável que o professor tente contem- plar as oito unidades, uma vez que, juntas, elas compõem um panorama do conteúdo de cada volume, e, muitas vezes, uma das unida- des contribui para a compreensão das outras. ­Insistimos, no entanto, no fato de que somente o professor, em sua circunstância particular, e levando em consideração seu interesse e o dos alunos pelos temas apresentados, pode deter- minar adequadamente quanto tempo dedicar a cada uma das unidades. Ao longo dos Cadernos são apresentadas, além de uma visão panorâmica de seu conteúdo, quatro Situações de Aprendizagem (1, 2, 3 e 4), que pretendem ilustrar a forma de aborda- gem sugerida, instrumentalizando o professor para sua ação em sala de aula. As Situações de Aprendizagem são independentes e podem ser exploradas com mais ou menos intensi- dade, segundo seu interesse e o de sua clas- se. Naturalmente, em razão das limitações no espaço dos Cadernos, nem todas as unidades foram contempladas com Situações de Apren- dizagem, mas a expectativa é de que a forma de abordagem dos temas seja explicitada nas atividades oferecidas. São apresentados também em cada Cader- no, sempre que possível, materiais disponíveis (textos, softwares, sites, vídeos, entre outros) em sintonia com a forma de abordagem pro- posta, que podem ser utilizados pelo professor para o enriquecimento de suas aulas. Compõem o Caderno, ainda, algumas con- siderações sobre a avaliação a ser realizada, bem como o conteúdo considerado indispen- sável ao desenvolvimento das competências enunciadas no presente volume. MATEMÁTICA_CP_7s_Vol3_2013.indd 8 09/05/13 14:08
  10. 10. 9 Matemática – 7a série/8o ano – Volume 3 Conteúdos básicos do volume O planejamento deste volume tem três objetivos centrais: contemplar o estudo mais aprofundado das equações de 1o grau, apre- sentar o plano cartesiano como recurso para organizar e representar informação e também apresentar a ideia de equação com mais de uma incógnita em dois contextos: o dos siste- mas de equações e o das equações restritas às soluções inteiras. Na Situação de Aprendizagem 1 – Expandindo alinguagemdasequações,partimosdeumadiscus- são sobre a importância do trabalho com a leitu- ra, interpretação de enunciados e transcrição das informações para a linguagem algébrica, discutin- do algumas estratégias para o desenvolvimento da competência leitora do aluno. Na sequência, sugerimos a continuidade do trabalho iniciado na série/ano anterior com equações de 1o grau por meio de estratégias para a resolução de pro- blemas. Na situação proposta, partimos de problemas que envolvem equacionamentos mais complexos do que os trabalhados na 6a série/7o ano, e sugerimos estratégias de organi- zação de dados em tabelas, usando variações na posiçãodaincógnitacomorecursoparadiscussão deequaçõesmaiscomplexas.Asituaçãoéfinaliza- da com a apresentação de uma proposta de traba- lho com equações usualmente não trabalhadas na 7a série/8o ano, em um contexto de desenvolvi- mento dos raciocínios lógico e criativo. Na Situação de Aprendizagem 2 – Coor- denadas cartesianas e transformações no pla- no, iniciamos a apresentação do recurso da ­representação de figuras por meio de coorde- nadas. A ideia de representação da informação em um plano com eixos orientados não é nova, ela já apareceu nas séries/anos anteriores quan- do foram trabalhados alguns temas relaciona- dos aos gráficos no contexto do tratamento da informação; porém, agora, ela se desenvolverá na 7a série/8o ano com novas explorações, tais como a ideia de representação através de co- ordenadas, usada em mapas e guias de ruas, e as transformações no plano (translação, re- flexão, ampliação e redução). O trabalho com as transformações do plano também represen- ta uma oportunidade de retomada das ideias de simetria axial e rotacional trabalhadas nas séries/anos anteriores. Com a Situação de Aprendizagem 3 – Sis- temas de equações lineares, iniciamos a dis- cussão sobre o significado de equações com mais de uma incógnita, e sobre as estratégias para a resolução de sistemas de equações. O uso de mais de uma incógnita para orga- nizar as informações de um problema mais complexo é um recurso que deve ser compreen-­ dido, bem como devem ser compreendidas as estratégias de resolução de sistemas de equa- ções lineares em uma 7a série/8o ano. Além da discussão dos métodos da adição e da subs- tituição, que será proposta por meio de uma retomada da ideia de balança desenvolvida na 6a série/7o ano, dois outros importantes aspectos serão trabalhados nesta Situação de Aprendiza- gem: a representação de um sistema de equações no plano cartesiano e a análise e discussão de um sistema de equações lineares por meio de investigações sobre sua representação no plano. MATEMÁTICA_CP_7s_Vol3_2013.indd 9 09/05/13 14:08
  11. 11. 10 Unidade 1 – Equações de 1o grau (problemas). Unidade  2 – Equações e inequações de 1o grau (problemas). Unidade 3 – Sistema de coordenadas car- tesianas. Unidade 4 – Transformações geométricas no plano. Unidade 5 – Sistemas de equações lineares (método da adição). Unidade 6 – Sistemas de equações lineares (método da substituição). Unidade 7 – Sistemas de equações lineares (interpretação gráfica). Unidade 8 – Equações com soluções inteiras. Certamente a estratégia proposta não tem a intenção de explorar a discussão de sistemas lineares com a profundidade que será feita mais adiante no Ensino Médio, mas tem o caráter de desenvolver no aluno a compreen- são do uso das linguagens algébrica e gráfica como aliadas na análise e interpretação de um problema com equações lineares. Na Situação de Aprendizagem 4 – Equa- ções com soluções inteiras e suas aplicações, apresentamos uma série de problemas que, uma vez equacionados, conduzem a uma única equação com mais de uma incógnita. Equações como essas, que em domínio real seriam classificadas como indeterminadas, podem ter um número finito de soluções in- teiras e positivas. Problemas dessa natureza, ou seja, problemas em que estamos interes- sados nas soluções inteiras positivas de uma equação com mais de uma incógnita, são muito frequentes em situações do nosso dia a dia, e sua discussão, por meio da organiza- ção e análise dos dados em tabelas, trabalha com o desenvolvimento de várias habilidades matemáticas, como será descrito nesta Situa- ção de Aprendizagem. Como se pode perceber, este Caderno apresenta inúmeras possibilidades de abor- dagem sobre os três objetivos centrais do volume 3 citados no primeiro parágrafo, ­porém, deve ficar a critério do professor a es- colha daquelas que são mais adequadas ao seu programa e das maneiras para explorá-las. Sabemos, evidentemente, que o volume apresenta uma quantidade grande de novas informações para o aluno, o que demanda um tempo maior reservado para a reflexão e a sistematização. Contamos com a leitura cuidadosa das propostas aqui apresentadas, mas entendemos como legítimo que o profes- sor faça seus cortes e recortes de maneira a adequá-las às suas necessidades. Quadro geral de conteúdos do volume 3 da 7a série/8o ano do Ensino Fundamental MATEMÁTICA_CP_7s_Vol3_2013.indd 10 09/05/13 14:08
  12. 12. 11 Matemática – 7a série/8o ano – Volume 3 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 EXPANDINDO A LINGUAGEM DAS EQUAÇÕES Nesta Situação de Aprendizagem discu­ tiremos aspectos relacionados com a leitura, interpretação de enunciados e transcrição das informações para a linguagem algébrica. O trabalho prossegue com resolução de proble- mas envolvendo equações de 1o grau, utilizan- do o recurso de organização das informações em tabelas. Tempo previsto: 2 semanas. Conteúdos e temas: equações de 1o grau; equações variadas (resolução por métodos não algorítmicos); inequações. Competências e habilidades: leitura e interpretação de enunciados; transposição entre as lin- guagens escrita e algébrica; raciocínio lógico dedutivo. Estratégias: equacionar e resolver problemas de maneiras diferentes confrontando resultados e identificando equivalências; utilizar a heurística como método de investigação da solução de equações; estudar desigualdades por meio da resolução de problemas contextualizados. Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 1 O estudo da Álgebra no Ensino Fundamen- tal inicia-se de forma organizada e intencional na 6a série/7o ano, com o uso de letras na repre- sentação de problemas que envolvem regularida- des, padrões e relação entre grandezas. Ainda na 6a série/7o ano,oalunodevetomarcontatoereco- nhecer as equações simples como um importante recursoparaorganizarerepresentarinformações. Assim, parte significativa do empenho do professor como o parceiro mais experiente do aluno deve ser o de selecionar adequadamen- te problemas que permitam a maior abrangência de situações passíveis de transposição da lin- guagem materna para a linguagem da álgebra. Outro objetivo que também deve ser atingido na 6a série /7o ano é o da sistematização de métodos de resolução de equações simples de 1o grau. De acordo com esta proposta de planejamen- to, o volume 3 da 7a série/8o ano será dedicado à sequência do estudo da Álgebra, sendo, portan- to, indispensável que o professor avalie, no início do curso, em que estágio encontra-se o conheci- mento dos alunos no que diz respeito à transposi- ção de problemas da língua escrita para a álgebra (e vice-versa) e ao tipo de equação que o aluno consegue resolver por um método que não seja apenas o de tentativa e erro. Feita essa avaliação, a sequência de trabalho do volume poderá ser planejada, tendo como objetivo a ampliação do repertório de situações de transposição en- tre linguagens e a ampliação de estratégias de SITUAÇÕES DE APRENDIZAGEM MATEMÁTICA_CP_7s_Vol3_2013.indd 11 09/05/13 14:08
  13. 13. 12 ­resolução de equações mais complexas (ainda com o foco voltado às equações de 1o grau). Na Situação de Aprendizagem 1, apresentaremos al- gumas possibilidades de trabalho nessa direção. A leitura atenta de um problema é o primei- ro passo no caminho da transposição para a linguagem algébrica, mas estudos indicam que apenas a boa leitura não é garantia para a trans- posição correta. Veja, por exemplo, a seguinte situação-pro­blema apresentada para estudantes universitários e os seus resultados: usando as va- riáveis A para número de alunos e P para o de professores, escreva uma equação para represen- tar a afirmação “há seis vezes mais alunos do que professores nesta universidade”. A resposta correta não é 6A = P, apesar de boa parte dos estudantes ter assinalado essa alternativa. Se essa fosse a resposta, para um total de 10 alunos tería­ mos 60 professores, exatamente o contrário do que afirma o enunciado. O correto seria A = 6P. Aproveitando esse exemplo, uma estratégia importante que merece ser discutida pelo pro- fessor com seus alunos é a da verificação. Note que, após a transposição entre as linguagens, que conduziu equivocadamente à expressão 6A = P, caso o aluno confrontasse seu resulta- do com um exemplo numérico, é possível que tivesse identificado seu erro. Bastaria, nesse caso, atribuir um valor qualquer para A, como 10, obtendo em seguida 60, o que indicaria que para cada 1 aluno teríamos 6 professores. Confrontando esse resultado com as informa- ções do texto, fica evidente que a correção a ser feita é a da troca entre A e P na expressão errada, resul­tando corretamente na expressão A = 6P (nesse caso, para 1 professor temos 6 alunos, para 2 professores temos 12 alunos, para 3 professores temos 18 alunos, e assim sucessivamente). Veremosaseguiralgunsexemplosquepodem ser utilizados para o mesmo tipo de trabalho. Atividade 1 Escreva uma sentença matemática que re- presente a seguinte frase: “X reais a menos que Y reais é igual a 40 reais”. É possível que boa parte dos estudantes responda X – Y = 40, quando o correto seria Y – X = 40. Um exemplo numérico pode ajudá-los a esclarecer a questão: “Dez reais a menos que 50 reais é igual a 40 reais” (50 – 10 = 40). Atividade 2 Se X operários constroem um muro em Y horas, quantas horas serão necessárias para que o triplo do número de operários construa o mesmo muro? (Naturalmente, estamos su- pondo que todos os operários têm rendimento igual no desempenho da tarefa de construção.) A resposta correta não é 3Y, porque o problema em questão envolve grandezas “inversamente proporcionais”, ou seja, quanto maior o número X de operários, menor o número Y de horas necessárias para levantar o muro (o dobro de X implica a metade de Y, o triplo de X implica a terça parte de Y, e assim por diante). A resposta MATEMÁTICA_CP_7s_Vol3_2013.indd 12 09/05/13 14:08
  14. 14. 13 Matemática – 7a série/8o ano – Volume 3 correta é Y 3 . Veja como um exemplo numérico seria útil na identificação do erro da expressão 3Y: Se X = 1 operário e Y = 6 horas, X = 3 operários construiriam o muro mais rapidamente, construiriam na terça parte do tempo, ou seja, em 2 horas. Nesse caso, evidencia-se que a resposta 3Y, que resultaria em 3 . 6 = 18 horas, está errada. Outro aspecto que pode ser trabalhado na verificação das estratégias de transposição de problemas para a linguagem algébrica é o uso adequado da notação, como veremos na ativi- dade a seguir. Atividade 3 Escreva uma expressão, com as letras indica- das na figura, para a área do retângulo. a b c Alguns alunos devem escrever que a área é igual a “a . b + c”, quando o correto seria “a  . (b + c)”. Nesse caso específico, a verificação com números pode conduzir a dois tipos de situação, como veremos usando os valores numéricos a = 3, b = 4 e c = 2: Situação 1: O aluno arma a conta 3 . 4 + 2 e conclui que o resultado é 18. Nesse caso, ele obteve o resultado esperado para o problema, mas a partir de uma expressão escrita de forma errada para sua resolução (pela expressão formulada o resultado seria 14). Duas hipóteses podemserlevantadasnessasituação:eleescreveu a expressão com letras, mas não a utilizou quando foi fazer a verificação com números (fez a verificação apenas interpretando a figura), ou ele escreveu a expressão e, ao substituir os números, não associou a ideia de que em uma expressão com multiplicações e somas fazemos primeiro as multiplicações. Situação 2: O aluno escreve a conta 3 . 4 + 2, lembra-se da ordem das operações (primeiro a multiplicação e depois a adição) e conclui que o resultado é 14. Nesse caso, seu cálculo está correto para a expressão, mas não é a solução do problema, porque partiu de uma expressão errada. A primeira situação evidencia a necessidade de que o professor retome com os alunos a ordem das operações, e a segunda sugere que o professor explore mais a ideia de verificação que, no caso desse problema, implicaria confrontar o resultado 14 com o cálculo por substituição direta de valores na figura, como se vê a seguir: 3 4 6 Área = 3 . 6 = 18 ≠ 14 2 Uma atividade importante que também deve ser praticada é a da passagem da linguagem al- gébrica para um problema concreto e escrito na nossa língua. As estratégias de verificação tam- bém devem ser usadas nesse tipo de problema. MATEMÁTICA_CP_7s_Vol3_2013.indd 13 09/05/13 14:08
  15. 15. 14 Atividade 4 Escreva por extenso uma sentença que for- neça a mesma informação que a expressão X = 5Y fornece. Uma resposta tipicamente errada seria: “X = número de figurinhas de João e Y = número de figurinhas de Paulo. Logo, Paulo tem o quíntuplo do número de figuri- nhas de João.” Nessecaso,partindodoenunciadocriadopelo aluno, se João tem 3 figurinhas, Paulo terá 15, que é o quíntuplo de 3, ou seja, se X = 3, Y tem que ser igual a 15, o que se verifica pela expressão X = 5Y indicada no enunciado do problema. Para corrigir a resposta do aluno, bastaria trocar Paulo e João na frase que relaciona seus números de figurinhas. Com relação aos procedimentos de resolução deequações,estapropostadeplanejamento suge- requena6a série/7o anooalunotomecontatocom os métodos de resolução por operação inversa (“desfazer operações”) e por equações equivalen- tes(métododa“balança”),equena7a série/8o ano resolva equações mais complexas usando quais- quer desses métodos. É claro que, com orientação do professor, a prática dos alunos na resolução de equações será encaminhada para um procedi- mentoqueincorporeideiasdeambososmétodos, porém é importante que o professor compreenda que frases como “muda de lado e troca o sinal” devem ser evitadas, porque, além de sugerirem uma ideia errada, induzem a uma série de equí- vocos, como o de resolver a equação 2 x = 5 como x = 5 − 2 → x = 3, ou a equação x +×+ = x 2 3 como x + x = 6 →x = 3. Nos dois casos, a melhor conduta do professor seria explicitar a opera- ção que está sendo feita: 2x = 5 → dividindo ambos os membros por 2, teremos x = 5 2 . x +x x + = → 2 3= 3 → multiplicando ambos os mem- bros por 2, teremos 2x + x = 6, ou seja, 3x = 6. Por fim, dividindo ambos os mem- bros por 3, teremos x = 2. Na 6a série/7o ano, a expectativa é de que o aluno consiga resolver problemas que possam ser traduzidos por equações simples de 1o grau, por exemplo: =–3 4 2 6 2 3 5 3 2 1 1 2 x x x x x x– , – ,= + + = −( ) = =– , – – 2 3 1 4 2 x x3 4 2 6 2 3 5 3 2 1 1 2 x x x x x x– , – ,= + + = −( ) = =– , – – 2 3 1 4 2 x x + 3 2 3 4 2 6 2 3 5 3 2 1 1 2 x x x x x x– , – ,= + + = −( ) = =– , – – 2 3 1 4 2 x x + 3 2 3 4 2 6 2 3 5 3 2 1 1 2 x x x x x x– , – ,= + + = −( ) Na 7a série/8o ano, a expectativa é de que o aluno consiga resolver problemas que possam ser traduzidos por qualquer tipo de equação de 1o grau. Citamos, a seguir, alguns exemplos de equações de 1o grau mais complexas, que nos parecem mais apropriadas de ser traba- lhadas em uma 7a série/8o ano: x 3 + 2 5 2 = x 4 , x + 1 x – 4 = 2 – 3x x – 4 x 3 + 2 5 2 = x 4 , x + 1 x – 4 = 2 – 3x x – 4 (com x ≠ 4) 3 5 3 2 – 3x 4 = 3x – 1 2 , 2(–2x+3) 7 – 3= x 2 + 2x( ) 3 5 3 2 – 3x 4 = 3x – 1 2 , 2(–2x+3) 7 – 3= x 2 + 2x( ) MATEMÁTICA_CP_7s_Vol3_2013.indd 14 09/05/13 14:08
  16. 16. 15 Matemática – 7a série/8o ano – Volume 3 O estudo de equações de 1o grau constitui um tema muito rico para o trabalho com reso- lução de problemas. O aluno deve reconhecer nesse estudo que as equações constituem uma ferramenta importante para a representação e resolução de problemas cujo encaminhamento por meio de recursos aritméticos seria mui- to complicado. Nesse sentido, o professor deve incentivar que os alunos busquem inicialmente solucionar os problemas por meio da Aritmética e que, constatada a dificuldade, saibam utilizar de maneira apropriada o recurso algébrico das equações para encontrar a resposta procurada. A seguir, veremos alguns exemplos de proble- mas que cumprem essa função. Inúmeros outros exemplos podem ser criados ou encontrados nos livros didáticos. Atividade 5 Ao repartir uma conta de R$ 78,00 no res- taurante AL GEBRÁ, três amigos estabelece- ram que: f Rui pagaria 3 4 do que Gustavo pagou; f Cláudia pagaria R$ 10,00 a menos que a terça parte do que Gustavo pagou. Que valor da conta coube a cada um dos três amigos? Emprimeirolugar,éimportantequeoprofessor oriente uma estratégia de organização das informações, que pode ser feita por meio de uma tabela. Na montagem dessa tabela, chamaremos de x a quantia paga por um dos três amigos e, sempre que possível, o professor deve pedir que os alunos montem outras tabelas chamando de x a quantia paga por outra pessoa. Essa atividade de mudar o significado da incógnita é útil para o trabalho com a ideia de operação inversa e para a discussão de que, apesar de encontrarmos valores diferentes para x dependendo de onde ele esteja na tabela, a resposta final do problema sempre será a mesma, seja qual for a escolha de posição para x. Tabela 1 Rui 3 4 x 3x 4 + x + x 3 10− = 78 x = 42,24 Rui: R$ 31,68 Gustavo: R$ 42,24 Cláudia: R$ 4,08 Gustavo x Cláudia x 3 10− Tabela 2 Rui 9 10 4 ( )x + 9(x +10) 4 + 3(x + 10) + x = 78 x = 4,08 Rui: R$ 31,68 Gustavo: R$ 42,24 Cláudia: R$ 4,08 Gustavo 3(x + 10) Cláudia x Tabela 3 Rui x x + 4x 3 + 4x 9 – 10 = 78 x = 31,68 Rui: R$ 31,68 Gustavo: R$ 42,24 Cláudia: R$ 4,08 Gustavo 4 3 x Cláudia 4 9 x − 10 MATEMÁTICA_CP_7s_Vol3_2013.indd 15 09/05/13 14:08
  17. 17. 16 O equacionamento mais natural é o da Tabela 1 que, por sua vez, recai em uma equação de resolução supostamente já conhecida de um aluno de 7a série/8o ano. Partindo da Tabela 1 e do equacionamen- to obtido, o aluno terá encontrado como resultado para Rui, Gustavo e Cláudia, respectivamente, os valores de R$ 31,68, R$ 42,24 e R$ 4,08. Espera-se, portanto, que equacionamentos com a colocação de x como o valor da conta a ser paga por ou- tra pessoa que não Gustavo produzam os mesmos resultados finais para cada uma das três pessoas. De posse dessa conclu- são, e tendo montado as Tabelas 2 e 3, o aluno poderá investigar estratégias de re- solução das equações decorrentes dessas duas tabelas, em particular nos interessan- do as estratégias de resolução da equação decorrentes da Tabela 2, que é mais difícil do que as outras. No caso da equação da Tabela 2, o aluno sabe que seu resultado final tem que ser x = 4,08 e, a partir dessa informação, deverá descobrir eventuais er- ros no seu processo de resolução da equa- ção, se ele não tiver conduzido a esse valor. O erro mais frequente, e que merece um comentário do professor, é: Ao multiplicar por 4 os dois membros, o aluno escreve a equação: 9(x+10)+12(4x+40)+4x = 312, quando o correto seria 9(x+10)+12(x+10)+4x = 312 ou 9(x+10)+3(4x+40)+4x = 312. Uma boa estratégia que pode ser siste- matizada ao final dessa discussão para evitar erros como o mencionado é: 1. Aplicamos a propriedade distributiva eliminando parênteses. 2. Frações com o numerador escrito como soma ou subtração devem ser transformadas em frações com numerador simples (apenas um número ou uma letra, ou um número multiplicando uma letra). 3. Multiplicamos os dois membros (termo a termo) pelos denominadores das frações ou, de forma mais direta, pelo MDC dos denominadores. Nesse caso, a resolução corresponderia às seguintes etapas: 1) 9(x+10) 4 + 3(x+10)+x =78 2) 9x+90 4 + 3x+ 30+x =78 3)) 9x 4 + 90 4 + 3x+ 30+x =78 4) 9x+90+12x+120+ 4x = 312 255x = 102 x = 4,08→ Atividade 6 Se de 220 subtrairmos a idade de uma pes- soa, obtemos uma aproximação da frequência cardíaca máxima por minuto que essa pessoa tolera em atividade física intensa. Sabe-se que a frequência cardíaca máxima de Renê é 24 23 da de Bernardo. Se a frequência cardíaca máxi- ma de Renê é igual a 16 3 da idade de Bernardo, determine a idade e a frequên­cia cardíaca má- xima dos dois amigos. Adotando o mesmo tipo de procedimento usado na resolução do problema anterior, equacionaremos esse problema utilizando tabelas. MATEMÁTICA_CP_7s_Vol3_2013.indd 16 09/05/13 14:08
  18. 18. 17 Matemática – 7a série/8o ano – Volume 3 Tabela 1 Idade Frequência cardíaca máxima 24(220 x) 23 = 16x 3 − x = 36 Renê: 28 anos e FCmáx = 192 Bernardo: 36 anos e FCmáx = 184 Renê 220 24(220 x) 23 − − 220 24(220 x) 23 − − Bernardo x 220 − x Tabela 2 Idade Frequência cardíaca máxima 220 – x = 16 3 220 – 23(220 – x) 24 ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ x = 28 Renê: 28 anos e FCmáx = 192 Bernardo: 36 anos e FCmáx = 184 Renê x 220 − x Bernardo220 – x = 16 3 220 – 23(220 – x) 24 ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥220 – x = 16 3 220 – 23(220 – x) 24 ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ Tabela 3 Idade Frequência cardíaca máxima x = 184 Renê: 28 anos e FCmáx = 192 Bernardo: 36 anos e FCmáx = 184 Renê 220 24x 23 − 24x 23 Bernardo 220 − x x Tabela 4 Idade Frequência cardíaca máxima x = 16 3 220 23x 24 −     x = 192 Renê: 28 anos e FCmáx = 192 Bernardo: 36 anos e FCmáx = 184 Renê 220 − x x Bernardo 220 23x 24 − 220 23x 24 − Para a montagem das tabelas, é importante que o aluno compreenda inicialmente a seguinte informação do enunciado: FCmáx = 220 – I, onde FCmáx é a frequência 24x 23 = 16 3 (220 x)− MATEMÁTICA_CP_7s_Vol3_2013.indd 17 09/05/13 14:09
  19. 19. 18 cardíaca máxima do indivíduo de idade I. Para compreender essa relação, alguns exemplos podem ser úteis. Um indivíduo de 20 anos tem frequência cardíaca máxima 200 porque 220 – 20 = 200. Reciprocamente, um indivíduo com frequência cardíaca máxima igual a 200 tem 20 anos de idade, porque 220 – 200 = 20. Um indivíduo de 30 anos tem frequência cardíaca máxima 190, porque 220 – 190 = 30. Reciprocamente, um indivíduo com frequência cardíaca máxima igual a 190 tem 30 anos de idade, porque 220 – 190 = 30. Segue que um indivíduo de idade I tem FC máxima igual a 220 – I, e um indivíduo de frequência cardíaca máxima FCmáx tem idade I igual a 220 – FCmáx . Na Tabela 3, colocamos x na frequência cardíaca máxima de Bernardo, o que implica dizer que sua idade será 220 − x. Como a frequência cardíaca máxima de Renê é 24 23 da de Bernardo, então a FCmáx de Renê será 24x 23 . A partir da FCmáx de Renê concluímos que sua idade tem que ser 220 – 24x 23 . Note que o caminho feito para a organização dos dados na Tabela 3 foi: Tendo em vista a resolução das equações decorrentes de cada uma das tabelas, é importante, mais uma vez, destacar que o aluno deverá compreender que o valor de x obtido em cada uma delas é diferente porque diz respeito a uma informação diferente da tabela, porém, as respostas finais sobre as idades e frequências cardíacas máximas de Renê e Bernardo devem ser iguais nas quatro tabelas, o que pode ser utilizado como recurso para corrigir eventuais erros no procedimento de resolução das equações. Um curso de equações necessariamente tem que dar atenção à técnica de resolução, mas não deve dar ênfase maior a ela do que ao uso do raciocínio lógico. Não é razoável que se faça uso de técnicas em problemas de equações nos quais a solução pode ser obtida diretamente pelo uso da heurística1 , como co- mentaremos a seguir. O ambiente de estudo das equações é extremamente adequado ao exercício da heurística, já que muitas vezes uma equa- ção pode ser resolvida por estratégias dife- rentes das que normalmente faríamos com o uso das técnicas. O exercício de resolver equações por caminhos mais inventivos do que o da técnica é fundamental para o de- senvolvimento do pensamento matemático e, portanto, deve sempre ser incentivado. A seguir, apresentamos uma atividade em que o aluno tem que resolver uma série de equa- ções, mas, na maioria dos casos, as técnicas Para as Tabelas 1, 2 e 4 os caminhos foram: x x Tabela 4 x Tabela 1 x Tabela 2 1 Segundo o Dicionário Houaiss, heurística: arte de inventar, de fazer descobertas; ciência que tem por objeto a descoberta de fatos. Dicionário Houaiss da Língua Portuguesa (edição eletrônica). Rio de Janeiro: Editora Objetiva, 2007. MATEMÁTICA_CP_7s_Vol3_2013.indd 18 09/05/13 14:09
  20. 20. 19 Matemática – 7a série/8o ano – Volume 3 conhecidas por ele não são suficientes para resolver os problemas, o que deve motivar a busca de soluções inventivas. O professor deve observar que na lista incluímos equações de 2o grau, de 3o grau, com frações algébricas, exponenciais, equações com radicais, equa- ções com mais de uma solução, equações sem solução e até equações com infinitas soluções, sendo que todas podem ser resolvidas por um aluno de 7a série/8o ano sem o uso da técnica. Atividade 7 As técnicas aqui estudadas para resolver equações são importantes porque organizam os procedimentos algébricos, porém, nunca devemos perder de vista a heurística. Todas as equações a seguir podem ser resolvidas sem o uso das técnicas algébricas; descubra a solu- ção de cada uma usando o método heurístico. Lembre-se que uma equação pode não ter so- lução, pode ter apenas uma solução, pode ter mais de uma solução ou até mesmo infinitas soluções. a) 3x + 1 = 82 b) 1 1 1 5x + = – c) x2 = 25 d) x2 + 2 = 51 e) (x + 1)2 = 9 f) x2 = – 16 g) 2x2 =2 9 8 2 x = h) 2x+1 = 16 i) 52–x = 25 j) (x + 5).(x – 3) = 0 k) x.(x + 1).(x + 2).(x + 3) = 0 l) x + 1 = x + 2 m) 5 1 0 x + = n) x x + = 2 3 1 o) 2 1 4 1 x x – + = p) (2x )3 = 64 q) (2x + 1).(3x + 3) = 0 r) x + =3 25 s) 81 3 1x = t) 1 29 2 3 = x – u) 3 5 152 6 x x+ = – v) 2 1 41 13 41 x – –= w) x3 = – 8 x) 1 5 0x = y) 0.x = 0 MATEMÁTICA_CP_7s_Vol3_2013.indd 19 09/05/13 14:09
  21. 21. 20 a) Basta investigar as potências de 3 até encontraralgumacujasomacom1resulte 82. A resposta é x = 4, porque 34 = 81. b) O denominador da fração do primeiro membro tem que ser igual a – 5 para que a igualdade seja verdadeira com o segundo membro. Para que x + 1 seja igual a – 5, x tem que ser igual a – 6 . c)  Os números que elevados ao quadrado re- sultam 25 são 5 e –5. É provável que os alu- nos encontrem apenas a resposta positiva, e que se surpreendam com o fato de encon- trarmos duas soluções para uma equação. d) Tirando 2 de 51 resulta 49, o que implica dizer que procuramos um número cujo quadrado seja 49. Resposta: 7 e –7. e) –3 e 3 são os números cujo quadrado é 9, mas como estamos elevando x + 1 ao quadrado, procuramos x + 1 = –3 e x + 1 = 3, ou seja, x = – 4 ou x = 2. f) Não existe número real cujo quadrado seja negativo, portanto, a equação não possui solução em IR. g) A metade de 9 8 é 9 16 . Então, procuramos um número que elevado ao quadrado resulte 9 16 . Resposta: 3 4 e − 3 4 . h) Como 24 = 16, procuramos um número que somado a 1 dê 4, que é o número 3. i) Análogo ao anterior, o x procurado é 0. j) Se o produto de dois números é zero, neces­sa­ ria­mente um deles é zero (ou ambos são 0). Segue, portanto, que x é igual a –5 ou 3. k) Análogo ao anterior, x pode ser 0, –1, –2 ou –3. l) Não há valor de x que torne a igualdade ver- dadeira, portanto, essa é uma equação “sem solução” (a solução é um conjunto vazio). m) Como fração indica uma divisão, jamais poderemos ter uma fração de numerador diferente de zero que seja igual a zero. Por- tanto, essa é outra equação de solução vazia. n)Seumafraçãoéiguala1,necessariamente seu numerador é igual ao seu denominador, o que implica dizer que estamos procurando o x que resolva a equação x + 2 = 3x. Resposta: x = 1. o) Análogo ao anterior. Resposta: x = 5. p) Inicialmente, procuramos um número que elevado ao cubo resulte 64, que é o número 4. Em seguida, a pergunta passa a ser: qual é o expoente de uma potência de 2 para que o resultado seja 4? Resposta: 2. Esse exercício pode ser usado para discutir ou recordar a propriedade (am )n = a m . n . q) Análogo ao raciocínio dos exercícios j e k. Resposta: − 1 2 ou –1. r) O quadrado de 25 é 625. Então, procu- ramos um número que somado a 3 resulte 625. Esse número é 622. s) 3x tem que ser igual a 81 para que a fração do lado esquerdo seja equivalente a 1. O expoente que faz 3x ser igual a 81 é 4, que é a resposta da equação. t) Análogo ao anterior. Resposta: x = 5. MATEMÁTICA_CP_7s_Vol3_2013.indd 20 09/05/13 14:09
  22. 22. 21 Matemática – 7a série/8o ano – Volume 3 u) Seja qual for o valor de x, sabemos que x2 e x6 serão números não negativos, portanto, a equação não possui solução (em IR). v)Umavezqueosdoismembrosrepresentam equações de denominador 41, temos que ter 2x – 1 = –13, ou seja, x = – 6. w) –2 é um número que elevado ao cubo resulta – 8 (nesse exercício o professor pode comentar com os alunos que em um conjunto numérico, que será estudado no futuro, a equação do problema terá outras duas soluções além do –2). x) De modo análogo ao exercício m e ao u, o problema não tem solução (o professor deve aproveitar esse exercício para discutir que x = 0 não é uma solução do problema). y) Qualquer valor para x resolve a equação, portanto, é uma equação com infinitas soluções. Dependendo do interesse da turma, os se- guintes comentários podem ser feitos ao longo da correção dessa atividade: ff As equações a, h, i, p, s, t e x recebem o nome de equações exponenciais. Você con- segue imaginar o porquê desse nome? Porque a incógnita se encontra em um expoente. ff Na 1a série do Ensino Médio, você vai aprender técnicas para resolver equações exponenciais. ff As equações b, m, n e o recebem o nome de equações com frações algébricas. Você consegue imaginar o porquê desse nome? Porque são equações envolvendo frações escritas com incógnitas no denominador. ff Na 7a série/8o ano e na 8a série/9o ano, você vai aprender técnicas para resolver equa- ções com frações algébricas. ff As equações c, d, e, f, g, j, k, l, q, u, v, w e y recebem o nome de equações algébricas (ou equações polinomiais). O grau de uma equa- ção algébrica varia de acordo com o maior expoente que a incógnita assume quando a equação está escrita na forma mais simples possível. As estratégias de resolução das equações algébricas de 1o grau você come- çou a aprender na 6a série/7o ano, e continua aprendendo na 7a série/8o ano. Na 8a série/ 9o ano, você aprenderá técnicas para reso- lução de equações algébricas de 2o grau. Na 3a série do Ensino Médio, você vai aprender técnicas para resolver algumas equações al- gébricas de grau maior ou igual a 3. ff Aequaçãorchama-seequaçãoirracional(equa- ção que possui a incógnita no radicando). ff Para sua surpresa, algumas equações para as quais você não encontrou solução têm uma ou mais respostas, mas para encontrá-la(s) você terá que expandir seus conhecimentos sobre conjuntos numéricos. Por exemplo, as equações f e u têm soluções no conjunto numérico dos números complexos, que você vai aprender na 3a série do Ensino Médio. MATEMÁTICA_CP_7s_Vol3_2013.indd 21 09/05/13 14:09
  23. 23. 22 A equação w, para a qual você só encontrou uma solução, possui mais duas soluções no conjunto dos números complexos. Mas fique atento, existem equações que não possuem solução, seja qual for o conjunto numérico assumido, ou seja, sua solução sempre será o conjunto vazio. São exemplos de equações com solução conjunto vazio: l, m e x. ff Existemmuitosoutrostiposdeequaçãoque exploram contextos matemáticos que você ainda não conhece, então, seja bem-vindo ao maravilhoso mundo das equações que você só está começando a aprender (refe- rimo-nos, nesse caso, às equações trigono- métricas, matriciais e logarítmicas). A investigação das equações, que são sen- tenças matemáticas em que aparecem o sinal de igualdade (=) e uma ou mais incógnitas, estabe- lece quase de forma natural uma porta de en- trada para o estudo das sentenças matemáticas com uma ou mais incógnitas nas quais aparece um sinal de desigualdade (, ,  ou ). Dois aspectos devem ser destacados na in- trodução ao estudo das inequações. Em pri- meiro lugar, é importante que o professor evite a formulação de regras como “multiplica por negativo e troca o sinal da desigualdade” sem que antes tenha sido trabalhada com seguran- ça uma compreensão significativa de tal “regra prática”. Em segundo lugar, deve-se procurar, na medida do possível, problematizar o uso das inequações em situações concretas de resolução de problemas. A seguir, apresentamos alguns problemas que contemplam esse objetivo. Atividade 8 A figura indica uma folha de latão que será usada na montagem de uma peça (as medidas estão em metros). a) Determine todos os valores possíveis de x (em metros) para que o perímetro da folha seja maior ou igual a 64 m. 2(2x + 4 + x) + 2(x + x + 10 + x) ≥ 64 x ≥ 3 metros. b) Determine todos os valores possíveis de x (em metros) para que a soma dos compri- mentos representados em vermelho seja menor que a soma dos demais comprimen- tos que completam o perímetro da folha. 2(2x + 4 + x + x) 2(x + 10) + x + x → → x 3. Nesse caso, é importante que se observe a figura para identificar a condição de existência de x (para que a figura exista, temos que ter x 0). Portanto, a resposta do problema deve atender simultaneamente às condições x 3 e x 0, o que pode ser escrito, resumidamente, como 0 x 3, com x dado em metros. Atividade 9 Para produzir x litros de uma substância, o custo por litro depende da quantidade produ- zida, ou seja, depende do valor de x. Em dada situação, o custo por litro é expresso pela relação 2x+4 x + 10 2x+4 x x x x MATEMÁTICA_CP_7s_Vol3_2013.indd 22 09/05/13 14:09
  24. 24. 23 Matemática – 7a série/8o ano – Volume 3 C = 1 000 – 1,5x. A empresa que fabrica essa substância desenvolveu um novo processo de produção que pode ser feito ao custo (por litro) dado pela fórmula C = 940 – 1,4x. Pergunta-se: a) Deseja-se produzir 450 litros da subs- tância. Em qual dos dois processos o custo por litro será menor? E se a quan- tidade a ser produzida for 620 litros? Para x = 450, o processo antigo implica um custo de (1 000 – 1,5 . 450) = R$ 325,00 por litro, e o novo, um custo de (940 – 1,4 . 450)= = R$ 310,00 por litro. Para x = 620, o processo antigo implica um custo de (1 000 – 1,5 . 620) = = R$ 70,00 por litro, e o novo, um custo de (940 − 1,4 . 620)= R$ 72,00 por litro. Portan- to, para 450 litros, o custo por litro dado pela fórmula antiga é maior que o dado pela fórmula nova, e para 620 litros a situação se inverte. b) Determine todos os valores de x para os quais o custo por litro no novo processo de produção é menor do que o custo por litro no processo antigo. Procura-se a solução da inequação 940 − 1,4x 1 000 − 1,5x, que é x 600. Devemos ainda observar que como x 0, portanto 0 x 600, com x dado em litros. Atividade 10 Para enviar uma mensagem do Brasil para os Estados Unidos via fax, uma empresa co- bra R$ 3,40 pela primeira página e R$ 2,60 por página adicional, completa ou não. Calcule o maior número de páginas possível de uma des- sas mensagens para que seu preço não ultra- passe o valor de R$ 136,00. Chamando de P o preço em R$ para enviar x páginas, temos: P = 3,4 + 2,6.(x – 1) Calcular o maior número de páginas possível para que o preço não ultrapasse R$ 136,00 resume-searesolvereinterpretarainequação 3,4 + 2,6.(x – 1) ≤ 136, com x inteiro. Resolvendo a inequação: 3,4 + 2,6x − 2,6 ≤ 136 → x ≤ 52. O maior número inteiro que é menor ou igual a 52 é o próprio 52, que é a resposta do problema. Atividade 11 Em um concurso com 20 questões, para cada questão respondida corretamente, o can- didato ganha 3 pontos e, para cada questão res- pondida de forma errada (ou não respondida), perde 1 ponto. Sabendo que para ser aprovado o candidato deve totalizar na prova um míni- mo de 28 pontos, calcule o menor número de questões respondidas corretamente para que o candidato seja aprovado no concurso. Chamaremos de x o número de questões respondidas corretamente pelo candidato e de 20 – x o número de questões respondidas erradamente ou não respondidas por ele. Se P é o total de pontos obtidos pelo candidato ao responder corretamente x questões, então a função que modela o problema é P = 3x – (20 – x), com x sendo um número inteiro tal que 0 ≤ x ≤ 20. O menor número de questões respondidas corretamente para que o candidato totalize um mínimo de 28 pontos será o menor inteiro que atende à inequação P ≥ 28. Resolvendo: MATEMÁTICA_CP_7s_Vol3_2013.indd 23 09/05/13 14:09
  25. 25. 24 3x – (20 – x) ≥ 28 3x – 20 + x ≥ 28 4x ≥ 48 x ≥ 12. Portanto, no mínimo ele deve acertar 12 questões, totalizando, nesse caso, exatamente 28 pontos. Atividade 12 Três planos de telefonia celular são apre- sentados na tabela a seguir: Plano Custo fixo mensal Custo adicional por minuto A R$ 35,00 R$ 0,50 B R$ 20,00 R$ 0,80 C R$ 0,00 R$ 1,20 a) Qual é o plano mais vantajoso para alguém que utiliza 25 minutos por mês? Chamando-se de CA , CB e CC o custo total dos planos A, B e C para x minutos de uso, teremos: Para qualquer valor de x maior do que 50 minutos, o plano A será mais barato que os planos B e C. Considerações sobre a avaliação Na Situação de Aprendizagem 1, discu- timos a resolução de equações e inequações. No tema equações, demos continuidade à introdução feita na 6a série/7o ano sobre o assunto, apresentando situações mais comple- xas, passíveis de equacionamento, bem como equações de 1o grau de complexidade maior que as apresentadas na série/ano anterior. No que diz respeito às desigualdades, nestes Cadernos, o estudo das inequações tem início na 7a série/ 8o ano e prossegue nas séries/anos seguintes. Na 7a série/8o ano, entendemos que o assunto deve ser tratado, sempre que possível, com maior ênfase dada à resolução de problemas e não à tecnicidade, o que não quer dizer que o professor deva abandonar por completo a sistematização de alguns procedimentos de resolução de inequações. Lembramos que o estudo das inequações está apenas começando na 7a série/8o ano e, certamente, será retoma- do com aprofundamento e outros matizes nas séries/anos seguintes. Uma vez que o aluno estará aprofundan- do seus conhecimentos sobre equações nesse volume, é tarefa importante do professor pre- pará-los para uma boa leitura de enunciados b) A partir de quantos minutos, de uso mensal, o plano A se torna mais vantajoso que os outros dois? Queremos encontrar o menor valor de x para que CA CB e CA CC . C = 35 + 0,5.x C = 35 + 0,5.25 =47,5 C = 20 + 0,8.x A A B → →→ → C = 20 + 0,8.25 =40 C = 1,2.x C = 1,2.25 =30 B C C Portanto, para 25 minutos de uso: CC CB CA . CA CB 35 + 0,5x  20 + 0,8x, ou seja, x  50 CB CC 35 + 0,5x  1,2x, ou seja, x  50 MATEMÁTICA_CP_7s_Vol3_2013.indd 24 09/05/13 14:09
  26. 26. 25 Matemática – 7a série/8o ano – Volume 3 e para a transposição de linguagens (do tex- to para a álgebra, e vice-versa). A leitura e a interpretação de enunciados será me- lhor, quanto mais o aluno puder praticá-la com orientação do professor. O professor deve evitar concentrar o curso apenas em problemas do tipo “resolva a equação...”, “determine o valor de x...”, etc., sendo preferível que se privilegiem problemas com texto e contexto. Instrumentalizar os alunos para uma boa leitura de enunciados significa orientá-los para que identifiquem os dados, as relações entre dados e a per- gunta. Em seguida, outra etapa importante é a da transposição das informações coleta- das para a linguagem da álgebra. Nesse mo- mento, o professor deve estar atento para as dificuldades específicas dos seus alunos para que possa elaborar a estratégia certa para a condução do curso. SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2 COORDENADAS CARTESIANAS E TRANSFORMAÇÕES NO PLANO Nesta Situação de Aprendizagem, iremos ampliar a noção de localização com base na exploração e na formalização do sistema de coordenadas no plano. Os alunos já trabalha- ram nas séries/anos anteriores com a leitura e a representação de valores numéricos em retas e gráficos. Nesta etapa da escolaridade, pretende-se que os alunos compreendam o sistema de coordenadas cartesianas como um modo organizado e convencionado para re- presentar objetos e relações matemáticas. Em outras palavras, eles devem conhecer as principais características do plano cartesiano: que é constituído por dois eixos perpendicula- res entre si, cada qual subdividido em partes iguais, representadas por números positivos e negativos; que o plano é dividido em qua- tro quadrantes, etc. São essas características que fazem do plano cartesiano um sistema apropriado para representar pontos, figuras geométricas, equações e funções. Contudo, há uma ressalva a se considerar: no plano cartesiano, os pontos representados nos dois ­eixos correspondem a números reais. Como os alunos ainda não estudaram a formação do conjunto dos reais e a reta real, trabalharemos neste momento apenas com pontos racionais. O que estamos chamando de coordenadas cartesianas é um sistema de coordenadas ra- cionais no plano. A formalização do plano cartesiano será feita posteriormente, a partir do estudo dos números reais e das funções. O conhecimento do sistema de coorde- nadas cartesianas também é importante para a continuidade dos estudos em Álge- bra. A representação de pares ordenados (x, y) correspondentes a uma equação com duas variáveis possibilita a análise gráfi- ca da solução de um sistema de equações. No Ensino Médio, o gráfico cartesiano será usado para a representação de diferentes ti- pos de função, da linear à exponencial. MATEMÁTICA_CP_7s_Vol3_2013.indd 25 09/05/13 14:09
  27. 27. 26 Inicialmente, propomos algumas atividades relacionadas à noção de localização antes de introduzir formalmente o sistema de coorde- nadas cartesianas. É importante explorar os conhecimentos prévios dos alunos em situa- ções de localização, tais como a procura de uma rua em um guia de endereços ou a localização de uma cidade em um mapa. A partir de alguns exemplos conhecidos, dis- cutiremos as principais características de um sistema de localização: a necessidade de um pon- to de referência, as coordenadas e as dimensões envolvidas, as convenções adotadas, etc. Em seguida, destacamos os principais elementos do sistema de coordenadas cartesianas: o ponto deorigem,aretanumérica,oseixoscoordenados, os pares ordenados e o plano cartesiano. Feito isso, propomos uma série de atividades que têm por objetivo consolidar o conhecimento do sistema de coordenadas cartesianas. As ativi- dades 5 e 6 tratam da representação de figuras geométricas no plano cartesiano. Na atividade 7, propomos um jogo de batalha-naval matemático envolvendo coordenadas cartesianas. Da ativida- de 8 em diante, introduzimos as transformações geométricas no plano cartesiano: por meio de operações realizadas com as coordenadas carte- sianas, exploraremos movimentos e transforma- ções de figuras geométricas simples, tais como translação, reflexão, ampliação e redução. Tempo previsto: 2 semanas. Conteúdos e temas: coordenadas; plano cartesiano; pares ordenados; transformações geométricas. Competências e habilidades: conhecer as principais características do sistema de coordenadas cartesianas; localizar pontos e figuras geométricas no plano cartesiano; realizar transforma- ções geométricas no plano usando operações com as coordenadas cartesianas. Estratégias: análise e resolução de situações–problema; uso de um jogo para a familiarização com o sistema de coordenadas; uso do plano para representar pontos e figuras. Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 2 A ideia de localização Um dos desafios que se coloca para o profes- sor da 7a série/8o ano é como introduzir o sistema de coordenadas cartesianas de uma forma sig- nificativa para o aluno. Sugerimos que se explo- rem, inicialmente, algumas situações e alguns contextos em que a noção de localização seja familiar aos alunos. Um aluno da 7a série/8o ano provavelmente já se deparou com algum tipo de problema de localização, como encontrar uma rua em um guia de endereços, achar um livro em uma biblioteca ou, até mesmo, jogar batalha- -naval. Em todos esses exemplos, a noção de coordenada está diretamente envolvida. Nosso trabalho será fazer com que o aluno saiba reconhecer e analisar os elementos que MATEMÁTICA_CP_7s_Vol3_2013.indd 26 09/05/13 14:09
  28. 28. 27 Matemática – 7a série/8o ano – Volume 3 estão presentes em uma situação de localização. Ele deverá se apropriar dos termos próprios da Matemática usados para localizar um objeto, tais como: origem, sentido, distância, escala, coorde- nada, reta numerada, eixos coordenados, plano cartesiano, par ordenado, etc. As atividades pro- postas a seguir caminham nessa direção. Atividade 1 – Localização Solicite aos alunos que tentem localizar o endereço de suas casas usando um guia de ruas. Eles devem consultar uma lista em or- dem alfabética das ruas de sua cidade, que deve conter duas informações: a página onde se encontra o mapa da região e a localização da rua neste mapa. A localização será feita por meio de duas informações: uma referência horizontal e uma referência vertical, ambas representadas por números ou por letras. Outra ideia que deve ser destacada é que a informação sobre a localização de um objeto parte sempre de um ponto de referência escolhido. No caso do guia de ruas, o ponto de referência é o canto superior esquerdo da página, onde se iniciam as sequências de números e letras. Na próxima atividade, exploramos uma situação em que as informações sobre a localização de um objeto depende do referencial escolhido. Atividade 2 – Ponto de referência Um empreiteiro deve construir um ralo em uma cozinha seguindo as instruções fornecidas pelo arquiteto na planta a seguir, construída em escala. R.Vadico R. Mendes Caldeira R.RodriguesdosSantos R.MonsenhorAndrade R. Elisa Whitaker R. João Teodoro R. São Caetano R. São Caetano R. Mauá R. Miguel Carlos R.daCantareira R.PlínioRamos R.AntônioPais Av. M ercúrio Av.doEstado Av.doEstado R. Benjamim de Oliveira R.BarãodeDuprat R.daCantareira R.Gen.Carneiro R. Fernandes Silva R. Sampaio Moreira R.daAlfândega R.SantaRosa R.doLucas R. do Gasômetro R. do Gasômetro R. Polignano A. Maré Praça São Vito R.MonsenhorAndrade B R Á S B O M R E T I R O R 1 A B C D 2 3 4 No mapa acima, a Rua Vadico encontra-se no quadro C4, ou seja, no cruzamento da 3a linha com a 4a coluna. Pode-se comentar com os alunos que, nesse caso, utilizou-se uma combinação de letras e números para dar a informação da localização de um ponto desta rua. Poderiam ser duas letras ou dois números, dependendo da convenção estabelecida pelo guia. O cru- zamento das duas informações resultou na localização da região em que se encontra a rua no mapa. Como achar a localização precisa do ralo por meio da planta fornecida? Se escolhermos ConexãoEditorial ConexãoEditorial ralo 3,2 m 0,3 m 0,7 m MATEMÁTICA_CP_7s_Vol3_2013.indd 27 09/05/13 14:09
  29. 29. 28 como ponto de referência o canto superior esquerdo da cozinha, então o ralo se encontra a 3,2 metros na direção horizontal e a 0,7 metros na direção vertical em relação ao ponto de referência escolhido. Veja a planta a seguir. Atividade 3 – Localização e dimensões Para encontrarmos o local de uma casa, precisamos do endereço dela. No caso, precisa- mos saber o nome da rua e o número da casa. Encontrada a rua, basta nos orientarmos pela numeração até localizarmos a casa. Por con- venção, a numeração de uma rua segue um sentido crescente de numeração relacionado à distância em relação ao início dessa rua. Esse início é estabelecido por convenção, e a partir dele numeram-se as residências, com os números pares à direita e os ímpares à esquerda. Assim, a casa de número 250 fica no lado direito da rua, a aproximadamente 250 metros de seu início. Esta situação envolveu a localização de um ponto em determinado espaço de uma dimensão, a saber, da distância da casa até o início da rua. No caso do guia de endereços, para lo- calizar uma rua foram necessárias duas in- formações: a primeira em relação à direção horizontal (representada por letras) e a segun- da em relação à direção vertical (representada por números). O mesmo ocorre quando que- remos informar a localização de um livro em uma estante. A prateleira informa a dimensão vertical, e a posição do livro na prateleira, a dimensão horizontal. Tal livro encontra-se na 5a prateleira de baixo para cima, e é o 5o da direita para a esquerda. Um mapa geográfico também envolve a localização de duas direções: a vertical, chamada de latitude, e a horizontal, que é a longitude. O sentido de cada uma dessas di- reções foi estabelecido por convenção: Norte e Sul a partir da linha do Equador para a la- titude, e Leste e Oeste a partir do meridiano de Greenwich para a longitude. A cidade de Santos, por exemplo, encontra-se 23° 57´ ao Por outro lado, se adotarmos como ponto de referência o canto superior direito, as coordenadas da localização do ralo mudam: 0,3 metros na horizontal e 0,7 metros na vertical. Embora as coordenadas variem de acordo com o referencial adotado, a posição do ralo é sempre a mesma. Tudo depende da escolha do referencial mais adequado em cada situação. ralo ralo ponto de referência ponto de referência 3,2 m 0,3 m 0,7m 0,7m ConexãoEditorialConexãoEditorial MATEMÁTICA_CP_7s_Vol3_2013.indd 28 09/05/13 14:09
  30. 30. 29 Matemática – 7a série/8o ano – Volume 3 Sul do Equador e 46° 20’ a Oeste do meridia- no de Greenwich. As três situações descritas envolveram a localização em um espaço de duas dimensões. Já a posição de um avião em pleno voo en- volve a localização em um espaço de três di- mensões. Além das coordenadas geográficas (latitude e longitude), precisamos determinar a altura em que o avião está viajando, completan- do assim três informações. Outro exemplo é a localização de um livro em uma biblioteca com várias fileiras de estantes. Precisamos informar a fileira em que se encontra a estante, a prate- leira e a posição do livro na prateleira. Três di- mensões, três informações são necessárias. Atividade 4 – Da reta numerada ao plano O modelo matemático mais usado para lo- calizar pontos em uma dimensão é a reta nu- merada (veja a figura a seguir). Para localizar um ponto com precisão em uma reta são neces- sários três elementos. O primeiro é um ponto de referência ou origem, a partir do qual serão feitas as comparações de distância. O segundo é um sentido de crescimento, de forma que seja possível estabelecer uma sequência crescente de numeração. E, por fim, uma unidade de medi- da, que servirá de parâmetro para a marcação de todos os outros pontos da reta. Parte-se do pressuposto de que é pos- sível associar cada ponto da reta a um único número real e cada número real a um úni- co ponto na reta. Essa afirmação não precisa ainda ser justificada para os alunos, uma vez que eles somente vão estudar a construção e a representação dos números reais na 8a série/ 9o ano. Neste momento, basta que eles com- preendam que é possível localizar e representar números inteiros e racionais na reta numerada. Essa correspondência entre pontos e números define um sistema de coordenadas na reta. O nú- mero correspondente a um ponto da reta é cha- mado de coordenada. A coordenada nada mais é doqueoendereçodeumpontonaretanumerada. A reta numérica, contudo, não é suficiente para localizar pontos em um espaço de duas dimensões. O modelo matemático mais utili- zado para esse fim é o plano. O plano cartesia- no consiste na junção de duas retas numeradas (eixos coordenados), uma horizontal e outra vertical, que se cruzam no ponto de origem. Do mesmo modo que um número repre- sentava um ponto na reta numerada, um par de números representará um ponto no plano. Cada um desses números corresponderá a um ponto em um dos eixos coordenados. Assim, o endereço de um ponto no plano correspon- de a um par ordenado de números. Essa orde- nação foi convencionada da seguinte forma: o primeiro número corresponde ao eixo horizon- tal, e o segundo, ao vertical. Por exemplo, o ponto correspondente ao par ordenado (3, 2) 543210–1–2–3 Origem Unidade Sentido MATEMÁTICA_CP_7s_Vol3_2013.indd 29 09/05/13 14:09
  31. 31. 30 encontra-se a 3 unidades de ­distância da ori- gem na horizontal e a 2 unidades na vertical. O gráfico a seguir mostra a representação de al- guns pares ordenados no plano cartesiano. ponto é uma coordenada composta por três pontos ordenados (x, y, z). É importante comentar com os alunos que o nome do sistema de coordenadas cartesia- nas é uma homenagem ao seu criador, o fi- lósofo e matemático francês René Descartes, que viveu no século XVII. A ideia de localizar pontos no plano por meio de um sistema de coordenadas representou um grande avanço no estudo da Geometria. A partir da cria- ção do sistema de coordenadas cartesianas, a Geo­metria passou a se apoiar nas técnicas de representação algébrica, permitindo um es- tudo mais analítico das figuras geométricas. Além disso, a própria Álgebra se transformou, pois os valores de uma função puderam ser representados graficamente, permitindo uma análise geométrica das expressões algébricas. As atividades a seguir têm como objetivo principal familiarizar os alunos com os princi- pais elementos do sistema de coordenadas no plano, por meio da representação de figuras geométricas e das possíveis transformações que podem ser feitas a partir de operações com suas coordenadas: translações, reflexões, am- pliações e reduções. Na atividade 5, serão in- troduzidos os termos abscissa e ordenada para designar as coordenadas do eixo x e do eixo y, respectivamente. Atividade 5 – Representação de figuras geométricas no plano Observe as figuras geométricas representa- das no plano a seguir. Por convenção, o ponto de origem do plano corresponde ao par ordenado (0, 0), que é o ponto de interseção das duas retas numeradas. O sentido de crescimento no eixo horizontal é da esquerda para a direita, e no vertical, de bai- xo para cima. Os números positivos são repre- sentados à direita e acima do ponto de origem, e os negativos à esquerda e abaixo desse ponto. Os pontos do plano são representados pelos pares ordenados (x, y), no qual x representa os valores associados ao eixo horizontal, e y, os valores associados ao eixo vertical. No caso da representação de planos no espaço, acrescenta-se mais um eixo coorde- nado perpendicular ao plano, passando pela origem. Assim, no espaço, o endereço de um 4 3 2 1 –1 –2 –3 –4 43210–1–2–3– 4 (–3, 1) (3, 2) (2, –2) x (0, 0) (–1, – 4) y MATEMÁTICA_CP_7s_Vol3_2013.indd 30 09/05/13 14:09
  32. 32. 31 Matemática – 7a série/8o ano – Volume 3 1. Determine as coordenadas de seus vértices. As coordenadas dos vértices do quadrado ABCD são A (6, 5), B (4, 7), C (2, 5) e D (4, 3). As do triângulo EFG são E (–2, 1), F (– 8, 5) e G (– 8, 1). As do retângulo HIJK sãoH(0,–1),I(– 6,–1),J(– 6,– 4),K(0,– 4). AsdotriânguloLMNsãoL(6,0),M(0,– 6) e N (4, – 6). 2. Quais pontos possuem a mesma abscissa? Os pontos A e L possuem abscissa 6. Os pontos B, D e N possuem abscissa 4. Os pontos H, K e M possuem abscissa 0. Os pontos I e J possuem abscissa – 6. Os pontos F e G possuem abscissa – 8. 3. Quais pontos possuem ordenadas iguais a zero? Somente o ponto L possui ordenada igual a 0. Na próxima atividade, os alunos deverão fazer o caminho inverso, isto é, partindo das coordenadas para representar as figuras geo- métricas no plano cartesiano. Atividade 6 – Desenhando polígonos Desenhe os seguintes polígonos no plano cartesiano a partir das coordenadas de seus vértices: 1. Triângulo ABC, sendo A (5, 2), B (7, 7) e C (1, 5). 2. Quadrado DEFG, sendo D (–3, 2), E (–3, 7), F (– 8, 7) e G (– 8, 2). 3. Hexágono HIJKLM, sendo H (–7, 0), I (–10, 0), J (–12, –3), K (–10, –6), L (–7, – 6) e M (–5, –3). 4. Quadrilátero NOPQ, sendo N (7, 0), O (0, –3), P (7, – 6) e Q (5, –3). A familiaridade com os termos abscissa e ordenada pode levar ainda algum tempo. Assim, se os alunos apresentarem dificul- dade nessa atividade, o professor pode re- formular a pergunta, substituindo o termo abscissa por coordenada x e ordenada por coordenada y. O importante é enfatizar a capacidade leitora dos alunos em relação às coordenadas cartesianas no plano. Outro problema que costuma aparecer é a dificul- dade de leitura de pontos que estejam nos eixos coordenados. Por exemplo, o ponto L situa-se no eixo x, e possui coordenada (6, 0). O ponto H está situado no eixo y, possui coordenada (0, –1). Deve-se mostrar aos alunos que todo ponto situado no eixo x será representado por um par ordenado (x, 0), e todo ponto situado no eixo y, por um par ordenado (0, y). F G E –5 10 –10 5 5 –5 10 J HI B A D C M K N L –10 y x MATEMÁTICA_CP_7s_Vol3_2013.indd 31 09/05/13 14:09
  33. 33. 32 A próxima atividade é uma espécie de jogo de batalha naval adaptado para o plano car- tesiano. O uso de jogos como estratégia de ­ensino na Matemática tem se mostrado bas- tante proveitoso, sobretudo com alunos do En- sino Fundamental. Esse jogo tem por objetivo o conhecimento do sinal das coordenadas nos quatro quadrantes do plano cartesiano. No primeiro quadrante, ambas as coordenadas são positivas; no segundo, a abscissa é negativa e a ordenada positiva; no terceiro, ambas as coor- denadas são negativas; e no quarto, a abscissa é positiva e a ordenada, negativa. Pode-se explorar com os alunos que nos qua- -drantes ímpares (1o e 3o ) as coordenadas têm o mesmo sinal, enquanto nos quadrantes pares, (2o e 4o ) elas têm sinal oposto, como mostra a fi- gura abaixo. 1o e 2o quadrantes, e o jogador Sul no 3o e 4o ­quadrantes. Cada tiro é um par ordenado (x, y) que representa um ponto no plano cartesiano. Os objetos a serem descobertos são os seguintes: Atividade 7 – Batalha-naval matemática Este jogo é uma batalha-naval desenvolvida em um plano coordenado. As regras são as mes- mas do tradicional jogo de batalha-naval. A di- ferença é que, em vez de navios e submarinos, os objetos a serem atingidos são símbolos e objetos matemáticos. Além disso, a batalha se desenvol- ve nos quatro quadrantes do plano cartesiano. O jogador Norte posiciona seus símbolos nos Os símbolos devem ser posicionados no tabuleiro do jogo, que é um plano cartesiano. Por exemplo, o jogador Norte deve posicio- nar seus símbolos no 1o e 2o quadrantes, como mostra a figura a seguir. O jogador Sul terá três tentativas de tiro. Cada tentativa deve ser anunciada como um par ordenado (x, y). Em seguida, o jogador Norte deverá informar se os tiros acertaram algum símbolo. Por exemplo, se os tiros forem (3, 5), (–2, 4) e (–5, 5), apenas o segundo tiro terá acertado o alvo, que é o símbolo da multiplicação. É importante que cada jogador dê os ti- ros com as coordenadas correspondentes ao ponto adição triângulo menor subtração quadrado multiplicação triângulo maior divisão y x –5 10–10 50 10 –5 5 –10 y x 3o (−, +) (−, −) (+, +) (+, −) 1 4o o 2o MATEMÁTICA_CP_7s_Vol3_2013.indd 32 09/05/13 14:09
  34. 34. 33 Matemática – 7a série/8o ano – Volume 3 quadrante do adversário, caso contrário, po- derá acertar a própria esquadra. O jogo termi- na quando um jogador acertar as coordenadas dos oito símbolos do outro jogador. As próximas atividades envolvem trans- formações geométricas no plano. Por meio de simples operações aritméticas realizadas com as coordenadas dos vértices de figuras geométricas, iremos explorar algumas trans- formações que podem ser realizadas com es- sas figuras. É importante destacar que esta é uma abordagem dinâmica da Geometria, em contraposição à maneira usual, que é estáti- ca. Por meio dela, os alunos poderão analisar não apenas o movimento das figuras no plano (translações e reflexões) como, também, am- pliações e reduções dessas figuras. Atividade 8 – Translação Considere o triângulo ABC. As coordena- das (x, y) de seus vértices são A (3, 2), B (7, 3) e C (4, 5). unidades na direção do eixo coordenado correspondente. Por exemplo, somando 6 às abscissas dos vértices do triângulo ABC, obteremos o triângulo A’B’C’ de coordena- das (x + 6, y). Esse novo triângulo resulta da translação horizontal (segundo o eixo x) em 6 unidades do triângulo original, como mostra a figura. A tabela a seguir mostra as transformações nas coordenadas de cada vértice. DABC (x, y) DA’B’C’ (x + 6, y) A (3, 2) A’ (9, 2) B (7, 3) B’ (13, 3) C (4, 5) C’ (10, 5) 2. Translação vertical: Somando –10 às ordenadas do triângulo ABC, obtemos o triângulo A’B’C’, cujas coordenadas dos vértices são ( x, y – 10), conforme mostram a figura e a tabela a seguir. ABC (x, y) A’B’C’ (x, y – 10) A (3, 2) A’ (3, –8) B (7, 3) B’ (7, –7) C (4, 5) C’ (4, –5) 1. Translação horizontal: Se somarmos uma constante a às coordenadas dos três vér- tices, o triângulo será transladado em a y 5 C A B 2 3 4 7 x 3 y 5 3 2 x3 4 7 C A B 9 10 13 A' C' B' MATEMÁTICA_CP_7s_Vol3_2013.indd 33 09/05/13 14:09
  35. 35. 34 3. Translação combinada: Ocorre quando so- mamos constantes às duas coordenadas de cada vértice. Por exemplo, se quisermos transladar o triângulo ABC em 11 uni- dades para a esquerda e 4 unidades para cima, devemos fazer a seguinte operação em suas coordenadas: (x – 11, y + 4). coordenadas (x + a, y + b), em que a e b são números reais quaisquer. Atividade 9 – Reflexão 1. Reflexão em relação ao eixo y: se multiplicar- mos as abscissas dos vértices por –1, a figura será refletida em relação ao eixo y. Obteremos o triângulo A’B’C’ de coordenadas (–x, y). ABC (x, y) A’B’C’ (x – 11, y + 4) A (3, 2) A’ (–8, 6) B (7, 3) B’ (–4, 7) C (4, 5) C’ (–7, 9) ABC (x, y) A’B’C’ (–x, y) A (3, 2) A’ (–3, 2) B (7, 3) B’ (–7, 3) C (4, 5) C’ (–4, 5) A reflexão preserva a distância dos vértices em relação ao eixo, como mostra a figura. O vértice A está à mesma distância do eixo y que o vértice A’. O mesmo vale para B e B’, C e C’. Assim, podemos afirmar que o triângulo A’B’C’é simétrico ao triângulo ABC em relação ao eixo y. 2. Reflexão em relação ao eixo x: se multiplicar- mos as ordenadas dos vértices por –1, a figura será refletida em relação ao eixo x. Obteremos o triângulo A’B’C’, de coordenadas (x, –y). ABC (x, y) A’B’C’ (x, –y) A (3, 2) A’ (3, –2) B (7, 3) B’ (7, –3) C (4, 5) C’ (4, –5) Genericamente, temos que a translação de um ponto de coordenadas (x, y) passa a ter 2 3 5 6 7 9 –8 –4 3 4 7–7 y x C A A' B C' B' –7 –3 4 7 x–4 3 y C AA' B C' B' 2 3 5 743 –7 –8 –5 2 3 5 C A A' B C' B' y x MATEMÁTICA_CP_7s_Vol3_2013.indd 34 09/05/13 14:09
  36. 36. 35 Matemática – 7a série/8o ano – Volume 3 Neste caso, observa-se que o triângulo A’B’C’é simétrico ao triângulo ABC em relação ao eixo x. 3. Reflexão em relação à origem: se multiplicar- mos ambas as coordenadas dos vértices por –1, a figura será refletida em relação à origem. O que é equivalente a uma composição de reflexões, uma em relação ao eixo y e outra em relação ao eixo x, ou vice-versa. Obteremos, de qualquer modo, o triângulo A’B’C’ de coorde- nadas (–x, –y), como mostra a figura a seguir. Agora, o ponto de simetria entre os triân- gulos é a própria origem (0, 0). Ou seja, a dis- tância de A até a origem é igual à distância de A’ até a origem, o mesmo acontecendo em relação a B e B’ e C e C’. A reflexão por um ponto é equivalente à composição entre duas translações, uma vertical e outra horizontal, como mostra a figura. Atividade 10 – Ampliação e redução 1. Ampliação: para ampliar as dimensões do triângulo ABC em duas vezes, multiplica- mos suas coordenadas por 2, obtendo o triângulo A’B’C’. ABC (x, y) A’B’C’ (–x, –y) A (3, 2) A’ (–3, –2) B (7, 3) B’ (–7, –3) C (4, 5) C’ (– 4, –5) ABC (x, y) A’B’C’ (2x, 2y) A (3, 2) A’ (6, 4) B (7, 3) B’ (14, 6) C (4, 5) C’ (8, 10) Neste caso, ao duplicarmos as coordena- das de ABC, as distâncias até a origem tam- bém duplicam. OA’ = 2.OA OB’ = 2.OB OC’ = 2.OC 743 2 –5 3 –3 5 y x –2 y 2 –2 –3 –5 –3 3 4 7 x–4–7 3 5 C B A A' B' C' y 2 3 4 6 7 8 14 x 3 4 5 6 10 C A A' B C' B' A' C' B' A C B MATEMÁTICA_CP_7s_Vol3_2013.indd 35 09/05/13 14:09
  37. 37. 36 Generalizando, para ampliar uma figura em n vezes, multiplicamos suas coordenadas (x, y) por n, obtendo (n.x, n.y), para n 1. Quando 0 n 1, obtemos uma redução da figura, como mostra o exemplo a seguir. 2. Redução: para reduzir as dimensões do tri- ângulo ABC, tornando-as quatro vezes me- nores, multiplicamos suas coordenadas por 1 4 , obtendo o triângulo A’B’C’ de coordena- das ( 1 4 x, 1 4 y). Em seguida, peça que analisem o que aconte- ce com os pontos da figura quando somamos um valor constante às suas abscissas ou quando multiplicamos suas coordenadas por um valor negativo. Ao realizarem essas simples operações aritméticas, os alunos podem descobrir os dife- rentes tipos de transformações envolvidas. Ao professor caberá a tarefa de nomear e sistema- tizar os diferentes tipos de transformação, usan- do uma notação simbólica. Translação horizontal: (x, y)  (x + a, y) Translação vertical: (x, y) (x, y + b) Translação horizontal e vertical: (x, y)  (x + a, y + b) Reflexão horizontal: (x, y)  (–x, y) Reflexão vertical: (x, y)  (x, –y) Reflexão pela origem: (x, y)  (–x, –y) Ampliação: (x, y)  (ax, ay). Para a 1. Redução: (x, y)  (ax, ay). Para 0 a 1. ABC (x, y) A’B’C’ ( 11 44 x, 11 44 y) A (3, 2) A’ (0,75; 0,5) B (7, 3) B’ (1,75; 0,75) C (4, 5) C’ (1; 1,25) NoCadernodoAlunoapresentamosati- vidades relativas apenas às transformações: translação (horizontal; vertical; horizontal e vertical) e reflexão (horizontal; vertical). Todavia, se houver tempo e se julgar neces- sário, o professor poderá propor situações envolvendo as demais transformações: re- flexão pela origem, ampliação e redução. Apesar da rotação ser uma transformação, não a incluímos nas atividades anteriores. Consideramos que a inclusão desse tópico implicaria a discussão sobre ângulos, e a determinação das coordenadas ficaria mais complexa, fugindo ao objetivo principal desta Situação de Aprendizagem. 2 0,75 0,75 1,75 3 4 7 1,25 3 5 y x C A A' B C' B' Comentários sobre a aplicação da Situação de Aprendizagem A aplicação dessas atividades pode ser me- nos expositiva e mais investigativa. Por exem- plo: solicite aos alunos que representem uma figura geométrica qualquer no plano cartesiano. MATEMÁTICA_CP_7s_Vol3_2013.indd 36 09/05/13 14:09
  38. 38. 37 Matemática – 7a série/8o ano – Volume 3 Considerações sobre a avaliação Após a realização das atividades propostas, esperamos que os alunos estejam mais familia- rizados com as coordenadas cartesianas e com as representações gráficas de pontos no plano, construindo uma base sólida para a represen- tação de equações e resolução de sistemas, con- teúdos da próxima Situação de Aprendizagem. O uso do jogo de batalha-naval matemática como recurso didático constitui um excelente estímulo para o aluno se apropriar das coorde- nadas cartesianas e dos quadrantes do plano car- tesiano. Além disso, a sequência de atividades de transformações geométricas no plano coloca tanto a Geometria como o uso do plano cartesia- no em outra perspectiva, diferente da usualmente adotada. Acreditamos que tal abordagem favore- ce a aprendizagem significativa do sistema de co- ordenadas cartesianas e amplia o conhecimento geométrico dos alunos, ao introduzir o movimen- to e a transformação nas figuras geométricas. O processo de avaliação deve ser elaborado pelo professor de acordo com as característi- cas de cada turma e com os objetivos de apren- dizagem mínimos estabelecidos pelo atual Currículo. Acreditamos que, ao final desse percurso, o aluno deve se apropriar dos se- guintes conhecimentos, necessários para a continuidade de seus estudos: ffcompreender a associação entre pontos de uma reta e números; fflocalizar e representar pontos no plano car- tesiano; ffdistinguir os sinais das coordenadas carte- sianas em cada quadrante do plano; ffconhecer as características das principais transformações geométricas no plano. Uma atividade que permite avaliar se o aluno apropriou-se efetivamente do sistema de coorde- nadas cartesianas e dos diferentes tipos de trans- formação geométrica é a seguinte: solicita-se que cada aluno represente uma figura geométrica qualquer no plano cartesiano, identificando os vértices com letras e anotando suas coordena- das. Em seguida, eles devem escolher pelo menos duas transformações e aplicá-las na figura esco- lhida. Por exemplo, o aluno pode representar um quadrilátero ABCD e aplicar uma reflexão em relação ao eixo y e uma redução de 50%, como mostra a figura a seguir. Quadrilátero ABCD: A (3, 7), B (6, 8), C (10, 6), D (6, 10) Reflexão em relação ao eixo y: A’ (–3, 7), B’ (– 6, 8), C’ (–10, 6), D’ (– 6, 10) Redução em 50% (0,5): A” (–1,5, 3,5), B” (–3, 4), C” (–5, 3), D” (–3, 5) Por meio desta atividade, o professor po- derá avaliar se o aluno se apropriou efetiva- mente do sistema de coordenadas cartesianas e das transformações no plano. A'' y 5 –5 5 10 x –10 10 AA' B B' B'' CC' C'' DD' D'' MATEMÁTICA_CP_7s_Vol3_2013.indd 37 09/05/13 14:09
  39. 39. 38 Tempo previsto: 3 semanas. Conteúdos e temas: sistemas de equações; métodos de resolução (adição e substituição); representação gráfica de uma equação linear com duas variáveis; análise das soluções de um sistema linear (algébrica e gráfica). Competências e habilidades: traduzir um problema para a linguagem algébrica na forma de um sistema; resolver sistemas de equações pelo método da adição; resolver sistemas de equações pelo método da substituição; representar uma equação com duas incógnitas no plano cartesiano; analisar e discutir as possíveis soluções de um sistema linear; interpretar graficamente a solução de um sistema. Estratégias: análise de situações-problema envolvendo sistemas de equações lineares; uso da analogia com balanças para compreender os métodos de resolução; representação gráfica das equações de um sistema. SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES O assunto principal desta Situação de Aprendizagem é o estudo dos sistemas de equações de 1o grau. Os alunos já estão fami- liarizados com a resolução das equações de 1o grau, conteúdo que foi estudado na 6a série/ 7o ano e aprofundado neste mesmo Caderno, na Situação de Aprendizagem 1. Nesta Situação de Aprendizagem, apresen- taremos alguns problemas que envolvem duas equações e duas incógnitas. São os chamados sistemas de equações lineares, pois as equações podem ser representadas no plano cartesiano por uma reta. Inicialmente, discutiremos o significado das equações com duas incógnitas e os métodos de resolução de sistemas por meio da análise de situações-problema. Recorremos à já conhecida analogia com as balanças de prato para ilustrar o método da substituição e o da adição, o que, a nosso ver, contribui para uma melhor compreen- são por parte do aluno dos procedimentos estu- dados. Deve-se evitar a simples memorização ou automatizaçãodosprocedimentos,poisissoacaba por gerar um aprendizado precário da Álgebra, potencializando erros e dificuldades posteriores. Depois, apresentaremos dois procedimen- tos de resolução de sistemas (adição e subtra- ção), com um enfoque na escolha do método pelo aluno e na verificação dos resultados em relação à pergunta original do problema. A representação gráfica de equações com duas variáveis no plano cartesiano será explorada nas últimas atividades. A construção do gráfico das equações de um sistema vai ajudar o aluno a compreender melhor quando o sistema é possível e determinado ou indeterminado e impossível. MATEMÁTICA_CP_7s_Vol3_2013.indd 38 09/05/13 14:09
  40. 40. 39 Matemática – 7a série/8o ano – Volume 3 Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 3 Atividade 1 – Equações e incógnitas 1. Considere o problema seguinte: A soma das idades de João e Maria é 28 anos. Qual a idade de cada um deles? Transcrevendo o problema para a linguagem algébrica, temos x + y = 28. Se conside- rarmos apenas as idades completas de João e Maria (números naturais entre 1 e 28), te- remos as seguintes possibilidades de solução, mostradas na tabela a seguir: A tabela mostra que são possíveis 27 pares de soluções. Ou seja, considerando apenas as infor- mações contidas no enunciado, o problema fica indeterminado, isto é, aceita mais de uma solução. Para que o problema tenha uma solução determi- nada, precisamos de mais uma informação numé- rica a respeito das idades de João e Maria. Em termos algébricos, uma equação com duas incógnitas pode ter mais de uma solução. Depen- dendo do domínio, pode haver infinitas soluções. 2. Se o enunciado também informasse que João é 4 anos mais velho que Maria, mais uma equação seria acrescentada ao proble- ma, delimitando o número de soluções. Essa nova informação pode ser escrita algebri- camente como x = y + 4. Ou ainda, de forma equivalente, como x – y = 4, pois a diferença de idade entre João e Maria é de 4 anos. Obser- vando a tabela, há um único par de valores que satisfaz ambas as equações: x = 16 e y = 12. Portanto, o problema passou a ter uma solução determinada. A idade de João é 16 anos e a de Maria 12 anos. 3. Se o problema nos informasse que a idade de João é o triplo da de Maria, teríamos que x = 3y. O único par de valores que satisfaz essa nova condição é 21 e 7. Portanto, João teria 21 anos e Maria 7 anos. 4. Consideremos, agora, o caso em que a idade de Maria é o dobro da idade de João. Nesse caso, observando a tabela, não há nenhum par de valores inteiros que satisfaçam essa condi- ção. Ou seja, dentro do contexto inicial, o problema não possui solução. A não ser que considerássemos as idades não inteiras. Isso tornaria inviável a so- lução pela tabela, pois existem infinitos pares que satisfazem a primeira equação. João (x) Maria (y) 1 27 2 26 3 25 4 24 5 23 6 22 7 21 8 20 9 19 10 18 11 17 12 16 13 15 14 14 João (x) Maria (y) 15 13 16 12 17 11 18 10 19 9 20 8 21 7 22 6 23 5 24 4 25 3 26 2 27 1 MATEMÁTICA_CP_7s_Vol3_2013.indd 39 09/05/13 14:09

×