1. Curs 1: Grafuri; Introducere
Teoria grafurilor
Radu Dumbr˘veanu
a
Universitatea de Stat “A. Russo” din B˘lti
a,
Facultatea de Stiinte Reale
,
,
Aceast˘ prezentare este pus˘ la dispozitie sub Licenta Atribuire a
a
¸
¸
Distribuire-ˆ
ın-conditii-identice 3.0 Ne-adaptat˘ (CC BY-SA 3.0)
¸
a
B˘lti, 2013
a,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Grafuri; Introducere
B˘lti, 2013
a,
1 / 42

2. Graf; Vˆ
ırfuri; Muchii
Definitie
,
Un graf este o pereche G = (V , E) de multimi unde E este o multime de
,
,
perechi neordonate de elemente din V .
Elementele multimii V se numesc vˆ
ırfurile grafului G; elementele multimii
,
,
E se numesc muchiile grafului G.
Dac˘ e = {u, v} este o muchie a grafului atunci spunem c˘ e este
a
a
incident˘ cu vˆ
a
ırfurile u si v; iar u si v sˆ adiacente (sau vecine).
ınt
,
,
Vˆ
ırfurile cu care o muchie este incident˘ se numesc extremit˘tile acesteia.
a
a,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Grafuri; Introducere
B˘lti, 2013
a,
2 / 42

3. Reprezentarea grafic˘
a
v
x
u
z
y
G = ({u, v, x, y, z}, {{u, v}, {u, x}, {u, y}, {u, z}})
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Grafuri; Introducere
B˘lti, 2013
a,
3 / 42

4. Reprezentarea grafic˘
a
v
x
u
z
y
H = (V , E) unde V = {u, v, x, y, z}, E = {vx, xy, yz, zv}
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Grafuri; Introducere
B˘lti, 2013
a,
4 / 42

5. Graf vid; Graf trivial; Graf nul
Graful (∅, ∅) se noteaz˘ simplu prin ∅ si se numeste graful vid.
a
,
,
Graful f˘r˘ vˆ
a a ırfuri sau doar cu 1 vˆ se numeste graf trivial.
ırf
,
Graful cu 0 muchii se numeste graf nul si se noteaz˘ Nn unde n ∈ N este
a
,
num˘rul de vˆ
a
ırfuri.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Grafuri; Introducere
B˘lti, 2013
a,
5 / 42

6. Num˘rul de vˆ
a
ırfuri; Num˘rul de muchii
a
Num˘rul de vˆ
a
ırfuri ale unui graf G se numeste ordinul grafului G; se
,
noteaz˘ |G|.
a
Num˘rul de muchii ale unui graf G se noteaz˘ ||G||.
a
a
Dac˘ |G| = n si ||G|| = m, atunci spunem c˘ avem un (n, m)-graf.
a
a
,
Pentru a indica faptul c˘ un graf are ordinul n se poate folosi expresia:
a
“graf pe n vˆ
ırfuri”.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Grafuri; Introducere
B˘lti, 2013
a,
6 / 42

7. Multimea vˆ
ırfurilor; Multimea muchiilor
,
,
Fiind dat un graf G putem folosi notatia V (G) pentru a ne referi la
,
multimea de vˆ
ırfuri si E(G) a ne referi la multimea de muchii.
,
,
,
De exemplu: Dac˘ G = ({a, b, c}, {ab, ac}) atunci V (G) = {a, b, c},
a
iar E(G) = {ab, ac};
De exemplu: V (∅) = ∅ si E(∅) = ∅.
,
Pentru a indica faptul c˘ un graf are multimea vˆ
a
ırfurilor V se poate folosi
,
expresia: “graf pe V ”.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Grafuri; Introducere
B˘lti, 2013
a,
7 / 42

8. Multigraf
u
v
z
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
x
y
Curs 1: Grafuri; Introducere
B˘lti, 2013
a,
8 / 42

9. Multigraf
Definitie
,
Un multigraf este o un triplet G = (V , E, f ) care const˘ din dou˘
a
a
multimi disjuncte V , E si o functie de incident˘ f : E → V ∪ [V ]2 .
,
,
,
,a
Prin [V ]2 am notat multimea tuturor perechilor neordonate de elemente
,
din V .
Multimile V si E sˆ multimile de vˆ
ınt
ırfuri si muchii;
,
,
,
Functia f pune ˆ corespondent˘ fiec˘rei muchii capetele acesteia;
ın
a
,
,a
Muchiile e1 , e2 , ..., en pentru care f (e1 ) = ... = f (en ) se numesc muchii
multiple (sau paralele);
Iar muchiile pentru care f este un doar un vˆ f (e) = {v} se numesc
ırf,
bucle.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Grafuri; Introducere
B˘lti, 2013
a,
9 / 42

10. Multigraf
Definitie
,
Un graf este o pereche G = (X , Γ) format˘ de multimea X si aplicatia
a
,
,
,
Γ : X → X.
Definitie
,
Un graf este o pereche G = (X , U ); unde X este multimea vˆ
ırfurilor, iar
,
U ⊆ X × X multimea arcelor.
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Grafuri; Introducere
B˘lti, 2013
a,
10 / 42

11. Grafuri izomorfe
Definitie
,
Dou˘ grafuri G si H sˆ izomorfe dac˘ exist˘ o bijectie
a
ınt
a
a
,
,
f : V (G) → V (H ) cu proprietatea c˘ dou˘ vˆ
a
a ırfuri u si v sˆ adiacente ˆ
ınt
ın
,
G dac˘ si numai dac˘ f (u) si f (v) sˆ adiacente ˆ H pentru orice u si v
a ,
a
ınt
ın
,
,
din V (G).
Pentru grafurile izmorfe se utilizeaz˘ notatia G ∼ H .
a
,
O asemenea functie f se numeste izomorfism dac˘ G = H si
a
,
,
,
automorfism ˆ caz contrar.
ın
Din punct de vedere vizual, grafurile G si H sˆ izomorfe dac˘ pot fi
ınt
a
,
aranjate astfel ˆ ıt ˆ atisarea lor s˘ fie identic˘ (desigur, f˘r˘ a schimba
ıncˆ ınf˘ , ,
a
a
aa
adiacenta).
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Grafuri; Introducere
B˘lti, 2013
a,
11 / 42

12. Grafuri izomorfe
e
u
v
z
d
y
c
a
x
b
Grafuri izomorfe
u
v
x
y
z
b
a
c
d
e
Tabela: Corespondentele
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Grafuri; Introducere
B˘lti, 2013
a,
12 / 42

13. Grade [ale vˆ
ırfurilor]
Gradul (sau valenta) unui vˆ v este num˘rul muchiilor incidente cu v si
ırf
a
,
,
se noteaza cu d(v).
Pentru un orice graf G not˘m δ(G) = min{d(v) : v ∈ V (G)} si
a
,
∆(G) = max{d(v) : v ∈ V (G)}.
Dac˘ δ(G) = ∆(G) atunci graful G se numeste regulat.
a
,
Dac˘ δ(G) = ∆(G) = k atunci graful G se numeste k-regulat.
a
,
k
0
2
3
Denumire
graf nul
graf bivalent
graf cubic (sau graf trivalent)
Tabela: Grafuri k-regulate remarcabile
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Grafuri; Introducere
B˘lti, 2013
a,
13 / 42

14. Grafuri k-regulate
Grafuri regulate (de la stˆ
ınga spre dreapta): 0-regulat, 2-regulat, 3-regulat
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Grafuri; Introducere
B˘lti, 2013
a,
14 / 42

15. Cazuri particulare
Cˆ grafuri 1-regulate neizomorfe exist˘?
ıte
a
Un vˆ cu gradul 1 se numeste terminal.
ırf
,
Un vˆ cu gradul 0 se numeste izolat.
ırf
,
O bucl˘ m˘reste gradul vˆ
a a ,
ırfului cu care este incident˘ cu 2.
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Grafuri; Introducere
B˘lti, 2013
a,
15 / 42

16. Cazuri particulare
u1
u2
v
u0
u3
De la stˆ
ınga spre dreapta: graf 1-regulat, graf cu un vˆ izolat
ırf
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Grafuri; Introducere
B˘lti, 2013
a,
16 / 42

17. Propriet˘ti
a,
Teorem˘
a
ˆ
Intr-un graf simplu si netrivial exist˘ cel putin dou˘ vˆ
a
a ırfuri cu acelasi grad.
,
,
,
Teorem˘
a
ˆ orice graf G suma gradelor vˆ
In
ırfurilor este de dou˘ ori num˘rul de
a
a
muchii, adic˘
a
d(v) = 2|E(G)|.
(1)
v∈V (G)
Corolar
ˆ orice graf, num˘rul vˆrfurilor de grad impar este par.
In
a
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Grafuri; Introducere
B˘lti, 2013
a,
17 / 42

18. Secvente de grade
,
a
O secvent˘ nevid˘ (d1 , d2 , ..., dn ) de numere naturale se numeste secvent˘
,
,a
,a
grafic˘ dac˘ exist˘ un graf pe n vˆ
a
a
a
ırfuri a c˘rui grade sˆ membrii acestei
a
ınt
secvente.
,
a
a
Suma gradelor dintr-o secvent˘ grafic˘ este un num˘r par.
,a
Graful pe n vˆ
ırfuri a c˘rui grade sˆ membrii secventei (d1 , d2 , ..., dn ) se
a
ınt
,
numeste realizarea acestei secvente.
,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Grafuri; Introducere
B˘lti, 2013
a,
18 / 42

19. Secvente de grade
,
Teorem˘ (Havel-Hakimi)
a
a
O secvent˘ descres˘toare
,a
(d1 , d2 , ..., dn )
(2)
de numere naturale, d1 ≥ 1 si n ≥ 2, este secventa de grade a unui graf
,
,
simplu dac˘ si numai dac˘
a ,
a
(d2 − 1, d3 − 1, ..., dd1 +1 − 1, dd1 +2 , ..., dn )
(3)
este secventa de grade a unui graf simplu.
,
Secventa (3) se obtine din (2) prin ˆ aturarea primului num˘r si
ınl˘
a ,
,
,
decrementarea urm˘toarelor d1 numere.
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Grafuri; Introducere
B˘lti, 2013
a,
19 / 42

20. Aplicatii
,
Teorema Havel-Hakimi poate fi utilizat˘ pentru a determina dac˘ o
a
a
a
secvent˘ de numere naturale reprezint˘ secventa de grade a unui graf
,
,a
simplu.
De exemplu:
(4, 3, 3, 3, 1)
↓
(2, 2, 2, 0)
↓
(1, 1, 0)
↓
(0, 0)
Ultima secvent˘ este secventa graful
,a
,
N2 care este simplu.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Grafuri; Introducere
B˘lti, 2013
a,
20 / 42

21. Aplicatii
,
(2, 2, 1, 1)
↓
(1, 0, 1)
↓
(−1, 1)
Ultima secvent˘ nici nu este grafic˘.
a
,a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Grafuri; Introducere
B˘lti, 2013
a,
21 / 42

22. Lanturi [ˆ grafuri]
ın
,
ırfuri si muchii
Un lant este o secvent˘ de vˆ
,
,a
,
(v0 , e1 , v1 , e2 , v2 , ..., vn−1 , en , vn )
ale unui graf G, cu proprietatea c˘ oricare dou˘ vˆ
a
a ırfuri consecutive din lant
,
vi−1 si vi sˆ unite prin muchia ei , ∀i = 1, n.
ınt
,
Vˆ
ırfurile e1 , e2 , ..., en−1 se numesc vˆ
ırfuri interioare ale lantului, iar v0 si
,
,
vn - extremit˘ti.
a,
Dac˘ lantul contine numai muchii distincte atunci se numeste lant simplu.
a
¸
¸
¸
,
Dac˘ lantul contine numai vˆ
a
¸
¸
ırfuri distincte atunci el se numeste lant
,
,
elementar.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Grafuri; Introducere
B˘lti, 2013
a,
22 / 42

23. Lanturi
,
v1
v2
v8
v4
v5
v3
v7
v6
Lant: (v3 , v3 v4 , v4 , v4 v5 , v5 , v5 v8 , v8 );
,
Lant neelementar:
,
(v1 , v1 v4 , v4 , v4 v5 , v5 , v5 v8 , v8 , v8 v7 , v7 , v7 v6 , v6 , v6 v5 , v5 v4 , v4 , v4 v3 , v3 );
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Grafuri; Introducere
B˘lti, 2013
a,
23 / 42

24. Lanturi
,
Lantul se poate defini si cu ajutorul muchiilor sale
,
,
(v0 v1 , v1 v2 , ..., vn−1 , vn ),
iar ˆ cazul cˆ graful G este simplu putem definit lantul doar cu ajutorul
ın
ınd
,
vˆ
ırfurilor sale
(v0 , v1 , v2 , ..., vn−1 , vn ).
De ce ˆ cazul grafului simplu lantul poate fi definit doar utilizˆ vˆ
ın
ınd ırfurile
,
sale?
Num˘rul de muchii din lant se numeste lungimea lantului.
a
,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Grafuri; Introducere
B˘lti, 2013
a,
24 / 42

25. Cicluri
a,
a
ırf
Un lant ˆ care extremit˘tile reprezint˘ acelasi vˆ numeste ciclu.
,
,
, ın
Ciclul este elementar dac˘ vˆ
a ırfurile interioare sˆ distincte.
ınt
O muchie care uneste dou˘ vˆ
a ırfuri ale unui ciclu ˆ a nu apartine acestuia
ıns˘
,
,
se numeste coard˘.
a
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Grafuri; Introducere
B˘lti, 2013
a,
25 / 42

26. Cicluri
v1
u0
u1
v2
v0
v3
Ciclu: u0 , v1 , v0 , v3 , u0 ;
Ciclu: v0 , v1 , v2 , v3 , v0 ;
Ciclu neelementar: u0 , v1 , v2 , v3 , v0 , v1 , u0 .
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Grafuri; Introducere
B˘lti, 2013
a,
26 / 42

27. Grafuri bipartite
Definitie
,
Un graf bipartit este un graf G cu propriet˘tile:
a,
exist˘ submultimile X , Y ⊆ V (G) cu X ∩ Y = ∅ si X ∪ Y = V (G);
a
,
,
orice muchie are un cap˘t ˆ X si altul ˆ Y .
a ın
ın
,
Perechea {X , Y } se numeste bipartitia grafului G.
,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Grafuri; Introducere
B˘lti, 2013
a,
27 / 42

28. Grafuri bipartite
u2
v2
u2
v1
u1
v1
u1
v0
u0
v0
u0
v1
G1
G2
v2
v5
v0
v3
v4
G3
Care sˆ bipartitiile grafurilor G1 ,G2 si G3 ?
ınt
,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Grafuri; Introducere
B˘lti, 2013
a,
28 / 42

29. Grafuri bipartite; Cicluri
Teorem˘
a
Un graf este bipartit dac˘ si numai dac˘ nu contine cilcuri impare.
a ,
a
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Grafuri; Introducere
B˘lti, 2013
a,
29 / 42

30. Graf conex
Un graf este conex dac˘ ˆ
a ıntre oricare dou˘ vˆrfuri exist˘ un lant.
a a
a
,
Un lant care uneste vˆ
ırfurile u si v se numeste u − v-lant.
,
,
,
,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Grafuri; Introducere
B˘lti, 2013
a,
30 / 42

31. Graf conex
Un graf conex
Un graf neconex
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Grafuri; Introducere
B˘lti, 2013
a,
31 / 42

32. Centru; Raz˘; Diametru
a
Distanta dintre dou˘ vˆ
a ırfuri u, v ale unui graf conex este num˘rul minim
a
,
de muchii ale unui lant de la u la v; se noteaz˘ d(u, v).
¸
a
Excentricitatea unui vˆ v este distanta maxim˘ de la acest vˆ la
ırf
¸
a
ırf
celelalte vˆ
ırfuri; se noteaz˘ ε(v)
a
Excentricitatea minim˘ a vˆ
a
ırfurilor se numeste raza grafului G; se noteaz˘
a
,
rad(G).
Vˆ
ırfurile cu excentricitatea minim˘ se numesc centrale.
a
Centrul grafului este multimea tuturor vˆ
ırfurilor centrale.
,
Excentricitatea maxim˘ a vˆ
a
ırfurilor se numeste diametrul grafului G; se
,
noteaz˘ diam(G).
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Grafuri; Introducere
B˘lti, 2013
a,
32 / 42

33. Centru; Raz˘; Diametru
a
b0
b1
b2
b3
b4
a0
Un graf G;
ε(a0 ) = 1, ε(b0 ) = ε(b1 ) = ... = ε(b4 ) = 2;
rad(G) = 1, diam(G) = 2 si unicul vˆ central este a0 .
ırf
,
u
v
x
z
y
???
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Grafuri; Introducere
B˘lti, 2013
a,
33 / 42

34. Propriet˘ti
a,
Teorem˘
a
Pentru orice graf G, rad(G) ≤ diam(G) ≤ 2rad(G).
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Grafuri; Introducere
B˘lti, 2013
a,
34 / 42

35. Grafuri remarcabile; Graf nul vs. graf complet
N3
N4
N5
K3
K4
K5
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Grafuri; Introducere
B˘lti, 2013
a,
35 / 42

36. Grafuri remarcabile; Graf nul vs. graf complet
Definitie (Graf nul)
,
Un graf nul este un graf ˆ totalitate f˘r˘ muchii, adic˘ de forma (V , ∅);
ın
aa
a
un graf nul pe n vˆ
ırfuri se noteaz˘ Nn , n ≥ 1.
a
Definitie (Graf complet)
,
Un graf graf complet este un graf ˆ care orice 2 vˆ
ın
ırfuri diferite sˆ
ınt
adiacente; se noteaz˘ Kn , unde n, n ≥ 1, semnific˘ numarul de vˆ
a
a
ırfuri ale
grafului.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Grafuri; Introducere
B˘lti, 2013
a,
36 / 42

37. Grafuri remarcabile; Graf bipartit vs. graf bipartit complet
G0
G4
G8
K2,3
K4,4
K1,3
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Grafuri; Introducere
B˘lti, 2013
a,
37 / 42

38. Grafuri remarcabile; Graf bipartit vs. graf bipartit complet
Definitie (Graf bipartit)
,
Definitie (Graf bipartit complet)
,
Kp,q , p, q ≥ 1.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Grafuri; Introducere
B˘lti, 2013
a,
38 / 42

39. Grafuri remarcabile; Graf lant vs. graf ciclu
,
P3
C3
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
P4
C4
Curs 1: Grafuri; Introducere
C5
B˘lti, 2013
a,
39 / 42

40. Grafuri remarcabile; Graf lant vs. graf ciclu
,
Definitie (Graf lant)
,
,
Un graf pe n vˆ
ırfuri, n ≥ 1, se numeste graf lant dac˘ const˘ dintr-un
a
a
,
,
lant elementar; se notez˘ Pn .
a
,
Definitie (Graf ciclu)
,
Un graf pe n vˆ
ırfuri, n ≥ 3, se numeste graf ciclu dac˘ const˘ dintr-un
a
a
,
cilcu elementar; se notez˘ Cn .
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Grafuri; Introducere
B˘lti, 2013
a,
40 / 42

41. Grafuri remarcabile; Graf stea vs. graf roat˘
a
S4
S5
S6
W4
W5
W6
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Grafuri; Introducere
B˘lti, 2013
a,
41 / 42

42. Grafuri remarcabile; Graf stea vs. graf roat˘
a
Definitie (Graf stea)
,
Un graf pe n vˆ
ırfuri, n ≥ 1, se numeste graf stea dac˘ este K1,n−1 ; se
a
,
notez˘ Sn .
a
Definitie (Graf roat˘)
a
,
Un graf pe n vˆ
ırfuri, n ≥ 4, se numeste graf roat˘ dac˘ ...; se notez˘ Wn .
a
a
a
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Grafuri; Introducere
B˘lti, 2013
a,
42 / 42