MATERIAL DE CÁLCULO

1. Introduçãa
estudodo comportamento uma de tativa de encofituatalgoritmossemelhohtes
funçõo contínua sendo Íoco cen-
o que
aosexisLentes problemas envolviam
pan
tral nestaabord,agemo cálculode
e quantídades díscretas (aquelns que cofipre-
límite ésuap ncípalferramenta,Uma reta errdem númercs
os ínteíros),como ailculo do
o
quecortaama cutuatorfia-se tangette
sua mdcou mmq quelevouosmatemáticos des- a
à medídaque aproximartos seus pontosde cobürosprocessos ailcwlodíferencíal,
do derí-
intersecçã,o a. curva,fazendo com que
com vall.ae i tegal"para lídar comvariávekcon-
os valores assumídos pela função, nos tínuas (aquelasque envolvemqu.tntídades
pontospor ondepassaa seaante, aprci luito peqaenas, ítíivitesimais,oa muito
os
mem-se cada vezmaís um d.ooutro.Esse gra.ndes, quetÊndem infníto).
a.s ao
"deslízar'd,areta ao longoda curvafor- Se,pot um lado, nosJaltam exemplos
necedadosque d,escrevem comporta-
seu palpáveis sua aplicaçào erperiência
de na
mento.E isso consegue
se atravésdo cál- rc!idiana. de que
por setraLar prcresso au.xi-
' culo de límítes. lia.teoríctímeúte elaboração um projeto,
a de
O estudo funçõu queaquí é íntrodu-
d,as por ouffo nospet"Ìniteressaltarque não há
zídodííerencía-se etapas
das aÌúeriores es-
da limitespara a e.xploraçã.o racíocí io atra-
do
pot
Matemritica tratar de
tado d,a, qaa tidd- vés da Matemátíca. Nas palavras de doís
descontínua.s e fião tuaisdíscreta.s, a.te -
Foi grahdes mLtemátí.os atualídade,
da

2. l. Jápref!ncâfdoo apar€clnrenro concetros
dos próprto5 cátc!o
do
nunlt€sima, er corÌìã lntenção calcLr nâprÉuca éÌeado
Kep de ar a
circ! o, propÕe !ma so !ção 'nruiÌivai bâseadâ 'prtfcípiodê
no
contn! dêde':Ìmèqnavauma nÍn dêde de Íiâig! os Éóscetes
comvértcesno centÍodo cÍc! o,.om. turas meddââproxÌma
de
dâmente iguà ao raio,tendoconìobatescordas inínÌres s do
mi
circuo.Sendoas5 que
rn,.on. Lrtlr a áÍea cír.Lrto,
do conìosoma aas
áreas lnfinitos
dos trlângulos, tavaigua à merède produio
resLr do
dorci ooóooê -ò.ooo I. o é
I d do oç aodpo rôpê
À d;oooroo oaé oo€,dqro órda. o
póxirnada r.edidado rao, o5 adosde.âda Íâng! o rêm de se
aproxmêrbastânte qle
deâ,oqlefazcom hâja'nf nroírránquos
b) Cà.! e a áreado circLr sê9! ndo a propoÍa de Keper ConrÈ
o
À I
)À -rb
22t"
"Na Matemática, â experiência
se AqLr, bases Íâng! 05 sãoas cordas cír.! o EnËo,
as dos do d
nãointervémdepois sedeuo pri-
que q!antotendei !asoma?
.) Compêre teslltado
o en.ontÌado corna fórn-ru da áÌ€ado.ír-
a
meiropasso, porquenãoé maispre-
é c! o quevocêconhece
cisol' oontes Mi.anda)
de dl Vocêécàpèzdedes€nvolver rãcÌocínio oqo paraLrma
ané esfera
no cãsodo cálcLro se! vo Lrme?
dô 5u9€Íao:maqine eíeÍa
a
"Não é paradoxodizer que em con-rpoía pirãmlde5 vérlices
de coÍì nocenÍo dè estera ba
€
nossos momentosmais teóricospo- ses nunitesmaispróximas sLrpeífíce.
dâ
Neste câpí1! vocêtrabahará
o com o.on.eÌro det.xa de vêria
demos estarmaispróximos nossas
de
çãol Então,vèmo! os prtrneiros
dar passos aqui.
aplicações maisprátic A.N.
as: whitehead)
2. A ètuÍado ni vedeá!!ade!mreseruatóroconìaformadeum
conJërimos ídéíade que estacíêncíc!
a parè epipedo
e varlo!d uíânte periodo qLre abaÍecido,
o em ío como
tem emsí seupróprio objetode estudo.
O coaceíto derívadaaparece
de no Alturâ (em
daá9uâ meirôt ob"-"çã. í"ir";;í;;i;â;
séculaXVII descoberto Leíbníze
por
Newton,quanclo cálculo estava
o já sen- i lJ
1,5 :'r,o,u
2q hora ]
do desenvolvído vfutudeda pleo-
em 2,5
2,5 3chora
3chora
cupação matemritícos,
de comoGalileu zr +.Áóii
j s.noã l
eKeple como conceíto quantidades
de
indívísíveis.
Ma.k taftle,o usodecoorcle- i rt 6sho. I
nadasa.dotado Fermate Descartes
por
J '.f."
a) Qla ÍoÌocrescmênrodo nívelda águadetie reser/atóro
enÍe
cotltribuíupara o arançoda análíse in- oi na dá i s horâeofi na da4ehora?
rtnitusímaLÍ.cilítuda pela conjunção b) OLranÌonírelda
o por
ág!àcresceu hoÊ,en'r médiè,nesseperíodo?
qle
c) tulostÍe o cresc mentoriédio hoÍáÍÌo a tlrè dè ágla no
dà
álgebra/geometría.
r€seÍvâtóro enireâ 1êe a 73 horanãofo ÌSUèao cÍe5cimenro
Este tópico pode ser consíd.erado médi ohoéri o€nÍeofnal da a e4Êhora
l
um elo e tre a conclasao dafonnaçAo qle
d) l,1ostre entÍea 5s e 7?hora, nire da ágLrâ
o âumento!em
médi :horára 5do ql e entr€ tê e4qhora.
ma è
matemátícad,oenshlomédíoe o írlícío
daformação do ensinosuperior, Neste 3. Estrnaseqle daqui t anos, população !ma ceriacomunlda
a a d€
aryítalo serão íntrodazidas as iqter- d€.e; d.d. oo D t..0-
prctações algebríca e geotuétrica d,o a) Qlalé a pôpLr
âçãoatlaldessacorÌrLrn
dãde?
co ceitode de vada de wmafunçã.o e bl Qualseíá popuâçãode5sè
a cornLrndâdedaq! a I ànol
c) Quanto essâpopuaçãô cres.erá, médiâ,
eÌn nessÊ leano?
suaspr imeíras lícações.
ap d)Ql a será pop! ação
a desra.om!n dêdedâqu 2 ânos?
a
e) QLranto essapopLrlaçãocrÊscerá, méda, dLrrante
em esseç
2

3. 228 . contexto
MaterÌìári(à &Aplkaçôes
Explorando idéia de derivada
a
Vamosiniciar explorâçáo
a por
intuitivada idéiade delivddo meioda idéiade votioçAo
deumafunção.
Consideremosgráfìco:
o
Ì
t
Obseruemos quandoa variável
que, porevaiatéx1", o conjuntodevalores
independente "passa
x daÍunçâo
'passapor f{xJ e chegaatéf(x,)".chamâmos voiaçãomédiaddÍunçáonesse
de trechoo quociente:
f(x,)- f(xo)
Exemplor
percorrido um ponto móvelnê55êtempo,temos
indepêndênte o tempote S é o espãço
Seavariável é por que
Séfunçãodete escrevemos5 S(t),
- que éa equação horáriâ ponto materialemmovimento.
do
Entreos instantes e tl, o ponto materialse desloca s(to)até S(). A variação
to de médiada funçãoS nesse
1Úecho avelocidade
oú médiacom entreto e tt é dadapor:
que o ponto mâterialsedesloca
s(t,)- s(to)
v _
observemos que,fìxandox./ a vâíiaçãomédiada Íu nção,rêlôtivamenteà variaçáo variável, é constante
da náo
e dêpendedê xr, Assim, tomandováriosx1 câdâvez mais próximos , é possível
de (masnem sempre) que essa
variação médiatêndâ a um determinado valor.Ocorrêndo isso,no limite,quandox1 tende a xd a variaçáomédia
tende a um valor quê será chàmadode taxa de vaiação instantâneano ponto . À tãxa dê variâçãoinstantâneãdâ
íunçãono ponto xochamaúos de deivada daÍunçáoÍ em Íêlação variávelxno pontoxoe Íeprêsentamos
à por:
. í{xJ
Vamos numa
escrevêìà lìnguãgem convenìênte.
mais
' FazendoÀx: xoêÀy: f(xr) f(), temos:
xj -
Avariaçáo dê pela
média umaÍunçãoédada razão:
_ f(x J- f{xo) _ f(xo + Áx)- í(xol
^y
Ax Xr Xo ax

4. Comoconsideramos variâôdo
xl paraseaproximâr apenas x, e a variação
de, vamoschâmá-lo de médiada
funçãopassâ,
entâo,a serdadapoí:
Ày f(x) f(xo) _ f(xo + Àx) f(x0) (taxa variação
de médiada
Áx X xo funçãono intervalo x])
[xo,
Assim, variação
a da í àva ávelxnoponto
instantânea funçãoÍ no ponto xooua derivada íunção emrclação
do
xoé dadapor:
f'(xo):
Âlimo^y
Àx
que
Dizer Ax -ì o é o
que
mesmo drzêr r xo
x
,. í(x) f(x^)
r lx^l = llm
x+ xo x xo
ou,ainda:
lq!-érl jqll
Í{xo) .limo
Exemplo:
No casodo ponto materialemmovimento, quandotr tendea to,a velocidade
médiapodetendera um valoÊ
limiteque daráa velocidade
instantânea instanteto.
no
And logd
menre exemplo
ao er Át t
ânr ior.tazendo toeÀS--S(tr) sko), Lemos:
médiaédada pelaÍâzão:
Avelocidade
_ +
_ 5(t,) s(to) s{to s(t")
^s
Àt t, ro ^t)
Comofìzemos tenderã to,podemos
t1 apenas
chamá-lo médiano intervalo
det, e a velocidade detoa t1édadâ,
então,Dor:
5(t)- s(to) S o + À0 S(t")
^s
Àt t-to
instantânea instânteto é obtida quândofazemos tenderâ to ou, equivalentêmente,
Logo,a velocidâde no t
quandofazemos tenderâ O,Ponanto,
Àt por
representando ,,ìa velocìdade instantânea ihstanteto,
no temos:
v-,= lrm v-= rrm -
'i r'-D rÌ-à Àt
.. s(t)- 5(t")
v ,,, = l l m -
t-to
ou,âinda:
.. s(t^+ Ât) - 5(t.)
v,. = ltm -
At
então,que primeira
Concluímos, a idéiade derivada umãfunçãoínum pontoxodo seudomínioé avâriação
de
instantânea a funçãoÍsofÍeem relação vaíiávelxnum pontoxo.Quandoessa
que à variáveléo tempo,a derivada
ìnstantánea um
é â velocidade de ponto materialemmovimentonum deteÍminado instantet^

5. l. Quaéa dervadâ tunção = x3noponto = 2,
da f[D + 8Âx+ (^xl':l l5
Resolução:
= liÍn lls
Estamos pÍocuÍando e teÍnos : 2,f[x] = x3.
t'(21 xo
Então: = 8Àx+ r^xl' + Àxì
f(xì=rl2)=23=8 ax Âr+0 ^Ìf8
-' ^x
(xo + Àxl = ft2 + : (2 + Lx)3 =, : hm 8+ m
^xl
= i2 + Àx)[4 + 4^x + iÂx],] = ^=8+0=8
= I + 12^x+ 6[^x]'+ [Àx)3 Podernos prob
Íesolvefesse eÍna outra
de mâneiÍa:
Portanto: Í
_'r f f3ì = trm ta t"i
m [x':+ 2x) ]5
fr2ì = lim r_o t^or - xr3 x-3
^x . x'+2x 15 3ltx+ 5l
ft2 + ft2l =|lrn-=||ín tx
: lrÍn ^xl x-3 tx 3l
( 2+ L x )3 -2 3 : m fx+5ì=8
= ltÍn
f'[3] = I
Logo,
=,- l + r 2^ x+6 tÁ À )':+t^xl r/ 3. Ca,cJa d"riv€da rç;o.,j lmportoxo 0.
e aê.
AX
Resolução:
: _ Âín2+6^ {+t^r)'z1 o gúÍco daiunção = x , vern
Esboçándo í[x)
;:t o Â1
= liÍn l2+ hÍn 6^x+ tm fò(1':=t2
'í *- 'í ! . _ _ - - -
Logo,f'Q)= 12.
PodenrostaÍnbéÍn essepfobemade ouÍâ
resoiver
maneira:
í'txJ = hm 'r"r 'r^or Í- n
- xixo x-xí
ìs" r-rn
" r-"
Íì - Írnì
., '.', _
Y| l- n
!r ':Il
Í'f2 l: m '!-r= tm " "=
,-2 2 ,-2 2
x 0 x-0
^ ^
( x- 2 )(x'+2x+A ) que g(x) = IL
lâ vrmos nâoexisle mte da íunçào
o
- lrÍn =x mr[f+]+4)=
(x 2) quando xtendea 0,poisqLrando
xtendeâ 0 pelâ rcÈ
d
_ ta esse
limite igual l; quando tende 0 pelaes
é â x a
ln ' , l i n 2 ' n L -4 -q -1 -1 2
qu€Ída, é gua a -t.
ele
Loso, - l2
f'(21
2. Dererminef'[3),sâbendo f[x] = x, + 2x.
que
Rêsolução:
=3
i [xJ=ít3 ]= s 'z+2.3=15
f(xo+ Âxl = f[3 + = t3 + ÂxÍ + 2[3+ ÂxJ:
= I + 6Áx+ (Âx)'z ^x]6 + 2Áx: 15+ 8^x+ [^x),
+
+
r'[3]= liÍn Íi3 Àx) fi3)

6. .
Gpírulo8 lntmd!çãoàsde
vadas
Comoo I m te à d reitae o imte à esqueÍda difercn-
são siÇ= si2l= 2, 2.2+ 5= 5
les , c onc - ho s q u e ;o p i (Ìe o | T --r.OJ s el a, st + À0=s(2+^0 = t2+ Át),- 2[2+ + 5:
^t]
: / + 4Lr+ - / - 2Àr+s lÀr)'z2Át+s
:
ír1 ì - ífn ì
(Lt), +
nào e,i).p o rif -i-:- e, poÍú-,o. -ão êste Portanto:
í't01. sit,+ À0- sttll
v.., = im
Logo,nãoexste a dedvâdâ lunção
da f[x] = x no Àt
= (Ào'z+2a+d-l
tÍn
4- UÍnponto Ínaleral move
s€ sobfe qLra
lma traletóÍia Át
quer segundoequâção
a hoúraS(t)= t'? 2t + 5,eÍn
- Àír^, + rì
qLre é dado meÍos[rn]et é dado segundos
S ern em = m -"-":1 : m lirn 2=
[s]. DeterÍnineveocidâde pontornaterial Ìns
a do no ^l+
tante = 2 s.
to =A+2:2
Resolução:
vr!,r= 2 m/s.
Logo, Assim, velocdade instant€
a no
Pfecrsamos deterrninar =S' . TeÍnos
v
=2séde2m/s.
propostos
Exercícios
J
DetenÌ a defvada íunçãol:lR Rdefrìidapor:
ne da Umapatícu se move
a sobreumatmjetófiasegundoa
=
ãJl[x]= 2x+ I noPontox l; equaÉohoÉria dada xo [eÍnqu€S é dadoemÍn€'
aba
b)f(x)= x'z I no pontox- 2.
- trcse t é dado seglndoslDeteftnine, cada
ern em caso,
avelocdade pârtÍc!1a instante
dâ no indcado.
DeterÍnine sabendo l: R > R é defnida
f'[2]. que poÍ
a)S = 2t,+ l0Ì I noinstantet= s. 3
ltxl-x3-1.
blS - t?+ 3tnoinstantêt: 2s.
,r. DeteÍmnef'[]), existìÍ,
se sâbendo í:lR ) lRé de
que =
c) S = ts + t, + 2t + I noìnstantet I s.
Ínidaporf[x] = x L A aceeÍação é a varlaçâo v
a inslanlânea veocidad€
dâ
: UÍnponto maÌefasemove sobr€ ú4etóÍia
uma segun emrelação têmpo nlm lnstante
ao t ou seja, a deÉ
é
L,
doa equação hoÍára S[t] = 2t'z I [emqueS é dado
+ vada veocidadev nsknte
da no tb:arq)= vi,,). Saben-
emmetros€t dado seoLrndosl.
é em Detem avelo
Íìe do queum pontomatedal velocidade
tem varláveldada
cidâdeno ÍìstanteÌ= 3 s. =
peiaexpressâov3t'? I, deÌeftnine acelemção,
+ sua eÍn
rj, llmapaÍtÍcula rnove InhâÍeta
se €m segundoequação
â
hoÍária = 3t + 2 [S enìmetros t ernsegundosj.
S[t] e âJt= ls;
Detemnea veocidade partícu no nsÌante = 2 s
da a t blÌ=4s
@À
geométrica derivada
[;C A interpretação da
Jáestudamos Geometria
em a da que,dadaumarêtar, seucoefìciente
analítica inclinaçáo reta.Vimos angular
6= Y:-Y'
em que Pl(xÌ,yr)e Pr(xr, sâodois pontosquaisquerda
yr) retaÍ.Châmandodeoo
ânguloque rforma com oeixo x, o coeficiente é a tangentedecqou seja:
m
m=tga
. Considerâmos à paÍìr do eixo x, em diÌEção
d
a r no sentidoanti-horário.
. Não exìst€m quandor é paràlehao €Ìxo y.

7. 232 . (onrexro
MatemátÌo &Aptk.çõ6
Vejamos, agorã, que vem a seta ìncnação funçóes de curvas
o de (ou
que as repíesentam) um deteíminado
em ponto.Intuitivamente, inclina-
a
ção de y = Í(x) em (xo,f(xJ) é à inclinaçãoda rcta tangenreem (xo,f(xo))ou
simplesmente .em
porexemplo, inclinação funçãof(x): x,, ou da curvaquea repíes€nta, pontoxo
Consideremos, ã da no
A inclinaçãoda édadapor:
secânteAB
f(xo I h) -t(Ç _ txo I hrr xá 2xoh h
- -2xo_h
{xo rh) xo h -r'
À medidaque B vai se apÍoximando Â, ou seja,
de quandoh vaitendendoa 0, a retaABvai se ãproximando
signifÌca â inclinação f(x) : x, em vaitendendo a 2x0.
cadavezmaisda retatangentetem xo.lsso que de
Numalinguagem maisprecisa,
escrevemos:
,. f(x"+ h)- f (x . ) :
(2xo+ h) :2xo
hlimo
queé exâtamentef'(), a deíÍvadadafunçãof no pontoxo(comâ diferença
dequeaqui(hâmamos
oacréscimode
h em lugardeÀx).Portanto, existindof'(xo),
existÍrá íetatãngentee:
a
f(xJ:tgd
que é o coeficiente
angularda Íetât, tangenteao gráfìco y = f{x) no ponto {xo,
de f(xo)).
Assintâ equação reta
da
tangent€ao gráfìcodey: f(x)no ponto (, f(xJ)édada por:
,,,.-,- Y f(xo)
ou: y - Í{): f'(xo)(x xJ
Obsêrvação:Para ponto,o gráficoda funçãonão podedar"salto"(não
ôdmitirretatângenteem um determinado
podeserdescontínuonele)nemmudârbruscamente dìreção
de (formar"bíco,,)
nesseponto,Nãoâdmitemtangen,
teem osseguintes gïáfìcos funções:
de

8. (apíülo . lntmdudoàs
I dêíivadas
Retas paralelas eixoy nãotêm coefìciente
ao angular,pois m : tg 90onãoestádeÍìnido.Assim, a tangen-
se
te ao gráíi(o de umafunçãonum ponto é paralela eixo y, ã funçãotambémnão admitederivadanesse
ao ponto
e dizemos que náo exìstea tangenteao gráficopor esseponto. Sãoexemplosdissoas sêguintesfunções,nos
pont05xo indicados:
r
5- Deterrììineequâção Íetatângente gráÍcoda
â dâ ao Logo, = 2x I é a eqLrâção rctakngente
y dâ ao
lunção: gúÍco de f[x] = x'zno ponloxD= ]
â)f(x) - x'? ponto = l;
no xo b) f[x] = x3no pontoxo= 2
b)f(x) = x3no ponto = 2.
xo
Resolução: ll2) = 23:8
al ítxl = x'? ponto = l
no
A equação rcia tangente gráfcode f(x) = x'z
da ao f't2l= hrqof t 2 + h l-í t 2 l
noPonto=1édâdaPol
y ltrl = f'o)tx rl Írr+ hìe-Á ì
Como = l'?= l, basta
ftll calcular
f'(11:
4 0 ' , ! t^ r r
Í,r. ì
'"y
t,m
h _ :o h
_
= lim [r2h+6h'?+hr]
h
(r+h )-ftD
+ f0l : =Ím í t l2 + 6 h + h ' l
hlimo
Poftanto:
y-l(21 = íi2lix 2)ëy 8-121x 2)<)
( í +2h+h" l) le+r) <JY= l2x 16
= hlì m o[ 2 + h ]= 2
y ftll - f'tlltx lJ {-y - I = 2tx- 1l<ì
Logo, = 121- 166.
y feta ao
tangente
"Ouaçâoda
gÍáÍcodeÍ[x] = xr noPonto = 2.
xo
L Dada íunção R + R deínidâ f(x) = x'? 1,
por 9, Dada fLrnçãolRJ lRdeínlda f(x) = 4, 6s-
I a f: + a
temlne:
i: por
a)í'12)l a)l'( 2)l
b)a equaçâo retatangente gúncode f[x] n0
da ao bl a equação rctaiangente gÍáÍìco f(x) no poflo
da ao de
Ponto = 2

9. 234 l,falemftkaConlexto
' &Aplìc!Õej
10" Dada tunção r RdeÍnida f[x] : x'? 2x+ I, deteÍm a equação rera
a f:lR pof - ne da rângenÌe gráfco f(x)no pon
ao de
Ì ì" Dado gÉncoì
o
al det€Ímne eqLração fetatangente gÍáÍìco iunção = af no ponto
a dâ ao da ftxl
bl veÍifÌque no ponto = 0 nãoexiste
que xo í'[0], ou selâ. pontonãoexiste
nesse a
portanto exist€ Íetatang€nte.
derivada; não a
ffi Funçâo
derlvada
ConsÌderêmos funçáoÍcom domínioE e l(l C E)o conjuntode todososx pãraos quaisexiste derivada
uma a
f'(x).A funçãoque â câdax € lassocia derivadaí'(x)é
a chamada funçião
de Aexpressão Í'é dadapor:
defivodd. de
fO=n,'t.!IjjL:l!9.
6. Sabendo f(xl = x'z,
que obtenha íunção
a ou p
derivada, sjnì esmentedervacla,
a f'[x].
Resoluçâo:
li" t =nrt ! . , 9 a Ï A = n g , Il'z+ 2Nh h':]
+
^:l
=hmo[2x+h]=2x
f'(x) : 2x
Logo,
Sequiséssemosf'[]l,teÍíarnosí'[]l=2.1=2E.sequiséssernosf'[xi],reríanìosÍ'(xJ=2x0.
7. Detefininedefvada função
a da cosseno, sela,
ou í'[x], sabendo í[x] = cosx. Ems€guida,
deÌemine que deteÍmine
a
equação reta
da tângentef[x) no ponto = a
a x,
Resol$ção:
f'..x): liÍÌì
f(x + h) ftxl =
lrTn
costx + hl cosx [[cos .cos h - sen{ .senh)
| cosx]
- h
= r g msx.[cosh
,I ]l senhl
rì I [:a-
cosh-l
h
.. ..
l rrn senr. l rrn
h+ o
senh
l---;íi -t-
ì+ o h
= cosx. 0 sen I : -senx
x.
Logo,
f'[x] = senx
da ao x,: a:
Equação Íet€taìgente gúÍco def[x] no ponto
limo ì:ï r = 0 ê uma àplici4o
h
../xì Jt
^
4 2
do limitefundamênhl
trigonométrìco
4'
ÌIto i9!Ix : I veiao capÍtuto
anterioÍ
.í,t ì h
"
4 "2
E
4, /

10. CàDítulo lntÍodu(aoà5de,ivadd
8' 215
a tangentegÉfco í(xl= cos nopon-
Logo.Íeta ao d€ x Resolução:
"l Lerbrâ 10, que. veo.rdad"; o"" d ri..d
ddda
tox^= aé d adapol de Sttl,o! seja:
stt+ h) - stÌl
y rtxJ= í'txoltx l <-
- vftì:Sftì= hrn
Como
* "' - Í f(4'/= fírÍ^
rì a ì- str+ h) s(rl=
4.' 4J = [2(t h]3 [r+ h] + ll [2É+ t+ ]l:
+ +
= 2[t3 3t'?h 3th':+ +t+ h + I 2rl
+ + h]l
.tE( nìl<+ -t I = 6rrh 6th,+ 2h3 h
+ +
' "E
2 2 4)
6 f h + 6 rh ' + 2 h ' + h {
vftl = lirn
l, (lr" !ãì
<3V=
' X+l h (6 t ' + 6 rh + 2 h ' + t l
2 l. I 2) : llm
Porcnro, = s€n e a rcta
f[xJ x procurada
é = liÍn f6f + 6Ìh+ 2h'?+1l = 6t?+ l
J , x+l -( -l t E ". ' r E ì r
+-
Logo. = 6t'? l.
v[t] +
' 2 || I 2) a veocidade instante: 2 s rsto
bl PfocuÉrnos no I é
procurcmos ouv[2] Podânto:
S'[2]
Veja gÉfco:
o vl2)=6 2'1+1=25
Logo.dêocaãd"orpd . L l d n o ', d 1 | ê ;
de 25m/s.
cl  ace p€la olr
eração dada dervadâ velocdBde,
é dâ
s€jâ, = v'[t] ÂssÍÌr
a[t]
airl = v'ttl : hm r::ri:
.- I6tr+ hÌ + rl [6r + ]l
h
t2th+ 6h': fítr2r+ 6hl
h+0
m-=
Ìì r,
8. llmapadícua Ínove
s€ sobrc trajetór obedecen
uÍna a = mo[]2t+ 6hJ l2t
=
h
do à equaçãohorária = 2t3+ t + I [S dâdo
S(t) €fir
mçtros t dado seglrndosl.
eÍn Determ ne: Logo, : ] 2t.
a[i)
e
a) afunçâoveocldade lunção ternpo;
em do dlA aceleÍação instante = 3 s é dad, po v'[3]
no t
ouat3l:
bl a velocdade p2ÍícLrlâ instante= 2 s;
da no t
at3l=12.3=36
aceleração íunção ternpo;
c) a Íunção em do Logo, aceeração paftícula insiante : 3 s
a da no t
dlâ âceleração panícu no instant€= 3 s.
da a t é de36 m/s,.
propostos
Exercícios
.. DeteÍm asíunçôes
ne deÍivadas dasfunções: 15" Usando ex€rcício
o anteÍoÍ,
determ
ne
al (xl = x3 dl rnixl = !ç
bl ?txl = -2x'?
c) g(x) = xr + x1
elhtxl:x'?+l
íl ntxl= I
"[+) ,
,)h'l+.J "(+)
cl s'tol
ì .1, Usando exefcíco
o anteof,deterrìrine: que
Ì E, Mostrc a dervada função:
da
a)Í'Cl) cl s't2l el h'tol alf:lR ì lRdefnida f[x] : ax + b [emquea e b são
por
b){'(-r) dl m'ta) Íl n'(3) númercs a I 0) é iguala
reas, a;
r Determ asfunçôes
ne derivadasdasfunções: bl constantefllR lRdeÍnida f[x] = k para
ì pof qLrâlquef
a) f[x) : senx clg[xJ=1+senx x€ R.ólgua a0;
blh[x):2.cosx dl {[x] = I - cosx cJidentdadeÍ: Rdefrndâ
RJ =
pofí[x] xéigua la
I

11. .
Mãteíníi(a Conterto
&Âo|i.âder
[' JDerivadas algumasfunçôeselementares
de
Vejamos,
agora,como asderivâdâs âlgumas
sáo de funçõês
elementares.
Derivada da função aÍim: f(x) : ax * b, a e lR, b € lR
Considerando = ax + b, temos:
f(x)
f(x h) f(x) à{x+h)-b-(ax- b) _aí ,
hhí-
Entáo:
Í
f'(x)- lim a-a
Logo,podemos que:
escrever
sef(x) = âx + b, entãof'(x): a
Exemplos:
l'q) Sef(x) = 2x + 3,entãof'(x)= 2.
2q) Sef(x) = :-x + 5, entãof'(x):- ^.
Derivadaa. funçao iUentiOaOe: - x
f(x)
SenafunçãoafimdadaanteíioímentefizeÍmosâ:1eb:0,teremosafunçãoìdentidade(x)=xepodere
sef(x) : x' êntãof'(x) : l
Derivada da função constante: Í(x) : k, k C lR
Senafunção a :0e b: kteremosf'(x)a = 0.Assim,
aÍimf(x):ax+ b fìzermos :
sef(x): k entâo : 0
f'(x)
Exemplos:
le) Se : 8,entãof'(x):0.
f(x)
2q) se(x) : 1ã, entãof'(x) o.
=
Derivada da função potência com expoente natural: f(x) : x', n C lN
ConsìdeÍemosafunçãoÍlR+lRdefinidapor(x):xi,n€lN.Aderivadadeíédadapor:
,. f(x I h) f(x) , (x I h)" x
'- hJ o h)o
h h
ndo
Usa o desenvolvimento binômiode Newlon,temos:
do
n
u'r,,' ínì" í"ì*' -í"ìu. --...*í rìu
0/ r/ 2 / n / " í"ìn-
n,
nr, " " n ì r , , " . , - . . . , í " Ì " o n
'-í 2/
" " r,
Logo:
" .n ]- "
ri*l = l'9"'[' "."*"'.[l)*o'.... .[" i ,) " '
h
=,,,' ' '
L". /n
l l trx '-...-l
21 n
/ ô
lh ' l- nx
l J 'x.h" l
I
'
I

12. f'(x) = nxn ì. Assim,
Portanto,
1
sef(x)= x",n € lN,entãoÍ'(x)= nx"
Exernplos:
=
1q)5ef(x)= t', entãoí'(x) óx5
2r) Sef(x): x'z, f
então (x): 2x.
Derivada da função cosseno: f(x) : 6s. x
Noexerc[cio 7 q
rcsolvido Ítostramos ue:
& f'(x)=
seÍ(x)= cos entáo senx
Derivadada função seno:Í(x) : sen x
SeÍ(x) = senx, então:
rhì
sent- J
t "n ( " + t" n = ri .- : llm . - ..os í2x+ hì | =
t_
f l* l: h-o.
ri l) " n- u h2./
h
t
Íh ì
2/ . -.ot t
- ti. ,l ti,n .orÍ '*-j l- t .o.
h- o n h-0 . 2 ) "
t
Logo:
sef(x) sen êntão = cos
- x, f'(x) x
:
Derivada produtode uma constanté umafunção:g(x) c'Í(x)
do por
temos:
comog(x)= c. f(x),
c . Í(x hì - c f(x) . ctf(x+ h) í(x)l
--
s,G)=.L'1,,eg+4:I'T" h i'T" h
=.. I[ÌIL-J.Í4 =.. 1'1*y
n1;,'
se9(x)= c ' f(x),entãog'(x) - c Í'(x)
Exemplos:
1e)Se - 2 senx,entãof'(x):2
í(x) cosx.
2e)sef(x): 3. cos então
x, : (-3x-senx): 3 senx,
f'(x)
Derivadada Íunção logarítmica Funçã DêÌiv.dâ
í(r): ax + b(a,b € R ) f'(x) = a
natural (base e): f(x) = 1n x íx)=x r'(x): l
Êpossívêl quê:
demonstrar (x):k(keR) f'(x) = 0
f({ = x" ln e lN)
l
=
sef(x)= ?nx,êntãof'(x) ;
obtidas aqui:
âté 9!t =lt!x) q-EI'=
!li4-
oquadro-resumo deíivadas
Veja das
(x )= { n x =
í(")
+

13. 238 Màremi . ConteÍtoApkaçóej
G I
9, ÉnconÍ€ equação reta
a da tangente c!Na:
à r ' l' x ì = I = í r z ì = l
.'
al y = xt noponto = l;
xo ,' 2
bly = ín x no ponto = 2
xo Âssm, PonÌo = 2,temos:
no xo
Resoluçâo:
-íí2'-1.2)r ?)- t ? 2'L
al y = x5noponto = l
x!
Itxl =x5=ftxJ = r(r) = 15= I +v=lx+fínz
'2 lì
f'txl = 5x4=f'trl =5 la=5
Noponto ll, t€rnos: ogo. a eq d!ào da e.d l"rgpnle: L,1d v fn (
[],
I lì ^ ì-j i. ì- noPontoxo=2éY= x+(?n2 1l
+y:5x 4
Lagoa equâção retâ
da tângente curva = x5no
à y
lO.Qualé a derivada função : x3nopontox0 2?
da í[x] =
ponio ll é y = 5x 4
[],
bly=lnxnopontoxo=2 Resolução:
í[x] = {n x Í'(x)= 3'-Í'(2) = 3.2, = 12
ijP_te[figqgqgoperatórias gqlyqse:
ae!
Vejãmos,
ãgora, píopriedades
ãlgumas que
operatórias derivadas, admìtiremos
das veÍdãdeiíâs de-
sem
Derívãda uma soma (ÕudiÍerençâ)de Íunções
de
Aderivada soma(oudiferença)de
da duãsfunçóes iguâlàsomô{ou diferença)dàs
é derivadas
dessas
funções.
seíe g sãofunções
Ou seja, deriváveis pontox,
no entãoÍ+ 9 (ouf g)também derivávelnesse
é pontoe:
=f'(x)+s'(x)
(f+ s)'(x)
:f'{x)- 9'(x)
(f- s)'(x)
11. DeteÍnine sabendo
f'[x), que Logo:
.lrLl 7--r d)'tl l ?'' I'ixl = 3,s'tx) = 3.5x'= r5x'
blÍ[x]=lnx cosx elf[x):ax':+ bx+ c Ou, ainda:
cl í[x] = 3xó t3x5)' 3tx5l' 3.5x4= r5xr
= =
Resoluçâo: Logo, f'(xl - I 5xr
aJf[x]=x'?+x+l dl í[x) = 3x'? 2x + ]
+
Í'[x]= [x,+x + ]l' = [x,]'+xr + l' = í'txl = t3x'? 2x + ll' = t3xl' + tzx)' + l' =
+
:2x+l+0 :2x+l =3(x1' + 2x' + 1' 3. 2x+ 2. I + 0 = 6x+ 2
-
Logo, : 2x+ l
f'[x] Logo. f'(x) = 6x + 2
blf[x]:{n x-cosx
e)í[x]=ax'z+bx+c
l'[x] = [{n x - cos : [fn x]' - [cos =
x]' x]'
f'txl = tâx? bx + cl' = tax,l' + tbx)' + c' =
+
= am' + bx'+ c' = â.2x + b.l +0=2ax+b
=
Ponanto,l'[x] 2ax+ b.
Porbnto, =
f'tl + s€nÀ
ObseÍvaÉo O I opj, pnlF a o . oa ,pld ldnqe-
"r
cl f(xl = 3x5 qladrática = ax? bx + c nopofto
Ìe à turnção f[x] +
Nestecaso,= 3 e g(x)= x5.
k =
Então,f[x) 3. g[x] xoé dâdo porí'[xJ = 2axo b
+

14. Drtrl=Ì r n" +z.co s, Logo,r'()J=- 2.sen
ru*r=[].2"-rz.*.,)'= I 2. Determine o co€ÍÌc angulaf reta
€nte da tang€ntecLr
à f-
vay = x3+ x, + x + I nopontoxo l
=
=[* Resolução:
*-;'*,''-",,'
0 coef ente
c angular dado í,(x0). m:
é pof Ass
ftx) = tx3 + x + ll,= tx),+ ix1,+ (x),+ 01,=
+x,
&,, 2,,o.'r =3x,+2x+t+0=3x,+2x+l
- *
J : " Logo
= L Í'txJ =Í'fl) =3. l,+ 2. I + I =3 +Z+ I = 6
t
2 . . "n "
3x Poriânto,co€ÍcÌ€nte af procuradoiguala
o angu é 6
Derivada uÍn produtode Íunçôes
de
A deíivãda produto duasfunções
do de é;9ualàderivada pdmeira
dã funçãovezes segunda a primeira
a mais
funçãovezes derívada segunda. seja, Í e g são
a da Ou se funções
derìváveis pontox,
no então também derivá
fg é
(fS)'(x):f'(x)s{x) f(,s'(x)
+
Exèmplo:
:
Sef(x) 2x + 1 e g(x)= xs,temos:
=
. (fs)(x) 2x4 x3+ (fs)'(x) 8x3 3x: O
+ = +
. f'(x):2 e s'(x)
:3x2
. f'(x)S(x) 2xre (x)S'(x) (2x+ 1)3x2 6x3 3x,
= : = +
. f'(x)g(x) f(x)g'(x) 2x3 6x3 3x2: 8x3 3x, O
+ : + + +
Q que :
Comparando e @,ver;ficamos (fg)'(x) f'(x)g(x) flx)g'(x).
+
bl ítxl = tx, + 3x+ tlifn x)
'['] tJ 3, I rr | í 3, tj í.ì.1
= [ 2 r+ 3 ] f n r + [ x ,+ 3 (+ lì -: =
=2x.{nx+3.{nx+x+3+-
L o q ot x l = 2 { í n 1 + 3 . (n x + ì + 3 + -
Í
üerivaclade um quocientede funções
A deíivâda quociente duasfunções igualàderivada numeÍadorvezes denomtnaoor
do de é do o menoso nu_
meradorvezes derivada denomìnador, tudo jssosobreo dênominâdor
a do e elevado quadrado. seja, fe 9
ao Ou se
deriváveis ponto x, com g(r 10, entãoI tambémé derìvávelnesse
sãofunçóes no ponto e
í r Y,.., flx)s(x) íx)91x)
-
ltl'"'- G("t--

15. 240 .
Matemíka cont*to Âplkaçõe!
&
Exemploi
Sef(x)= 3x'z x - 10 e g{x)= x - 2,parax + 2,teúos:
-
_1 10 (x-2)(3x+5)
. í1ìt'.r= : : "+ s*{ !) ' 1 ,,1: 3 O
s./ ; , x-2 s,/
. f ' ( x) :6 x l eg '(x)=1
. f'(x)g(x) (6x- lxx - 2): 6x':- 13x+ 2 ef(x)g'(x) (3x'z x - l0)l : 3x'z x
: : - l0
:
. ts(x)1': (x - 2)'z: x2 4x + 4
Logo: t
f ' ( x ) g( x) f( x) g'(x) (6x'z-13x+2) (3x': x
- _ 1 0 ) _ 3 x 2 -1 2 x + 1 2 3(x' 4x + 4) : 3
@
Is(x)]': x ' -4 x + 4
compãrando(iD,
(De veriticamos
aue = f'(x)s(x)-f(x)s'(x)
llJ'rxt ls(x)l'
f'[x], que:
14. Determine sâbendo l-{nx
í,txl =
Logo,
a)ftxl -
sen
x
- cl ÌL* J= tgr= -
b)(x) = IIa
c) f[x] = tg x ,,r.. [senx]'cosx senr ' [cosx]'
d) f[x) = cotgx '.,. .""
Rosolução:
cosx.cos x - senx. I senx)
ã)(x):
- = l. =secrx
x'tx+ll
f ' G ) = t - --::t= tx'zÌix+ì
[x + ]1'?
Portanto, f[x] = tg x,então - seCx
se f'tx)
2 xCx+t)-x'?[]+01
[x + ])'z tx + rl': cosx
o lÌ L x j= c o rg x = -
x'z+2x x(x+ 2)
[x + ]l' tx + llz [cosx]'sen x cosx . [ser x)'
= *t^+1)
rooo.rr^t(x+D.
I senx)sen - cosx . cosx
x
-sen',x- costx sen'x +cos'x
.,.- t{n x)'x {n x . (x)'
'",_ *
= __: = -cossec,
x
l.x- {nx.t
l-{nx
Logo,sef[x] = cotgx, entãof'[x] = cossec'?
x.

16. .
Qpítulo6 lnÌroduçáoàsdeíivadãr 241
Derivadada Íunção composta
5eÍéderjvávelnopontoxegdêrivávelemf(x),entâoaíunçãocompostagoféderivávelnopontoxe:
:
h'(x) (s of)'{x): s,((x))f(x)
Exêmplo:
Dadasasfunçõesf(x)=x'z1eg(,:y,,vamoscalcular(gof)'(r,depoìsg'(f(x))í,(x)econíìrmârquesã
. (go fxx): g(flx) = g(x,- 1) (x2 l)2: x4- 2x, + I + (goD,(x):4x3 4x
-
f'(x)- 2x
9'íy):2y
g'((x)): s'(x'?- 1)= 2(x'? l) : 2x? 2
=
. s'(íx))í'{x) (2x'z 2)2x:4x1 - 4x
Portanto,temos ô 0'(x)= S'(flx))í'(x).
(9
15. Detem h'(x),sabendo
ne que: bl htx) : sef iín x)
a) h[x] : sen(2x+ rl b) h[x] = sen[dnx] Nestecaso,y=l[xJ -{nx e g(y]=seny.
Resolução:
al h(x)= sen(2x+ lJ í'íxì= l
Nestecaso,y f[xl = 2x + I e g(yl = seny
=
l e h(x) = (g o D txl.Âsslm:
Í'(x)= l2x+ 1)'=2
S'[Y) cos = çes *1
= Y 64n
g'(Y)= cosy = cos[2x+ 1] =
Portânto:
= tfnx). L= L.cost{nxl
h'txl s'tylí'txl cos
h'tx) : s'o/lf ixl = cos(2x+ 1) .2 =
-2.cos[2x+]l
I
I
Derivada da função inversa
queadmite
Seíé umaíunção pontot comf(x)10, então:
inversa derivávelno
eé
=
(f )'(f(x)) -f
r'IxÌ
Ousejâ, representada = y(x), suãinvêrsa dada
sêâfunçáoé pory ã será porx = x(y).
E,assimi
'I
sex: x(y), =
entãox'(y)
tGt

17. MaremÍkà (onreÍto ldi.àçd6
. &
Exemplo:
Afunçãof(x):3x - 6é btetiva. existeí !, inversa Podemos
Logo, deÍ, dêteíminâr fazendo:
f-'(x)
x=3y-6+3y : x + 6 + y : + x +2
3
1
entáo,f-r(x) :
Temos, + 2.
ãx
vamoscalculãr compãrarf'(x)e r)'(x):
Agora, ê (f
. Í(x)= 3x 6+ f'(x):3
.(f j)(x)= x +2r(Ír)'(x)=:
33
l .
Então, ì) íx) -
(f
f,(x)
16. Sef(x) 2x+1,det€Ímner)'(yl.
= (f 17. Sey= v2,6"1"-1n"derivada suanversa,
da
"
Rêsolüçâo: Rêsolução:
y = í.a) 2x+ I =y'(xl = f'(x)= (2x+ ll' = 2
=
y = x, .ì y,(x)= 2x
-- I I I
6- 1 r u1 l = l
= y_,+_Vy -
- - '' Í'(xl 2 -rt y t _ vt_t 2 r- Z , l;
Deout|a Tnane temos:
m,
y = 2x+ I +y'(x) = 2
A inversa função= 2x+ I é dada
da y pof
vl
2
ll
-- v'i'l 2
q!e, a função= l]-1 em
observe sedeÍivarmos x
2
íelacão v. obteÍemosr'fvì ].
a =
-2
&
hifl Derivadas outrasfunções
de
Função logarítmica: Í(x) : |sg. 1 ,t'
Recordamos sef(x) : {n x (bâse êntãof'(x)= 1. Âgoraprocuramosf'{x)quandoÍx) lo9"x.
que, e), -
Fazendo mudança base,tem05l
a de
. loq- x
loo x- -" J log_ - log,ê . log"x
x
'" loô ê
Então:
f(x): log"e. log"x
Usando derivada produto,
a do temos:
Í'(x) = (log" e)1
Ouseja:

18. qtilqq8 . Ìnrrcdução
às
deÍivadó 243
f(x) : 6r
Funçãoexponencial:
que:
Sabemos
f(x) = ar <r x = lo9ãf(x)
VamosderivaÍambos membros iglaldadêx - loga
os da que
Í(x),observando o segundomembroé umafun-
çãocomposta:
r:-f.tog"e.f' tx)
ou seja:
f{")
f'(*): ,
lo9" e
comof(x)= a'e - loq-a,temos:
-L e
log.
f'(x) = ar ' logêa : at ln a
''seflrdl-= ëntãof'(x)= a&,logê = ax'ln a .
al, a
Se o :
Obs€rvação: considerarmoscôsoparticularf(x) €È,teremos:
Í'(x)=er.lne:ex.1=ex
Ou sejal
f'(x) : e'
seÍ(x) = êx,então í{x) = er
18, DeterÍn h'[x],sabendo
ne que: 2x
âl htxl = os"tx, + rl b) htxl = e' L0g0,nuJ=- ogae.
Resolução:
bl h[x)= e"
al htxl = oga + ll
tx,
Ìmta-se uma
de função
composta.
Assm: T dtaseranoe oe - nâ'dnFo corposta.
n Assr:
f[x]=x'z+1 v=Ítxl=x'z
sty)= os"Y sol = eY
f'txl= 2x í'(x) = 2Y
ll s'tyl = eY
g'01 = -:. og"e=::--:, og.e Entào,
y'ÌLrJ vern:
Então,vem: h'ixl = g'tylí'txl= e!. 2x= e;' . 2x= 2xe"
'tì - ...loq e. Í'ri - _-.log. e.2À Logo, = 2xer
h'[x]
ÌtYl - r'+l
2x
x':+l -r"-
Funçãopotênciacom expoentereal
Já estudamos funçãopotência
a com expoentenaturale vimosque,sef(x) : x^,n ë lN,entáof'(x) : nx" '
Vamosgeneralizaesseresultado
r paral
h(x):x"(x>0ecr€lR)
quel
Sabemos
er""= x (lembremos a'q b =b)
que

19. 244 .
MàretubGConÌeÍto&AdG(@s
Então:
h(x):X"=(eh9":e" s'
Considèrandoy f(x) : e.{n xe9(y) = ev,vem'
Ìêmos aí umafunçãocomposta. =
lg'tY; =s'
f (x )-o
Portanto:
1l
h(x) -gív)f'(x)-e" o -dx'I
"';-x" ;-o'x'x
"t-o"
h'(x)= ox" r,0elR.
Logo,
A5sìm: Í
sef(x)= r, d e lR,x > 0,entâof'(x): o,c ' (a € LR, > 0)
x
19. Determinederivada função:
a da t^
a) = Jx (x>O
f(x) cf(xf=+
Então:
bl ítx) : {f d)hGl = ./6- l'lt) = 2x, 1=-2x1=-:-
RêsoÌrção: 2
LogoÌlxl= I
a)í(x)= ./x = x'
-! Obseve ,âo exlsÍe derlvada ponto = 0.
que a no x
Entâo: dl htxl = r6os x
= -:x ? ll TÍata-se uma
de Ílnçãocornposta.
AssiÍn:
f/rxl = -:x2
22 Y=f[x)=cosx
!
=.t
sor
f'(xl =
Logo,
2lx Então:
f'[x) = -sen x
Obse've ro porÌo - 0 nio er,r,ed
qre dFr[3a".
I
bljtxl=iÇ=xr
Então: Portanto: l
h'ixl= s'(y)í'txl
= sen =
xl
f ix_ . , (r ut-t
- l= 3 3 I
3x3
3içt I
= ,-..",, =
l 2160sx
Logo. Ì Lx J = -.
senx
Observeque no ponto x = 0 nã,aexÌsteaderyada. z!COS X
Vamosveragora doisq uadros-resu asderivadas suâspropriedades:
em mo e
(x)=k(kelR)
(a,bcelR,a*0) f'(x)=2ax+b
=ax+b(a,belB)
=
f'(x) -senx

20. (aDÍülo8' lnÌrodmosdêrivúas 245
f' (x)= a' .{ n a
DerlvadàIndl<!d! (alaulâda
Dêrlvada
li) (f + s), (x) +
f'(x) S'(x)
rl(rl s 14
k.f' (x)
l _. I
6à)(fi), (, ou x : x(,
propostos
ExeÍcícios
i : . Delermrne deÍivadas seguintes
ss das íunções: . Detemine dervadas seguntesíunções:
as das
al í[x] = 100 d)(x): xÁ a)ftxl:--L cl f[x] = cotgx
b)(t = vç +x, elí[x]=x,,+x 4
b)(x) = I
clr txl - x;+x 0(xl=xt x3 2x
'18.DeteÍm asderivadas seguintes r,:r DeterminJ derivadas seg!intes
as das íLrnções
com-
ne das funçôes: postas:
al l[x] = 3xa c)í[x]= l0x3+2x'? a) h(x)= s€nx'g dl hixl= {n ivx J
bl ltxl = {2x' - 2x dl ítxl = x" 1
bl htxl= logrotx':+ ll el hixl- e'""
i g, Deterrnineas derivadâs segLrntes
dâs funçôesi
c) hS)= .,ç' + x.
a)f(x) = e'+ ín x + k cl í[x] = senx+ !-
b) f(xl = cosx + a' dl f[x) = log, x - rg x 'l' Detemine derìvadas funçõ€s
as d€s inversas se-
das
':i gu ntesfunções:
DeLernre de Naoês segur'ìtes !òFs:
ã. das l.
aly=f(x)- i[ c]y=l[x] =x3+ 1
a) f[x] = x3 ln x
b)y = f[x] = -x, + 2 dly = ítx): a"
b)f(x)= [x'? x + ]l[cosx]
+
' ' DeÌeÍnne as defivadas seguinies
dâs f!nçôes
cJrLxJ=vx.senx
d) f[x] = [ax, + bx + c)(ax + b] altul: {i
' - Dere neasde tàdès segJ e" ÍLrçõe'
n das b)(xl - iF
a)l[x):2 lnx+5 cosx I
bl í(x) =x'? cosx k tgx cl fixl = x5