1. Proyecto Fortaleciendo las Capacidades de los Docentes de la Región Moquegua AC
Saludos:
Señores docentes elaboradores del texto de consulta para el área de Matemática
( nivel secundaria), tengo a bien sugerir la necesidad adicionar o considerar los
siguientes tópicos dentro del tema de “NUMEROS NATURALES”, ya que en la
propuesta de texto no se consideran mayores aspectos que involucran el tratamiento
de los números naturales.
Prof. Wilfredo Arocutipa Castillo
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LOS NÚMEROS DESDE LA PERSPECTIVA PITAGÓRICA
MODELOS NUMÉRICOS
L os pitagóricos tenían una noción intuitiva de número asociada a un
punto, no tan abstracta como la que podemos tener en la actualidad.
Por otra parte los pitagóricos eran fundamentalmente geómetras con un
escaso desarrollo de la aritmética al no contar con ningún sistema de
numeración ágil y flexible, (de ahí su necesidad de objetivar el concepto de
número a través de puntos o como relación entre segmentos). Veamos algunas
situaciones concretas:
1. Números triangulares.
Podemos representar los números naturales mediante
colecciones de puntos. Cada punto representa una unidad. Los
siguientes números se pueden disponer formando un triángulo. Se
les llama números triangulares.
…… … …………………..……
Observa en los cuatro primeros números triangulares cómo se
forma cada triángulo a partir del anterior. Podrías deducir la forma
general de encontrar los números triangulares?
__________________________________________________
ACTIVIDAD
1) Escribe los tres siguientes números triangulares:
__________________________________________________________________________
2) Rodea con círculo los números que sean triangulares:
34 45 55 86 132
3) ¿Cuál es el décimo número triangular? ___________________________________________
4) ¿Y el décimo quinto? ___________
5) Escribe, sin dibujarlo, el que ocupa el lugar 31 __________
6) Escribe una fórmula general para obtener cualquier número triangular: ________________
7) ¿Cuántos choques de mano se producen cuando se encuentran 5 amigos?
________________________
8) ¿Y si son 6?_________________
9) ¿Y si fueran 8?_______________
8) Encuentra una fórmula general que nos proporcione el número de choques de mano cuando
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haya n personas. Encuentras alguna relación entre esta fórmula y los números triangulares.
2. Números cuadrados
?
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Los números cuadrados son aquellos cuyos puntos forman un cuadrado. Coinciden con los
cuadrados de los números naturales.
Comprueba que todo número cuadrado es suma de números impares consecutivos empezando por 1:
1 = 1; 1 + 3 = 4 ; 1 + 3 + 5 = 9 ; 1 + 3 + 5 + 7 = 16
o) Escribe los 6 primeros términos de las secuencias de los números cuadrados:
Cuadrados: ___ , ___ , ___ , ___ , ___ , ___
¿Podrías deducir la forma general que nos permita encontrar los números cuadrados?
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3. Números pentagonales y hexagonales
Analicemos las
siguientes situaciones
OTROS MODELOS NUMÉRICOS
EL TRIANGULO DE PASCAL
Una de las pautas de números más interesantes es el triángulo de Pascal
(llamado así en honor de Blaise Pascal, un famoso matemático y filósofo
francés).
Para construir el triángulo, empieza con “1” arriba, y pon números
debajo formando un triángulo.
Cada número es la suma de los dos números que tiene encima, menos los
extremos, que son siempre “1”
(Aquí está remarcado que 1+3 = 4)
Los chinos ya lo conocían………………………………
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El triángulo de Pascal tiene muchas pautas realmente interesantes.
PAUTAS DEL TRIÁNGULO DE PASCAL
Ayudemos a analizar las siguientes
pautas
Simetría
Sumas horizontales sucesión de Fibonacci
LOS NÚMEROS PRIMOS
Un número primo es: (completa)
_____________________________________________________________________________________
_______________________
¿Sabes cómo se llaman los números que no son primos?
---------------------------------------------------------------------------
El gráfico nos muestra que el número 11 es número primo pero el 12 no los es.
AHORA:
¿Podrías explicar el proceso gráfico para determinar si un número es primo o compuesto?
----------------------------------------------------------------------------------------
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ACTIVIDAD
1.-Completa el siguiente cuadro, escribiendo un “si” o un “no” según corresponda
Número Número Número Número Número Número Número Número
triangular cuadrado perfecto primo compuesto impar par
1
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3
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MÉTODOS DIRECTOS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
MÉTODO DEL ROMBO
En el laboratorio de la I.E.
Daniel Becerra Ocampo se
cuentan en total 10 animalitos
entre arañas y mosquitos, los
cuales hacen un total de 66
patas. ¿Cuántos hay de cada
tipo?
“El apasionado tímido nunca es feliz,
por que la felicidad tiene como
precio la osadía”.
Lope de Vega
• ¿Cómo se aplica?
• Cuándo se aplica?
= _________________________
En un lugar de la campiña moqueguana hay
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una jaula donde hay gallinas y cuyes, pueden
contarse 20 cabezas y 64 patas. ¿Cuántas
gallinas y cuyes hay?
= _________________________
MÉTODO DEL CANGREJO
“EL CANGREJO NOS AYUDA A CALCULAR”
El método del cangrejo es aplicable a aquellos problemas cuyas características
son las siguientes:
1. Siempre se desea conocer la cantidad inicial.
2. A la cantidad inicial se le ha realizado una serie de operaciones
aritméticas consecutivas.
3. El único dato que nos dan es la cantidad final que se ha obtenido después
de las operaciones sucesivas.
EL MÉTODO:
Consiste en realizar las operaciones inversas y en sentido opuesto a lo que nos indica
el problema hasta obtener el valor inicial. Es a esa forma de proceder que debe se
debe el nombre del método. Además hay que tener presente la correcta interpretación
del enunciado del problema.
Algunas situaciones:
1. Con un cierto número se realizó las siguientes operaciones: Lo multiplico por dos, luego le
agregamos 4, a continuación le disminuimos 8, en seguida lo divido entre dos para
finalmente disminuirle 1, obteniendo como resultado cero. ¿Cuál es el número?
X2 +4 -8 :2 -1
Nº inicial 2
-4 +8 x2 +1
:2
2. Una señora lleva paltas; vende la mitad de las que lleva más 1 naranja, luego regala la
mitad de las que había quedado más 1, luego se come la mitad de las que le había quedado
más 1. ¿Cuántas paltas tenía si al final le sobra una palta?
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TALLER DE PROBLEMAS
INDICACIONES: Mediante equipos de trabajo, se deberá resolver los problemas planteados,
utilizando, métodos y estrategias estudiados en clase u otros que considere pertinentes.
1. En una granja de la localidad de Torata, donde hay vacas y gallinas, se contaron 90 cabezas y 252
patas. ¿Cuántas gallinas hay en la granja?
a) 36 b) 40 c) 32 d) 54 e) 52
2. Si la profesora Teresa pagó una deuda de 1450 soles con 38 billetes de 50 y 20 soles. ¿Cuántos
billetes de 50 soles a usado?
a) 15 b) 27 c) 23 d) 19 e) 25
3. A la fiesta por aniversario de la I.E. Daniel Becerra Ocampo, asistieron un total de 350 personas
entre varones y damas. Se recaudó S/.1550 debido a que cada varón pagó S/.5 y una dama S/.4.
¿Cuál es la diferencia entre el número de damas y el número de varones?.
a) 100 b) 150 c) 75 d) 60 e) 50
4. En la bodega Parras y Reyes de la localidad de Moquegua, se desea envasar 100 litros de vino en
botellas de 2 y 5 litros. Si el total de botellas es 26. ¿Cuántos son de 5 litros?
a) 10 b) 12 c) 16 d) 15 e) 14
5. El Auxiliar de educación de una I.E. de 100 alumnos ordena a todos a hacer “planchas”. En un
determinado momento, el auxiliar pudo observar sobre el piso 280 extremidades. ¿Cuál es el
número de alumnos haciendo planchas?
a) 60 b) 40 c) 70 d) 35 e) 30
6. A un número lo multiplico por 4, al resultado le disminuimos 4 lo que obtengo divido entre 4 y a
este valor le sumo 6, obteniendo finalmente 10. Hallar el número inicial.
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
7. En un templo de la localidad de Ichuña existe un santo que tiene la facultad de duplicar el dinero
que lo llevan, pero por cada milagro que realiza le deben dejar 200 soles como limosna. Una señora
ingresó a este templo y luego de recibir tres milagros y dejar su última limosna, se marchó con 1800
nuevos soles. ¿Cuánto dinero llevaba la señora?
a) 300 b) 380 c) 450 d) 400 e) 600
8. La piscina ubicada en el campo deportivo “Los Vegetales” ha estado desocupado durante 4 días,
hasta que realmente ha quedado 10 galones de agua. En cada día se extraía la mitad más 2 galones
de lo que había el día anterior. ¿Cuál es el volumen total de la piscina?
a) 220 b) 340 c) 120 d) 400 e) 260
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