Expansão em caos polinomial

ca
Introdu¸˜o e toolbox ECP em EDE a
Estudo de caso: EDO estoc´stica Estudo de caso: Oscilador aleat´rio
o Referˆncias
e

Expans˜o em caos polinomial
a

Wilson N. de Freitas

Departamento de Engenharia El´trica — PUC–Rio
e

31 de Agosto de 2007

ca
o Referˆncias
e

1 Introdu¸õ e toolbox
ca
Expansõ em Caos Polinomial (ECP)
a
Espa¸o de Hilbert
c
Expans˜es ortogonais
o
Espa¸o das fun¸˜es quadraticamente integr´veis L2 (D)
c co a
Polinˆmios ortogonais
o
Defini¸õ de Caos Polinomial
ca

2 ECP em EDE
Equa¸˜es diferenciais estoc´sticas
co a
M´todo de Galerkin
e

3 Estudo de caso: EDO estoc´stica
a
EDO com termo aleat´rio
o

4 Estudo de caso: Oscilador aleat´rio
o
Oscilador aleat´rio de segunda ordem
o

5 Referˆncias
e

ca
o Referˆncias
e

Expans˜o em Caos Polinomial (ECP)
a

Caos Polinomial
Proposo por Norbert Wiener em 1938
Emprega polinˆmios de Hermite em termos de vari´veis
o a
aleat´rias Gaussianas para descrever vari´veis aleat´rias.
o a o

E como ´ que isso acontece?
e

ca
o Referˆncias
e

Espa¸o de Hilbert
c

Espa¸o de Hilbert H
c
´ um espa¸o vetorial sobre um corpo F (que pode ser R ou C)
e c
possui produto interno ·, ·
´ completo como espa¸o m´trico, com rela¸˜o ` m´trica (d(·, ·))
e c e ca a e
gerada pela norma ( · ) induzida pelo produto interno

v = v, v , onde v ∈ H

e
d(u, v) = u − v , onde u, v ∈ H

Espa¸os de Hilbert populares
c
(Rn ; ·, · )
(C n ; ·, · )
(L2 (D); ·, · )

ca
o Referˆncias
e

Expans˜es ortogonais
o

Definition
Um conjunto de vetores Φ ∈ H ´ um conjunto ortonormal se qualquer
e
par de vetores distintos φi , φj ∈ Φ sõ ortogonais, isto ´, φi , φj = 0
a e
sempre que i = j e adicionalmente, φi = 1 para cada φi ∈ Φ

Theorem
Teorema das s´ries de Fourier: Seja Φ = {φn }n∈N um conjunto
e
ortonormal cont´vel em um espa¸o de Hilbert H, entõ, Φ ´ uma base
a c a e
ortonormal de H. Cada y ∈ H tem uma unica expansõ em Φ
´ a

y= y, φn φn
n∈N

ca
o Referˆncias
e

Espa¸o das fun¸˜es quadraticamente integr´veis L2 (D)
c co a

L2 (D)
L2 (D) ´ o espa¸o das fun¸˜es quadraticamente integr´veis em um
e c co a
dom´ D
ınio
f ∈ L2 (D) se |f (x)|2 dx < ∞
D

O produto interno em L2 (D) ´
e

f, g = f (x)g(x)dx
D

Vari´veis aleat´rias com variˆncia ﬁnita tamb´m pertencem ` L2 (D)
a o a e a

E |X|2 = |x|2 dP (x) = |x|2 f (x)dx < ∞
D D

Nesse caso o produto interno ´
e

X, Y = E XY = xydP (x, y) = xyf (x, y)dxdy
D D

ca
o Referˆncias
e

o

o
Seja {Qn (x)}∞ um conjunto de polinˆmios e n ´ o grau do polinˆmio
n=0 o e o
Quando os polinˆmios s˜o fun¸˜es de uma vari´vel aleat´ria X temos a
o a co a o
seguinte rela¸˜o
ca

E Qn (X)Qm (X) = Qn (x)Qm (x)dP (x)
D

= Qn (x)Qm (x)f (x)dx
D
= hn δnm

Vari´veis aleat´rias
a o Polinˆmios
o Dom´
ınio
Gaussiana Hermite (−∞, ∞)
Gama Laguerre [0, ∞)
Beta Jacobi [a, b]
Uniform Legendre [a, b]
Poisson Charlier {0, 1, . . . }
Binomial Krawtchouk {0, 1, . . . , N }

ca
o Referˆncias
e

o

o
Polinˆmios de Hermite Hn (x)
o
2 n 2
Defini¸õ
ca e−x Hn (x) = (−1)n dxn e−x
d

∞ −x2
Ortogonalidade √1
−∞ e Hm (x)Hn (x)dx = 2n n!δmn
π

(α)
Polinˆmios de Laguerre Ln (x)
o

Defini¸õ
ca e−x xα Ln
(α) 1 dn
(x) = n! dxn e−x xn+α , α > −1
∞ −x α (α) (α) Γ(n+α+1)
Ortogonalidade 0 e x Lm (x)Ln (x)dx = n!
δmn

Polinˆmios de Charlier Cn (x; a)
o

Defini¸õ
ca ax C (x; a) = n ax
,a>0
x! n x!
Ortogonalidade ∞ ax C (x; a)C (x; a) = a−n ea n!δmn
x=0 x! m n

ca
o Referˆncias
e

ca

ca
Considere Θ o conjunto de todas as vari´veis aleat´rias com variˆncia
a o a
finita relacionadas ao espa¸o amostral Ω. Se ξ ∈ Θ entõ ξ : Ω → R.
c a
Para cada ξ ∈ Θ entõ
a D
|ξ|2 dP (ξ) < ∞ e portanto Θ ´ um espa¸o de
e c
Hilbert.
Seja {Φp }∞ um conjunto de polinˆmios ortogonais em Θ, logo,
p=0 o
Φp : Θ → Θ.
Pelo teorema de s´ries de Fourier pode-se expandir qualquer elemento de
e
Θ em {Φp }∞p=0
∞
X(ω) = xi Φi (ξ(ω))
i=0

O conjunto {Φp }∞ ´ o Caos Polinomial
p=0 e

ca
o Referˆncias
e

ca

O que foi visto at´ agora?
e
Deﬁni¸˜o de espa¸os de Hilbert
ca c
Teorema de s´ries de Fourier
e
L2 (D)
o

E o que fazer com tudo isso ?

ca
o Referˆncias
e

co a

co a
Considere a equa¸õ diferencial estoc´stica:
ca a

Λu = f

Λ ≡ Λ(x, t, ω) ´ um operador diferencial estoc´stico com
e a
derivadas em t e x e com um termo aleat´rio ω
o
u ≡ u(x, t; ω) ´ a fun¸õ inc´gnita
e ca o
x e t sõ as vari´veis independentes
a a
f ≡ f (x, t; ω) ´ o termo de excita¸õ, aleat´ria ou nõ
e ca o a

ca
o Referˆncias
e

co a

co a
A solu¸õ u pode ser expandida em caos polinomial
ca
∞
u(x, t; ω) = ui (x, t)Φi (ξ(ω))
i=0

Para obter uma aproxima¸õ anal´
ca ıtica da solu¸õ ´ necess´rio truncar a
ca e a
s´rie em um n´mero P finito de termos.
e u
P
u(x, t; ω) = ui (x, t)Φi (ξ(ω))
i=0

O truncamento introduz um erro de aproxima¸õ na solu¸õ u.
ca ca
Considere o erro r(x, t) de aproxima¸õ como
ca

r(x, t) = Λu − f

quando u ´ representado pela s´rie truncada.
e e

ca
o Referˆncias
e

M´todo de Galerkin
e

M´todo de Galerkin
e
Exigindo que o erro r seja ortogonal ao subespa¸o gerado pelo
c
conjunto {Φi }P temos que:
i=0

r(x, t), Φi = 0

onde i = 0, 1, . . . , P
Com isso
Λu − f, Φi = 0
Λu, Φi = f, Φi
Λ( j uj Φj ), Φi = f, Φi
j Λuj Φj , Φi = f, Φi
Λui = f, Φi
temos um conjunto de P equa¸˜es diferenciais deterministicas.
co
Esta abordagem ´ conhecida como m´todo de Galerkin.
e e

ca
o Referˆncias
e

o

o
Consideremos a seguinte equa¸õ diferencial ordin´ria com termo
ca a
aleat´rio
o
dy(t)
= −ky(t)
dt
k ≡ k(ω) = k(ξ(ω)) ´ uma vari´vel aleat´ria com fun¸õ de
e a o ca
probabilidade f (k)
A solu¸õ y(t) pode ser redefinida como y(t, ω) = y(t, ξ(ω)) e
ca
portanto pode ser aplicada a ECP.
P
y(t, ω) = yi (t)Φi (ξ(ω))
i=0

A vari´vel aleat´ria k(ω) pode ser escrita na mesma base de y(t, ω)
a o
P
k(ω) = ki Φi (ξ(ω))
i=0

ca
o Referˆncias
e

o

Aplicando a ECP
Substituindo as expans˜es na equa¸˜o diferencial temos:
o ca
P P P
dy(t)
Φi = − Φi Φj ki yj (t)
i=0
dt i=0 j=0

Aplicando o m´todo de Galerkin ` equa¸˜o acima temos:
e a ca
P P
dyl (t)
Φl , Φl = − Φi Φj , Φl ki yj (t)
dt i=0 j=0

onde l = 0, 1, . . . , P .
Este sistema de equa¸˜es diferenciais deterministicas pode ser
co
resolvido com m´todos num´rios convencionais, como exemplo:
e e
m´todo de Euler ou Runge-Kutta de segunda ou quarta ordem.
e
Ainda faltam as condi¸˜es iniciais.
co

ca
o Referˆncias
e

o

Valor esperado da solu¸˜o
ca
Tomando o valor esperado da solu¸˜o y(t, ω) na ECP
ca
P
E y(t, ω) = yi (t)E Φi (ξ(ω))
i=0

O valor esperado est´ intimamente ligada ao produto interno na
a
base {Φi }∞ , logo:
i=0

E Φi (ξ(ω)) = Φi (ξ(ω)), Φ0 (ξ(ω)) = 0

para todo i > 0, pois Φ0 = 1 para a maioria dos casos.
O valor esperado de uma ECP sempre recai sobre o seu primeiro
termo.
E y(t, ω) = y0 (t)

ca
o Referˆncias
e

o

Condi¸˜es de contorno
co
As condi¸˜es de contorno recaem sobre o primeiro termo da ECP,
co
como foi visto no m´todo de Galerkin.
e

E y(0, ω) = y0 (0) = y0 = constante

De posse das condi¸˜es iniciais ´ poss´ resolver o sistema de
co e ıvel
equa¸˜es diferenciais
co
P P
dyl (t)
Φl , Φl = − Φi Φj , Φl ki yj (t)
dt i=0 j=0

para l = 0, 1, . . . , P .
O objetivo ´ encontrar a y0 (t) numericamente, pois este termo
e
representa o valor esperado da solu¸˜o y(t, ω).
ca

ca
o Referˆncias
e

o

Resolvendo a EDO sem a ECP
A condi¸õ inicial
ca
y(0, ω) = y0
constante em qualquer cen´rio. Tamb´m poderia ser uma vari´vel
a e a
aleat´ria, contanto que fosse ortogonal ` k para nõ complicar nas contas.
o a a
O valor esperado da solu¸õ estoc´stica ´ dado por:
ca a e

E y(t, ω) = y0 e−kt f (k)dk
D

De posse desta solu¸õ anal´
ca ıtica pode-se comparar com a ECP.
Considerando o seguinte erro
yECP (t) − y(t)
(t) =
y(t)
onde y(t) ´ o valor esperado da solu¸õ estoc´stica e
e ca a
yECP (t) = y0 (t), que ´ o valor esperado da ECP.
e
Nas simula¸˜es foi considerado y0 (0) = 1 e o erro foi calculado em t = 1.
co

ca
o Referˆncias
e

o

Muito bl´ bl´ bl´ . . . Mas como isso funciona na pr´tica
a a a a
Na pr´tica tem-se a equa¸õ diferencial
a ca
dy(t)
= −ky(t)
dt
A natureza estoc´stica da vari´vel k ≡ k(ω) ´ conhecida. Por exemplo, k
a a e
2
´ uma vari´vel aleat´ria Gaussiana com m´dia µk e variˆncia σk .
e a o e a
Escolhe-se o conjunto de polinˆmios {Φi }∞ da ECP.
o i=0

O resto ´ conta!
e

´
E importante
Escolher o conjunto de polinˆmios que esteja relacionado com as vari´veis
o a
aleat´rias do problema.
o
Escolher adequadamente os polinˆmios:
o
facilita o c´lculo dos produtos internos e dos coeficientes;
a
garante convergˆncia exponencial da solu¸õ (veja nos
e ca
pr´ximos slides);
o

ca
o Referˆncias
e

o

Como encontrar os coeficientes da expansõ
a
Os coeficientes da expansõ veem do teorema de s´ries de Fourier, s´ que
a e o
na s´rie truncada.
e
P
k(ω), Φi (ξ(ω))
k(ω) = Φi (ξ(ω))
i=0
Φi , Φi

Encontrar k(ω), Φi (ξ(ω)) depende da vari´vel aleat´ria representada
a o
por k. Na pr´tica, esse produto interno ´ uma integral.
a e

k(ω), Φi (ξ(ω)) = kΦi (ξ)dP (ξ)
D

Formas de resolver essa integral:
na ra¸a
c
m´todos num´ricos (quadraturas)
e e
Monte–Carlo

ca
o Referˆncias
e

o

Exemplo de como encontrar os coeficientes da expansõ
a

Considere k uma vari´vel aleat´ria exponencial, logo, f (k) = e−k para
a o
k > 0.
A inversa da sua fun¸õ distribui¸õ F (k) ´
ca ca e

k = h(u) ≡ F −1 (u) = − ln(1 − u)

onde u ∼ U (0, 1)
Usando ξ ∼ Gaussiana(0, 1) tem-se que a sua inversa ´:
e

ξ = l(u) ≡ G−1 (u)

Substituindo na integral do produto interno
1
k(ω), Φi (ξ(ω)) = h(u)Φi (l(u))du
0

E agora ´ mõs a obra!
e a

ca
o Referˆncias
e

o

Distribui¸˜o Gaussiana e polinˆmios de Hermite
ca o
k ∼ Gaussiana(k; 0, 1)
Φi s˜o polinˆmios de Hermite.
a o

Figura: Convergˆncia do erro no valor esperado.
e

ca
o Referˆncias
e

o

Distribui¸õ Gama e polinˆmios de Laguerre
ca o
k ∼ Gama(k; α)
Φi sõ polinˆmios de Laguerre.
a o

Figura: Convergˆncia do erro no valor esperado. α = 0 distribui¸õ exponencial (quadrados), α = 1
e ca
(triˆngulos).
a

ca
o Referˆncias
e

o

Distribui¸˜o Poisson e polinˆmios de Charlier
ca o
k ∼ Poisson(k; λ)
Φi s˜o polinˆmios de Charlier.
a o

Figura: Convergˆncia do erro no valor esperado. λ = 1 (quadrados), λ = 2 (triˆngulos).
e a

ca
o Referˆncias
e

o

Distribui¸õ Gama e polinˆmios de Hermite
ca o
k ∼ Exponencial(k; 1)
Φi sõ polinˆmios de Hermite e de Laguerre.
a o

Figura: Convergˆncia do erro no valor esperado nõ ´ exponencial. Polinˆmios de Hermite (quadrados),
e a e o
polinˆmios de Laguerre α = 0 (triˆngulos).
o a

ca
o Referˆncias
e

o

Compara¸õ com m´todo de Monte–Carlo
ca e
Com a ECP observa-se que o erro ´ da ordem de 10−3 com valores
e
de P = 2.
Para P = 4 obtem-se erros da ordem de 10−4 (polinˆmios de
o
Hermite) ` 10−9 (polinˆmios de Jacobi).
a o
Uma simula¸õ de Monte–Carlo na mesma equa¸õ diferencial que
ca ca
considera k ∼ Gama(k; 0) (distribui¸õ exponencial) apresenta os
ca
seguintes resultados:

N 102 103 104 105
4.0 × 10−2 1.1 × 10−2 5.1 × 10−3 6.5 × 10−4
Tabela: Convergˆncia do erro no valor esperado para a simula¸õ de Monte–Carlo.
e ca

ca
o Referˆncias
e

o

Oscilador com excita¸˜es aleat´rias
co o
Considere o sistema de equa¸˜es diferenciais
co
dx(t)
= y(t)
dt
dy(t)
dt + cy(t) + kx(t) = f (t)

Assume-se que
c ≡ c(ω) = c + σc ξ1 (ω)
¯
¯
k ≡ k(ω) = k + σk ξ2 (ω)
¯
f (t) ≡ f (t, ω) = (f + σf ξ3 (ω)) cos(wt)
As vari´veis aleat´rias s˜o Gaussianas com m´dia 0 e variˆncia
a o a e a
1 e s˜o independentes
a
Tem-se portanto que

x(t) ≡ x(t, ω)
y(t) ≡ y(t, ω)

ca
o Referˆncias
e

o

co o
A ECP aplica-se ao vetor aleat´rio ξ = (ξ1 , ξ2 , ξ3 ).
o
A express˜o geral para os polinˆmios de Hermite ´ dada por
a o e
1 T ∂n 1 T
Hn (ξi1 , . . . , ξin ) = e 2 ξ ξ
(−1)n e2ξ ξ
∂ξi1 . . . ∂ξin

essa representa¸˜o tamb´m ´ conhecida como f´rmula de Rodriguez
ca e e o
Aplicando a ECP ` x(t, ω)
a
3
x(t, ω) = x0 (t)H0 + x1i (t)H1 (ξi )
i=1
3 i
+ x2ij H2 (ξi , ξj )
i=1 j=1

ca
o Referˆncias
e

o

co o
Como todos os termos sõ ortogonais entre si adota-se uma nota¸õ
a ca
reduzida
x(t, ω) = i xi (t)Φi (ξ)
= x0 (t)H0 + x1 (t)H1 (ξ1 ) + x2 (t)H1 (ξ2 ) + x3 (t)H1 (ξ3 )+
x4 (t)H2 (ξ1 , ξ1 ) + x5 (t)H2 (ξ2 , ξ2 ) + x6 (t)H2 (ξ3 , ξ3 )+
x7 (t)H2 (ξ1 , ξ2 ) + x8 (t)H2 (ξ2 , ξ3 ) + . . .

esta s´rie ´ truncada em P termos.
e e
As vari´vais aleat´rias ξ1 , ξ2 , ξ3 , tamb´m sõ representadas nessa
a o e a
base.
c = i ci Φi (ξ) = c + σc H1 (ξ1 )
¯
k = ¯
i ki Φi (ξ) = k + σk H1 (ξ2 )
¯
c = cos(wt)( i fi Φi (ξ)) = cos(wt)(f + σf H1 (ξ3 ))

ca
o Referˆncias
e

o

co o
Aplicando a ECP ` equa¸˜o diferencial
a ca
 dxi (t)
 Φi = yi (t)Φi
dt



i i
 dyi (t)

 Φi + ci yj (t)Φi Φj + ki xj (t)Φi Φj = fi (t)Φi

i
dt i j i j i

Aplicando o m´todo de Galerkin tem-se o sistema de equa¸˜es
e co
diferenciais deterministicas
 dx (t)
 i
 dt = yi (t)


 dy (t) +
 i
1
(ci yj (t) + ki xj (t)) Φi Φj , Φk = fi (t)
 dt Φi , Φi i j

Agora ´ calcular as integrais de produto interno e rodar a maquina de
e
fazer salcicha.

ca
o Referˆncias
e

o

Comparando o erro da ECP com a solu¸õ esperada
ca
Comparando o erro entre o valor esperado da ECP (x0 (t)) com o valor
esperado da solu¸õ do sistema.
ca

Figura: Convergˆncia do erro no valor esperado nõ ´ exponencial.
e a e

ca
o Referˆncias
e

o

O n´mero de slides ´ ﬁnito!
u e
Obrigado pela paciˆncia.
e

ca
o Referˆncias
e

[Dongbiu Xiu et al]
The Wiener-Askey Polynomial Chaos For Stochastic
Diﬀerential Equations
SIAM Journal on Scientiﬁc Computing, vol. 24, no. 2, 2002
[Dongbiu Xiu et al]
Stochastic Modeling of Flow-Structure Interactions using
Generalized Polynomial Chaos
Division of Applied Mathematics, Brown University,
September, 2001
[Andrew J. Newman]
Model reduction via the Karhunen-Loeve Expansion. Part I: An
Expositon
Institute for Systems Research and Eletrical Engineering
Department, University of Maryland, April, 1996
[Carlos Kubrusly]
Elements of Operator Theory

ca
o Referˆncias
e

Birkhauser, 2001
[Roger G. Ghanem et al]
Stochastic ﬁnite elements
Dover, 1991

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