1. y
Consider the figure beside
r y
 sin  
y
O x x r
y  r sin  1
x
cos  
r
x  r cos  2
and : x 2  y 2  r 2
r cos  2  r sin  2  r 2
r 2 cos 2   r 2 sin   r 2
: r2
cos 2   sin 2   1

2. cos 2   sin 2   1
cos 2   1  sin 2  The formula
sin 2   1  cos 2 
y
tan  
x
r sin 
tan  
r cos 
sin 
tan  
cos 

3. From the formula
cos 2   sin 2   1
dividing by sin 2 
cos 2  1
1 
sin 2  sin 2 
cot an2  1  cos ec 2
cos 2   sin 2   1
dividing by cos 2 
sin 2  1
1 
cos  cos 2 
2
1  tan2   sec2 

4. Examples:
1. Show that cos x  2 sin x   2 cos x  sin x   5
2 2
Solution:
cos x  2 sin x2  2 cos x  sin x2  5
cos 2 x  4 sin x cos x  4 sin 2 x  4 cos 2 x  4 sin x cos x  sin 2 x  5
5 cos 2 x  5 sin 2 x  5
 
5 cos 2 x  sin 2 x  5
55

5. 2. Pr ove that : sin 4 x  cos 4 x  1  2 sin 2 x cos 2 x
Solution:
sin 4 x  cos 4 x  1  2 sin 2 x cos 2 x
sin 2

2
x  cos x  2 sin 2 x cos 2 x  1  2 sin 2 x cos 2 x
2
1  2 sin 2 x cos 2 x  1  2 sin 2 x cos 2 x

6. Activity class
Prove the following identities
sec x. cos x
1. cot x 
tan x
2. 3 cos x  4 sin x 2  4 cos x  3 sin x 2  25
3. a cos x  b sin x 2  b cos x  a sin x 2  a 2  b 2
4. tan x  cot anx  cos ecx. sec x
cos x sin x 1
5.  
cos x  sin x cos x  sin x 1  tan 2 x
6. cot B  tan B  cos ecB sec B