1. AMC 10
2006 年 第 7 屆 AMC 10
考試須知
1. 未經監考人員宣佈打開測驗卷之前，不可先行打開試卷作答。
2. 本測驗為選擇題共有 25 題，每一題各有 A、B、C、D、E 五種選項，
其中祇有一種選項是正確的答案。
3. 請將正確答案用 2B 鉛筆在「答案欄」上適當的圓圈內塗黑，請檢查
所圈選的答案是否正確，並將錯誤及模糊不清部分擦拭乾淨。請注
意，祇有將答案圈選清楚在答案卡上才得以計分。
4. 計分方式：每一題答對可得 6 分，不作答得 2.5 分，答錯沒有分數。
5. 除了考試所准許使用的尺、圓規、量角器、橡皮擦、計算機、方格紙
及計算紙外，請勿攜帶任何東西進入考場，考卷上所有的題目均不需
使用計算機便可作答。
6. 考試之前，監考人員會指示你填寫一些基本資料於答案卡上，待監考
人員給予指示後開始作答，你有 75 分鐘的時間來回答所有的題目。
7. 當你完成作答後，請在答案卡的簽名空格內簽名。
8. AMC 10 考生考 120 分以上，或者成績名列前 1%者，將會受邀參加
2006 年 3 月 26 日星期日所舉行的第 24 屆 American Invitational
Mathematics Examination (AIME)考試。
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2. AMC 10
7th AMC 10 2006
1. 速食店每個三明治賣美金 3 元、每杯汽水賣美金 2 元。買 5 個三明治
及 8 杯汽水總共要多少美元？
(A) 31 (B) 32 (C) 33 (D) 34 (E) 35
2. 若定義 x ⊗ y = x3 − y ，則 h ⊗ ( h ⊗ h) 可化簡為下列哪一個選項？
(A) −h (B) 0 (C) h (D) 2h (E) h3
3. 瑪莉的歲數與愛麗斯的歲數之比為 3:5。若愛麗斯是 30 歲，則瑪莉是
幾歲？
(A) 15 (B) 18 (C) 20 (D) 24 (E) 50
4. 某數字手錶會顯示上午(AM)與下午(PM)的小時數與分鐘數。手錶上
所有顯示數的每一位數字之總和可能的最大值是多少？
(A) 17 (B) 19 (C) 21 (D) 22 (E) 23
5. 小明與大華合吃一個披薩，這個披薩等分為 8 小塊。小明想吃原味披
薩，但大華想吃半個添加鯷魚的披薩。一個原味披薩要賣 8 美元，在
半個原味披薩上添加鯷魚需要增加 2 美元。大華將半個添加鯷魚的披
薩全吃了，還多吃了 1 小塊原味披薩，而小明則將剩下來的原味披薩
全吃了。若兩人各付他所吃份量之錢數，則大華應比小明多付多少美
元？
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5
6. 哪一個正數 x 滿足 (7 x )14 = (14 x )7 ？
1 2
(A) (B) (C) 1 (D) 7 (E) 14
7 7
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3. AMC 10
7. 如圖所示，一個 8 × 18 的長方形 ABCD 切割成兩個全等的六邊形，且
重新排列這兩個六邊形可以拼成一個正方形。試問圖中 y 之值為何？
D C
y
A B
(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 (E) 10
8. 拋物線 y = x 2 + bx + c 通過 ( 2, 3) 和 ( 4, 3) 兩點。試問 c 之值為何？
(A) 2 (B) 5 (C) 7 (D) 10 (E) 11
9. 考慮由兩個或兩個以上接續正整數所組成的集合，滿足集合中所有的
數之和等於 15 的集合共有多少個？
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5
10. 有多少個數 x 可以使得 120 − x 為整數？
(A) 3 (B) 6 (C) 9 (D) 10 (E) 11
11. 方程式 ( x + y ) 2 = x 2 + y 2 的圖形為何？
(A) 空集合 (B) 一點 (C) 兩條直線 (D) 一個圓 (E) 整個平面
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4. AMC 10
12. 小華想將他的狗用一條 8 英尺長的繩子拴在一個邊長為 16 英尺的正
方形外側。他原先的兩種構想如下圖所示。
哪一種安排，狗可以活動之面積較大，並求兩種活動面積相差多少平
方英尺？
(A) I， 8π (B) I， 6π (C) II， 4π (D) II， 8π (E) II，10π
13. 某人付 5 元玩一個投擲骰子的遊戲。若骰子上面出現的數字是奇數，
則輸了此遊戲；若骰子上面出現的數字是偶數，則可再投擲骰子一
次，在此情況下若第二次骰子上面出現的數字與第一次所出現的數字
相同，則贏了此遊戲，否則還是輸了此遊戲。如果此遊戲是公平的，
贏得遊戲者應可獲得獎金多少元？(遊戲是公平的，是意謂贏的機率
乘以所得的獎金等於他付的錢數。)
(A) 12 (B) 30 (C) 50 (D) 60 (E) 100
14. 如圖所示，數個環套成一串，掛在一個釘子上，每個環的厚度為 1
公分。最上面那個環外圈的直徑為 20 公分。每個環外圈的直徑比它
上面那個環外圈的直徑小 1 公分。若最下面那個環外圈的直徑為 3 公
分，則從最上面那個環的頂端到最下面那個環的底端之距離是多少公
分？
(A) 171 (B) 173 (C) 182 (D) 188 (E) 210
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5. AMC 10
15. 小明與小華在一個圓形的跑道上跑步 30 分鐘 小明以 250 公尺/分鐘
。
依順時針的方向在跑道內圈跑，其半徑為 50 公尺，小華以 300 公尺/
分鐘依逆時針的方向在跑道外圈跑，其半徑為 60 公尺；兩人的起跑
點在同一條從圓心連出來的半徑上。試問兩人從開始到結束共交會幾
次？
(A) 29 (B) 42 (C) 45 (D) 47 (E) 50
16. 如圖所示，一個半徑為 1 的圓與一個半徑為 2 的圓外切，∆ABC 的邊
與兩圓相切，且 AB 與 AC 等長。試問 ∆ABC 的面積是多少？
35 64
(A) (B) 15 2 (C) (D) 16 2 (E) 24
2 3
17. 如圖所示，在長方形 ADEH 中，點 B、C 為 AD 的三等分點，點 G、F
為 HE 的三等分點，且 AH = AC = 2 。試問四邊形 WXYZ 的面積是多
少？ H G F E
W
X Z
Y
A B C D
1 2 3 2 2 2 3
(A) (B) (C) (D) (E)
2 2 2 3 3
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6. AMC 10
18. 某地區的汽車牌照是由 4 個數字及兩個英文字母所組成的 4 個數字 ，
不必全部都不相同，兩個英文字母也不必相異。數字及英文字母可以
是任意順序排列，但兩個英文字母必須緊鄰。試問可以有多少個不同
的牌照？
(A)104 ⋅ 262 (B)103 ⋅ 263 (C) 5 ⋅104 ⋅ 262 (D)102 ⋅ 264 (E) 5 ⋅103 ⋅ 263
19. 有多少種不相似的三角形，它們三個角的度數是相異的正整數且成
等差數列？
(A) 0 (B) 1 (C) 59 (D) 89 (E) 178
20. 在 1 到 2006 的正整數中，任取六個相異的正整數。這六個數中有兩
個數的差是 5 的倍數之機率是多少？
1 3 2 4
(A) (B) (C) (D) (E) 1
2 5 3 5
21. 有多少個四位數的正整數，它至少有一位數是 2 或 3？
(A) 2439 (B) 4096 (C) 4903 (D) 4904 (E) 5416
22. 兩位農夫同意一隻猪值$300 元，一隻羊值$210 元。當一位農夫欠另
一位農夫錢時，他可以用猪或羊償債，如果需要也可以用羊或猪找
錢。 （例如：要償還$390 元的債，可以付兩隻猪，而找回一隻羊。）
以這種方式償債，能償還最少的正數金額是多少元？
(A) $5 (B) $10 (C) $30 (D) $90 (E) $210
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7. AMC 10
23. 如圖所示，圓心為 A 與 B 的兩圓之半徑分別為 3 與 8，內公切線分
別切兩圓於 C 與 D 兩點， AB 與 CD 交於 E 點，且 AE = 5。試問 CD 之
長是多少？
44 55
(A) 13 (B) (C) 221 (D) 255 (E)
3 3
24. 以一個正立方體各面的中心為頂點形成一個正八面體。若此正立方
體邊長為 1，則此八面體的體積是多少？
1 1 1 1 1
(A) (B) (C) (D) (E)
8 6 4 3 2
25. 一隻蟲從一個正立方體的某一個頂點開始沿著稜線依下列的規則移
動。每次移動均由一頂點開始沿交會於此頂點的三條稜線中之一條稜
線移至下一個頂點。每一條稜線被選到的機率相同，且每次選取都是
獨立的。七次移動後，這隻蟲經過每一個頂點恰好一次的機率是多
少？
1 1 2 1 5
(A) (B) (C) (D) (E)
2187 729 243 81 243
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8. AMC 10
AMC 10 答案：
1. (A)
2. (C)
3. (B)
4. (E)
5. (D)
6. (B)
7. (A)
8. (E)
9. (C)
10. (E)
11. (C)
12. (C)
13. (D)
14. (B)
15. (D)
16. (D)
17. (A)
18. (C)
19. (C)
20. (E)
21. (E)
22. (C)
23. (B)
24. (B)
25. (C)
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