Física II: Sistemas de unidades y vectores

Unidad Académica de Diseño. Ciencia y
Tecnología

FISICA II
PROFR: ARMANDO
HERNANDEZ ALAMILLA

Nombre del profesor
Email:

Universidad Autónoma de Guadalajara A.C. © 2013

INDICE

1 – SISTEMAS DE UNIDADES
1.1 – Mediciones
1.2 – Magnitudes y unidades fundamentales
1.3 – Sistema de unidades (S.I., C.G.S., F.P.S.)
1.4 – Introducción al análisis dimensional
1.5 – Comprobación de ecuaciones y tranformacion de unidades
2 – VECTORES
2.1 – Cantidades escalares y vectoriales

2.2 - Suma de vectores por los métodos paralelogramo, polígono, trián
2.3 – Multiplicación de vectores, producto punto y producto cruz
2.4 – Equilibrio de una partícula
Bibliografia
Creditos

1

Función
• Todo lo que sea medible, requiere de
alguna unidad con qué medirlo, ya que la
gente necesita saber qué tan lejos, qué
tan rápido, qué cantidad, cuánto pesa,
etc., en términos que se entiendan, que
sean reconocibles, y que se esté de
acuerdo con ellos.

• Para cumplir el objetivo de tener algo con
que identificar cantidades fue necesario
crear unidades de medición, las cuales en
la antigüedad eran muy rudimentarias e
imprecisas

Magnitud Física
• Una magnitud física es una propiedad o
cualidad medible de un sistema físico, es
decir, a la que se le pueden asignar distintos
valores como resultado de una medición.
• Las magnitudes físicas se miden usando un
patrón que tenga bien definida esa magnitud,
y tomando como unidad la cantidad de esa
propiedad que posea el objeto patrón.
• Por ejemplo, el patrón principal de longitud es
el metro en el Sistema Internacional de
Unidades.

Magnitud Extensiva e Intensiva
•

•
•

•

Una magnitud extensiva es una magnitud que depende de
la cantidad de sustancia que tiene el cuerpo o sistema y
son aditivas, quiere decir que, si consideramos un sistema
físico formado por dos partes o subsistemas, el valor total
de una magnitud extensiva resulta ser la suma de sus
valores en cada una de las dos partes.
Ejemplos: la masa y el volumen de un cuerpo o sistema, la
energía de un sistema termodinámico, etc.
Una magnitud intensiva es aquella cuyo valor no depende
de la cantidad de materia del sistema y tiene el mismo
valor para un sistema que para cada una de sus partes
consideradas como subsistemas.
Ejemplos: la densidad, la temperatura y la presión de un
sistema termodinámico en equilibrio.

Ejemplos de sistemas de unidades
• Sistema Internacional de Unidades o SI: es el sistema
más usado. Sus unidades básicas son: el metro, el
kilogramo, el segundo, el ampere, el kelvin, la candela
y el mol. Las demás unidades son derivadas del
Sistema Internacional.
• Sistema métrico decimal: primer sistema unificado de
medidas.
• Sistema cegesimal o CGS: denominado así porque sus
unidades básicas son el centímetro, el gramo y el
segundo.
• Sistema Natural: en el cual las unidades se escogen
de forma que ciertas constantes físicas valgan
exactamente 1.

• Sistema técnico de unidades: derivado del
sistema métrico con unidades del anterior.
Este sistema está en desuso.
• Sistema Métrico Legal Argentino:Sistema
de Medidas,unidades y magnitudes que se
utiliza en Argentina.
• Sistema anglosajón de unidades: aún
utilizado en algunos países anglosajones.
Muchos de ellos lo están reemplazando por
el Sistema Internacional de Unidades.

1.1 MEDICIONES
• Definición 1. Una medición es un acto para
determinar la magnitud de un objeto en
cuanto a cantidad.
• Definición 2. Una medición es comparar la
cantidad desconocida que queremos
determinar y una cantidad conocida de la
misma magnitud, que elegimos como
unidad. Al resultado de medir se le
denomina medida.

1

La medición, en definitiva, consiste en
determinar qué proporción existe entre una
dimensión de algún objeto y una cierta
unidad de medida. Para que esto sea
posible, el tamaño de lo medido y la unidad
escogida tienen que compartir una misma
magnitud.


1

La unidad de medida, por otra parte, es el patrón que se
emplea para concretar la medición. Es imprescindible
que cumpla con tres condiciones:
Inalterabilidad: la unidad no debe modificarse con el
tiempo ni de acuerdo al sujeto que lleva a cabo la
medición
Universalidad: tiene que poder usarse en cualquier
país
facilidad de reproducción.
Cabe destacar que es muy difícil realizar una medición
exacta, ya que los instrumentos usados pueden tener
defectos o se pueden cometer errores durante la tarea.

1

PROCESOS DE MEDICION
• Medición directa: Podemos decir que la
medida o medición es directa cuando se
obtiene con un instrumento de medida que
compara la variable a medir con un patrón.
• Medidas reproducibles: Aquellas que al
efectuar una serie de comparaciones entre la
misma variable y el aparato de medida
empleado, se obtiene siempre el mismo
resultado.

1

• Medición estadística: Son aquellas que al
efectuar una serie de comparaciones entre
la misma variable y el aparato de medida
empleado, se obtienen distintos resultados
cada vez. Aunque se obtienen resultados
diferentes cada día, se puede obtener un
valor medio mensual o anual.


1

• Medición indirecta: Existen variables que
no se pueden medir por comparación
directa, es por lo tanto con patrones de la
misma naturaleza, o porque el valor a
medir es muy grande o muy pequeño y
depende de obstáculos de otra naturaleza,
etc. Medición indirecta es aquella en la que
una magnitud buscada se estima midiendo
una o más magnitudes diferentes, y se
calcula la magnitud buscada mediante
cálculo a partir de la magnitud o
magnitudes directamente medidas.

1

1.2 MAGNITUDES Y UNIDADES
FUNDAMENTALES
• En el lenguaje de la medición, las
magnitudes son aspectos cuantificables de
la naturaleza, tales como tiempo, longitud,
velocidad, masa, temperatura, energía, o
peso, y las unidades se usan para describir
sus mediciones. Muchas de esas
magnitudes están relacionadas entre ellas
por leyes físicas, y por ello las unidades de
algunas magnitudes pueden ser
expresadas como productos (o relación)
de otras unidades

1

• Las
magnitudes
fundamentales
son
aquellas magnitudes físicas que, gracias a
su combinación, dan origen a las
magnitudes derivadas. Tres de las
magnitudes
fundamentales
más
importantes son la masa, la longitud y el
tiempo, pero en ocasiones en la física
también se agrega la temperatura, la
intensidad luminosa, la cantidad de
sustancia y la intensidad de corriente.


1

• Las unidades básicas o unidades físicas
fundamentales, son aquellas que se
describen por una definición operacional y
son independientes desde el punto de
vista dimensional. Todas las demás
unidades utilizadas para expresar
magnitudes físicas se pueden derivar de
estas unidades básicas y se conocen como
unidades derivadas. La derivación se lleva
a cabo por medio del análisis dimensional.


1

Unidades del sistema
internacional
• Las unidades usadas en el SI para estas
magnitudes fundamentales son las
siguientes:
•
•
• Para la masa se usa el kilogramo (kg)
• Para la longitud se usa el metro (m)
• Para el tiempo se usa el segundo (s)
• Para la temperatura el Kelvin (K)

1

• Para la Intensidad de corriente eléctrica el
amperio (A)
•
•
• Para la cantidad de sustancia el mol (mol)
• Para la Intensidad luminosa la candela
(cd)


1

• Unidad de Longitud: El metro (m) es la
longitud recorrida por la luz en el vacío
durante un período de tiempo de
1/299,792,458 s.
• Unidad de Masa: El kilogramo (kg) es la
masa del prototipo internacional de platino
iridiado que se conserva en la Oficina de
Pesas y Medidas de París.


1

• Unidad de Tiempo: El segundo (s) es la
duración de 9,192,631,770 períodos de la
radiación correspondiente a la transición
entre dos niveles fundamentales del
átomo Cesio 133.
• Unidad de Temperatura
Termodinámica: El Kelvin (K) es la
fracción 1/273.16 de la temperatura
termodinámica del punto triple del agua.


1

• Unidad de Corriente Eléctrica: El
ampere (A) es la intensidad de corriente,
la cual al mantenerse entre dos
conductores paralelos, rectilíneos, longitud
infinita, sección transversal circular
despreciable y separados en el vacío por
una distancia de un metro, producirá una
fuerza entre estos dos conductores igual a
2 × 10 -7 N por cada metro de longitud.


1

• Unidad de Temperatura
Termodinámica: El Kelvin (K) es la
fracción 1/273.16 de la temperatura
termodinámica del punto triple del agua.
• Unidad de Intensidad Luminosa: La
candela (cd) es la intensidad luminosa, en
una dirección dada, de una fuente que
emite radiación monocromática de
frecuencia 540 × 10 12 hertz y que tiene
una intensidad energética en esta
dirección de 1/683 W por estereorradián
(sr).

1

• Unidad de Cantidad de Sustancia: El
mol es la cantidad de materia contenida
en un sistema y que tiene tantas
entidades elementales como átomos hay
en 0.012 kilogramos de carbono 12.
Cuando es utilizado el mol, deben ser
especificadas las entidades elementales y
las mismas pueden ser átomos, moléculas,
iones, electrones, otras partículas o grupos
de tales partículas


1

Ejemplos


1


1

Ejercicios

Resultado: 80
dias

Resultado: 90
alumnos


1

1.3 Sistema de Unidades ( S.I,
C.G.S, F.P.S
• S.I Sistema Internacional de Unidades
También denominado Sistema Internacional
de Medidas, es el nombre que recibe
el sistema de unidades que se usa en casi
todos los países.
Se instauró en 1960, en la XI Conferencia
General de Pesos y Medidas, durante la
cual inicialmente se reconocieron seis
unidades físicas básicas.

1

Una de las características trascendentales,
que constituye la gran ventaja del Sistema
Internacional, es que sus unidades se basan
en fenómenos físicos fundamentales.
Esto permite lograr equivalencia de
las medidas realizadas con instrumentos
similares, utilizados y calibrados en lugares
distantes y, por ende, asegurar el
cumplimiento de las características de los
productos que se transportan
internacionalmente

1

Unidades Básicas
Magnitud

Nombre

Longitud

metro

m

Masa

kilogramo

kg

Tiempo

segundo

s

Intensidad de corriente eléctrica

ampere

A

Temperatura termodinámica

kelvin

K

Cantidad de sustancia

mol

Intensidad luminosa

candela


Símbolo

mol
cd

1

Unidades Derivadas
Las unidades SI derivadas se definen de
forma que sean coherentes con las unidades
básicas y suplementarias, es decir, se
definen por expresiones algebraicas bajo la
forma de productos de potencias de las
unidades SI básicas y/o suplementarias con
un factor numérico igual 1.


1

Magnitud

Nombre

Símbolo

Superficie

metro cuadrado

m2

Volumen

metro cúbico

m3

Velocidad

metro por segundo

m/s

Aceleración

metro por segundo cuadrado

m/s2

Número de ondas

metro a la potencia menos uno

m-1

Masa en volumen

kilogramo por metro cúbico

kg/m3

Velocidad angular

radián por segundo

rad/s

Aceleración angular

radián por segundo cuadrado

rad/s2


1

C.G.S Sistema Cegesimal de
Unidades
Sistema de unidades basado en
el centímetro, el gramo y el segundo. Su
nombre es el acrónimo de estas tres
unidades.
Fue propuesto por Gauss en 1832, e
implantado por la British Association for the
Advancement of Science.


1

Magnitud

Nombre

Símbolo

Definición

Equivalencia

longitud

centímetro

cm

cm

0,01 m

masa

Gramo

g

g

0,001 kg

tiempo

Segundo

s

s

1s

aceleración

Gal

Gal

cm/s2

0,01 m/s2

fuerza

Dina

dyn

g.cm/s2

10-5 N

energía

Ergio

erg

dyn cm

10-7 J

potencia

ergio por segundo

erg s-1

10-7 W

presión

Baria

baria

dyn/cm2

0,1 Pa

viscosidad dinámica

Poise

P

g (cm s)-1

0,1 Pa s

viscosidad
cinemática

Stokes

St

cm2s-1

10-4 m2s-1


1

carga eléctrica

franklin o statcoulomb

Fr

dyn½cm

3,336 641 × 10-10 C

potencial eléctrico

Statvolt

campo eléctrico

statvolt por cm

flujo magnético

Maxwell

Mx

G cm2

10-8 Wb

densidad de flujo magnético

Gauss

Gs, G

Mx cm-2

10-4 T

intensidad del campo
magnético

Oersted

Oe

intensidad de corriente

Statamperio

3.335 641 × 10-10 A

Resistencia

Statohmio

8.987 552 × 1011 Ω

Capacidad eléctrica

statfaradio o «centímetro»

Inductancia

Stathenrio

8,988 × 1011 H

número de onda

Kayser

1 cm-1

299,7925 V
dyne Fr-1

«cm»


(103/4π) A/m

1,113 × 10-12 F

1

F.P.S «Sistema Ingles de
Unidades»
El sistema inglés de unidades o sistema
imperial, es aún usado ampliamente en
los Estados Unidos de América y, cada vez
en menor medida, en algunos países
con tradición británica.
Este sistema se deriva de la evolución de las
unidades locales a través de los siglos, y de
los intentos de estandarización en Inglaterra

1

Unidades
LONGITUD
1 milla = 1,609 m
1 yarda = 0.915 m
1 pie = 0.305 m
1 pulgada = 0.0254 m
VOLUMEN Y CAPACIDAD
1 yarda 3 = 0.765 m^3
1 pie 3 = 0.0283 m^3
1 pulg 3 . = 0.0000164
m^3
1 galón = 3.785 l.

MASA
1 libra = 0.454 Kg.
1 onza = 0.0283 Kg.
1 ton. inglesa = 907 Kg.
SUPERFICIE
1 pie 2 = 0.0929m^2
1 pulg 2 . = 0.000645m^2
1 yarda 2 = 0.836m^2


1

1.4 - INTRODUCCIÓN AL
ANÁLISIS DIMENSIONAL
• La mayoría de las cantidades físicas
involucradas en un sistema físico están
relacionadas entre sí a través de
ecuaciones que comprenden las distintas
leyes físicas. Si A, B, C, D son cantidades
físicas de un sistema, entonces A puede
estar relacionada con el resto de las
cantidades, esto es,
A= f(B,C,D)


1

• Cualquier relación entre cantidades físicas
debe de cumplir necesariamente con la
propiedad de dimensionalidad homogénea
que consiste en pedir que los miembros de
una ecuación física tengan las mismas
dimensiones. Esto es, que la ecuación sea
dimensionalmente correcta.


1

Función
• Las fórmulas dimensionales nos permiten
comprobar si una ecuación, candidata a
representar una ley física, deducida
teórica o experimentalmente es o no es
correcta. Esta es una de las principales
aplicaciones de las fórmulas
dimensionales.
• También es una herramienta poderosa
para los experimentadores porque permite
reducir el número de variables que
intervienen en un problema.

1

• Un aspecto de la importancia de tal
reducción se deduce considerando que una
función de una sola variable independiente
puede representarse gráficamente
mediante una curva, una función de dos
variables independientes puede
representarse por una familia de curvas,
una función de tres variables
independientes mediante un conjunto de
familias de curvas y así sucesivamente.


1

• El teorema π de Buckingham dice que si
una ecuación es dimensionalmente
homogénea puede reducirse a una relación
entre un conjunto completo de productos
adimensionales.


1

Otros tipos de análisis
• Análisis cualitativo: el estudio de
cualquier sistema físico mediante un
análisis cualitativo se desarrola a través de
mediciones cualitativas de las cantidas
físicas involucradas en el sistema físico en
el cual el observador lo diseña de tal
forma que pueda controlar las variables
(cantidades físicas).


1

• Análisis cuantitativo: Las relaciones
físicas se obtienen, en base a un
experimento controlado y mediante
mediciones cuantitativas.
• Análisis gráfico: Al igual que en el
análisis cuantitativo el análisis gráfico se
basa en mediciones cuantitativas
plasmadas en tablas de valores.


1

1.5 COMPROBACIÓN DE
ECUACIONES Y
TRANFORMACION DE UNIDADES
(ANÁLISIS DIMENSIONAL)
• El análisis dimensional es una herramienta
conceptual muy utilizada en la física, la
química y la ingeniería para ganar
comprensión de fenómenos que involucran
una combinación de diferentes cantidades
físicas

1

• Su resultado fundamental permite cambiar
el conjunto original de parámetros de
entrada dimensionales de un problema
físico por otro conjunto de parámetros de
entrada adimensionales más reducido.
Estos parámetros adimensionales se
obtienen mediante combinaciones
adecuadas de los parámetros
dimensionales y no son únicos, aunque sí
lo es el número mínimo necesario para
estudiar cada sistema.


1

De este modo, al obtener uno de estos
conjuntos de tamaño mínimo se consigue:
•Analizar con mayor facilidad el sistema
objeto de estudio
•Reducir drásticamente el número de
ensayos que debe realizarse para averiguar
el comportamiento o respuesta del sistema.


1

Aplicaciones del Análisis
Dimensional
• Detección de errores de cálculo.
• Resolución de problemas cuya solución
directa conlleva dificultades matemáticas
insalvables.
• Creación y estudio de modelos reducidos.
• Consideraciones sobre la influencia de
posibles cambios en los modelos, etc.


1

Conversión de Unidades
• La conversión de unidades es la
transformación del valor numérico de
una magnitud física, expresado en una
cierta unidad de medida, en otro valor
numérico equivalente y expresado en otra
unidad de medida de la misma naturaleza.
• Este proceso suele realizarse con el uso de
los factores de conversión y las tablas de
conversión de unidades.


1

Frecuentemente basta multiplicar por
una fracción (factor de una conversión) y el
resultado es otra medida equivalente, en la
que han cambiado las unidades. Cuando el
cambio de unidades implica la
transformación de varias unidades se
pueden utilizar varios factores de conversión
uno tras otro, de forma que el resultado
final será la medida equivalente en las
unidades que buscamos


1

Ejemplos de Conversión de
Unidades


1

a) a) 5.8 km a m. Vía de solución


1

2-VECTORES


1

• Un vector es todo segmento de recta
dirigido en el espacio.

Caracteristicas
• Origen
• O también denominado Punto de aplicación.
Es el punto exacto sobre el que actúa el
vector.
• Módulo
• Es la longitud o tamaño del vector. Para
hallarla es preciso conocer el origen y el
extremo del vector, pues para saber cuál es el
módulo del vector, debemos medir desde su
origen hasta su extremo.

• Dirección
• Viene dada por la orientación en el espacio de la
recta que lo contiene.
• Sentido
• Se indica mediante una punta de flecha situada
en el extremo del vector, indicando hacia qué lado
de la línea de acción se dirige el vector.
• El sistema de referencia de los vectores, que
estará formado por un origen y tres ejes
perpendiculares. Este sistema permite fijar la
posición de un punto cualquiera con exactitud.
• El sistema de referencia, es el Sistema de
Coordenadas Cartesianas.

Magnitudes Escalares
•
•

Magnitudes Escalares

•
•
•
•
•

Masa
Temperatura
Presión
Densidad
Magnitudes vectoriales

Denominamos Magnitudes Escalares a aquellas en las que
las medidas quedan correctamente expresadas por medio
de un número y la correspondiente unidad. Ejemplo de ello
son las siguientes magnitudes, entre otras:

Magnitudes Vectoriales
• Magnitudes vectoriales
•

Las magnitudes vectoriales son magnitudes que para estar
determinadas precisan de un valor numérico, una dirección,
un sentido y un punto de aplicación.

•

Vectores iguales

•

Dos vectores son iguales cuando tienen el mismo módulo y
la misma dirección.

•

Vector libre

•

Un vector libre queda caracterizado por su módulo,
dirección y sentido. El vector libre es independiente del
lugar en el que se encuentra.

• Suma de Vectores
• La suma de los vectores podemos realizarla
de dos maneras diferentes, analítica y
gráficamente.
• Propiedades
• Conmutativa
• a+b=b+a
• Asociativa
• (a + b) + c = a + (b + c)
• Elemento neutro o vector 0
• a+0=0+a=a
• Elemento simétrico u opuesto a'
• a + a' = a' + a = 0
• a' = -a

2.1 - CANTIDADES ESCALARES Y
VECTORIALES
• Cantidad escalar: es aquella que se
especifica por su magnitud y una unidad o
especie. Ejemplos: 10 Kg., 3m, 50 Km./h.
Las cantidades escalares pueden sumarse
o restarse normalmente con la condición
de que sean de la misma especie


1

• Cantidad vectorial o vector: Una
cantidad vectorial o vector es aquella que
tiene magnitud o tamaño, dirección u
orientación y sentido positivo (+) o
negativo (-) y punto de aplicación, pero
una cantidad vectorial puede estar
completamente especificada si sólo se da
su magnitud y su dirección. Un vector se
representa gráficamente por una flecha y
se nombra con una letra mayúscula ej. A
= 25 lb. a 120°.

1

Operación con vectores
• Igualdad de los vectores: dos vectores
pueden definirse como iguales si tienen la
misma magnitud y apuntan a la misma
dirección
• Adición de los vectores: cuando dos o mas
vectores se suman todos deben tener las
misma unidades. Existen diferentes
métodos para calcular la suma de vectores


1

Sustracción
• Opuesto (Negativo) de un vector: Es
cuando se suman dos vectores con la
misma magnitud pero con diferente
sentido lo cual hace que el resultado sea 0
• Diferencia de vectores: Es la sustracción
de vectores A-B=D se usa la definición del
negativo de un vector


1

2.2 SUMA DE VECTORES POR LOS
METODOS PARALELOGRAMO,
POLIGONO, TRIANGULO Y
METODO ANALITICO
• Suma de Vectores: Proceso de combinar
dos o más vectores en un vector
equivalente, representado por el símbolo
+.


1

• Dos vectores se suman colocando el origen del
segundo vector en el extremo del primero. La
suma de estos dos vectores se obtiene uniendo el
origen del primer vector con el extremo del
segundo.

• Al sumar más de dos vectores, coloca siempre el
origen del siguiente vector en el extremo del
vector actual. Después construye el vector
resultante uniendo el origen del primer vector al
extremo del último.
1

• Para utilizar métodos gráficos en la suma de
vectores, es necesario representar las
cantidades en una escala de medición
manipulable. Es decir, podemos representar
un vector velocidad de 10 m/s hacia el norte
con una flecha indicando hacia el eje y
positivo que mida 10 cm, en la cual, cada cm
representa una unidad de magnitud real para
la cantidad (1 m/s).


1

• El vector que resulta de operar dos o más
vectores, es conocido como el vector
resultante, o simplemente la resultante.
• En los métodos Paralelogramo, triangulo y
polígono, si medimos con una regla, a la
escala dada, obtenemos el tamaño del
vector. La medida de la dirección se toma
con la ayuda de un transportador.

1

ley de paralelogramo
Regla por la que la suma vectorial de dos
únicas fuerzas concurrentes es equivalente a
la diagonal de un paralelogramo cuyos lados
adyacentes son los dos vectores cuya suma
se está hallando.
Es una alternativa al método del triángulo.


1

• En este método, se desplazan los vectores
para unir sus "colas". Luego se completa
el paralelogramo y el vector resultante
será la diagonal trazada desde las "colas"
de los vectores a sumar. Este vector
tendrá también la "cola" unida a las colas
de los otros dos y su "cabeza" estará al
final de la diagonal.


1

• EJEMPLO:
Una bicicleta parte desde un taller de
reparación y se desplaza (4 m,30º) y luego
(3 m, 0º). Encuentre el desplazamiento total
de la bicicleta, indicando la dirección tomada
desde el taller.


1

SOLUCION:
El desplazamiento total se da en dos tramos.
Cada tramo desplazado se representa por los
vectores d1 y d2. El desplazamiento total es D
= d1 y d2.
Los dos vectores son dibujados a la misma
escala, y se colocan en el mismo origen. Luego
se trazan las lineas paralelas.


1

• A la escala dada, el tamaño del vector
resultante debe dar aproximadamente 6.75
unidades de la escala; es decir, la magnitud
del vector desplazamiento total es de 6.75
m.
• La medida de la dirección debe dar aprox.e
17º desde el origen propuesto. El sentido
del vector resultante es positivo, según el
marco
de
referencia
común
(plano
cartesiano, hacia x positivo y hacia y
positivo). Entonces como resultado, la
bicicleta se desplaza (6.75 m,17º).

1

Ley del polígono
Gráfico empleado para averiguar la suma
vectorial de un sistema de fuerza coplanar.
Éste es el método más utilizado para realizar
operaciones con vectores, debido a que se
pueden sumar o restar dos o más vectores a
la vez. El método consiste en colocar en
secuencia los vectores manteniendo su
magnitud, a escala, dirección y sentido; es
decir, se coloca un vector a partir de la punta
flecha del anterior. El vector resultante esta
dado por el segmento de recta que une el
origen o la cola del primer vector y la punta
flecha del último vector.
1

EJEMPLO:
. Sean los vectores:

Encontrar:


1

SOLUCION:
Resolviendo por el método del polígono, la
figura resultante es:

si se utilizan los instrumentos de medición
prácticos (regla y transportador) se obtiene
que
y que θ es aproximadamente 80ª.

1

Ley del triángulo
En este método, dos vectores se deben trasladar
(sin cambiarle sus propiedades) de tal forma que
la "cabeza" del uno se conecte con la "cola" del
otro (el orden no interesa, pues la suma es
conmutativa). El vector resultante se representa
por la "flecha" que une la "cola" que queda libre
con la "cabeza" que también está libre (es decir
se cierra un triángulo).


1

EJEMPLO:
Dados los siguientes vectores: A:30m, 35°;
B:20m, -45°.Obtener el vector suma S=A+B,
mediante el método del triangulo.

Solución:


1

Método analítico
• Suma de Componentes:
La suma gráfica de vectores con regla y
transportador a veces no tiene la exactitud
suficiente y no es útil cuando los vectores
están en tres dimensiones.
Sabemos, de la suma de vectores, que todo
vector puede descomponerse como la suma
de otros dos vectores, llamados las
componentes vectoriales del vector original.
Para sumarlos, lo usual es escoger las
componentes sumando a lo largo de dos
direcciones perpendiculares entre sí.

1

VECTOR UNITARIO:
Frecuentemente las cantidades vectoriales se
expresan en términos de unitarios. Un vector
unitario es un vector sin dimensiones que tiene
magnitud igual a uno. Sirven para especificar
una dirección determinada. Se usan los
símbolos i, j y k para representar vectores
unitarios que apuntan en las direcciones x, y y
z positivas, respectivamente.


1

Ahora V puede escribirse
V = Ax i + Ay j
Si necesitamos sumar el vector A = Ax i + Ay j
con el vector
B = Bx i + By j escribimos
R = A + B = Ax i + Ay j + Bx i + By j = (Ax +
Bx)i + (Ay + By)j
Las componentes de R (=A + B) son Rx = Ax +
Bx y Ry = Ay + By
1

EJEMPLO:
Un auto recorre 20 km hacia el Norte y
después 35 km en una dirección 60º al Oeste
del Norte. Determine magnitud y dirección del
desplazamiento resultante del auto.
SOLUCION:


1

Expresando los dos desplazamientos componentes
como A y B, indicados en la figura, y usando vectores
unitarios, tenemos:
R = A + B. R es el vector resultante buscado, cuya
magnitud se denota y cuya dirección puede
determinarse calculando el ángulo .
A = 20 km j, (apunta hacia el Norte).
B debemos descomponerlo en componentes x e y (ó i
yj)
B = -(35 km)sen60ºi + (35 km)cos60ºj = -30.3 kmi
+ 17.5 kmj

1

Luego,
R = 20 kmj - 30.3 kmi + 17.5 kmj = 37.5j 30.3i.
La magnitud se obtiene de
2 = (37.5km)2 + (30.3km)2 = 48.2 km
La dirección de R la determinaremos
calculando el ángulo.
En el triángulo formado por cateto opuesto
30.3 y cateto adyacente 37.5, tg = 30.3/37.5
= arctg(30.3/37.5) = 38.9º.

1

EJERCICIOS: SUMA DE VECTORES
1) Dos fuerzas de 500 N y 800 N actúan sobre
el mismo cuerpo. Si el ángulo entre ellas es de
120°, calcular la magnitud de la resultante y su
dirección con respecto a la fuerza de 500 N.

magnitud de la fuerza
resultante R=700 N
Dirección: 81° 40'.


1

2) Hallar las componentes de los vectores A,
B y C, utilizados en el ejercicio de suma por
el método gráfico, y luego calcular los valores
de las magnitudes de los vectores suma,
resueltos gráficamente:


1

Respuestas:
Para el eje x:

Para el eje y:


1

• Dados los vectores A igual a 10 m y forma
un ángulo de 45° y el vector B igual a 24
m y forma un ángulo de 30°. Hallar la
magnitud y dirección del vector suma
resultante R = A +B.


1

Ejemplo


1

Ejercicios

R= 75.5º


1

R= 50.2º


1

R= 205.6º


1

2.3 – MULTIPLICACION DE
VECTORES:

Producto Punto
•

El producto punto o producto escalar de dos
vectores es un número real que resulta al multiplicar el
producto de sus módulos por el coseno del ángulo
que forman.

•

Es útil en aplicaciones físicas. Es también llamado producto
interno. El producto interno de dos vectores es una
cantidad escalar.

•

Sean V= <a,b> y W=<c,d>
Definimos producto punto como la operación de un
producto entre el vector V y el vector W, cual el resultado
de dicho producto es un escalar.

•

El producto escalar de dos vectores en un espacio euclídeo se define como el
producto de sus módulos por el coseno del ángulo que se forma.

•
•

Ejemplo
Hallar el producto punto de dos vectores cuyas coordenadas en
una base ortonormal son: (1, 1/2, 3) y (4, −4, 1).
(1, 1/2, 3) · (4, −4, 1) = 1 · 4 + (1/2) · (−4) + 3 · 1 = 4 −2 + 3
=5

•
•
•

Expresión analítica del módulo de un vector
Hallar el valor del módulo de un vector de coordenadas = (−3,
2, 5) en una base ortonormal.

• Norma
• Para la definición de norma
consideraremos el vector .
• Se sigue del teorema de Pitágoras que la
longitud del vector a es . La longitud del
vector a se denota por . Es frecuente
llamar a esta cantidad la norma de a.
Como se sigue que .

Vectores Ortogonales
• Vectores son ortogonales cuando su
producto escalar es 0

Producto Cruz
El producto cruz o producto vectorial de dos vectores es
otro vector cuya dirección es perpendicular a los dos vectores y su sentido sería
igual al avance de un sacacorchos al girar de u a v. Su módulo es igual a:

• Área del paralelogramo
•

•

Geométricamente, el módulo del producto cruz de dos vectores
coincide con el área del paralelogramo que tiene por lados a
esos vectores.

2.4 EQUILIBRIO DE UNA
PARTÍCULA
• Equilibrio: Supongamos que tengo un
cuerpo que pasan por un mismo punto
(concurrentes).


1

• Se dice que un cuerpo estará en equilibrio
si la acción de estas fuerzas se compensa
de manera tal que es como si no actuara
ninguna fuerza sobre el cuerpo. Por
ejemplo: Cuerpo en equilibrio.
F2= 10N

F1= 10N


1

• Vamos al caso de un cuerpo que NO está
en equilibrio:
F1= 10N
F3= 10N
F2= 10N
Es decir, F1 y F2 se compensan entre sí,
pero a F3 no la compensa nadie y el
cuerpo se va a empezar a mover hacia la
izquierda.

1

• Desde el punto de vista físico un cuerpo
está en equilibrio si la suma de todas las
fuerzas que actúan sobre él vale cero.
Otra manera de decir lo mismo es decir que
si un sistema de fuerzas copuntuales está
en equilibrio, su resultante tiene que ser
cero.


1

De manera matemática
• ΣF=O condición de equilibrio para un
sistema de fuerzas concurrentes.
Esta fórmula se lee: la suma de todas las
fuerzas que actúan tiene que ser cero.
Esta es una ecuación vectorial. Cuando
uno la usa para resolver los problemas
tiene que ponerla en forma de 2
ecuaciones de proyección sobre cada uno
de los ejes. Estas ecuaciones son:


1

• Σfx= 0 Condición de equilibrio para el eje
x.
• Σfy= 0 Condición de equilibrio para el eje
y.


1

Ejercicios
• 1) Un bloque de masa 4.000 kg, cuelga de
dos cables AC y BC en la posición indicada
en la figura. Calcular la tensión de cada
cable, expresada en Newton.
A
B
45°
45°

P
• Solución: T=27718.6N

1

• Determinar la tensión T en cada uno de los
cables de las cuerdas de las figuras a y b.

Solución: a)T1=179,37N;T2=146,46N;
b)T1=207,1N;T2=287,9N

1

• En la figura, el bloque de masa M, se
encuentra en equilibrio en el plano
inclinado que forma un ángulo α con la
horizontal. Calcula la masa m del bloque
que pende verticalmente de la polea.
Siendo α=30º, M=10kg y µ =0,20.

Solución: m=3.27kg


1

BIBLIOGRAFIA
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http://www.jfinternational.com/mf/suma-vectores-fisica.html

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Créditos
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Castro Arreola Efren
Espinoza Mares Jose Martin
Ramirez Bobadilla Fernando
Sanchez Garcia Viniza
Santiago Martinez Edwin Antonio

QFB

4010


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