1. ALGEBRA
POTENCIACIÓN RADICACIÓN
∶ ; ∈ ℝ
T ! ∶ í O O B V P
= M E ∶ AO ; ∈ ℤ
√ = Q ∶ AO ; ∈ ℤ
)
M ∶ AO P ; A ∈ ℝ S ∶B V P VO ; ∈ ℝ
R Q ∶ B W ; Q ∈ ℝ
I. DEFINICIONES
1) ∀ ∈ ℛ
I. DEFINICIONES
1) ∀ , ∈ ℛ ∧ ∈ℤ
C
=1
√ = ⟺ = )
2) ∀ ∈ ℛ ∧ ∈ℤ
2) ∀ ∈ ℛ ∧ ∈ℤ
; = 1 ; = 1
)
= E ./ ∙ ∙ //1 ; ≥ 2
∙ //0/… ∙ √ = Y
Z/) ; ≥ 2
")" F #GH489
3) ∀ ∈ ℛ − 0 ∧ ∈ℤ : √ , √ ∈ ℝ
II. TEOREMAS
1
=)
= )
1) RAIZ DE UN PRODUCTO
√ ∙√ = √ ∙
II. TEOREMAS
2) RAIZ DE UN COCIENTE
∀ ∈ ℛ ∧ , ∈ ℤ √
1) PRODUCTO DE BASES IGUALES
=
3
∙ )
= 3 ) √
∀ ∈ ℛ − 0 ∧ , ∈ ℤ
2) COCIENTE DE BASES IGUALES 3) POTENCIA DE UNA RAIZ
3
3 √ = √ 3 = 3/)
)
= 3=)
4) RAIZ DE UNA RAIZ
∀ ∈ ℛ ∧ , ∈ ℤ √ = √
%
3) POTENCIA DE UNA POTENCIA
%∙
( 3 *)
= 3∙)
III. PROPIEDADES
∧ ∈ ℛ , ∈ ℤ
4) POTENCIA DE UN PRODUCTO
!
( ) "*+ #
1) " $ #
√ =
%
√
%∙ ∙$
( ∙ *) = )
∙ )
% :;
2) , ! … √ = √
%
∧ ∈ ℛ , ≠ 0, ∈ℤ
:;
5) POTENCIA DE UN COCIENTE
./ / /0/ / /1
// //
) )
"3" 4 56# 789
K L = )
! √ … = √
:;
3)
Los teoremas hasta aquí
÷!
( )="*+=#
÷√ =
%
" #
√
$ %∙ ∙$
OBSERV. mostrados se extienden para
cualquier exponente real. 4)
% ?;
√ ; A B
%
III. PROPIEDAD
5) , ÷
?;
= = =P
3
$
3 " ÷ ! ÷ …÷ √ = >
.////////0////////1
% :;
√ ;A B
% ?;
"3" 4 56# 789
Prof. Widman Gutiérrez R. Página 1

2. ALGEBRA
Donde: uQ = √a)=3
÷ ! ÷ √ ÷ … = √
?;
6)
II. Para denominador BINOMIO índice 2
ECUACIONES EXPONENCIAL
∀ > 0 ∧ ≠ 1 √a + √h √a − √h a−h
E.IRRACIONAL FR E.RACIONAL
√a − √h √a + √h a−h
I. TEOREMA
z
= {
⟹ =p
II. PROPIEDAD ∀ , ∈ℝ − 1 III. Para denominador BINOMIO índice 3
z
= z
⟹ =0
√a + √h a+h
E.IRRACIONAL FR E.RACIONAL
n n
√a − √a ∙ √h + √h
v v v v v v
√a − √h a−h
n n
√a + √a ∙ √h + √h
v v v v v v
RACIONALIZACIÓN
FACTOR RACIONALIZANTE (FR)
CASOS ESPECIALES
(^ A. `QQab`cdae* ∙ (fg* = ^ AB. Qab`cdae I. ∀ ℤ ∧ ≥2
RADICAL SIMPLE: Número irracional de la forma w √a − √hx(uQ* = a − h
)=Z )=n )=Z
√ ; ∈ ℤ ,a ∧ h ∈ ℚ fg = √a + √a √h + ⋯ + √h
RADICAL DOBLE: Número irracional de la forma II. ∀ ℤ ∧ A B
%
a ± √h ; ∧ ∈ ℤ ,a ∧ h ∈ ℚ w √a − √hx(uQ* = a + h
)=Z )=n )=Z
fg = √a − √a √h + ⋯ + √h
∀ ℤ ∧ A B
FORMA !k ± √l EN RADICALES SIMPLES
TRANSFORMACIÓN DEL RADICAL DOBLE DE LA
III.
w √a + √hx(uQ* = a − h
POR FÓRMULA
)=Z )=n )=Z
fg = √a + √a √h + ⋯ + √h
a+b a−b
a ± √h = , ±,
2 2
Donde: b = √an − hn (Número racional) EL POLINOMIO
REGLA PRÁCTICA FORMA GENERAL DE UN POLINOMIO EN LA
VARIABLE X
!o ± 2√d = √ ± !p ; > p;
M( * = C
)
+ Z
)=Z
+ n
)=n
+ )=Z + )
Donde: ∙ p = d ∧ + p = o
Donde:
bO } P ∶ C ; Z ; n ; … ; )
sMtC : •B VO V M = ; ∈ℕ
CASOS DE RACIONALIZACIÓN
C : bO } P MB P A (CP)
I. Para denominador MONOMIO
) : bO } P ` V A V V (~`*
q √a3 rsfgt = a; , ∈ ℤ / >
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3. ALGEBRA
I. PROPIEDADES 6) POLINOMIOS IDÉNTICOS
1) ∑ bO } V M( * = M(1* M( * ≡ •( *
•O V :
2) ~` M( * = M(0* M( * ≡ … + +P
•( * ≡ …
+ +
P A :
= ; = ; P =
II. GRADO DE POLINOMIOS
o( ; p* = 5 p +2
‰ Š
p +
… ‹
p
‹ ‰
•B VO Q ŒO = •Q( * = 5
•B VO Q ŒO V p = •Q(p* = 6 PRODUCTOS NOTABLES
•B VO a O O V o = •a(o* = 4 + 6 = 10
I. CUADRADO DE UN BINOMIO
III. POLINOMIOS ESPECIALES 1) ( + *n = n
+2 + n
1) POLINOMIO HOMOGENEO 2) ( − *n = n
−2 + n
M( ; p* ≡ … + 5 p n − n p OBSERVACIÓN: ∀ ∈ ℤ
( − *n3 = ( − *n3
Es homogéneo de grado 3(grado de
homogeneidad)
2) POLINOMIO ORDENADO II. EQUIVALENCIA DE LEGENDRE
M( * ≡ Ž + ‰ − 1) ( + *n + ( − *n = 2( n
+ n*
2) ( + *n − ( − *n = 4
Ordenado en forma DECRECIENTE
M( * ≡ ‰ + ZC − …n
Ordenado en forma CRECIENTE III. PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA
( + *( − * = n
− n
3) POLINOMIO COMPLETO IV. CUADRADO DE UN TRINOMIO
M( * ≡ n + + 4 ( + + P*n = n
+ n
+ Pn + 2 +2 P+2 P
Es completo de 2° grado, tiene 3 términos
V. CUBO DE UN BINOMIO
d° V éB O = •a + 1 ( + *… = …
+3 n
+3 n
+ …
PROPIEDAD
4) POLINOMIO PRIMITIVO EN X ( − *… = …
−3 n
+3 n
− …
M( * ≡ 2 n − 3 … + 10
Está definido en ℤ
VI. EQUIVALENCIA DE CAUCHY
( + *… = …
+ …
+3 ( + *
( − *… = − −3 ( − *
Además: MCD(2;-3;10)=1
… …
5) POLINOMIO IDENTICAMENTE NULO
M( * ≡ 0
VII. SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS
No tiene grado definido
…
+ …
= ( + *( n
− + n*
…
− …
= ( − *( n
+ + n*
M( * ≡ + +P
PROPIEDAD
…
=0∧ =0∧P =0
VIII. TRINOMIO AL CUBO
( + + P*… = …
+ …
+ P … + 3( + *( + P*( + P*
Se cumple:
Polinomio constante de grado cero es
IX. EQUIVALENCIA DE STEVEN
( + *( + * = +( + * +
cualquier número real distinto de cero
OBS. Polinomio Mónico es literal de la n
( + *( + *( + P* = + ( + + P* n +
forma P(x) definida en Z y de
…
( + P + P* + P
coeficiente principal uno.
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4. ALGEBRA
X. EQUIVALENCIA DE ARGAN’D
( + + n *( n
− + n*
= + +
METODOS PARA EFECTUAR UNA DIVISIÓN
n ‰ n n ‰ ENTRE POLINOMIOS
XI. EQUIVALENCIA DE LAGRANGE MÉTODO DE HORNER
( n
+ n *( n
+ pn* ≡ ( + p*n + ( p − *n Z
‰
+ Z
…
+ PZ n + VZ + Z
n+
( n
+ n
+P n *( n + p n + W n * ≡ n n + Pn
( + p + PW*n + ( p − *n +
( W − P *n + ( W − Pp*n •( * ≡ Z
‰
+ Z
…
+ PZ n
+ VZ + Z
V( * ≡ n
n
+ n + Pn
XII. EQUIVALENCIA DE GAUSS
( + + P*( n
+ n
+ Pn − − P − P* =
…
+ …
+ P… − 3 P n Z Z PZ VZ Z
Zona 1
Zona 2
n
XIII. EQUIVALENCIA CONDICIONAL
Si los números , ∧ P verifican: + +P =0
Pn
n
+ n
+ P = 2(
n
+ P + P*
( + P + P*n = ( *n + ( P*n + ( P*n
…
+ …
+ P… = 3 P
1
‰
+ ‰
+ P‰ = ( n
+ n
+ P n *n
2
‹
+ ‹
+ P‹ = 5 P( + P + P*
ZONA DESCRIPCIÓN
Coeficientes del polinomio DIVIDENDO (de
IMPLICANCIAS NOTABLES 1 izquierda a derecha)
Siendo , ∧ P números reales tenemos: Coeficientes del polinomio DIVISOR (de arriba
n
+ n
+ Pn = + P + P ⟹ = =P
2 hacia abajo), el 1er coeficiente con su signo y los
Si: siguientes con signo cambiado
+ n + Pn = 3
…
P⇒ + + P = 0 ∨ 3
= =P
Coeficientes del polinomio COCIENTE
Si:
4 Coeficiente del polinomio RESIDUO
DIVISIÓN DE POLINOMIOS
•( * = V( * ∙ •( * + Q( *
REGLA GENERALIZADA DE RUFFINI
Z
‰
+ Z
…
+ PZ n
+ VZ + Z
•( * : es el dividendo +
Donde:
V( * : es el divisor
•( * : es el cociente •( * ≡ Z
‰
+ Z
…
+ PZ n + VZ + Z
Q( * : es el residuo o resto V( * ≡ + → + = 0 = − /
I. PROPIEDADES REFERIDAS AL GRADO
”•–—˜(™* ≥ ”•–—˜(—*
1 •B VO(•* = •B VO(•* − •B VO(V*
2 •B VO(Q* < •B VO(V*
3 •B VO(Q*3 z = •B VO(V* − 1
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5. ALGEBRA
CASOS DE LOS COCIENTES NOTABLES
ZONA DESCRIPCIÓN
1
Coeficientes del polinomio DIVIDENDO (de I. ∀ ¦ ∈ ℕ /¦ ≥ -
ž¦ =¬¦
izquierda a derecha)
=ž¦=® + ž¦=- ¬ + ž¦=¯ ¬- + ⋯ + ¬¦=®
ž=¬
Término independiente con su signo cambiado
2
del DIVISOR.
II. ∀ ¦ ∈ ℕ /¦ = °±²–•
3 Coeficientes del polinomio COCIENTE
4 Coeficiente del polinomio RESIDUO
ž¦ ¬¦
=ž¦=® − ž¦=- ¬ + ž¦=¯ ¬- − ⋯ + ¬¦=®
TEOREMA DEL RESTO ž ¬
III. ∀ ¦ ∈ ℕ /¦ = ²–•
M( *
Propuesto por René Descartes
→ Q O = M(− *
+ ž¦ =¬¦
=ž¦=® − ž¦=- ¬ + ž¦=¯ ¬- − ⋯ − ¬¦=®
RESTOS ESPECIALES ž ¬
DIVISIONES ESPECIALES
•: cociente
PROPIEDADES
™
— Q: residuo
División inicial: Si la división origina un cociente notable, se verifica
™› •:cociente ž¦ ±¬¦ ± ²
¦= =
División final:
—› Q’ = Q•: residuo ž±¬ ¦ Ÿ
DIVISIBILIDAD ENTRE POLINOMIOS FÓRMULA DEL TÉRMINO DE LUGAR “k” ( ³› ) EN UN
Siendo Q( * = 0, tenemos:
COCIENTE NOTABLE
M( * = V( * ∙ •( * ž¦ ±¬¦
, ¦ ∈ ℕ /¦ ≥ -
TEOREMA ž±¬
(ž + –* ∧ (ž + Ÿ* P.E.S.I.
Siendo:
(ž* ÷ (ž + –* → g(ž* ≡ ¡ ³› = (¤°´¦˜*ž¦=› ¬›=®
(ž* ÷ (ž + Ÿ* → g(ž* ≡ ¡ ³› : término de lugar k
¦ : número de términos del C.N.
(ž* ÷ s(ž + –*(ž + Ÿ*t → g(ž* = ¡ ž : primer termino del divisor
Entonces:
¬ : segundo término del divisor
“eO B PíABOPO é P A ”
TEOREMA DEL FACTOR
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
(–* = ¡ ↔ (ž − –* £¤ ¥¦ §–¨©˜• —£ (ž*
∴ (ž* ≡ (ž − –* ∙ «(ž*
NÚMERO DE FACTORES PRIMOS Y NÚMERO DE
FACTORES DE UN POLINOMIO
Sea P un polinomio totalmente factorizado:
≡ kµ ∙ l ¶ ∙ · ¸
COCIENTES NOTABLES
N. de factores primos: ⋕ f = cantidad de bases
Divisiones exactas, de la forma:
ž¦ ±¬¦ N. de factores: ⋕ f–¨© = (µ + ®*(¶ + ®*(¸ + ®*
, ¦ ∈ ℕ /¦ ≥ -
ž±¬
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6. ALGEBRA
MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN IV. VARIOS
1. DIVISORES BINÓMICOS
I. FACTOR COMÚN:
Cero de un polinomio
1. FACTOR COMUN MONOMIO
“ ” P BO V M( * ↔ M( * = 0
menor exponente
®-ž ¬ − ¯ž ¬ ≡ ¯ž ¬ w¼ž − ¬ x
º ¯ - » - ¯ ¯ ¯
Posibles ceros racionales (PCR)
MbQ = ±
2. FACTOR COMÚN POLINOMIO ¿6À69H489 587 Gé436)H 6)58+8)568)G8 58 z 8) Á(z*
¿6À69H489 587 #H8F6#68)G8 +46)#6+ 7 8) Á(z*
ž¼ (ž- + ¬* − ¬¯ (ž- + ¬* ≡ (ž- + ¬*(ž¼ − ¬¯ *
TEOREMA DEL FACTOR
3. AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS Si = , entonces “ ” es un cero del M( *
M( * = 0 ↔ ( − * } P OB V M( *
Se usa este método cuando el polinomio
posee un factor común de 2 a más términos
por lo general se encuentran luego de agrupar
2. ASPA DOBLE
II. PARA BINOMIOS Se utiliza para factorizar polinomios de la
1. DIFERENCIA DE CUADRADOS forma:
a 2 + h p + bp2 + • + ^p + u
–-± − Ÿ-¦ ≡ (–± + Ÿ¦ *(–± − Ÿ¦ *
Ejemplo
2. DIFERENCIA DE CUBOS
–¯± − Ÿ¯¦ ≡ (–± − Ÿ¦ *(–-± + –± Ÿ¦ + Ÿ-¦ *
3. SUMA DE CUBOS ∴ (5 + 3p – 7* (4 + 2p – 1*
–¯± + Ÿ¯¦ ≡ (–± + Ÿ¦ *(–-± − –± Ÿ¦ + Ÿ-¦ *
MÁXIMO COMÚN DIVISOR(MCD) Y
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM)
III. PARA TRINOMIOS
MCD: Producto de factores primos comunes
1. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
considerados con su menor exponente
–- ± -–Ÿ + Ÿ- ≡ (– ± Ÿ*- MCM: Producto de factores primos comunes y no
comunes considerados con su mayor exponente.
2. ASPA SIMPLE
TEOREMA
(ž; ¬* = –ž-± + Ÿž± ¬¦ + ¨-¦
Siendo A y B polinomios, se cumple:
a ∙ h ≡ ob•(a, h* ∙ obo(a, h*
–® ž± ¨® ¬¦
–- ž± ¨- ¬¦
–® ∙ ¨- ž± ¬¦ + –- ∙ ¨® ž± ¬¦ = Ÿž± ¬¦
(ž; ¬* = (–® ž± + ¨® ¬¦ *(–- ž± + ¨- ¬¦ *
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