C4044

Cap´ıtulo 4
Programa¸cão
Inteira/Mista
4.1 Restri¸cões de Integralidade
Restri¸cões de integralidade surgem quando a natureza do problema impõe
que todas as suas variáveis de decisão assumam apenas valores inteiros (integrais).
Problemas com esta caracter´ıstica são chamados de problemas de Programa¸cão
Inteira. Problemas nos quais as variáveis de decisão só podem assumir os valores
inteiros 0 e 1 são denominados de problemas de Programa¸cão 0-1. Quando ape-
nas parte das variáveis está restrita a valores inteiros, diz-se que o problema é de
Programa¸cão Inteira/Mista.
Os métodos tradicionais de Programa¸cão Linear, em especial o método Sim-
plex, não levam diretamente em conta restri¸cões de integralidade, o que não quer
dizer que não possam produzir solu¸cões ótimas inteiras. No Cap´ıtulo 3 as solu¸cões
encontradas por métodos Simplex especializados para problemas de transporte e de
atribui¸cão são naturalmente inteiras, porque os dados de entrada destes problemas
são inteiros e os métodos empregados exploram as estruturas especiais destes pro-
blemas para executar apenas opera¸cões de adi¸cão, subtra¸cão e multiplica¸cão, não
podendo assim gerar resultados não-inteiros.
Existem, entretanto, problemas importantes de planejamento que requerem
solu¸cões ótimas inteiras, mas que não apresentam propriedades que permitam obtê-
las por meio de programa¸cão linear. Em geral os métodos da programa¸cão linear
precisam ser adaptados para que forne¸cam respostas compat´ıveis com restri¸cões de
integralidade. Embora a presen¸ca de variáveis inteiras em problemas de planeja-
mento já tenha sido abordada em cap´ıtulos anteriores, é neste que se inicia um
estudo mais detalhado de modelos e métodos de Programa¸cão Inteira/Mista.
4.2 Exemplo Ilustrativo
Algumas propriedades básicas de problemas lineares-inteiros são discutidas
por meio do exemplo ilustrativo a seguir.
Exemplo 4.1 Um moveleiro fabrica dois tipos de painéis de madeira. Dispõe de
105

106 Cap´ıtulo 4. Programa¸cão Inteira/Mista
seis unidades de madeira e 28 horas de trabalho. O painel 1 consome duas unidades
de madeira e sete horas de trabalho; o painel 2, uma unidade de madeira e oito horas
de trabalho. Os lucros unitários dos painéis são de $120 e $80, respectivamente. O
moveleiro gostaria de maximizar seu lucro com a produ¸cão de painéis.
A descri¸cão acima admite a seguinte formula¸cão por programa¸cão linear-
inteira:
(PLI)
maximizar z = 120x1 + 80x2
sujeito a 2x1 + x2 ≤ 6,
7x1 + 8x2 ≤ 28,
com x1 e x2 variáveis inteiras não-negativas. A Figura 4.1 ilustra graficamente o
problema. Apenas os pontos assinalados com o s´ımbolo • são solu¸cões viáveis para
o problema linear-inteiro (PLI).
PSfrag replacements
1
1
2
2
3
3
4
4
5
6
0 x1
x2
2x1 + x2 = 6
7x1 + 8x2 = 28
Solu¸cão de
(PLIR)
Figura 4.1: Representa¸cão gráfica do problema (PLI).
A solu¸cão ótima do problema linear-inteiro relaxado, (PLIR), obtido ignorando-
se as restri¸cões de integralidade sobre as variáveis de decisão, é encontrada na in-
terseçcão das restri¸cões lineares: x1 = 20/9 e x2 = 14/9. Se a solu¸cão ótima obtida
fosse inteira, o problema (PLI) teria sido resolvido. O valor da fun¸cão-objetivo na
solu¸cão do problema linear relaxado é
zPLIR = 120(20/9) + 80(14/9) = 3520/9 391.1.
Uma primeira idéia para for¸car a integralidade da solu¸cão seria arredondar

4.3. Modelos de Programa¸cão Inteira 107
os valores ótimos do problema (PLIR) para os inteiros mais próximos, obtendo-se
x1 = 2 e x2 = 1. O valor da fun¸cão-objetivo na solu¸cão arredondada é zARR = 320.
Uma segunda idéia, poss´ıvel quando o problema considerado apresenta um
número relativamente pequeno de alternativas viáveis inteiras, seria resolver o pro-
blema por enumera¸cão, isto é, determinar qual das alternativas viáveis inteiras
leva ao maior valor para a fun¸cão-objetivo. A solu¸cão ótima do problema (PLI),
obtida por enumera¸cão, é x1 = 3, x2 = 0 e zPLI = 360. Sua diferen¸ca percentual
em rela¸cão à solu¸cão obtida por arredondamento é
360 − 320
360
11%.
Diferen¸cas percentuais da ordem de 10% de lucro costumam ser significativas
em problemas de planejamento. 2
Dado um problema de programa¸cão linear-inteira (PLI) qualquer e sua versão
(PLIR) obtida relaxando-se (ignorando-se) restri¸cões de integralidade, então, em
termos de valores ótimos das fun¸cões-objetivos,
zPLI ≤ zPLIR
se o problema original for de maximiza¸cão. No caso de minimiza¸cão,
zPLI ≥ zPLIR.
A razão para as desigualdades é que a região viável do problema (PLIR)
contém todas as solu¸cões viáveis inteiras do problema (PLI). Logo, o valor ótimo
de (PLIR) é no m´ınimo igual ao de (PLI), podendo ser maior ou menor, depen-
dendo do tipo de formula¸cão, maximiza¸cão ou minimiza¸cão. Esta propriedade é
freqüentemente explorada por métodos de programa¸cão inteira.
4.3 Modelos de Programa¸cão Inteira
Muitos problemas de planejamento podem ser formulados a partir de mode-
los de programa¸cão inteira genéricos, e que por serem genéricos têm sido melhor
estudados na literatura da área. Alguns destes modelos são discutidos nesta se¸cão.
Problema da Mochila
O chamado problema da mochila (knapsack problem) descreve a seguinte si-
tua¸cão: certo indiv´ıduo possui uma mochila com capacidade para armazenar b
kilogramas. O indiv´ıduo precisa escolher as quantidades de n diferentes itens a
armazenar na mochila, sabendo que cada unidade do item i pesa ai kilogramas.
O indiv´ıduo atribui o valor pi a cada unidade do item i. O problema consiste em
maximizar o valor total dos itens a armazenar na mochila respeitando o seu limite
de capacidade.

Definindo xi como a quantidade do item i = 1, 2, . . . , n, o problema da mochila
assume a seguinte forma:
(PM)
maximizar z = p1x1 + p2x2 + · · · + pnxn
sujeito a a1x1 + a2x2 + · · · + anxn ≤ b,
com xi, i = 1, 2, . . . , n, variáveis inteiras não-negativas.
O problema da mochila surge com freqüência em problemas de planejamento,
como no discutido a seguir.
Exemplo 4.2 Uma empresa está considerando investir em quatro novos projetos.
Os projetos gerariam um lucro l´ıquido presente de $16000, $22000, $12000 e $8000.
(O lucro l´ıquido presente, NPV em inglês, seria o lucro obtido ao longo dos anos
referido ao momento no qual a decisão de investimento é tomada.) Os projetos exi-
giriam investimentos de $5000, $7000, $4000 e $3000, respectivamente. A empresa
dispõe de um total de $14000 para investimento nos quatro projetos. O objetivo da
empresa é determinar quais projetos devem receber investimentos para que o seu
lucro seja máximo.
Este problema se encaixa na formula¸cão geral do problema da mochila definindo-
se as variáveis de decisão como xi = 1 se o projeto i é selecionado, e xi = 0, caso
contrário (i = 1, 2, 3, 4). Expressando valores em $1000, obtém-se o seguinte pro-
blema de programa¸cão linear-inteira;
(P)
maximizar z = 16x1 + 22x2 + 12x3 + 8x4
sujeito a 5x1 + 7x2 + 4x3 + 3x4 ≤ 14,
com xi = 1 ou xi = 0, i = 1, 2, 3, 4. (O problema (P) poderia ser classificado como
um problema de programa¸cão 0-1.)
A seguir discute-se a introdu¸cão de restri¸cões adicionais como exerc´ıcio de
modelagem de problemas de programa¸cão inteira. Se a empresa resolver investir em
no máximo dois projetos (devido a limita¸cões de recursos humanos, por exemplo),
então uma restri¸cão do tipo
x1 + x2 + x3 + x4 ≤ 2
deve ser agregada ao problema (P). Se investir no projeto 2 implicar em investir no
projeto 1, a restri¸cão a ser agregada ao problema (P) deve ser
x2 ≤ x1.
Para evitar investimentos simultâneos nos projetos 1 e 4, acrescenta-se ao
problema (P) a restri¸cão
x1 + x4 ≤ 1.
2

4.3. Modelos de Programa¸cão Inteira 109
Problema do Caixeiro Viajante
O problema do caixeiro viajante (travelling salesman problem) pode ser re-
sumido da seguinte forma: um vendedor parte para visitar um certo número de
cidades antes de retornar à sua cidade de origem. Qual a ordem das visitas que
minimiza a distância total percorrida?
O problema do caixeiro viajante possui inúmeras e importantes aplica¸cões em
planejamento. Empresas transportadoras de grande porte, por exemplo, freqüente-
mente recorrem a programas computacionais para resolver problemas de rotea-
mento, isto é, determinar quais rotas percorrer para atender pedidos de entrega e
coleta de encomendas de forma a minimizar seus custos totais de transporte.
Denomina-se tour qualquer solu¸cão viável para o problema do caixeiro vi-
ajante, isto é, qualquer solu¸cão pela qual o caixeiro visita cada cidade uma vez
e retorna à sua cidade de origem, não necessariamente percorrendo um caminho
m´ınimo. Num problema envolvendo n cidades existem n! possibilidades de tours,
pois de uma cidade qualquer deve-se passar a uma das n − 1 restantes, e então
para as n − 2 restantes, e assim sucessivamente, até restar apenas uma cidade a ser
visitada. Se n = 11, então o número total de tours seria 10! = 3628800. Observe
que não é necessário especificar uma cidade de origem quando se adota o conceito
de tour.
Para obter o modelo matemático inicial de um problema com n cidades, define-
se como variáveis de decisão, para i, j = 1, 2, . . . , n,
xij =



1, se o tour segue diretamente da cidade i para a cidade j;
0, caso contrário
Para que ocorra um tour, exatamente uma cidade deve ser visitada depois da
cidade i, o que se traduz nas n restri¸cões
n
j=1,j=i
xij = 1, i = 1, 2, . . . , n. (4.1)
Um segundo conjunto de n restri¸cões impõe que exatamente uma cidade deve
ser visitada antes da cidade j:
n
i=1,i=j
xij = 1, j = 1, 2, . . . , n. (4.2)
As 2n restri¸cões (4.1) e (4.2) são similares às presentes em problemas de atri-
bui¸cão, discutidos no cap´ıtulo anterior.
O objetivo no problema do caixeiro viajante é minimizar a distância total
percorrida. Denotando por cij o custo de deslocamento entre as cidades i e j,
obtém-se a seguinte fun¸cão-objetivo:
z =
n
i=1
n
j=1,j=i
cijxij. (4.3)

O modelo matemático inicial do problema consiste em minimizar (4.3) sujeito
às restri¸cões (4.1) e (4.2). Este modelo possui solu¸cões viáveis que não são tours.
Exemplo: considere um modelo envolvendo n = 8 cidades e as seguintes variáveis
assumindo valor igual a 1: x13, x32, x26, x64, x41, x57, x78 e x85. Todas as 2n = 16
restri¸cões são satisfeitas, mas a solu¸cão não corresponde a um tour. Existem, na
verdade, dois subtours: um composto por x13, x32, x26, x64, x41; outro formado
por x57, x78 e x85. Para que qualquer solu¸cão viável corresponda a um tour é
necessário incorporar novas restri¸cões ao modelo, o que não será feito nesta discussão
introdutória do problema.
Exemplo 4.3 Problemas envolvendo o seqüenciamento de tarefas são muitas vêzes
modelados como problemas do tipo caixeiro viajante. Considere a produ¸cão diária
de uma indústria qu´ımica, que inclui a produ¸cão de tintas nas cores branco, verme-
lho, amarelo e preto. Como a indústria usa o mesmo equipamento para produzir
todos os tipos de cores, uma limpeza entre bateladas – produ¸cões de cores diferentes
– é necessária. A tabela a seguir resume os tempos de limpeza entre bateladas, em
minutos. As linhas da tabela representam cores correntes; as colunas, cores a serem
produzidas em seguida. O objetivo da indústria é determinar a seqüência ótima de
produ¸cão diária das quatro cores que minimiza o tempo total de limpeza (setup).
Branco Amarelo Preto Vermelho
Branco – 10 17 15
Amarelo 20 – 19 18
Preto 50 44 – 25
Vermelho 45 40 20 –
Este problema se enquadra no modelo do problema do caixeiro viajante associando-
se cores a cidades. Denotando as cores por 1, 2, 3 e 4 (branco, amarelo, preto e
vermelho), os tempos de limpeza por cij, as variáveis de decisão por xij = 1, se o
tour vai dar cor i para a cor j, e xij = 0, caso contrário, obtém-se diretamente o
modelo matemático do problema. Como comentado, a solu¸cão ótima do problema
pode não ser um tour. O tour ótimo obtido por enumera¸cão é produzir as cores
na seqüência 1,2,4,3 (branco, amarelo, vermelho, preto), com um tempo m´ınimo
total de limpeza igual a 98 minutos. 2
4.4 Método Branch–and–Bound
Nesta se¸cão apresenta-se um método geral para resolu¸cão de problemas de pro-
grama¸cão inteira, conhecido como método branch–and–bound. Um exemplo simples
será usado para motivar o desenvolvimento do método. Considere o problema de
programa¸cão inteira
(P1)
2x1 + 3x2 ≤ 9,

4.4. Método Branch–and–Bound 111
sendo x1 e x2 variáveis inteiras não-negativas. As solu¸cões viáveis do problema (P1)
são representadas pelo s´ımbolo • na Figura 4.11.
PSfrag replacements
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
0 x1
x2
2x1 + x2 = 6
2x1 + 3x2 = 9
Figura 4.11: Solu¸cões viáveis do problema (P1).
A solu¸cão ótima do problema (P1), obtida por enumera¸cão expl´ıcita das
alternativas viáveis, é x1 = 0 e x2 = 3, com z = 12. O método branch–and–
bound pode ser visto como um método de enumera¸cão impl´ıcita, porque explora
todo o conjunto viável do problema sem recorrer à enumera¸cão de todas as suas
alternativas viáveis.
Algoritmo Branch–and–bound
O algoritmo branch–and–bound para problemas de maximiza¸cão pode ser des-
crito em três passos principais:
1: Primeira Aproxima¸cão. Ignore as restri¸cões de integralidade e resolva o pro-
blema de programa¸cão linear resultante. Se a solu¸cão ótima encontrada for
integral, isto é, se os valores ótimos das variáveis de decisão forem todos
números inteiros, então o problema de programa¸cão inteira também sido re-
solvido e o algoritmo termina. Caso contrário, o valor ótimo encontrado para
z se transforma num limitante superior, LS, para o valor ótimo do pro-
blema com as restri¸cões de integralidade. No exemplo acima, a solu¸cão ótima
do problema sem as restri¸cões de integralidade é x1 = 2.25 e x2 = 1.5, com
z = 12.75. Faz-se LS = 12.75;
2: Ramifica¸cão (branching) Se na primeira aproxima¸cão, uma das variáveis,
xj por exemplo, possuir valor não-inteiro, então i1 ≤ xj ≤ i2, com i1 e

i2 representando números inteiros não-negativos consecutivos. Dois novos
problemas são criados acrescentando-se ao problema original as restri¸cões xj ≤
i1 e xj ≥ i2, respectivamente. Este procedimento, chamado de ramifica¸cão,
elimina a solu¸cão corrente com valor de xj não-inteiro, mas preserva todas as
poss´ıveis solu¸cões viáveis inteiras do problema original. Se após a primeira
aproxima¸cão mais de uma variável for não-inteira, recomenda-se adotar para
ramifica¸cão uma das que apresentarem parte fracionária mais próxima de 0.5.
No exemplo, fazendo j = 2, obtém-se 1 ≤ x2 ≤ 2, e os dois novos problemas
seriam
(P2)
2x1 + 3x2 ≤ 9,
x2 ≤ 1,
e
(P3)
2x1 + 3x2 ≤ 9,
x2 ≥ 2,
com x1 e x2 variáveis inteiras não-negativas. Primeiras aproxima¸cões dos
novos problemas (P2) e (P3) são obtidas. No exemplo, a solu¸cão de (P2)
é x1 = 2.5, x2 = 1 e z∗
= 11.5; a solu¸cão de (P3) é x1 = 1.5, x2 = 2 e
z = 12.5. Se as solu¸cões de (P2) e (P3) forem ambas não-integrais, como
no exemplo, selecione para nova ramifica¸cão o problema cuja valor ótimo da
primeira aproxima¸cão for mais próximo do limitante superior, LS = 12.75. No
exemplo, (P3) é selecionado para a ramifica¸cão da variável x1: 1 ≤ x1 ≤ 2.
Os dois novos problema seriam
(P4)
2x1 + 3x2 ≤ 9,
x2 ≥ 2,
x1 ≤ 1,
e
(P5)
2x1 + 3x2 ≤ 9,
x2 ≥ 2,
x1 ≥ 2,
sendo x1 e x2 variáveis inteiras não-negativas. As primeiras aproxima¸cões de
(P4) e (P5) são as seguintes: para (P4), x1 = 1, x2 = 2.33 e z = 12.33;
o problema (P5) é inviável. No procedimento de ramifica¸cão pode ocorrer
de algum problema tornar-se inviável com a incorpora¸cão da nova restri¸cão.
Ramifica¸cões adicionais a partir deste tipo de problema não são poss´ıveis;
3: Limita¸cão (bounding) O procedimento de ramifica¸cão prossegue até que uma
primeira aproxima¸cão apresente solu¸cão inteira. O valor da fun¸cão objetivo

correspondente à solu¸cão inteira torna-se um limitante inferior, LI, para o
valor ótimo do problema original, (P1). Todos os problemas cujas primeiras
aproxima¸cões, integrais ou não, apresentarem valores inferiores ao limitante
inferior são então descartados. O limitante inferior é atualizado sempre que
uma primeira aproxima¸cão exibir solu¸cão inteira com valor de z maior. O
algoritmo branch–and–bound termina quando não mais existirem problemas a
serem ramificados. No exemplo, a ramifica¸cão prossegue a partir do problema
(P4):
(P6)
2x1 + 3x2 ≤ 9,
x2 ≥ 2,
x1 ≤ 1,
x2 ≤ 2,
e
(P7)
2x1 + 3x2 ≤ 9,
x2 ≥ 2,
x1 ≥ 2,
x2 ≥ 3,
com x1 e x2 variáveis inteiras não-negativas. A primeira aproxima¸cão de (P6)
é x1 = 1, x2 = 2 e z = 11. Como a solu¸cão é inteira, LI = 11. Ainda não
é poss´ıvel descartar problemas. A solu¸cão de (P7), também inteira, é x1 = 0,
x2 = 3 e z = 12; atualiza-se o limitante inferior para LI = 12, e agora é
poss´ıvel descartar os problemas (P2) (z = 11.5) e (P4) (z = 11). Como não
existem mais problemas a serem ramificados, a solu¸cão ótima do problema
(P1) é x1 = 0, x2 = 3 e z = 12.
O algoritmo branch–and–bound gera uma árvore. Cada nó da árvore repre-
senta um problema de onde partem dois ramos. Quando um limitante inferior é
obtido e ramos são eliminados, ocorre a poda da árvore, na denomina¸cão de alguns
autores. Para o exemplo considerado, a árvore se apresentaria como na Figura 4.12.

PSfrag replacements
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
z∗
= 12.75
z∗
= 11.5
z∗
= 12.5
z∗
= 12.33
z∗
= 11
z∗
= 12
(2.25, 1.5)
(2.5, 1)
(1.5, 2)
(1, 2.33)
(1, 2)
(0, 3)
Infact´ıvel
Figura 4.12: Árvore associada ao exemplo.
Após a primeira aproxima¸cão do problema (P1), se poderia pensar em arre-
dondar os valores não-inteiros da solu¸cão encontrada para os valores inteiros mais
próximos. A solu¸cão inteira subótima assim obtida geralmente não produz bons
resultados, especialmente se os valores das variáveis forem pequenos. No exemplo
acima, a solu¸cão inteira viável mais próxima após a primeira aproxima¸cão de (P1)
é x1 = 2 e x2 = 1, com z = 10. A diferen¸ca percentual do valor ótimo do problema
(z = 12) em rela¸cão ao produzido pelo arredondamento da sua primeira apro-
xima¸cão é de 17%. Em outros casos é poss´ıvel que o arredondamento não introduza
grande varia¸cão no valor ótimo da fun¸cão-objetivo.
Exemplo 4.4 Um fabricante está come¸cando a última semana de produ¸cão de
quatro diferentes tipos de consoles para televisores, os quais devem ser montados
e então decorados. Os modelos requerem 4, 5, 3 e 5 horas para serem montados,
e 2, 1.5, 3 e 3 horas para serem decorados, respectivamente. Os lucros unitários
com os modelos são $7, $7, $6 e $9, respectivamente. O fabricante dispõe de 30000
horas para montagem (750 montadores trabalhando 40 horas por semana) e 20000
horas para decora¸cão (500 decoradores trabalhando 40 horas por semana). Quantas
unidades de cada modelo o fabricante deve produzir durante esta última semana
de forma a maximizar seu lucro? Assuma que todas as unidades produzidas serão
vendidas.
A formula¸cão matemática do problema é
(P1)
maximizar z = 7x1 + 7x2 + 6x3 + 9x4
sujeito a 4x1 + 5x2 + 3x3 + 5x4 ≤ 30000,
2x1 + 1.5x2 + 3x3 + 3x4 ≤ 20000,
com x1, x2, x3 e x4 variáveis inteiras não-negativas que representam os números
de consoles dos tipos 1, 2, 3 e 4. A primeira aproxima¸cão de (P1) é x1 = x2 = 0,

x3 = 1666.67 e x4 = 5000, com z = 55000. O limitante superior do problema é
LS = 55000. Como x3 não possui valor inteiro, introduz-se dois novos problemas:
(P2)
sujeito a 4x1 + 5x2 + 3x3 + 5x4 ≤ 30000,
2x1 + 1.5x2 + 3x3 + 3x4 ≤ 20000,
x3 ≤ 1666,
e
(P3)
sujeito a 4x1 + 5x2 + 3x3 + 5x4 ≤ 30000,
2x1 + 1.5x2 + 3x3 + 3x4 ≤ 20000,
x3 ≥ 1667.
As solu¸cões de (P2) e (P3) são x1 = x2 = 0, x3 = 1666, x4 = 5000.4 com z =
54999.6, e x1 = 1, x2 = 0, x3 = 1667, x4 = 4999 com z = 55000, respectivamente.
Como a solu¸cão de (P3) é inteira, atualiza-se o limitante inferior: LI = 55000.
Elimina-se o problema (P2) (z = 54999.6) e como não há mais problemas a serem
ramificados, a solu¸cão do problema inteiro (P1) é x1 = 1, x2 = 0, x3 = 1667,
x4 = 4999 com z = 55000.
Optando-se pelo estratégia de arredondamento, a solu¸cão inteira fact´ıvel mais
próxima após a primeira aproxima¸cão de (P1) é x1 = x2 = 0, x3 = 1666, x4 = 5000
com z = 54996. Neste caso, o valor ótimo do problema inteiro, z = 55000, é
menos do que 0.008% superior ao produzido pelo arredondamento. 2
O algoritmo branch–and–bound para problemas de programa¸cão inteira que
envolvam minimizar ao invés de maximizar é essencialmente o mesmo, com papéis
inversos dos limitantes: obtém-se inicialmente um limitante inferior e, em seguida,
um limitante superior, atualizado sempre que um problema apresentar solu¸cão in-
teira com valor ótimo z menor.

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