(Semana 04 cinemática ii movmiento curvilineo 2009 b)

CINEMÁTICA II /MOVIMIENTO EN II y III DIMENSIONES

CINEMÁTICA II
1. SISTEMA DE REFERENCIA.
Es aquel lugar del espacio en donde en
forma real o imaginaría se sitúa un
Y (m)
observador para analizar un fenómeno.
Sobre un cuerpo en el espacio se fija
rigurosamente un sistema coordenado
Trayectoria
(cartesiano, polar, cilíndrico, esférico, etc.),
lugar en el cual se instala un reloj (sistema
r
horario) y se ubica un observador en forma
real o imaginaria, quien estudiará el
fenómeno (movimiento mecánico) en el X (m)
0
espacio y en el tiempo. A este conjunto se le
denomina sistema de referencia.

2. MOVIMIENTO MECÁNICO EN COORDENADAS CARTESIANAS.
Consideremos el movimiento de una partícula en el plano cartesiano, es decir un
movimiento bidimensional, entonces la ley de movimiento tendrá la siguiente forma:
r = rx .i + ry . ˆ
ˆ j X (m)
Veamos el siguiente ejemplo: v
v = Tanθ
( ) ( )
r = t 2 + 4 .i + t 3 − 5 . ˆ
ˆ j
La ley del movimiento de una
partícula en el espacio
tridimensional tienes la forma:
Tangente
r = rx .i + ry . ˆ + rz .k
ˆ j ˆ
X (t)
Veamos el siguiente ejemplo:
( ) ( )
r = t 2 + 4 .i + t 3 − 5 . ˆ + (2t ).k
ˆ j ˆ
0 θ t (s)
3. VELOCIDAD (v) t
La velocidad de una partícula se
define como la derivada de la posición respecto del tiempo.
dr  rx  ˆ  ry  ˆ
v= =   .i +   . j
dt  dt   dt  Y
(m)
La velocidad de una partícula en el v
plano tiene dos componentes:
α
v = v x .i + v y . ˆ
ˆ j
La velocidad de una partícula en el
espacio tridimensional tiene tres a
Trayectoria
componentes:
0
dr  rx   ry  r  ˆ X
v= =  .iˆ +  . ˆ +  z .k
 dt  j ACELERACIÓN Y VELOCIDAD (m)
dt  dt     dt 
v = v x .i + v y . ˆ + v z .k
ˆ j ˆ

FÍSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931 Página 1

4. ACELERACIÓN (a)
Es aquella magnitud física vectorial que mide la razón con que cambia la velocidad del móvil e
modulo y dirección. Matemáticamente la aceleración se define como la derivada de la velocidad
respecto del tiempo.
dv  v x   v y 
a= =  .i +  . ˆ
ˆ j
dt  dt   dt 
 
La aceleración de una partícula en el plano tiene dos componentes: a = a x .i + a y . ˆ
ˆ j
La aceleración de una partícula en el espacio tridimensional tiene tres componentes:
dv  dv x  ˆ  dv y  ˆ  dv z ˆ
a= =  .i +  dt  .j +   .k
dt  dt 
    dt 
a = a x .i + a y . ˆ + az .k
ˆ j ˆ

5. ÁNGULO ENTRE LA VELOCIDAD Y LA ACELERACIÓN
El ángulo que forma la velocidad y la aceleración en cierto instante determina el carácter de la
aceleración y la curvatura de la de la trayectoria del modo siguiente. Por un punto de la trayectoria
trazamos una circunferencia que
tenga con aquella una línea
tangente común a dicho punto y que v
en el tramo dado de la curva se α
aproxime lo más exactamente
posible a ella. Esta circunferencia
se llama osculatriz y su radio R
recibe el nombre de radio de a
curvatura del punto dado. La
aceleración está dirigida siempre
hacia dentro de esta circunferencia.
Se presentan tres casos posibles:
ρ
I. Si el movimiento es acelerado, es
decir, la rapidez aumenta, la
aceleración y la velocidad formaran Trayectoria
un ángulo AGUDO.

II. Si el movimiento es desacelerado o retardado, es decir, la rapidez disminuye, la aceleración y
la velocidad formaran un ángulo OBTUSO.

III. Si el movimiento es con rapidez constante, es decir el módulo de la velocidad con cambia, la
aceleración y la velocidad formaran un ángulo RECTO ( α = 90 ). Además se cumple que:
0

a iv = 0
6. DESCOMPOSICIÓN DE LA ACELERACIÓN.
La aceleración se puede descompones en dos componentes rectangulares, una es la dirección
tangencial a la trayectoria en el punto dado, denominada aceleración tangencial y la otra en
dirección normal, denominada aceleración normal, cumpliéndose que: a = at + an
El valor de la aceleración se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras:



a = at + an
2 2 2
at
2 2
 d v   v2 
a =  + 
2

 dt   ρ  φ
a
an
La aceleración tangencial mide solamente la
rapidez de cambio de la velocidad en módulo.
La aceleración tangencial se obtiene derivando
la velocidad respecto del tiempo:
dv
at =
dt ρ
La aceleración normal mide solamente la
rapidez de cambio de la velocidad en dirección:
v2
an = DESCOMPOSICIÓN DE LA ACELERACIÓN
ρ
Donde ρ representa el radio de curvatura de la trayectoria en un instante.

La desviación φ de la aceleración respecto de la línea normal o radial es:
at
Tan φ =
an

MOVIMIENTO DE UNA PARTICULA EN DOS DIMENSIONES

1. Se conoce la ley del movimiento de una partícula que se mueve en dos dimensiones
r (t ) = (t 2 ; t ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros. Determine
la velocidad y aceleración en cualquier instante.

r (t ) = (t 2 + 5) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros.
Determine la velocidad y aceleración en cualquier instante.

r (t ) = (t 2 + 5;2t − 3) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros.

r (t ) = (3t 2 − 10;2t − 3) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros.

t2
r (t ) = ( + 5;8 − 3t 2 ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros.
2


t2 t3
r (t ) = ( + 5; ;8 − 3t 2 ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en
2 3
metros. Determine la velocidad y aceleración en cualquier instante.

t3
r (t ) = ( ;10 − t 2 ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros.
3

t3 t2
r (t ) = ( ;10 − ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros.
3 2

9. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en dos dimensiones a (t ) = (3; t ) ,
donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros. Determine la velocidad y
posición en cualquier instante.
(1) La velocidad es nula en el instante t = 10 s
(2) En el instante t =0 s la posición es (10;30)

10. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en dos dimensiones
a (t ) = ( 2t ;3) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros. Determine
la velocidad y posición en cualquier instante.
(2) En el instante t =0 s la posición es (5;7)

a (t ) = ( −2;2t ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros.
Determine la velocidad y posición en cualquier instante.
(2) En el instante t =0 s la posición es (15;−10)

a (t ) = ( −2t ; t ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros.
(2) En el instante t =0 s la posición es (10;−10)

a (t ) = (−2;−2t ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros.



(2) En el instante t = 10 s la posición es (10;−10)

a (t ) = (−1;−2t ;1) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros.
(2) En el instante t = 10 s la posición es (10;30)

15. Se conoce la aceleración de una partícula que se mueve en tres dimensiones
a (t ) = (−t ;−2t; t ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros.
(2) En el instante t = 10 s la posición es (30;0;20)

a (t ) = (−2t + 1; t + 1) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros.

a (t ) = (1;−2) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros. Determine
la velocidad y posición en cualquier instante.

a (t ) = (−2;−t ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros.

a (t ) = (−2 + t ;−t ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros.

a (t ) = ( −2 + t ;−t ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros.


a (t ) = (1 + 2t ;10 − t ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros.

a (t ) = ( 2 − t ;10 − t ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros.
(1) La velocidad es (0;10) m.s −1 en el instante t = 10 s

a (t ) = ( 2 − t;10 + t ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros.

a (t ) = (1 + 2t ;2 − t ;5 + t ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en
metros. Determine la velocidad y posición en cualquier instante.
(1) La velocidad es (20;10;0) m.s −1 en el instante t = 10 s

a (t ) = ( 2t ;5 − t ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros.
(2) En el instante t = 10 s la posición es (−30;−20)

a (t ) = (2t ;−t ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros.
(1) La velocidad es (−20;40) m.s −1 en el instante t = 10 s
(2) En el instante t = 10 s la posición es (−30;20)

a (t ) = ( 2t ;−t ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros.


a (t ) = ( 2t;−1) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros.

MOVIMIENTO DE UNA PARTICULA EN TRES DIMENSIONES

29. Se conoce la ley del movimiento de una partícula que se mueve en tres dimensiones
r (t ) = (t 2 ; t ;8 + t ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros.

r (t ) = (t 2 + 5; t − 3;8 + t ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en

r (t ) = (t 2 + 5;2t − 3;8 − t 2 ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en

r (t ) = (3t 2 − 10;2t − 3;8 − t 2 ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en

t2
r (t ) = ( + 5;2t ;8 − 3t 2 ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en
2

t2 t3
r (t ) = ( + 5; ;8 − 3t 2 ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en
2 3

t2 t3
r (t ) = ( ; ;10 − t 2 ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros.
2 3

t3 t2
r (t ) = (8t ; ;10 − ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros.
3 2



a (t ) = ( 2;3; t ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros.
(2) En el instante t =0 s la posición es (10;20;30)

a (t ) = ( 2t ;3; t ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros.
(2) En el instante t =0 s la posición es (5;6;7 )

a (t ) = (−2;3; t ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros.
(2) En el instante t =0 s la posición es (15;−10;5)

a (t ) = ( −2;−2t ; t ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros.
(2) En el instante t =0 s la posición es (10;−10;5)

(2) En el instante t = 10 s la posición es (10;−10;5)


a (t ) = (−t ;−2t; t ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros.


a (t ) = (−t + 1;−2t + 1; t + 1) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en

a (t ) = (1;−2;−1) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros.

a (t ) = (1;−2;−t ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros.

a (t ) = (1;−2 + t ;−t ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros.

a (t ) = (1 + 2t ;−2 + t;−t ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en

a (t ) = (1 + 2t ;−2 + t ;10 − t ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en

a (t ) = (1 − 2t ;2 − t ;10 − t ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en

a (t ) = (1 + 2t;2 − t ;10 + t ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en



a (t ) = (1 + 2t ;2 − t ;5 + t ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en

a (t ) = ( 2t ;−t ;5 − t ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros.
(2) En el instante t = 10 s la posición es (−30;−20;−10)

a (t ) = ( 2t ;−t ; t ) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros.
(1) La velocidad es (−20;0;40) m.s −1 en el instante t = 10 s
(2) En el instante t = 10 s la posición es (−30;20;−10)

a (t ) = (2t ;−t ;4) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros.
(2) En el instante t = 10 s la posición es (30;20;−10)

a (t ) = ( 2t ;−1;4) , donde “t” se mide en segundos y las coordenadas x, y e z en metros.
(2) En el instante t = 10 s la posición es (30;20;−10)



7. MOVIMIENTO MECÁNICO EN COORDENADAS POLARES.
La relación que existe entre las coordenadas cartesianas ( x ; y ) y las coordenadas polares
planas ( r ;θ ) son: x = r.Cosθ e y = r.Senθ
Un punto material en
coordenadas polares planas y
viene localizado por la
distancia “r” del Punto P al
origen O y por el ángulo θ .
Si definimos los vectores uθ ur
ˆ
unitarios uθ en la dirección Cosθ
Senθ
del crecimiento de θ y ur ˆ
θ
en la dirección radial o vector θ x
posición, entonces podemos
escribir estos vectores -Senθ O Cosθ
unitarios en función de los VECTORES UNITARIOS: RADIAL Y TANGENCIAL
vectores unitarios cartesianos
i y ˆ
ˆ j
ur = i .Cosθ + ˆ.Senθ = ( Cosθ ; Senθ )
ˆ ˆ j
uθ = − i .Senθ + ˆ.Cosθ = ( − Senθ ; Cosθ )
ˆ ˆ j
Sabiendo que θ cambia en el tiempo, la posición
de un punto material viene dado por la siguiente V
relación: r = r.ur
ˆ
Observe la siguiente derivada:
y
Vr
d ur 
ˆ dθ dθ  Vθ
=  − Senθ . ; Cosθ . 
dt  dt dt 
P(x;y)
d ur  d θ 
ˆ
=  [ − Senθ ; Cosθ ] = ω. uθ
ˆ
dt  dt 
d ur  d θ 
ˆ •
r
=  .uθ = θ .uθ
ˆ ˆ
dt  dt 
θ
CÁLCULO DE LA VELOCIDAD
Entonces la velocidad será de derivada temporal:
O x
d r d ( r.ur )
ˆ duˆ dr
V= = = r. r + ur .
ˆ VELOCIDAD EN COORDENADAS
dt dt dt dt POLARES
d ur •
ˆ
pero: = θ .uθ entonces la expresión de la
ˆ
dt
velocidad que expresada así:
• •
V = r.θ .uθ + r .ur
ˆ ˆ de aquí la componentes de la velocidad en las direcciones radial y
tangencial son:


•
Velocidad Radial: Vr = r .ur = Vr .ur
ˆ ˆ
•
y Velocidad Tangencial: Vθ = r.θ .uθ = r.ω.uθ
ˆ ˆ

CÁLCULO DE LA ACELERACIÓN

La aceleración es la segunda derivada temporal de la posición, esto es:

d2 r dV d  • •
a= 2 = ˆ ˆ 
=  r.θ .uθ + r .ur 
dt dt dt 

Aplicando la regla de la derivada de una suma y de un producto, tenemos que:

 ••  •  2   •• • • 
a =  r − r. θ   .ur +  r.θ + 2 r .θ  uθ
 
ˆ ˆ
     

De ésta última relación tenemos las componentes radial y tangencial de la aceleración:

 ••  •  2   d Vr 
Aceleración Radial: ar =  r − r. θ  .ur de otra manera ar = 
ˆ − r.ω 2  .ur
ˆ
   
  
  dt 

 •• • •

Aceleración Tangencial: aθ =  r.θ + 2 r .θ  uθ
ˆ de otra manera aθ = ( r.α + 2v.ω ) uθ
ˆ
 

OBSERVACIONES:
2
•
I. En la aceleración radial, al término r. θ se le conoce como la aceleración centrípeta.
 
 
La aceleración centrípeta es: ac = r.ω
2

• •
II. En la aceleración tangencial, al término 2 r .θ se le conoce como la aceleración de
Coriolis.

La aceleración de Coriolis es: acor = 2 v . ω

* Gustavo-Gaspard Coriolis (1792 - 1842), científico francés conocido por sus trabajos sobre
mecánica teórica y aplicada.



CASOS PARTICULARES
1. MOVIMIENTO RECTILÍNEO.
La trayectoria de la partícula es una línea recta, entonces el radio de curvatura es infinito
2

( ρ = ∞ ) , y la aceleración normal es nula an = v = 0 . La aceleración total a = at + an se
ρ
dv
reduce a la aceleración tangencial, a = at = es decir la velocidad cambia solo en valor y
dt
no en dirección.

2. MOVIMIENTO CURVILÍNEO UNIFORME.
El movimiento curvilíneo es uniforme si la rapidez del móvil no cambia, es decir el módulo de la
dv
velocidad es constante, por consiguiente la aceleración tangencial es nula at = = 0 y la
dt
v2
aceleración total a = at + an se reduce a una aceleración normal a = an = y se cumple la
ρ
siguiente relación: a iv = 0
Aquí la aceleración está dirigida en todo instante al centro de la circunferencia de radio ρ , este
radio es variable en el tiempo. Si el radio de curvatura se hace constante ρ = R entonces el
movimiento es Circunferencial y Uniforme, es decir M.C.U, y la aceleración normal recibe el
v2
nombre de aceleración centrípeta: a = ac =
R
3. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME.
En este caso la velocidad no cambia en módulo ni en dirección es decir la aceleración total es nula
dv v2
at = =0 y an = =0 entonces a = at = an = 0
dt ρ
este en un movimiento mecánico ideal, es el movimiento más simple de la materia.

4. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO.
La trayectoria de la partícula es una línea recta, entonces el radio de curvatura es infinito
v2
( ρ = ∞ ) , y la aceleración normal es nula an = = 0 . En este caso el punto material o partícula
ρ
tiene aceleración tangencial constante, es decir el valor de la velocidad aumenta o disminuye
dv
progresivamente: at = = CONSTANTE
dt
La posición de la partícula respecto de un sistema de referencia tiene la siguiente ley de
 t2 
movimiento: r = r0 + v0 .t + at   , donde r0 es la posición inicial y v0 es la velocidad inicial
2
cuando ( t = 0 ) .
La velocidad tiene la siguiente ley: v = v0 + at .t


Si durante el movimiento el valor de la velocidad aumenta el movimiento se denomina acelerado.
Si durante el movimiento el valor de la velocidad disminuye el movimiento se denomina
desacelerado o retardado.

5. PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMA 1.
El movimiento de un cuerpo viene dado por las ecuaciones:

Para t = 2 segundos, calcular la velocidad, la aceleración y los cosenos de los ángulos que forma
la velocidad con los ejes cartesianos.
RESOLUCIÓN
Sabemos que la velocidad es la derivada del espacio respecto al tiempo; por lo tanto, calculamos sus
componentes:

Componiendo los tres valores obtenemos la velocidad, v, en función del tiempo:

que para t = 2 segundos nos da v = 27,8 m/s.
Para saber la aceleración, derivamos de nuevo las expresiones anteriores:

Componiendo y sustituyendo para t = 2 segundos, resulta:

El valor de los cosenos de los ángulos que forma la velocidad con los ejes cartesianos viene dado
por los cocientes respectivos de los módulos de las velocidades de cada componente respecto al
módulo de la velocidad total. Tenemos que ya hemos calculado el valor del módulo de la
composición de las tres ecuaciones para la velocidad y hemos obtenido un valor de 27,8. De ese
modo:

PROBLEMA 2
La ecuación de un movimiento en función del tiempo es:

x = t 4 − 2t 3 + t 2 + 4 , donde x se mide en centímetros y t en segundos.

Calcular el valor de t para que la aceleración sea máxima y obtener la velocidad en ese momento;
Calcular también los valores de t para que la velocidad, por una parte, y la aceleración, por otra,
sean nulas.
RESOLUCIÓN


El primer apartado significa que la segunda derivada de la ecuación del enunciado debe ser
máxima. Para el cálculo obtenemos el valor de las raíces de la primera derivada (que sería la
velocidad):

Sabemos que una función tiene un máximo cuando su primera derivada se anula y la segunda
tiene un valor negativo. Si calculamos la segunda derivada de la expresión inicial resulta:

Sustituyendo los valores anteriores tenemos un máximo para t = 0,5 s. La velocidad en ese
instante, según las operaciones efectuadas, será v = 0 cm/s.
Los valores de t para los que se anula la velocidad son, como hemos visto, las raíces de la
ecuación derivada de la expresión de la posición, es decir, t = 0 s; t = 1s y t = 0,5 s.
Los valores de t para los que se anula la aceleración son las raíces de la segunda derivada:



PROBLEMAS PROPUESTOS DE MOVIMIENTOS CURVILÍNEO

1. Un móvil se mueve en el plano con las siguientes leyes de movimiento: X = 3 t + 2 t 2 e Y = 2 t + 1 ,
donde X e Y se miden en metros y “t” en segundos. Determine la ecuación cartesiana de la trayectoria
que describe el móvil durante su movimiento.
X (m)
2. Un móvil se mueve en el plano con las siguientes leyes de Para el problema 06

movimiento: X = t 2 ( t − 3) e Y = ( t − 1) , donde X e Y +5
2

se miden en metros y “t” en segundos. Determinar el
radio de curvatura en el instante en que la aceleración de
la partícula es mínima.
5 10
3. Un móvil se mueve en el plano con las siguientes O t (s)
leyes de movimiento: X = A.Cos ωt e Y = B Sen ωt ,
donde X e Y se miden en metros, ω en s-1 y “t” en
segundos.
a) ¿La trayectoria es una elipse? -5
b) Determinar la aceleración del móvil.
c) Demostrar que la aceleración de la partícula es
directamente proporcional a la distancia que se Vy (m/s)
encuentra del origen de coordenadas y apunta hacia al
2
origen.

4. Las velocidades instantáneas de dos partículas A y B,
( )
que se mueven en el plano son: VA = 3 i + 4 ˆ m.s −1 y
ˆ j

( )
VB = 7 i + 24 ˆ m.s −1 Determine la velocidad
ˆ j
instantánea del punto medio M del segmento Vx (m/s)
imaginario que une las posiciones.
O 2
Para el problema 07
5. Una partícula se mueve en el plano partiendo del
reposo desde el origen de coordenadas ( 0;0 ) en el
instante t = 0 . Si se sabe que las componentes rectangulares de su velocidad, en todo instante,
están en la relación: Vy 2 = Vx y además respecto del eje “x” partió con aceleración constante
ax = 1 i (m.s −2 ) , determinar la velocidad del móvil en el instante t = 3 s.
ˆ

6. La figura muestra la grafica de la ley de movimiento de un cuerpo pequeño que se mueve sobre
el eje “x”. Determinar la aceleración media entre los instantes t = 3 s y t = 7 s .

7. Un móvil se mueve en el plano x − y partiendo desde el origen ( 0;0 ) en el instante t = 0 si la
gráfica Vy − Vx es un arco de circunferencia de radio 2 m/s y con respecto al eje “x” el móvil
partió del reposo v0 x = 0 con aceleración constante ax = 1,0 m.s −2 , determinar el radio de
curvatura en el instante t = 1,0 s
8. Si una partícula tiene el vector posición r = 3.t i + 2.t ˆ + 4 k , ¿Qué tipo de movimiento
ˆ j ˆ
tiene?

A) Curvilíneo con rapidez constante. B) Curvilíneo con aceleración constante
C) Curvilíneo con acelerado. D) Rectilíneo con velocidad constante
E) Rectilíneo acelerado

9. Una partícula se mueve en el plano; su posición está definida en función del tiempo:
r = ( t 3 + 2t 2 + 1) i + ( t 4 + 4 ) ˆ donde “t” se mide en metros y las coordenadas en metros.
ˆ j
Determine la velocidad y la aceleración en el instante t = 1 segundo.

(
10. El movimiento de un punto se da por la siguiente ley: r = 8.t − 4.t
2
) iˆ + ( 6.t − 3.t ) ˆj
2

Determinar la trayectoria, la velocidad y la aceleración del punto material.

11. El movimiento de un punto se da por la siguiente ley:
r = ( a.Senωt ) i + ( a.Cosωt ) ˆ + ( u.t ) k donde a, ω y u son magnitudes constantes.
ˆ j ˆ
Determinar la trayectoria, la velocidad y la aceleración del punto material.

12. La ecuación del movimiento de una partícula está dada por r = ( 2.Sen π t ;2.Cos π t ) . La
componente normal de la aceleración en cualquier instante es:

13. Un cuerpo esta vibrando con movimiento armónico simple x = A.Sen (ω.t + α ) de amplitud 8
cm y frecuencia es 2 ciclos por segundo. Determinar los valores máximos de la velocidad y la
aceleración.

14. Una partícula tiene como vector posición: r = ( a.Cosω.t ) i + ( a.Senω.t ) ˆ entonces el tipo
ˆ j
de movimiento es:
C) Curvilíneo con acelerado. D) Circunferencial con rapidez constante
E) Circunferencial con aceleración angular constante.
 π ˆ
15. La ecuación del movimiento de un objeto pequeño es: x = 2.Cos  0,5.t +  i Determine
 4
el valor máximo de la velocidad y de la aceleración.

16. La posición de una partícula en cierto sistema de referencia esta expresada por:
r = m + ( c − m ) Sen.t donde m = (1;1;1) y c = ( 3;4;5 ) . Determinar la distancia entre los
puntos extremos del desplazamiento.

17. El vector posición de cierta trayectoria helicoidal es: r (t ) = ( Cosωt ; Senωt ; t ) Sabiendo que
la velocidad angular ω es constante, determine la aceleración tangencial.

18. La ecuación del movimiento de un objeto pequeño es: r = ( 4.Senπ .t ) i − ( Cos 2π .t ) ˆ
ˆ j
Demuestre que la trayectoria es una parábola.
19. Un disco de 30 m de radio rota con velocidad angular constante ω =1,0 rad / s respecto de un
eje vertical. Una esfera se mueve con velocidad de valor 10 m/s en dirección radial respecto del
disco. Determine la aceleración de Coriolis, la aceleración centrípeta y la aceleración total de la


esfera cuando llega al borde del disco.

20. La posición de una partícula está definida
por: r = ( 4.Sen π .t ) i + ( 4.Cos π .t ) ˆ
ˆ j
Determine la aceleración y el valor de la ω
aceleración centrípeta.

21. La posición de una partícula está definida
Vrel
por: r = ( 3.Sen π .t ) i + ( 4.Cos π .t ) ˆ
ˆ j
Demuestre que la trayectoria es una elipse.
Determine la aceleración y el valor de la
aceleración centrípeta. Para el problema 19

22. Un móvil se mueve sobre un plano x − y
9t 3
con la siguiente ley: θ = y r = 2 , donde θ (rad ) , r (m) y t ( s ) . ¿En qué instante la
4
aceleración tangencial, es igual, a la aceleración normal en módulo?

23. Un móvil se mueve sobre un plano x − y con la siguiente ley: θ = t − 4t y r = 2t , donde
2 2

θ (rad ) , r (m) y t ( s) . Determinar el radio de curvatura de la trayectoria en el instante en que
la dirección de la velocidad pasa por el origen de coordenadas.

24. Un móvil se mueve sobre un plano x − y con la siguiente ley: θ = t − 3t y r = t , donde
2

θ (rad ) , r (m) y t ( s) . Calcular la velocidad que posee en el instante en que la aceleración
apunta hacia el origen de coordenadas.

25. Un móvil se mueve sobre un plano x − y con la siguiente ley: θ = 2.t y r = 6.t , donde
2

θ (rad ) , r (m) y t ( s) . Determinar la velocidad que posee el móvil en el instante en que su
aceleración es perpendicular a su vector posición.

26. Un escarabajo, que parte del extremo A, se
Y
mueve sobre la barra AB en un plano
horizontal, alejándose de A con una B
velocidad relativa de 8 cm/s respecto de la VREL
barra. Si la barra gira alrededor del eje
vertical que pasa por A con rapidez angular
constante de ω = 0,5 rad / s ; ¿después de ω
qué intervalo de tiempo de haber partido del
origen de coordenadas su aceleración lineal
tendrá un valor de a = 10 cm / s ? X
2
A
27. La aceleración de una partícula tiene la
Para el problema 26
siguiente ley: a = t. (1 − 3t ) e − t ˆ (m/s2). ¿En
i
qué instante adquiere la máxima velocidad?


28. Se sabe que la trayectoria de una partícula pasa por el origen de coordenadas. Conociendo su
(
velocidad es v = Cos t;Sec t; e
2 −t
) , determinar la ley del movimiento r ( t ) .
29. El movimiento de un cuerpo viene dado por las ecuaciones:
1 5 3
x = 10 + 3t − 3.Cos(t) ( m ) , y = t 5 − t 3 + t 2 + 4t ( m ) , z = t 2 + 4t + 8.Sen(t) ( m )
3 2 2
Determinar su aceleración, indicando las componentes tangencial y normal, así como el radio de
curvatura en el instante inicial t = 0 s .

30. Si una partícula tiene el vector posición r = 3.t ˆ + 4.t ˆ , ¿Qué tipo de movimiento tiene?
i j
C) Curvilíneo con acelerado. D) Rectilíneo con velocidad constante
E) Rectilíneo acelerado

31. Una partícula se mueve en el plano; su posición está definida en función del tiempo:
( ) ( )
r = t 3 + 2t 2 + 1 i + t 4 + 4 ˆ donde “t” se mide en metros y las coordenadas en metros.
ˆ j
Determine la velocidad y la aceleración en el instante t = 1 segundo.



MOVIMIENTO RELATIVO
1. CONCEPTO. Hasta ahora hemos estudiado al movimiento de una partícula respecto de un
sistema de referencia fijo a la Tierra. Sin embargo hay otros casos en los que es razonable y a
veces necesario, examinar el movimiento de una partícula simultáneamente respecto de dos
sistemas de referencia, uno de los cuales se considera convencionalmente inmóvil (fijo a la
Tierra) y el otro se mueve respecto del primero. Entonces es importante saber la forma en que
están relacionadas las observaciones hechas por personas de diferentes sistemas de referencia.
Un avión bombardero se desplaza
horizontalmente con velocidad constante, en vA
cierto instante el piloto abandona una
bomba. El observador dentro del avión ve vA
un movimiento de caída libre vertical, en
cambio un observador fuera del avión ve un
movimiento parabólico. Por consiguiente
la trayectoria es relativa. En general la vA/B
vB vB
posición, la velocidad, la aceleración, el
tiempo, el movimiento y la masa son
relativos. El reposo es un estado particular
del movimiento. El reposo es relativo. No
existe el reposo absoluto. La materia se encuentra en eterno movimiento y desarrollo.

2. VELOCIDAD RELATIVA. Es la velocidad del cuerpo A respecto de un observador ubicado
en el cuerpo B que también se mueve. La velocidad de A respecto de B, se define como la
diferencia de las velocidades.
VA / B = VA − VB
La velocidad relativa es el vector diferencia entre la velocidad de A (minuendo) y la velocidad
de B (sustraendo).
VA = VB + VA / B

3. MOVIMIENTO COMPUESTO. Es aquel movimiento que resulta de la composición de dos o
más movimientos simples. Por ejemplo para cruzar un río, se emplea un bote que se mantiene
siempre perpendicular a la corriente del agua.
VBOTE / AGUA = VBOTE − VAGUA B
C
La velocidad del bote respecto de la
Tierra es igual a la velocidad de la VBOTE
corriente del río, mas, la velocidad del
VB/R
bote respecto del agua. Observe la
composición de la velocidad: α
VBOTE = VAGUA + VBOTE / AGUA VRIO
En el movimiento compuesto tenemos los A θ
siguientes elementos:
Velocidad absoluta: VBOTE , Velocidad de arrastre: VAGUA , Velocidad Relativa: VBOTE / AGUA
La velocidad absoluta del punto es igual a la suma geométrica de la velocidad de arrastre y la
velocidad relativa.


4. PRINCIPIO DE INDEPENDENCIA
DE LOS MOVIMIENTOS Vrelativa
Cada movimiento componente es un
Vabsoluta
fenómeno físico independiente de los
demás movimientos mecánicos,
teniendo en común el tiempo θ
transcurrido. Varrastre
VABSOLTULA = VARRASTRE + VRELATIVA
El movimiento compuesto fue estudiado por el físico italiano Galileo Galilei.

5. ACELERACIÓN RELATIVA
Es la aceleración del cuerpo A respecto de un observador ubicado en el cuerpo B que también se
mueve con aceleración constante. La aceleración de A respecto de B, se define como la
diferencia de las aceleraciones.
a A / B = a A − aB aA
La aceleración relativa es el vector diferencia
entre la aceleración de A (minuendo) y la aA
aceleración de B (sustraendo).
Para el movimiento compuesto se cumple que:
a A = aB + a A / B aB aB aA/B
En el movimiento compuesto tenemos los
siguientes elementos:
Aceleración absoluta: a A , Aceleración de
arrastre: aB , Aceleración Relativa: a A / B
La aceleración absoluta del punto es igual a la suma geométrica de la aceleración de arrastre y la
aceleración relativa.

6. PRINCIPIO DE RELATIVIDAD DE GALILEO
Si restamos la misma cantidad a las velocidades de A y B de tal manera que la velocidad del
móvil B sea nula. Es decir el observador se mueve con la misma velocidad de B. Entonces
analizar el movimiento de A visto desde el móvil B en reposo es mucho más fácil.

VA - VB VB -VB

Móvil A Móvil B
d
Si fijamos nuestro sistema de referencia sobre el móvil B, entonces observamos al móvil A con
rapidez (VA - VB). Para el observador, el móvil B se encuentra en reposo relativo.
VA - VB
VB = 0

d

d relativa = Vrelativa .t ⇒ d relativa = (VA − VB ).t


7. COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS
El planeta Tierra tiene movimiento de Rotación, gira a razón 15 grados sexagesimales en cada
hora, que para los habitantes de la Tierra es la
velocidad de arrastre, entonces cuando un automóvil
se mueve y el velocímetro indica 90 km/h ésta es la
velocidad relativa del automóvil respecto de la Tierra.
Todos los cuerpos que se mueven sobre otro cuerpo
que tienen movimiento de rotación pura experimentan
ωarr
la aceleración de Coriolis, que se caracteriza por el
cambio de la velocidad relativa en el movimiento de
arrastre y de la velocidad de arrastre del punto en el
movimiento relativo. α
Vrel acor
La aceleración de Coriolis se determina con la
siguiente fórmula:

acor = 2 (ωarr × vrel ) Aceleración de CORIOLIS
cuando el ángulo α es agudo.
De este modo, la aceleración de Coriolis es igual al
doble producto vectorial de la velocidad angular del
movimiento de arrastre, por, la velocidad relativa del
punto. Si se designa por α el ángulo entre las ω
velocidades, el módulo de la aceleración de Coriolis
será:

acor = 2 ωarr . vrel .Senα
90° acor
La aceleración de Coriolis puede ser nula en los
siguientes casos:
Vrel
I. Cuando la velocidad angular es nula, es decir,
cuando el movimiento de arrastre es de traslación; o si Aceleración de CORIOLIS
la velocidad angular de la rotación de arrastre se hace cuando el ángulo α es recto
nula en el instante dado.

II. Cuando la velocidad relativa es nula, es decir,
cuando la velocidad relativa se hace nula en el ω
instante dado.

III. Cuando el ángulo que forman los vectores
velocidad angular y velocidad relativa es 0° o es 180°,
es decir, cuando el movimiento relativo se efectúa en
dirección paralela al eje de rotación de arrastre o si en
el instante dado el vector velocidad relativa es
paralelo a este eje de rotación.
Vrel
EJEMPLO 01: Un avión está volando paralelamente
a la línea ecuatorial en sentido de rotación de la
Tierra. Si el velocímetro del avión señala 1,0 km/s, Para el Ejemplo 01


determine el valor de la aceleración de Coriolis.

Resolución
La Tierra gira respecto de su eje a razón de 15°
sexagesimales en cada hora, de otro modo gira 2π
radianes cada 24 horas.
θ 2π 2π ω
ω= = =
t 24 h 24 × 3600 s
La velocidad relativa de avión respecto de la
−1
acor
superficie terrestre es: vrel =1000 m.s
La velocidad angular de arrastre y la velocidad Vrel
relativa forman un ángulo recto.

Formula para calcular la aceleración de Coriolis: Aceleración de CORIOLIS

acor = 2 ωarr . vrel .Senα

 2π 
 .(1000 m.s ) .Sen90°
−1
acor = 2 
 24 × 3600 s 
−2
El valor de la aceleración de Coriolis es: acor = 0,145 m.s y la dirección es radial hacia el
centro de la Tierra.


PROBLEMAS PROPUESTOS DE MOVIMIENTO COMPUESTO
1. Dos cuerpos A y B se mueven con velocidades de VA = 3 i (m/s) y VB = 4 j (m/s). Determinar la
velocidad de A respecto de B (en m/s).

2. Dos cuerpos A y B se mueven con velocidades de VA = 3 i (m/s) y VB = 4 j (m/s). Determinar la
rapidez de A respecto de B (en m/s).

BOTE
C B

RIO
d RIO
LANCHA
V
A
Para el problema 07
Para el problema 3, 4 y 5

3. Un hombre nada con rapidez de 3 m/s con respecto a las aguas de un río. Si se desplaza desde A
hasta B, determinar el intervalo de tiempo (en s) que empleará el hombre en cruzar el río, de rapidez
de corriente de 5 m/s y 12 m de ancho, con la
condición que llegue a la orilla opuesta 30 m
alejado en forma mínima de su punto de
partida. B N

40 m
4. Para cruzar un río de 40 m de ancho, se O E
emplea un bote que se mantiene siempre
perpendicular a la corriente del agua con S
RIO
rapidez de 8 m/s. Si la rapidez de la corriente
del río es 6 m/s, determine la distancia (en A
m) desde A hasta B.

5. Para cruzar un río de 60 m de ancho, se Para el problema 06
emplea una lancha que se mueve con rapidez
constante de 3 m/s respecto del agua. Si la rapidez de la corriente del río es 5 m/s, determine la
distancia BC mínima (en m) a lo largo de la orilla.

6. El observador situado sobre el
bote A, que se mueve libremente PERRO
debido a la corriente del río a una VP
distancia de 40 m de la orilla,
observa que un bote a velas B
parte de un punto de la orilla Para el problema 09
situada a distancia de 30 m aguas
abajo. Si el viento sopla en la
dirección E 74° S, determinar la
mínima distancia (en m) a la cual 5 m/s
se acercan los botes.
Tren
7. Una lancha a motor que va río
arriba se encontró con un bote

que flota aguas abajo. Pasada una hora después de este encuentro el motor de la lancha se paro. La
reparación de esta duro 30 minutos y durante todo el tiempo la lancha seguía libremente la corriente
del rió. Arreglando el motor, la lancha comenzó a ir río abajo con la misma rapidez con relación a la
corriente del agua y alcanzo al bote a una distancia igual a 7,5 km del punto de su primer encuentro.
Determinar la rapidez de la corriente del río, considerándola constante (en km/h).

8. Un portaviones avanza hacia el
Sur con rapidez constante de 60 S N
600 km/h 600 km/h
km/h respecto de la Tierra. En un
instante dado (t = 0) despegan de
su cubierta dos aviones de
reconocimiento, uno que va hacia 60 km/h
el Norte y el hacia el Sur ambos
con una rapidez de 600 km/h con PORTAVIONES
respecto a la Tierra y en la misma OCÉANO
línea de acción del portaviones.
Cada uno se aleja 594 km respecto Para el problema 08
del portaviones y regresa hacia el.
Determinar el intervalo de tiempo (en h) que demora en regresar cada avión.

9. Un coche de ferrocarril se desplaza rectilíneamente sobre rieles con rapidez constante de 5 m/s.
Un perro que se encuentra fuera de la línea férrea se dirige en todo instante al coche con rapidez
constante. Si en cierto instante el perro observa que el tren pasa frente a él con una rapidez de 4
m/s, determinar la rapidez con que se mueve el perro.

10. Se muestra dos bloques A y B que resbalan sobre planos inclinados libres de rozamiento. Si los
planos forman entre si un ángulo recto, determinar el
módulo de la aceleración relativa de A respecto de B.

A B 53°

g

Para el problema 10 Para el problema 12
(g: módulo de la aceleración de la gravedad)

11. Dos pueblos amazónicos se encuentran en la
misma orilla de un río separados una distancia de 36
km. Los pobladores para movilizarse usan una lancha 37°
que siempre se mueve con la misma velocidad constante
en módulo respecto del agua, pero debido a la corriente
de agua, cuando se mueve la lancha río debajo demora 1
53°
hora y cuando se mueve río arriba se demora 2 horas, (1)
(2)
entre ambos pueblos. Determinar el modulo de la
velocidad constante del río (en km/h)
Para el problema 13


12. Un hombre que guía su automóvil a través de una tormenta a 100 km/h observa que las gotas
de lluvia dejan trazos en las ventanas laterales haciendo un ángulo de 53° con la vertical. Cuando
el hombre detiene su auto, observa que la lluvia está cayendo realmente en forma vertical.
Calcular el modulo de la velocidad de la lluvia (km/h) respecto de la tierra.

13. El conductor de un automóvil ve que cuando avanza con rapidez constante la gotas de lluvia
siguen la trayectoria (1) y cuando retrocede con la misma rapidez ve que las gotas siguen la
trayectoria (2). Si la velocidad real de las gotas de lluvia también es constante, determinar el
ángulo que hace la dirección del movimiento real de las gotas de lluvia con la vertical.

14. A través del cristal de la ventana de un coche de ferrocarril, un pasajero ve caer las gotas de
lluvia paralelamente a la diagonal del marco. ¿Con qué módulo de velocidad (en km/h) cae
realmente, si no hay viento, y el tren está corriendo con velocidad constante cuyo módulo es 60
km/h? El ancho de la ventana es el doble de la altura.

MOVIMIENTO COMPUESTO (SEGUNDA PARTE)

1. Un hombre en un bote debe ir de A hacia B que están en orillas opuestas. Las dimensiones son
AC = 80 m y BC = 60 m. Si la velocidad de la corriente del río es constante de modulo 5 m/s,
determinar la mínima rapidez constante del bote respecto del agua (en m/s), para lograr su
objetivo.

C B B

RIO RIO
A A

2. Un hombre puede nadar en aguas tranquilas con una rapidez de 5 m/s. Si el río mostrado tiene un
ancho de 24 m cuya corriente tiene velocidad constante de módulo 3 m/s, determinar el intervalo
de tiempo (en s) que tardará en cruzar el río, sabiendo que tiene que hacerlo de A hacia B.

3. Un hombre puede nadar en aguas tranquilas con una rapidez de 4 5 m/s. Si el río mostrado tiene
las siguientes dimensiones AC = 40 m y CB = 30 m, cuya corriente tiene velocidad constante de
módulo 1 m/s, determinar el intervalo de tiempo (en s) que tardará en cruzar el río, sabiendo que
tiene que hacerlo de A hacia B.

C B C B

RIO RIO
A A



4. Por un río, del punto A al punto B que se encuentra en la orilla opuesta, a lo largo de la recta AB,
navega un bote. La bandera ubicada en el mástil del bote flamea en la misma dirección del río. El
viento sopla con una velocidad de 6 m/s en dirección perpendicular a la orilla de A hacia C. Si AC
= 3 km y CB = 4 km, determinar el módulo de la velocidad (m/s) del bote respecto de la orilla.

5. Para cruzar un río de ancho AC = 200 m, desde A hasta B, se emplea un bote que se mueve
siempre perpendicularmente a la corriente del agua con velocidad de 4 km/h respecto del agua. Si
la velocidad de la corriente del río tiene módulo de 3 m/s, ¿a qué distancia (en m) medida del
punto de partida se encuentra el punto de llegada del bote?

C B B

RIO RIO
A A


6. Un hombre puede
nadar en aguas O
tranquilas con
velocidad de módulo 4 VB
m/s. Si el ancho del rió
es AB = 12 m, cuyas
aguas se mueven con 30°
velocidad constante de 60° S N
módulo 5 m/s,
determinar el intervalo
de tiempo (en s) que
tardará en cruzar el río,
sabiendo que sale del E
punto A y quiere llegar
alejado del punto de Para el problema 07
partida una distancia
minina.
N
7. Una bandera ubicada en el mástil VB
de un bote flamea haciendo un
ángulo de 60° como se muestra en O
la figura, pero la bandera situada en E
la orilla del río se extiende al Sur 60°
30° Oeste. Determinar el módulo
de la velocidad (en km/h) del 60°
viento respecto a la Tierra, si el S
bote se mueve con rapidez de 10 Para el problema 08
km/h.


8. Una bandera ubicada en el mástil de un bote flamea haciendo un ángulo de 60° como se muestra
en la figura, pero la bandera situada en una casa en la orilla del río se extiende al Sur 60° Oeste.
Determinar el módulo de la velocidad (en km/h) del viento respecto al bote, si el bote se mueve
con rapidez de 10 km/h.

9. Un hombre se encuentra parado sobre una plataforma móvil que se mueve horizontalmente con
velocidad constante de modulo 7 m/s. Si el hombre sostiene en sus manos un rifle, ¿en qué dirección
definida por el ángulo θ debe hace el disparo, en el instante que el hombre pasa enfrente a un poste
para hacer blanco en éste. El módulo de la velocidad de la bala es 25 m/s respecto del rifle.

POSTE

RIFLE
37°
θ

V
Para el problema 10

Para el problema 09

10. Sobre las ventanas laterales de un automóvil que se desplaza a 30 km/h se observa que los trazos
que deja la lluvia en las ventanas laterales forman un ángulo de 37° con la vertical. Si las gotas de
lluvia se observa que caen verticalmente cuando el auto está detenido, ¿Cuál es la rapidez (en km/h)
de la lluvia respecto de la tierra?

Para el problema 11 B
Y

RIO
37°

X A
O
Para el problema 12

11. Las gotas de lluvia caen con velocidad constante de módulo 10 m/s formando un ángulo de 37°
con la vertical. Determinar la rapidez (en m/s) y dirección con que debe moverse el hombre con un
sombrero grande para mojarse lo menos posible.

12. Del punto A situado en la orilla de un río es necesario llegar al punto B, moviéndose siempre
por la recta AB. Si AC = 1 km, BC = 2 km, la velocidad máxima del bote con respecto al río es de 5
km/h y la rapidez de la corriente de agua en el río de 2 km/h. ¿Es posible cubrir la distancia AB en 30
minutos?



MOVIMIENTO DE CAÍDA LIBRE PARABÓLICO
1. CONCEPTO:
Si lanzamos un cuerpo con cierto ángulo de inclinación y el medio fuese el vació, el móvil
describiría una trayectoria
curva llamada parábola, Y
la cual tendrá una forma V0 Cosθ
que dependerá de la V0
velocidad de lanzamiento
y el ángulo de disparo. H
Galileo demostró que el
θ
movimiento parabólico
debido a la gravedad es un D X
movimiento compuesto
por otros dos: uno
horizontal y el otro vertical. Descubrió asimismo que el movimiento horizontal se desarrolla
siempre como un M.R.U. y el movimiento vertical es un M.R.U.V. con aceleración igual a “g”, es
decir movimiento de caída libre vertical.

2. TIRO SEMIPARABÓLICO
Desplazamiento vertical: caída libre desde el reposo
Desplazamiento horizontal: movimiento con velocidad constante.
Todos los tiros semiparabólicos causados por la gravedad se resuelven con las siguientes relaciones:
Movimiento vertical:
1 2
y= gt A L 2L 3L
2
Movimiento horizontal: X (m)
X = VX .t 5
V0 : Velocidad de B

lanzamiento (dirección
horizontal).

25
C

3. SISTEMA DE
REFERENCIA: Para una
trayectoria semiparabólica
fijamos nuestro sistema de
referencia en el nivel de
lanzamiento, de manera que
el cuerpo acelera en el eje
Y. 35
Y (m) D

4. FORMA VECTORIAL: Cuando utilices las ecuaciones vectoriales no debes olvidar que todas
las cantidades vectoriales que en ellas aparecen tienen signos los que dependerán del sentido que


posean. Asimismo, te recomiendo trazar el origen de coordenadas en el punto de lanzamiento, y
desde allí medir los desplazamiento, horizontal ( x ) y vertical ( y ).
Las ecuaciones vectoriales del movimiento vertical son:
Para la velocidad vertical: V f y
= V0 y + g.t
g.t 2
Para el desplazamiento vertical: h = V0 y .t +
2
La velocidad total del proyectil es siempre tangente a la parábola en cualquier punto de esta, y su
valor se determina aplicando el teorema de Pitágoras: V = Vx2 + V fy
2

5. ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA: Aplicamos en el eje X el M.R.U, entonces el módulo del
desplazamiento horizontal es x = Vx .t ⇒ x = (V0 .Cosθ ) .t
Ahora despejamos el tiempo transcurrido
x
t= … (1)
V0 .Cosθ
Aplicamos en el eje Y el Y
M.R.U.V., la rapidez inicial
en el eje vertical es: V0
V0 y = V0 .Senθ y
entonces el módulo del
desplazamiento vertical es θ
X
2
g.t
y = V0 y .t − … (2)
x
2
2
 x 
g. 

y = (V0 .Cosθ ) .
x   V0 .Cosθ 
Reemplazamos (1) en (2): −
 V0 .Cosθ  2
 g  2
y = ( Tgθ ) .x −  2 
.x
 2.V0 .Cosθ 
2

La trayectoria que describe el proyectil en una línea curva llamada PARÁBOLA.
y = a.x − b.x 2
ECUACIONES ESPECIALES

6. TIEMPO DE VUELO: tiempo que demora el proyectil en regresar al nivel de lanzamiento.
2.V0 .Senθ
T=
g
7. ALTURA MÁXIMA: En el instante que el proyectil alcanza la altura máxima, su velocidad el
eje vertical es nula (un instante).
V02 .Sen 2α
H=
2g


8. ALCANCE HORIZONTAL: Se define como el desplazamiento sobre el eje horizontal.
2.V02 .Senα .Cosα V02 .Sen 2α
D= =
g g
4H
9. Relaciones entre la altura máxima y el alcance horizontal: Tgα =
R
g.T 2
10. Relaciones entre la altura máxima y el tiempo de vuelo: H =
8
11. ALCANCES IGUALES: Si dos cuerpos son lanzados con velocidades de igual módulo (vi) y
con distintas inclinaciones “α” y “β”, de manera que los alcances horizontales sean iguales en los
dos casos, se verificará: Los alcance son iguales si los ángulos son complementarios, α + β = 90°.

12. ALCANCE HORIZONTAL MÁXIMO: Cuando regamos el jardín con una manguera
comprobamos que el alcance cambia a medida que inclinamos más la manguera, y cuando
continuamos con este proceso observamos que luego de un aumento de alcance, este empieza a
reducirse. Se puede demostrar que de todos los alcances, el máximo se logra cuando el ángulo de
disparo es de 45°, de este modo se obtiene que:
V02
Dmax imo =
g

13. TEOREMA PLUS 100
Si dos partículas se mueven con una misma aceleración (iguales en modulo y dirección), su
movimiento relativo es un movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U.).

DEMOSTRACIÓN
Sabemos que: v = v0 + a.t entonces para las partículas A y B que se mueven con una misma
aceleración tenemos que: v A = v0 A + a.t y vB = v0 B + a.t
Por otro lado, por definición de velocidad relativa: v AB = v A − vB
v AB = v0 A + a.t − ( v0 B + a.t )
v AB = v0 A − v0 B
Como la velocidad relativa de A respecto
de B, no varía con el tiempo, su trayectoria A V1
relativa será una línea recta. O
Este teorema es muy útil cuando dos
partículas A y B describen una trayectoria g
Parabólica dentro de un campo
gravitacional.
V2
14. TEOREMA PLUS 110: P
Si dos partículas, que al ser lanzadas
simultáneamente al campo de gravedad, β
chocan en el aire, el punto de impacto P B
estará debajo del punto de intersección de
sus velocidades de lanzamiento. TEOREMA PLUS 110


DEMOSTRACIÓN
Sabemos por teoría que el desplazamiento que experimenta una partícula que se mueve
1 2
parabólicamente en el campo de gravedad esta dado por: d = v0 .t + g.t
2
Según esto el vector desplazamiento d es la suma vectorial de un vector colineal con la velocidad
de lanzamiento v0 y de un vector vertical paralelo a la aceleración de la gravedad g .
Si dos partículas A y B, que al ser lanzadas simultáneamente, chocan en el punto P, se cumplirá que
el punto P estará debajo del punto de intersección de sus velocidades de lanzamiento.
En ausencia de la gravedad las partículas A y B chocarían en el punto “O”.

15. TEOREMA PLUS 120:
Si una partícula se mueve en el plano con ley de movimiento: x = x ( t ) y y = y ( t )
Su distancia al origen de coordenadas tomará un valor extremo (máximo o mínimo relativo)
cuando: x.vx + y.v y = 0
DEMOSTRACIÓN
El vector posición en el plano cartesiano de la partícula móvil será: r = ( x; y ) y el modulo es:

z = r = x 2 + y 2 , el modulo de r tomara su máximo (mínimo) valor cuando la función z ( t )
tome su valor máximo (mínimo). Por otro lado la función z ( t ) tomara su máximo (mínimo)
cuando su derivada respecto del tiempo, sea cero:
dz d ( x 2 + y2 ) dx  dy
= 0 entonces = 0 desarrollando tenemos que: 2x   + 2y  =0
dt dt  dt   dt 

dx  dy
Finalmente verificamos que: x   + y  = 0 también x.v x + y.v y = 0
 dt   dt 



16. DESCOMPOSICIÓN DE LA ACELERACIÓN EN EL MOVIMIENTO PARABÓLICO.
Descomponemos la velocidad de una partícula en un instante de tiempo, en el eje horizontal la
velocidad no varía, pero la velocidad
en el eje vertical cambia debido al
campo de gravedad. Calculemos el Vy V
ángulo que forma la velocidad V con
el eje horizontal. Parábola
Vy
Tanφ = φ
Vx Vx
Ahora observe la descomposición φ
rectangular de la aceleración de la at
gravedad. Tiene dos componentes en an
cada instante de tiempo: g
La aceleración tangencial es colineal
con la velocidad instantánea V:
at = g.Senφ Fig. 01. DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR DE LA
ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD
La aceleración normal es
perpendicular a la velocidad instantánea V:
an = g.Cosφ

El radio de curvatura se puede calcular con la ecuación:
V2 V2
an = g.Cosφ = despejando tenemos ρ =
ρ g.Cosφ

PROBLEMAS PROPUESTOS (PARTE 1)

1. Un cuerpo es lanzado con velocidad inicial V0 (m.s −1 ) desde el punto ( 20;45 ) expresado en
metros, transcurrido 3 segundos alcanza la velocidad 40 ˆ + 30 ˆ (m / s) . Si su aceleración es
i j
−10 ˆ (m / s 2 ) , determinar:
j
a) la velocidad inicial.
b) su velocidad y posición en cualquier instante.
c) el tiempo transcurrido y la velocidad con que llega a la superficie de la Tierra.
d) la ecuación de la trayectoria.

2. Un cuerpo es lanzado con velocidad inicial V0 (m.s −1 ) desde el punto ( −20;30 ) expresado en
metros, transcurrido 2 segundos alcanza la velocidad 10 ˆ + 20 ˆ (m / s) . Si su aceleración es
i j
−10 ˆ (m / s 2 ) , determinar:
j
a) la velocidad inicial.
b) su velocidad y posición en cualquier instante.
c) el tiempo transcurrido y la velocidad con que llega a la superficie de la Tierra.
d) la ecuación de la trayectoria.



3. De lo alto de una torre se lanza una partícula con velocidad 40 ˆ (m / s) en el instante t = 0s .
i
Considerando a aceleración de la gravedad −10 ˆ (m / s ) , determina el valor de la aceleración
j 2

normal y tangencial en el instante t = 3 s .

4. Desde el piso se lanza una partícula con velocidad 30 ˆ + 60 ˆ (m / s) en el instante t = 0s .
i j
Considerando a aceleración de la gravedad −10 ˆ (m / s ) , determina el valor de la aceleración
j 2

normal y tangencial en el instante t = 3 s .

5. La velocidad de una partícula que se mueve en el plano X-Y se expresa como:
400 ˆ − ( 30t ) ˆ (m / s) . Si cuando t = 0s se encuentra en el punto ( 40;80 ) expresada en metros.
i j
Determinar:
a) la ecuación de la trayectoria
b) la posición, la velocidad y aceleración en el instante t = 3 s .

40 ˆ + 30 ( t − 2 ) ˆ (m / s) . Si cuando t = 0s se encuentra en el punto ( 40;45) expresada en metros.
i j
Determinar:

40 ( t − 1) ˆ + 30 ( t 2 − 2t + 1) ˆ (m / s) . Si cuando t = 0s se encuentra en el punto
i j
( 20; −10 ) expresada en metros. Determinar:

( )
8. Conociendo a ley de movimiento de una partícula en el plano r = 30.t ; 50.t − 5.t donde “t” se mide
2

en segundos y las coordenadas cartesianas se mide en metros, dentro de un campo gravitacional
g = − 10 ˆ m.s −2 Determinar:
j
a) La ecuación cartesiana de la trayectoria.
b) la velocidad en cualquier instante
c) la velocidad en el instante t = 2,0 s
d) el valor de la velocidad en el instante t = 2,0 s
e) la aceleración en cualquier instante
f) la aceleración en el instante t = 2,0 s
g) el valor de la aceleración en el instante t = 2,0 s
h) la medida del ángulo que forma la velocidad y la aceleración en el instante t = 2,0 s
i) el valor de la aceleración tangencial en el instantet = 2,0 s
j) el valor de la aceleración normal en el instante t = 2,0 s
k) la curvatura de la osculatriz (circunferencia instantánea) en el instante t = 2,0 s

9. Conociendo a ley de movimiento de una partícula en el plano ( )
r = 30.t ; 50.t − 5.t 2 donde “t” se mide
en segundos y las coordenadas cartesianas se mide en metros, dentro de un campo gravitacional
j


r = 30.t ; 50.t − 5.t 2 donde “t” se
mide en segundos y las coordenadas cartesianas se mide en metros, dentro de un campo gravitacional
j

r = 30.t ; 50.t − 5.t 2 donde “t” se
j



r = 40.t ; 60.t − 5.t 2 donde “t” se
j

r = 40.t ; 60.t − 5.t 2 donde “t” se
j

r = 40.t ; 60.t − 5.t 2 donde “t” se
j
i) el valor de la aceleración tangencial en el instante t = 4,0 s



r = 40.t ; 60.t − 5.t 2 donde “t” se
j
k) la curvatura de la osculatríz (circunferencia instantánea) en el instante


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