Potenciación

1. Prof. Wenceslao Quispe Ticona
Matem´ ticas
a
´
POTENCIACION
Si se tiene un producto de factores iguales, entonces se puede expresar como una potencia.
Ejercicio 0.0.1. Observa el ejemplo y escribe en forma de potencia estos productos:
1) 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 25
4) 9 × 9 =
7) 6 × 6 × 6 × 6 × 6 × 6 × 6 =
2) 3 × 3 × 3 × 3 × 3 =
5) 4 × 4 × 4 × 4 =
8) 2 × 2 =
3) 8 × 8 × 8 =
6) 5 × 5 × 5 =
9) 10 × 10 × 10 =
Potenciacion de numeros naturales
´
´
Ejercicio 0.0.2. Desarrolla y encuentra las potencias.
´
´
Es la operacion que consiste en multiplicar un numero
llamado base por si mismo, tantas veces como lo indica
´
otro llamado exponente; al resultado de esta operacion
se le denomina potencia.
1. 33 = 3 × 3 × 3 = 27
10. 35 =
2. 72 =
11. 1200 =
Ojo: 52 nos dice en palabras: “multiplica al n´ mero cinco
u
por s´ mismo dos veces.”
ı
3. 54 =
12. 44 =
25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32
4. 82 =
13. 83 =
5. 122 =
14. 26 =
6. 32 =
15. 93 =
7. 43 =
16. 123 =
8. 113 =
17. 154 =
9. 25 =
18. 1203 =
52 = 5 × 5 = 25
Ojo: 25 nos dice en palabras: “multiplica al n´ mero dos
u
por s´ mismo cinco veces.”
ı
Definicion
´
´
´
Si a y n son numeros naturales, la potencia n-esima del
´
numero a se define del siguiente modo:
an
= a × a × a...a
n−veces
T´ rminos de la potenciacion
e
´
Exponente
Base
23 = 8
Potencia
Ejercicio 0.0.3. Indica en cada caso cu´ l es la Base y cu´ l el Exponente:
a
a
52 ⇒ 5 es la base, 2 el exponente
32 ⇒
(−3)5 ⇒
50 ⇒
− 42 ⇒
63 ⇒
(−3)4 ⇒
102 ⇒
´
¿Como se leen las potencias? Una potencia se puede leer de distintas formas:
52 = 25
23 = 8
24 = 16
Se lee:
Se lee:
Se lee:
Tambien se lee:
Tambien se lee:
Tambien se lee:
“5 al cuadrado es igual a 25”
“2 al cubo es igual a 8”
“2 elevado a la cuarta es igual a 16”
“2 a la cuarta es igual a 16”
“2 a la cuatro es igual a 16”
“La cuarta potencia de dos es igual a 16”
1
Cuando el
Cuando el
1ra forma
2da forma
3ra forma
4ta forma
exponente es dos
exponente es tres
para cualquier exponente
para cualquier exponente
para cualquier exponente
para cualquier exponente

2. ´
Potenciacion
Matem´ ticas
a
´
´
POTENCIACION DE NUMEROS ENTEROS
´
Observemos las siguientes potenciaciones. En ellas, la base es un numero entero y el exponente es un
´
numero natural.
§
§
§
¤
+
(+4)3 = (+4) · (+4) · (+4) = ¦ 64 ¥
¤
§
¤
§
¤
+
(−5)2 = (−5) · (−5) = ¦ 25 ¥
¤
+
(−2)4 = (−2) · (−2) · (−2) · (−2) = ¦ 16 ¥
−
(−3)3 = (−3) · (−3) · (−3) = ¦ 27 ¥
+
(+3)4 = (+3) · (+3) · (+3) · (+3) = ¦ 81 ¥
−
(−6)3 = (−6) · (−6) · (−6) = ¦ 216 ¥
§
¤
El resultado, es decir, la potencia, se obtiene multiplicando la base por s´ misma de tal manera que en el
ı
desarrollo la base aparece como factor tantas veces como indica el exponente.
´
El signo de la potencia se obtiene aplicando la regla de los signos de la multiplicacion de enteros:
´
iplicacion
mult
Ley de signos de la
´
´
as da mas
´
+ · + = + Mas por m
da menos
enos
´
+ · − = − Mas por m
´
por menos da mas
− · − = + Menos
´
r mas da menos
− · + = − Menos po
El signo de la m
ultiplicacion tam
´
bien se simbo
´
liza por un pu
nto (·):
2·2=4
´
´
´
La potencia n-esima de un numero entero es el resultado de una multiplicacion en la que
´
el numero aparece como factor n veces.
an = a × a × a . . . a donde a ∈ Z , n ∈ N, y n mayor que > 1
n−veces
(−5)4 = (−5) · (−5) · (−5) · (−5) = 625
(−7)3 = (−7) · (−7) · (−7) = −343
´
REGLA DE SIGNOS DE LA POTENCIACION
1° Regla: Toda potencia de exponente par siempre es positiva.
(+) par = +
Ejemplo −→ (+2)4 = +16
(−) par = +
Ejemplo −→ (−3)2 = +9
2° Regla: Toda potencia de exponente impar tiene el mismo signo de la base.
(+)impar = +
Ejemplo −→ (+2)3 = +8
(−)impar = −
Ejemplo −→ (−2)5 = −32
Ejercicio 0.0.4. Escribe con numeros.
´
a)
b)
c)
d)
Positivo 8 elevado al cuadrado.
Negativo 2 elevado a la cuarta potencia.
Positivo 15 elevado al cubo.
Negativo 16 elevado al cuadrado.
e) Negativo 15 elevado a la sexta potencia.
f) Positivo 7 elevado a la quinta.
g) Positivo 3 elevado a la cuarta potencia.
h) Negativo 2 elevado a la sexta potencia.
2

3. Prof. Wenceslao Quispe Ticona
Matem´ ticas
a
Ejercicio 0.0.5. Expresa como un desarrollo de factores y calcula la potencia.
f) (−55)2 =
a) (−5)3 = (−5) · (−5) · (−5) = -125
b) (−6)4 =
g) (+8)3 =
c) (−9)5 =
h) (−10)3 =
d) (+12)3 =
e) (+22)3 =
i) (+3)5 =
Ejercicio 0.0.6. Completa las tablas
´
Potenciacion
Base
(−2)
Exponente
´
Potenciacion
Potencia
16
Exponente
Potencia
4
(+32)
(−3)5
Base
64
16
3
(−8)
(+7)
3
Ejercicio 0.0.7. Sin encontrar la potencia determina su signo.
a) (−8)6 = +
d) (−17)470 =
g) (+20)17 =
j) (+200)17 =
b) (−19)5 =
e) (+30)30 =
h) (−20)17 =
k) (+15)371 =
c) (−278)23 =
f) (+12)16 =
i) (−13)20 =
l) (−23)268 =
Ejercicio 0.0.8. Completa el cuadro siguiente.
Forma potencial
Base
Exponente
(+2)
7
(−10)
(−3)
Forma desarrollada
4
Potencia
6
(−4) · (−4) · (−4) · (−4) · (−4)
125
Para tener en cuenta:
´
La expresion (− a)n no significa lo mismo que − an .
(− a)n = − an
• (−7)2 = (−7) · (−7) = +49
• −72 = − (7 · 7) = − (49) = −49
Ejercicio 0.0.9. Calcula las siguientes potencias:
a. (−8)2 = +64
e. (−16)3 =
i. (+5)3 =
b. −82 =
f. −26 =
j. (−7)2 =
c. (−9)3 =
g. (−7)3 =
k. −92 =
d. −93 =
h. −64 =
l. (−5)−2 =
3

4. ´
Potenciacion
Matem´ ticas
a
EXPONENTE CERO, EXPONENTE UNO Y EXPONENTE NEGATIVO
Exponente cero
´
Un numero entero (distinto de cero) elevado a exponente cero, es igual a uno.
Exponente uno
´
Un numero entero (distinto de cero) elevado a exponente uno, es igual a ese mismo
´
numero.
a1 = a
a0 = 1 donde a = 0
Ejemplos:
Ejemplos:
41 = 4
0
2 =1
61 = 6
50 = 1
2501 = 250
1500 = 1
Se conviene en no escribir el exponente 1
porque se lo sobreentiende.
10000 = 1
Ejercicio 0.0.10. Calcula las potencias de exponente cero y exponente uno.
30 =
(−4)1 =
650 =
630 =
Ejercicio 0.0.11. Observa el ejemplo y resuelve.
1) 2 + 51 + 4 + 30 − 3 =
3541 =
(−7)0 =
10000 =
57431 =
2) 4 + 101 − 4 + 3 − 80 =
15240 =
(−64)0 =
3) 50 − 7 + 120 − 31 + 4 − 7 =
2+5+4+1−3=
12 − 3 =
£
= ¢9 ¡
Exponente negativo
´
Un numero entero (distinto de cero) elevado a un
exponente negativo, es igual a 1 dividido entre el
´
numero entero elevado al mismo exponente pero
con signo positivo.
a−n =
1
an
Ejercicio 0.0.12. Resuleve las siguientes potencias.
1. 3−3 =
2. (−3)−2 =
donde a = 0, n ∈ N
3. 4−2 =
Ejemplos:
1
1
=
4
16
2
1
1
5−2 = 2 =
5
25
1
1
1
=
=−
(−4)−3 =
3
−64
64
(−4)
2−4 =
4. (−2)−3 =
5. (−1)−5 =
6. 5−2 =
Para tener en cuenta.
§
¤
´
• El 1 elevado a cualquier numero entero es igual a 1: ¦ n = 1 ¥
1
§
¤
´
• El 0 elevado a cualquier numero entero positivo es igual a 1: ¦ n = 1; n > 0 ¥
0
§
¤
´
• Un numero entero (distinto de 0) elevado a 0 es igual a 1: ¦ 0 = 1; n = 0 ¥
n
§
¤
´
´
• Cualquier numero entero elevado a 1 es igual al mismo numero: ¦ 1 = n ¥
n
4

5. Prof. Wenceslao Quispe Ticona
Matem´ ticas
a
´
PROPIEDADES DE LA POTENCIACION
´
FORMULACION
´
Multiplicacion
de potencias
de la misma
base
EJEMPLOS
Es igual a la base elevada a
la suma de los exponentes.
PROPIEDAD
• 32 · 33 = 32+3 = 35
§
• (−4)−2 · (−4)7 = (−4)−2+7 = (−4)5
¤
m+n
am n
¦ ·a =a
¥
• 22 · 2−3 · 24 · 2−5 = 22+(−3)+4+(−5) = 26−8 = 2−2
Es igual a la base elevada a
la diferencia de los
exponentes.
´
Division de
potencias de la
misma base
§
• 57 ÷ 55 = 57−5 = 52
• 7−5 ÷ 7−4 = 7−5−(−4) = 7−5+4 = 7−1
¤
• (−2)3 ÷ (−2)−2 = (−2)3−(−2) = (−2)3+2 = (−2)5
n
m−n
am
¦ ÷a =a
¥
Es igual a la primera base
elevada al producto de los
exponentes.
Potencia de
una potencia
§
¥
( am )n = am·n
§
¦
¥
§
¦
4 2
= (−5)3×2 = (−5)6
= 72×4×2 = 716
• (−2)3 · (−3)3 = [(−2) · (−3)]3 = 63
• (8 ÷ 4)2 = 82 ÷ 42
• [6 ÷ (−4)]3 = 63 ÷ (−4)3
¤
¥
( a ÷ b)n = an ÷ bn
2
• ( 3 · 4 ) 2 = 32 · 42
La potencia de un cociente
es igual al cociente entre la
potencia del dividendo y la
potencia del divisor.
Potencia de
´
una division
= 24×3 = 212
• ( 2 · 3 ) 5 = 25 · 35
¤
( a · b)n = an · bn
72
•
La potencia de un producto
es igual al producto de las
potencias de los factores.
Potencia de
una
´
multiplicacion
3
• (−5)3
¤
¦
• 24
• 104 ÷ 44 = (10 ÷ 2)4 = 54
Ejercicio 0.0.13. Expresa el resultado en forma de potencia aplicando las propiedades de la potenciaci´ n.
o
1) 52 · 55 · 54 = 5 2+5+4 = 511
2
3) (−9) ÷ (−9) =
5)
6)
(−2)3
32
· 22
2
5
10) (−2) · (−2) · (−2)
11) (+8)5 ÷ (+8)3 =
=
4
=
=
7) (−5)3 · (+2)3 =
(−2)−3
2
=
2
9) (+6) ÷ (−3) =
5
3
15)
2
2) 86 ÷ 84 =
4) 52
8) 83 ÷ 43 =
−4
16) (−6)3 · (+5)3 =
=
17) (−8)−2 ÷ (+4)−2 =
12) 45 ÷ 48 =
18) (−2)3 · (−2)4 · (−2)5 =
13) (−3)6 ÷ (−3)6 =
19) ( a · b · c)m =
14)
(−5)2
3
20) am · an · a p =
=
5

6. ´
Potenciacion
Matem´ ticas
a
ANALISIS
2
es igual a 23·2 ?
¿Por qu´ 23 · 24 es igual a 23+4 ?
e
¿Por qu´ 23
e
Recordemos que 23 nos indica que debemos
´
multiplicar el numero 2 por si mismo 3 veces. De
´
manera semejante, la expresion 24 nos indica que
´
debemos multiplicar el numero 2 por s´ mismo 4
ı
veces. Entonces, al multiplicar de tiene:
´
Es claro que el numero 2 nos indica que debemos
´
´
multiplicar el numero que aparece entre parentesis
por s´ mismo 2 veces. Pero por la primera propiedad,
ı
´
que nos dice que cuando se estan multiplicando
potencias con la misma base los exponentes se
suman, el exponente resultante debe ser el producto
de 3 por 2 Esto es:
23 · 24 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 27
3 veces
23
4 veces
2
= 23 · 23 = 23+3 = 26
2 veces
Vemos que en total terminamos multiplicando 7
´
veces el numero 2, por eso debemos sumar los
exponentes:
Para simplificar este proceso largo multiplicamos los
exponentes 3 por 2
23
23 · 24 = 23+4 = 27
2
= 23·2 = 26
Observa el ejemplo:
84 · 162 = 23
4
· 24
2
= 212 · 28 = 220
Ejercicio 0.0.14. Expresa como una sola potencia aplicando las propiedades de la potenciaci´ n
o
1) 34 · 92 =
6) 81−1 · 3−3 =
2) 84 · 162 =
7) 92 · 27 =
3) 54 · 253 =
8) 362 · 6 =
4) 47 · 32 =
9) 100 · 22 =
5) 16−1 · 23 =
10) 81 · 42 =
Observa el ejemplo y analiza.
25 · 16 = 52 · 42
Expresamos el 25 como potencia de 52 y 16 como potencia de 42
= (5 · 4)2
Aplicamos la propiedad distributiva reciprocamente ( a · b)n = an · bn
= 202
= 400
Multiplicamos dentro del parentesis
Encontramos la potencia
Ejercicio 0.0.15. Aplica las propiedades de la potenciaci´ n igual que en el ejemplo anterior.
o
1) 16 · 9 =
3) 16 · 64 =
5) 25 · 4 =
2) 27 · 8 =
4) 4 · 81 =
6) 36 · 49 =
6

7. Prof. Wenceslao Quispe Ticona
Matem´ ticas
a
25
¿Por qu´ 3 es igual a 25−3 ?
e
2
´
En el numerador, 25 nos indica que debemos multiplicar el numero 2 por si mismo 5 veces.
´
En el denominador, 23 nos indica que debemos multiplicar el numero 2 por si mismo 3
veces. Entonces se tiene:
2·2·2·2·2
25
=
3
2·2·2
2
Cancelando factores en el numerador y el denominador.
2·2·2·2·2
25
¡ ¡ ¡
=
= 2 · 2 = 22
2·2·2
23
¡ ¡ ¡
De los cinco factores que hab´a en el numerador, se cancelaron 3 con los factores que
ı
estaban en el denominador. Por eso restamos los exponentes.
25
= 25−3 = 22
23
Ejercicio 0.0.16. Indica la propiedad aplicada en cada numeral
1. 1200 = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. 01 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. (2 × 3)3 = 23 × 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. 2001 = 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
= 4 2×3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. (20 ÷ 5)3 = 203 ÷ 53 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. 150 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8. (30 ÷ 5)2 = 302 ÷ 52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. 42
Ejercicio 0.0.17. Miscelanea
1) 23 + 32 − 52 =
9) 122
1
17) 42 · (−2)1 · 20 =
=
18) 52 · (−2)2 · 22 =
2) 22 + 33 − 4‘2 =
10) 74 ÷ 7−3 =
3) 52 · 22 + 32 − 34 =
11) 63 ÷ (−3)3 =
4) (−2)3 + 52 (−7)1 + (−9)0 =
12) 62 ÷ (2)2 =
5)
24
6)
6−2
4
3
· (−4) =
13) (−5) ÷ (−5)
3
·6=
2
19) (−3)−2 · (−3)6 · (−3)−4 =
20) (−2)3 · 24 · 2−3 · (−2)2 =
−2
=
3
14) (−12) ÷ (−6) =
5
10
13
7) (−2) · (−2) =
15) (−15)
8) 23 · (−2)4 =
16) (−6)2 ÷ (2)2 =
÷ (−15) =
7
21) (−3)2
22)
23
−3
−2 3
=
=
42 · 4 − 3 · 45
23) −1 3 2 =
4 ·4 ·4
24)
(−2)3 · (−2)−4 · (−2)
=
[(−2)2 ]3 · (−2)−2