1. Curs 8: Grafuri planare
Teoria grafurilor
Radu Dumbr˘veanu
a
Universitatea de Stat “A. Russo” din B˘lti
a,
Facultatea de Stiinte Reale
,
,
Aceast˘ prezentare este pus˘ la dispozitie sub Licenta Atribuire a
a
¸
¸
Distribuire-ˆ
ın-conditii-identice 3.0 Ne-adaptat˘ (CC BY-SA 3.0)
¸
a
B˘lti, 2013
a,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 8: Grafuri planare
B˘lti, 2013
a,
1 / 23

2. Exemplu fabrica; T´ran
u
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 8: Grafuri planare
B˘lti, 2013
a,
2 / 23

3. Grafuri planar; Graf plan
Un graf G se numeste planar dac˘ poate fi reprezentat ˆ plan astfel ˆ ıt
a
ın
ıncˆ
,
muchiile s˘ nu se intersecteze decˆ ˆ vˆ
a
ıt ın ırfuri.
O astfel de reprezentare se numeste hart˘ (sau graf-plan), iar graful G se
a
,
numeste graful suport al h˘rtii respective.
a ,
,
Graful K4 ˆ
ımpreun˘ cu harta sa
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 8: Grafuri planare
B˘lti, 2013
a,
3 / 23

4. Num˘rul de intersectii
a
,
Num˘rul de intersectii este num˘rul de perechi diferite de muchii care se
a
a
,
intersecteaz˘ ˆ
a ıntr-o reprezentare a grafului.
Este logic s˘ vorbim despre num˘rul minim de astfel de perechi.
a
a
Un graf planar are num˘rul minim de intersectii egal cu zero.
a
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 8: Grafuri planare
B˘lti, 2013
a,
4 / 23

5. Fete
,
Orice reprezentare a unui graf planar ˆ
ımparte planul ˆ regiuni numite fete.
ın
,
Multimea fetelor se noteaz˘ prin F .
a
,
,
ˆ
a
a
a
a ,
a
Intotdeauna exist˘ o fat˘ infinit˘/nem˘rginit˘ numit˘ fata exterioar˘.
a
,a
Orice fat˘ f este un poligon.
,a
Num˘rul de muchii ale poligonului se noteaz˘ prin d(f ) si se numeste
a
a
,
,
gradul fetei.
,
Teorem˘
a
Pentru orice graf planar
d(f ) = 2|E|
f ∈F
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 8: Grafuri planare
B˘lti, 2013
a,
5 / 23

6. Fete
,
u
f0
z
f1
v
f2
x
y
|F | = 3; f0 este fata exterioar˘
a
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 8: Grafuri planare
B˘lti, 2013
a,
6 / 23

7. Fete
,
Teorem˘
a
Fie G un graf plan si e o muchie din G, atunci:
,
1. Dac˘ e apartine unui ciclu elementar C ⊆ G atunci e apartine
a
,
,
frontierei a exact dou˘ fete;
a ,
2. Dac˘ e nu apartine unui ciclu elementar atunci e apartine frontierei a
a
,
,
exact a unei fete;
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 8: Grafuri planare
B˘lti, 2013
a,
7 / 23

8. Fete
,
u
f0
z
f1
v
f2
x
y
Graf plan G
Muchia uv apartine ciclului elementar (u, v, x, u) si ˆ acelasi timp apartine
,
, ın
,
,
frontierei fetelor f0 si f1 .
,
,
Muchia xz nu aprtine unui ciclu elementar si se afl˘ pe frontiera fetei f0 .
a
,
,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 8: Grafuri planare
B˘lti, 2013
a,
8 / 23

9. Fete
,
Corolar
Un arbore plan are exact o fat˘.
,a
Corolar
Dac˘ un graf plan are fete diferite cu aceeasi frontier˘ atunci acesta este
a
a
,
,
un graf ciclu.
Corolar
ˆ
Intr-un graf 2-conex orice fat˘ este m˘rginit˘ de un ciclu.
a
a
,a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 8: Grafuri planare
B˘lti, 2013
a,
9 / 23

10. Formula Euler
Teorem˘
a
Pentru orice graf G = (V , E) planar si conex
,
|V | − |E| + |F | = 2
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 8: Grafuri planare
B˘lti, 2013
a,
10 / 23

11. Formula Euler
Demonstratie.
¸
Demonstr˘m prin inductie tare pe m = ||G|| (num˘rul de muchii).
a
a
,
Pentru m = 0 avem graful nul cu un singur vˆ (ˆ
ırf ıntrucˆ G trebuie s˘ fie
ıt
a
conex); |V | = 1 si |F | = 1; teorema este verificat˘.
a
,
Presupunem c˘ teorema este adev˘rat˘ pentru orice graf cu |E| < m.
a
a a
Fie G un graf cu |E| = m, m ≥ 1.
Alegem, ˆ mod arbitrar, o muchie e si cercet˘m subgraful H = G − e.
ın
a
,
Consider˘m dou˘ cazuri: H este conex si H nu este conex.
a
a
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 8: Grafuri planare
B˘lti, 2013
a,
11 / 23

12. Demonstratie.
¸
Cazul I. Dac˘ H este conex, reiese c˘ e nu este o punte ˆ G si deci
a
a
ın
,
apartine unui ciclu.
,
ˆ acest caz e m˘rgineste dou˘ fete diferite, iar ˆ rezultatul elimin˘rii,
In
a
a ,
ın
a
,
aceste fete sau unit ˆ una singur˘, deci |F (H )| = |F | − 1.
ın
a
,
Astfel, ˆ
ıntrucˆ V (G) = V (H ) obtinem:
ıt
,
|V | − |E| + |F | = |V (H )| − (|E(H )| + 1) + (|F (H )| + 1)
= |V (H )| − |E(H )| + |F (H )| − 1 + 1 = 2.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 8: Grafuri planare
B˘lti, 2013
a,
12 / 23

13. Demonstratie.
¸
Cazul al II-lea. Graful H nu este conex.
Reiese c˘ e este o punte si ˆ
a
ıt
a
, ıntrucˆ am eliminat doar o muchie H const˘
din dou˘ compoenente conexe H1 = (V1 , E1 ) si H2 = (V2 , E2 ).
a
,
Iar ˆ
ıntrucˆ atˆ H1 cˆ si H2 are un numar de muchii mai mic ca m pentru
ıt ıt
ıt ,
ele este adev˘rat˘ formula lui Euler:
a a
|V1 | − |E1 | + |F1 | = 2
si
,
|V2 | − |E2 | + |F2 | = 2
Dar |V | = |V1 | + |V2 |, |E| = |E1 | + |E2 | + 1 si |F | = |F1 | + |F2 | − 1 si
,
,
|V | − |E| + |F | = |V1 | + |V2 | − (|E1 | + |E2 | + 1) + (|F1 | + |F2 | − 1)
= |V1 | − |E1 | + |F1 | + |V2 | − |E2 | + |F2 | − 1 − 1
=2+2−1−1=2
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 8: Grafuri planare
B˘lti, 2013
a,
13 / 23

14. Aplicatii ale formulei Euler
,
Graful K3,3 nu este planar.
Demonstratie.
¸
Presupunem, prin absurd, c˘ K3,3 este planar. Atunci din formula lui Euler
a
avem:
|F | = 2 − |V | + |E| = 2 − 6 + 9 = 5.
Deci trebuie s˘ fie 5 fete. Deoarece cel mai scurt ciclu ˆ K3,3 are
a
ın
,
lungimea 4 reiese c˘ orice fat˘ trebuie s˘ aib˘ gradul ≥ 4. Acum
a
a
a
,a
d(f ) ≥ 5 · 4 = 20
18 = 2|E| =
f ∈F
Contradictie.
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 8: Grafuri planare
B˘lti, 2013
a,
14 / 23

15. Aplicatii ale formulei Euler
,
K5 nu este planar.
Demonstrati analog aceast˘ propozitie
a
,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 8: Grafuri planare
B˘lti, 2013
a,
15 / 23

16. Aplicatii ale formulei Euler
,
Graful Petersen nu este planar.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 8: Grafuri planare
B˘lti, 2013
a,
16 / 23

17. Teorema lui Kuratowski
Definitie
,
O subdiviziune a unui graf este un graf nou obtinut din G prin inserarea
,
de vˆ
ırfuri (de gradul 2) ˆ muchiile lui G
ın
Cˆ
ıteva observatii:
,
1. dac˘ G este planar atunci orice subgraf al acestuia este planar.
a
2. dac˘ o subdiviziune a unui graf G este un graf planar atunci G este
a
planar
Teorem˘ (Kuratowski)
a
Un graf nu este planar dac˘ si numai dac˘ o subdiviziune a lui K3,3 sau K5
a ,
a
este un subgraf al lui G.
Ar˘tati c˘ Petersen verific˘ teorema lui Kuratowski.
a , a
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 8: Grafuri planare
B˘lti, 2013
a,
17 / 23

18. Graf dual
Fie G un graf plan.
a
Amplas˘m cˆ un vˆ ˆ fiecare fat˘ a grafului G; si not˘m multimea
a
ıte
ırf ın
,
,
,a
acestor vˆ
ırfuri prin V ∗ .
Pentru fiecare muchie e unim dou˘ vˆ
a ırfuri din V ∗ printr-o muchie e ∗ dac˘
a
aceste vˆ
ırfuri sˆ localizate ˆ fetele cu care acest˘ muchie este incident˘.
ınt
ın ,
a
a
Dac˘ muchia e este incident˘ cu o singur˘ fat˘ atunci vˆ
a
a
a ,a
ırfului asociat
acestei fete ˆ facem o bucl˘ care intersecteaz˘ e.
ıi
a
a
,
Graful G ∗ = (V ∗ , E ∗ ) se numeste graful dual al lui G.
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 8: Grafuri planare
B˘lti, 2013
a,
18 / 23

19. Graf dual
u
v
z
x
y
Graful dual G ∗
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 8: Grafuri planare
B˘lti, 2013
a,
19 / 23

20. Graf dual
T˘ieturile minimale din G ∗ sˆ cilcurile din G si invers.
a
ınt
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 8: Grafuri planare
B˘lti, 2013
a,
20 / 23

21. Definitie
,
Un poliedru este un corp 3 dimensional la care fetele sˆ poligoane.
ınt
,
Un poliedru este convex dac˘ orice segment care uneste dou˘ puncte din
a
a
,
interiorul poliedrului contine numai puncte din interiorul poliedrului. Un
,
poliedru convex poate fi proiectat ˆ plan obtinˆ un graf-plan.
ın
ınd
,
Definitie
,
Un poliedru convex se numste corp platonic dac˘ exist˘ m ≥ 3 si n ≥ 3
a
a
,
,
ıncˆ
ırf
a
ˆ ıt orice vˆ are gradul m si orice fata are gradul n (sau echivalent, dac˘
,
,
toate fetele sˆ poligoane regulate congruente).
ınt
,
De ce se numesc corpuri platonice?
Cubul este un corp platonic cu m = 3 si n = 4.
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 8: Grafuri planare
B˘lti, 2013
a,
21 / 23

22. Teorem˘
a
Exist˘ exact 5 corpuri platonice.
a
Demonstratie.
¸
Fie G un graf planar obtinut la proiectia corpului platonic. Atunci
,
,
d(v) = m|V |
2|E| =
v∈V
d(f ) = n|F |
2|E| =
f ∈F
ˆ acelasi timp, din formula lui Euler
In
,
|V | − |E| + |F | = 2
ˆ rezultatul, ˆ
In
ınmultind cu mn
,
2mn = mn|V | − mn|E| + mn|F | = 2n|E| − mn|E| + 2m|E|
Deci
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
2mnCurs 8: Grafuri planare
2mn
B˘lti, 2013
a,
22 / 23

23. m
3
4
3
5
3
n
3
3
4
3
5
—V—
4
6
8
12
20
—E—
6
12
12
30
30
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
—F—
4
8
6
20
12
platonic solid
tetraedru
octaedru
cub
icosaedru
dodecaedru
Curs 8: Grafuri planare
B˘lti, 2013
a,
23 / 23