ALGEBRA                       POTENCIACIÓN                                                      RADICACIÓN                ...
ALGEBRA                                                                                Donde: uQ = √a)=3                  ...
ALGEBRAI. PROPIEDADES                                             6) POLINOMIOS IDÉNTICOS    1) ∑ bO }	V 	M( * = M(1*     ...
ALGEBRAX. EQUIVALENCIA DE ARGAN’D        (           +         +       n *( n                                             ...
ALGEBRA                                                      CASOS DE LOS COCIENTES NOTABLESZONA                        DE...
ALGEBRA         MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN                               IV. VARIOS                                         ...
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  1. 1. ALGEBRA POTENCIACIÓN RADICACIÓN ∶ ; ∈ ℝ T ! ∶ í O O B V P = M E ∶ AO ; ∈ ℤ √ = Q ∶ AO ; ∈ ℤ ) M ∶ AO P ; A ∈ ℝ S ∶B V P VO ; ∈ ℝ R Q ∶ B W ; Q ∈ ℝI. DEFINICIONES 1) ∀ ∈ ℛ I. DEFINICIONES 1) ∀ , ∈ ℛ ∧ ∈ℤ C =1 √ = ⟺ = ) 2) ∀ ∈ ℛ ∧ ∈ℤ 2) ∀ ∈ ℛ ∧ ∈ℤ ; = 1 ; = 1 ) = E ./ ∙ ∙ //1 ; ≥ 2 ∙ //0/… ∙ √ = Y Z/) ; ≥ 2 ")" F #GH489 3) ∀ ∈ ℛ − 0 ∧ ∈ℤ : √ , √ ∈ ℝ II. TEOREMAS 1 =) = ) 1) RAIZ DE UN PRODUCTO √ ∙√ = √ ∙II. TEOREMAS 2) RAIZ DE UN COCIENTE ∀ ∈ ℛ ∧ , ∈ ℤ √ 1) PRODUCTO DE BASES IGUALES = 3 ∙ ) = 3 ) √ ∀ ∈ ℛ − 0 ∧ , ∈ ℤ 2) COCIENTE DE BASES IGUALES 3) POTENCIA DE UNA RAIZ 3 3 √ = √ 3 = 3/) ) = 3=) 4) RAIZ DE UNA RAIZ ∀ ∈ ℛ ∧ , ∈ ℤ √ = √ % 3) POTENCIA DE UNA POTENCIA %∙ ( 3 *) = 3∙) III. PROPIEDADES ∧ ∈ ℛ , ∈ ℤ 4) POTENCIA DE UN PRODUCTO ! ( ) "*+ # 1) " $ # √ = % √ %∙ ∙$ ( ∙ *) = ) ∙ ) % :; 2) , ! … √ = √ % ∧ ∈ ℛ , ≠ 0, ∈ℤ :; 5) POTENCIA DE UN COCIENTE ./ / /0/ / /1 // // ) ) "3" 4 56# 789 K L = ) ! √ … = √ :; 3) Los teoremas hasta aquí ÷! ( )="*+=# ÷√ = % " # √ $ %∙ ∙$ OBSERV. mostrados se extienden para cualquier exponente real. 4) % ?; √ ; A B % III. PROPIEDAD 5) , ÷ ?; = = =P 3 $ 3 " ÷ ! ÷ …÷ √ = > .////////0////////1 % :; √ ;A B % ?; "3" 4 56# 789Prof. Widman Gutiérrez R. Página 1
  2. 2. ALGEBRA Donde: uQ = √a)=3 ÷ ! ÷ √ ÷ … = √ ?; 6) II. Para denominador BINOMIO índice 2 ECUACIONES EXPONENCIAL ∀ > 0 ∧ ≠ 1 √a + √h √a − √h a−h E.IRRACIONAL FR E.RACIONAL √a − √h √a + √h a−h I. TEOREMA z = { ⟹ =p II. PROPIEDAD ∀ , ∈ℝ − 1 III. Para denominador BINOMIO índice 3 z = z ⟹ =0 √a + √h a+h E.IRRACIONAL FR E.RACIONAL n n √a − √a ∙ √h + √h v v v v v v √a − √h a−h n n √a + √a ∙ √h + √h v v v v v v RACIONALIZACIÓN FACTOR RACIONALIZANTE (FR) CASOS ESPECIALES (^ A. `QQab`cdae* ∙ (fg* = ^ AB. Qab`cdae I. ∀ ℤ ∧ ≥2 RADICAL SIMPLE: Número irracional de la forma w √a − √hx(uQ* = a − h )=Z )=n )=Z √ ; ∈ ℤ ,a ∧ h ∈ ℚ fg = √a + √a √h + ⋯ + √h RADICAL DOBLE: Número irracional de la forma II. ∀ ℤ ∧ A B % a ± √h ; ∧ ∈ ℤ ,a ∧ h ∈ ℚ w √a − √hx(uQ* = a + h )=Z )=n )=Z fg = √a − √a √h + ⋯ + √h ∀ ℤ ∧ A B FORMA !k ± √l EN RADICALES SIMPLES TRANSFORMACIÓN DEL RADICAL DOBLE DE LA III. w √a + √hx(uQ* = a − h POR FÓRMULA )=Z )=n )=Z fg = √a + √a √h + ⋯ + √h a+b a−b a ± √h = , ±, 2 2 Donde: b = √an − hn (Número racional) EL POLINOMIO REGLA PRÁCTICA FORMA GENERAL DE UN POLINOMIO EN LA VARIABLE X !o ± 2√d = √ ± !p ; > p; M( * = C ) + Z )=Z + n )=n + )=Z + ) Donde: ∙ p = d ∧ + p = o Donde: bO } P ∶ C ; Z ; n ; … ; ) sMtC : •B VO V M = ; ∈ℕ CASOS DE RACIONALIZACIÓN C : bO } P MB P A (CP)I. Para denominador MONOMIO ) : bO } P ` V A V V (~`* q √a3 rsfgt = a; , ∈ ℤ / > Prof. Widman Gutiérrez R. Página 2
  3. 3. ALGEBRAI. PROPIEDADES 6) POLINOMIOS IDÉNTICOS 1) ∑ bO } V M( * = M(1* M( * ≡ •( * •O V : 2) ~` M( * = M(0* M( * ≡ … + +P •( * ≡ … + + P A : = ; = ; P =II. GRADO DE POLINOMIOS o( ; p* = 5 p +2 ‰ Š p + … ‹ p ‹ ‰ •B VO Q ŒO = •Q( * = 5 •B VO Q ŒO V p = •Q(p* = 6 PRODUCTOS NOTABLES •B VO a O O V o = •a(o* = 4 + 6 = 10 I. CUADRADO DE UN BINOMIOIII. POLINOMIOS ESPECIALES 1) ( + *n = n +2 + n 1) POLINOMIO HOMOGENEO 2) ( − *n = n −2 + n M( ; p* ≡ … + 5 p n − n p OBSERVACIÓN: ∀ ∈ ℤ ( − *n3 = ( − *n3 Es homogéneo de grado 3(grado de homogeneidad) 2) POLINOMIO ORDENADO II. EQUIVALENCIA DE LEGENDRE M( * ≡ Ž + ‰ − 1) ( + *n + ( − *n = 2( n + n* 2) ( + *n − ( − *n = 4 Ordenado en forma DECRECIENTE M( * ≡ ‰ + ZC − …n Ordenado en forma CRECIENTE III. PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA ( + *( − * = n − n 3) POLINOMIO COMPLETO IV. CUADRADO DE UN TRINOMIO M( * ≡ n + + 4 ( + + P*n = n + n + Pn + 2 +2 P+2 P Es completo de 2° grado, tiene 3 términos V. CUBO DE UN BINOMIO d° V éB O = •a + 1 ( + *… = … +3 n +3 n + … PROPIEDAD 4) POLINOMIO PRIMITIVO EN X ( − *… = … −3 n +3 n − … M( * ≡ 2 n − 3 … + 10 Está definido en ℤ VI. EQUIVALENCIA DE CAUCHY ( + *… = … + … +3 ( + * ( − *… = − −3 ( − * Además: MCD(2;-3;10)=1 … … 5) POLINOMIO IDENTICAMENTE NULO M( * ≡ 0 VII. SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS No tiene grado definido … + … = ( + *( n − + n* … − … = ( − *( n + + n* M( * ≡ + +P PROPIEDAD … =0∧ =0∧P =0 VIII. TRINOMIO AL CUBO ( + + P*… = … + … + P … + 3( + *( + P*( + P* Se cumple: Polinomio constante de grado cero es IX. EQUIVALENCIA DE STEVEN ( + *( + * = +( + * + cualquier número real distinto de cero OBS. Polinomio Mónico es literal de la n ( + *( + *( + P* = + ( + + P* n + forma P(x) definida en Z y de … ( + P + P* + P coeficiente principal uno.Prof. Widman Gutiérrez R. Página 3
  4. 4. ALGEBRAX. EQUIVALENCIA DE ARGAN’D ( + + n *( n − + n* = + + METODOS PARA EFECTUAR UNA DIVISIÓN n ‰ n n ‰ ENTRE POLINOMIOSXI. EQUIVALENCIA DE LAGRANGE MÉTODO DE HORNER ( n + n *( n + pn* ≡ ( + p*n + ( p − *n Z ‰ + Z … + PZ n + VZ + Z n+ ( n + n +P n *( n + p n + W n * ≡ n n + Pn ( + p + PW*n + ( p − *n + ( W − P *n + ( W − Pp*n •( * ≡ Z ‰ + Z … + PZ n + VZ + Z V( * ≡ n n + n + PnXII. EQUIVALENCIA DE GAUSS ( + + P*( n + n + Pn − − P − P* = … + … + P… − 3 P n Z Z PZ VZ Z Zona 1 Zona 2 nXIII. EQUIVALENCIA CONDICIONAL Si los números , ∧ P verifican: + +P =0 Pn n + n + P = 2( n + P + P* ( + P + P*n = ( *n + ( P*n + ( P*n … + … + P… = 3 P 1 ‰ + ‰ + P‰ = ( n + n + P n *n 2 ‹ + ‹ + P‹ = 5 P( + P + P* ZONA DESCRIPCIÓN Coeficientes del polinomio DIVIDENDO (de IMPLICANCIAS NOTABLES 1 izquierda a derecha) Siendo , ∧ P números reales tenemos: Coeficientes del polinomio DIVISOR (de arriba n + n + Pn = + P + P ⟹ = =P 2 hacia abajo), el 1er coeficiente con su signo y los Si: siguientes con signo cambiado + n + Pn = 3 … P⇒ + + P = 0 ∨ 3 = =P Coeficientes del polinomio COCIENTE Si: 4 Coeficiente del polinomio RESIDUO DIVISIÓN DE POLINOMIOS •( * = V( * ∙ •( * + Q( * REGLA GENERALIZADA DE RUFFINI Z ‰ + Z … + PZ n + VZ + Z •( * : es el dividendo + Donde: V( * : es el divisor •( * : es el cociente •( * ≡ Z ‰ + Z … + PZ n + VZ + Z Q( * : es el residuo o resto V( * ≡ + → + = 0 = − / I. PROPIEDADES REFERIDAS AL GRADO ”•–—˜(™* ≥ ”•–—˜(—* 1 •B VO(•* = •B VO(•* − •B VO(V* 2 •B VO(Q* < •B VO(V* 3 •B VO(Q*3 z = •B VO(V* − 1Prof. Widman Gutiérrez R. Página 4
  5. 5. ALGEBRA CASOS DE LOS COCIENTES NOTABLESZONA DESCRIPCIÓN 1 Coeficientes del polinomio DIVIDENDO (de I. ∀ ¦ ∈ ℕ /¦ ≥ - ž¦ =¬¦ izquierda a derecha) =ž¦=® + ž¦=- ¬ + ž¦=¯ ¬- + ⋯ + ¬¦=® ž=¬ Término independiente con su signo cambiado 2 del DIVISOR. II. ∀ ¦ ∈ ℕ /¦ = °±²–• 3 Coeficientes del polinomio COCIENTE 4 Coeficiente del polinomio RESIDUO ž¦ ¬¦ =ž¦=® − ž¦=- ¬ + ž¦=¯ ¬- − ⋯ + ¬¦=® TEOREMA DEL RESTO ž ¬ III. ∀ ¦ ∈ ℕ /¦ = ²–• M( *Propuesto por René Descartes → Q O = M(− * + ž¦ =¬¦ =ž¦=® − ž¦=- ¬ + ž¦=¯ ¬- − ⋯ − ¬¦=®RESTOS ESPECIALES ž ¬ DIVISIONES ESPECIALES •: cociente PROPIEDADES ™ — Q: residuo División inicial: Si la división origina un cociente notable, se verifica ™› •:cociente ž¦ ±¬¦ ± ² ¦= = División final: —› Q’ = Q•: residuo ž±¬ ¦ Ÿ DIVISIBILIDAD ENTRE POLINOMIOS FÓRMULA DEL TÉRMINO DE LUGAR “k” ( ³› ) EN UNSiendo Q( * = 0, tenemos: COCIENTE NOTABLE M( * = V( * ∙ •( * ž¦ ±¬¦ , ¦ ∈ ℕ /¦ ≥ -TEOREMA ž±¬ (ž + –* ∧ (ž + Ÿ* P.E.S.I. Siendo: (ž* ÷ (ž + –* → g(ž* ≡ ¡ ³› = (¤°´¦˜*ž¦=› ¬›=® (ž* ÷ (ž + Ÿ* → g(ž* ≡ ¡ ³› : término de lugar k ¦ : número de términos del C.N. (ž* ÷ s(ž + –*(ž + Ÿ*t → g(ž* = ¡ ž : primer termino del divisor Entonces: ¬ : segundo término del divisor “eO B PíABOPO é P A ”TEOREMA DEL FACTOR FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS (–* = ¡ ↔ (ž − –* £¤ ¥¦ §–¨©˜• —£ (ž* ∴ (ž* ≡ (ž − –* ∙ «(ž* NÚMERO DE FACTORES PRIMOS Y NÚMERO DE FACTORES DE UN POLINOMIO Sea P un polinomio totalmente factorizado: ≡ kµ ∙ l ¶ ∙ · ¸ COCIENTES NOTABLES N. de factores primos: ⋕ f = cantidad de basesDivisiones exactas, de la forma: ž¦ ±¬¦ N. de factores: ⋕ f–¨© = (µ + ®*(¶ + ®*(¸ + ®* , ¦ ∈ ℕ /¦ ≥ - ž±¬Prof. Widman Gutiérrez R. Página 5
  6. 6. ALGEBRA MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN IV. VARIOS 1. DIVISORES BINÓMICOSI. FACTOR COMÚN: Cero de un polinomio 1. FACTOR COMUN MONOMIO “ ” P BO V M( * ↔ M( * = 0 menor exponente ®-ž ¬ − ¯ž ¬ ≡ ¯ž ¬ w¼ž − ¬ x º ¯ - » - ¯ ¯ ¯ Posibles ceros racionales (PCR) MbQ = ± 2. FACTOR COMÚN POLINOMIO ¿6À69H489 587 Gé436)H 6)58+8)568)G8 58 z 8) Á(z* ¿6À69H489 587 #H8F6#68)G8 +46)#6+ 7 8) Á(z* ž¼ (ž- + ¬* − ¬¯ (ž- + ¬* ≡ (ž- + ¬*(ž¼ − ¬¯ * TEOREMA DEL FACTOR 3. AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS Si = , entonces “ ” es un cero del M( * M( * = 0 ↔ ( − * } P OB V M( * Se usa este método cuando el polinomio posee un factor común de 2 a más términos por lo general se encuentran luego de agrupar 2. ASPA DOBLEII. PARA BINOMIOS Se utiliza para factorizar polinomios de la 1. DIFERENCIA DE CUADRADOS forma: a 2 + h p + bp2 + • + ^p + u –-± − Ÿ-¦ ≡ (–± + Ÿ¦ *(–± − Ÿ¦ * Ejemplo 2. DIFERENCIA DE CUBOS –¯± − Ÿ¯¦ ≡ (–± − Ÿ¦ *(–-± + –± Ÿ¦ + Ÿ-¦ * 3. SUMA DE CUBOS ∴ (5 + 3p – 7* (4 + 2p – 1* –¯± + Ÿ¯¦ ≡ (–± + Ÿ¦ *(–-± − –± Ÿ¦ + Ÿ-¦ * MÁXIMO COMÚN DIVISOR(MCD) Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM)III. PARA TRINOMIOS MCD: Producto de factores primos comunes 1. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO considerados con su menor exponente –- ± -–Ÿ + Ÿ- ≡ (– ± Ÿ*- MCM: Producto de factores primos comunes y no comunes considerados con su mayor exponente. 2. ASPA SIMPLE TEOREMA (ž; ¬* = –ž-± + Ÿž± ¬¦ + ¨-¦ Siendo A y B polinomios, se cumple: a ∙ h ≡ ob•(a, h* ∙ obo(a, h* –® ž± ¨® ¬¦ –- ž± ¨- ¬¦ –® ∙ ¨- ž± ¬¦ + –- ∙ ¨® ž± ¬¦ = Ÿž± ¬¦ (ž; ¬* = (–® ž± + ¨® ¬¦ *(–- ž± + ¨- ¬¦ *Prof. Widman Gutiérrez R. Página 6

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