O documento descreve o Stomachion, um quebra-cabeça geométrico atribuído a Arquimedes, e o Teorema de Pick, que permite calcular a área de polígonos simples contando os pontos de fronteira e interiores. O documento apresenta exemplos de aplicação do Teorema de Pick para calcular áreas de vários polígonos.
4. A invenção de um dos mais antigos quebra-cabeças geométrico que se conhece é atribuída a Arquimedes,sábio grego que viveu em Siracusa, Sicília, no séc. III a.C. O Stomachion é constituído por um conjunto de 14 peças planas (originalmente em marfim) de várias formas poligonais com duas características fundamentais:
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6. Este teorema foi descoberto pela primeira vez pelo matemático Georg Alexander Pick em 1899; O teorema de Pick só é válido para figuras simples, isto é para figuras em que os lados não se intersectem a não ser, eventualmente, nos vértices. O teorema é usado, por exemplo, na indústria florestal, para determinar a área de uma região em função do número de árvores (regularmente espaçadas).
7. O cálculo de áreas de polígonos nem sempre é uma tarefa fácil, pela variedade de formas que podem assumir. Não é fácil, por exemplo, calcular a área do polígono apresentado a seguir:
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9. Este polígono é de fato complicado! No entanto, tem a particularidade de ter os seus vértices sobre um reticulado de pontos no plano, constituído por pontos de coordenadas inteiras. Muitas vezes recorremos a processos de dissecção do polígono ou de subtração de áreas. Todos estes processos envolvem a área como um conceito bidimensional. O novo método que apresentamos permite o cálculo da área pela simples contagem de pontos.
14. Teorema de Pick Dado um polígono simples P, sejam f o número de pontos de fronteira, i o número de pontos interiores. Então a área A(P) desse polígono é dada pela expressão seguinte A(P) = f + i - 1
15. Calcule a área do exercício utilizando o Teorema de PicK A= f/2 + i – 1 f= 4 i =0 A= 2 - 1 A=1 f= 12 i =3 A= 6 +2 A=8 f= 12 i =3 A= 6 + 2 A=8 f= 10 i =1 A= 5+ 0 A=5