Cap.8 introdução ás derivadas

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Cap.8 introdução ás derivadas

  1. 1. Introduçãa estudodo comportamento uma de tativa de encofituatalgoritmossemelhohtes funçõo contínua sendo Íoco cen- o que aosexisLentes problemas envolviam pan tral nestaabord,agemo cálculode e quantídades díscretas (aquelns que cofipre- límite ésuap ncípalferramenta,Uma reta errdem númercs os ínteíros),como ailculo do o quecortaama cutuatorfia-se tangette sua mdcou mmq quelevouosmatemáticos des- a à medídaque aproximartos seus pontosde cobürosprocessos ailcwlodíferencíal, do derí- intersecçã,o a. curva,fazendo com que com vall.ae i tegal"para lídar comvariávekcon- os valores assumídos pela função, nos tínuas (aquelasque envolvemqu.tntídades pontospor ondepassaa seaante, aprci luito peqaenas, ítíivitesimais,oa muito os mem-se cada vezmaís um d.ooutro.Esse gra.ndes, quetÊndem infníto). a.s ao "deslízard,areta ao longoda curvafor- Se,pot um lado, nosJaltam exemplos necedadosque d,escrevem comporta- seu palpáveis sua aplicaçào erperiência de na mento.E isso consegue se atravésdo cál- rc!idiana. de que por setraLar prcresso au.xi- culo de límítes. lia.teoríctímeúte elaboração um projeto, a de O estudo funçõu queaquí é íntrodu- d,as por ouffo nospet"Ìniteressaltarque não há zídodííerencía-se etapas das aÌúeriores es- da limitespara a e.xploraçã.o racíocí io atra- do pot Matemritica tratar de tado d,a, qaa tidd- vés da Matemátíca. Nas palavras de doís descontínua.s e fião tuaisdíscreta.s, a.te - Foi grahdes mLtemátí.os atualídade, da
  2. 2. l. Jápref!ncâfdoo apar€clnrenro concetros dos próprto5 cátc!o do nunlt€sima, er corÌìã lntenção calcLr nâprÉuca éÌeado Kep de ar a circ! o, propÕe !ma so !ção nruiÌivai bâseadâ prtfcípiodê no contn! dêde:Ìmèqnavauma nÍn dêde de Íiâig! os Éóscetes comvértcesno centÍodo cÍc! o,.om. turas meddââproxÌma de dâmente iguà ao raio,tendoconìobatescordas inínÌres s do mi circuo.Sendoas5 que rn,.on. Lrtlr a áÍea cír.Lrto, do conìosoma aas áreas lnfinitos dos trlângulos, tavaigua à merède produio resLr do dorci ooóooê -ò.ooo I. o é I d do oç aodpo rôpê À d;oooroo oaé oo€,dqro órda. o póxirnada r.edidado rao, o5 adosde.âda Íâng! o rêm de se aproxmêrbastânte qle deâ,oqlefazcom hâjanf nroírránquos b) Cà.! e a áreado circLr sê9! ndo a propoÍa de Keper ConrÈ o À I )À -rb 22t" "Na Matemática, â experiência se AqLr, bases Íâng! 05 sãoas cordas cír.! o EnËo, as dos do dnãointervémdepois sedeuo pri- que q!antotendei !asoma? .) Compêre teslltado o en.ontÌado corna fórn-ru da áÌ€ado.ír- ameiropasso, porquenãoé maispre- é c! o quevocêconhececisol oontes Mi.anda) de dl Vocêécàpèzdedes€nvolver rãcÌocínio oqo paraLrma ané esfera no cãsodo cálcLro se! vo Lrme? dô 5u9€Íao:maqine eíeÍa a "Não é paradoxodizer que em con-rpoía pirãmlde5 vérlices de coÍì nocenÍo dè estera ba € nossos momentosmais teóricospo- ses nunitesmaispróximas sLrpeífíce. dâ Neste câpí1! vocêtrabahará o com o.on.eÌro det.xa de vêria demos estarmaispróximos nossas de çãol Então,vèmo! os prtrneiros dar passos aqui. aplicações maisprátic A.N. as: whitehead) 2. A ètuÍado ni vedeá!!ade!mreseruatóroconìaformadeum conJërimos ídéíade que estacíêncíc! a parè epipedo e varlo!d uíânte periodo qLre abaÍecido, o em ío como tem emsí seupróprio objetode estudo. O coaceíto derívadaaparece de no Alturâ (em daá9uâ meirôt ob"-"çã. í"ir";;í;;i;â; séculaXVII descoberto Leíbníze por Newton,quanclo cálculo estava o já sen- i lJ 1,5 :r,o,u 2q hora ] do desenvolvído vfutudeda pleo- em 2,5 2,5 3chora 3chora cupação matemritícos, de comoGalileu zr +.Áóii j s.noã l eKeple como conceíto quantidades de indívísíveis. Ma.k taftle,o usodecoorcle- i rt 6sho. I nadasa.dotado Fermate Descartes por J .f." a) Qla ÍoÌocrescmênrodo nívelda águadetie reser/atóro enÍe cotltribuíupara o arançoda análíse in- oi na dá i s horâeofi na da4ehora?rtnitusímaLÍ.cilítuda pela conjunção b) OLranÌonírelda o por ág!àcresceu hoÊ,enr médiè,nesseperíodo? qle c) tulostÍe o cresc mentoriédio hoÍáÍÌo a tlrè dè ágla no dà álgebra/geometría. r€seÍvâtóro enireâ 1êe a 73 horanãofo ÌSUèao cÍe5cimenro Este tópico pode ser consíd.erado médi ohoéri o€nÍeofnal da a e4Êhora l um elo e tre a conclasao dafonnaçAo qle d) l,1ostre entÍea 5s e 7?hora, nire da ágLrâ o âumento!em médi :horára 5do ql e entr€ tê e4qhora. ma è matemátícad,oenshlomédíoe o írlícío daformação do ensinosuperior, Neste 3. Estrnaseqle daqui t anos, população !ma ceriacomunlda a a d€ aryítalo serão íntrodazidas as iqter- d€.e; d.d. oo D t..0-prctações algebríca e geotuétrica d,o a) Qlalé a pôpLr âçãoatlaldessacorÌrLrn dãde? co ceitode de vada de wmafunçã.o e bl Qualseíá popuâçãode5sè a cornLrndâdedaq! a I ànol c) Quanto essâpopuaçãô cres.erá, médiâ, eÌn nessÊ leano?suaspr imeíras lícações. ap d)Ql a será pop! ação a desra.om!n dêdedâqu 2 ânos? a e) QLranto essapopLrlaçãocrÊscerá, méda, dLrrante em esseç 2
  3. 3. 228 . contexto MaterÌìári(à &Aplkaçôes Explorando idéia de derivada a Vamosiniciar explorâçáo a por intuitivada idéiade delivddo meioda idéiade votioçAo deumafunção. Consideremosgráfìco: o Ì t Obseruemos quandoa variável que, porevaiatéx1", o conjuntodevalores independente "passa x daÍunçâopassapor f{xJ e chegaatéf(x,)".chamâmos voiaçãomédiaddÍunçáonesse de trechoo quociente: f(x,)- f(xo)Exemplor percorrido um ponto móvelnê55êtempo,temos indepêndênte o tempote S é o espãço Seavariável é por queSéfunçãodete escrevemos5 S(t), - que éa equação horáriâ ponto materialemmovimento. do Entreos instantes e tl, o ponto materialse desloca s(to)até S(). A variação to de médiada funçãoS nesse1Úecho avelocidade oú médiacom entreto e tt é dadapor: que o ponto mâterialsedesloca s(t,)- s(to) v _ observemos que,fìxandox./ a vâíiaçãomédiada Íu nção,rêlôtivamenteà variaçáo variável, é constante da náoe dêpendedê xr, Assim, tomandováriosx1 câdâvez mais próximos , é possível de (masnem sempre) que essavariação médiatêndâ a um determinado valor.Ocorrêndo isso,no limite,quandox1 tende a xd a variaçáomédiatende a um valor quê será chàmadode taxa de vaiação instantâneano ponto . À tãxa dê variâçãoinstantâneãdâíunçãono ponto xochamaúos de deivada daÍunçáoÍ em Íêlação variávelxno pontoxoe Íeprêsentamos à por: . í{xJ Vamos numa escrevêìà lìnguãgem convenìênte. mais FazendoÀx: xoêÀy: f(xr) f(), temos: xj - Avariaçáo dê pela média umaÍunçãoédada razão: _ f(x J- f{xo) _ f(xo + Áx)- í(xol ^y Ax Xr Xo ax
  4. 4. Comoconsideramos variâôdo xl paraseaproximâr apenas x, e a variação de, vamoschâmá-lo de médiadafunçãopassâ, entâo,a serdadapoí: Ày f(x) f(xo) _ f(xo + Àx) f(x0) (taxa variação de médiada Áx X xo funçãono intervalo x]) [xo, Assim, variação a da í àva ávelxnoponto instantânea funçãoÍ no ponto xooua derivada íunção emrclação doxoé dadapor: f(xo): Âlimo^y Àx que Dizer Ax -ì o é o que mesmo drzêr r xo x ,. í(x) f(x^) r lx^l = llm x+ xo x xoou,ainda: lq!-érl jqll Í{xo) .limoExemplo: No casodo ponto materialemmovimento, quandotr tendea to,a velocidade médiapodetendera um valoÊlimiteque daráa velocidade instantânea instanteto. no And logd menre exemplo ao er Át t ânr ior.tazendo toeÀS--S(tr) sko), Lemos: médiaédada pelaÍâzão: Avelocidade _ + _ 5(t,) s(to) s{to s(t") ^s Àt t, ro ^t) Comofìzemos tenderã to,podemos t1 apenas chamá-lo médiano intervalo det, e a velocidade detoa t1édadâ,então,Dor: 5(t)- s(to) S o + À0 S(t") ^s Àt t-to instantânea instânteto é obtida quândofazemos tenderâ to ou, equivalentêmente, Logo,a velocidâde no tquandofazemos tenderâ O,Ponanto, Àt por representando ,,ìa velocìdade instantânea ihstanteto, no temos: v-,= lrm v-= rrm - i r-D rÌ-à Àt .. s(t)- 5(t") v ,,, = l l m - t-toou,âinda: .. s(t^+ Ât) - 5(t.) v,. = ltm - At então,que primeira Concluímos, a idéiade derivada umãfunçãoínum pontoxodo seudomínioé avâriação deinstantânea a funçãoÍsofÍeem relação vaíiávelxnum pontoxo.Quandoessa que à variáveléo tempo,a derivada ìnstantánea umé â velocidade de ponto materialemmovimentonum deteÍminado instantet^
  5. 5. l. Quaéa dervadâ tunção = x3noponto = 2, da f[D + 8Âx+ (^xl:l l5 Resolução: = liÍn lls Estamos pÍocuÍando e teÍnos : 2,f[x] = x3. t(21 xo Então: = 8Àx+ r^xl + Àxì f(xì=rl2)=23=8 ax Âr+0 ^Ìf8 - ^x (xo + Àxl = ft2 + : (2 + Lx)3 =, : hm 8+ m ^xl = i2 + Àx)[4 + 4^x + iÂx],] = ^=8+0=8 = I + 12^x+ 6[^x]+ [Àx)3 Podernos prob Íesolvefesse eÍna outra de mâneiÍa: Portanto: Í _r f f3ì = trm ta t"i m [x:+ 2x) ]5 fr2ì = lim r_o t^or - xr3 x-3 ^x . x+2x 15 3ltx+ 5l ft2 + ft2l =|lrn-=||ín tx : lrÍn ^xl x-3 tx 3l ( 2+ L x )3 -2 3 : m fx+5ì=8 = ltÍn f[3] = I Logo, =,- l + r 2^ x+6 tÁ À ):+t^xl r/ 3. Ca,cJa d"riv€da rç;o.,j lmportoxo 0. e aê. AX Resolução: : _ Âín2+6^ {+t^r)z1 o gúÍco daiunção = x , vern Esboçándo í[x) ;:t o Â1 = liÍn l2+ hÍn 6^x+ tm fò(1:=t2 í *- í ! . _ _ - - - Logo,fQ)= 12. PodenrostaÍnbéÍn essepfobemade ouÍâ resoiver maneira: ítxJ = hm r"r r^or Í- n - xixo x-xí ìs" r-rn " r-" Íì - Írnì ., ., _ Y| l- n !r :Il Íf2 l: m !-r= tm " "= ,-2 2 ,-2 2 x 0 x-0 ^ ^ ( x- 2 )(x+2x+A ) que g(x) = IL lâ vrmos nâoexisle mte da íunçào o - lrÍn =x mr[f+]+4)= (x 2) quando xtendea 0,poisqLrando xtendeâ 0 pelâ rcÈ d _ ta esse limite igual l; quando tende 0 pelaes é â x a ln , l i n 2 n L -4 -q -1 -1 2 qu€Ída, é gua a -t. ele Loso, - l2 f(212. Dererminef[3),sâbendo f[x] = x, + 2x. que Rêsolução: =3 i [xJ=ít3 ]= s z+2.3=15 f(xo+ Âxl = f[3 + = t3 + ÂxÍ + 2[3+ ÂxJ: = I + 6Áx+ (Âx)z ^x]6 + 2Áx: 15+ 8^x+ [^x), + + r[3]= liÍn Íi3 Àx) fi3)
  6. 6. .Gpírulo8 lntmd!çãoàsde vadas Comoo I m te à d reitae o imte à esqueÍda difercn- são siÇ= si2l= 2, 2.2+ 5= 5 les , c onc - ho s q u e ;o p i (Ìe o | T --r.OJ s el a, st + À0=s(2+^0 = t2+ Át),- 2[2+ + 5: ^t] : / + 4Lr+ - / - 2Àr+s lÀr)z2Át+s : ír1 ì - ífn ì (Lt), + nào e,i).p o rif -i-:- e, poÍú-,o. -ão êste Portanto: ít01. sit,+ À0- sttll v.., = im Logo,nãoexste a dedvâdâ lunção da f[x] = x no Àt = (Àoz+2a+d-l tÍn 4- UÍnponto Ínaleral move s€ sobfe qLra lma traletóÍia Át quer segundoequâção a hoúraS(t)= t? 2t + 5,eÍn - Àír^, + rì qLre é dado meÍos[rn]et é dado segundos S ern em = m -"-":1 : m lirn 2= [s]. DeterÍnineveocidâde pontornaterial Ìns a do no ^l+ tante = 2 s. to =A+2:2 Resolução: vr!,r= 2 m/s. Logo, Assim, velocdade instant€ a no Pfecrsamos deterrninar =S . TeÍnos v =2séde2m/s. propostos Exercícios J DetenÌ a defvada íunçãol:lR Rdefrìidapor: ne da Umapatícu se move a sobreumatmjetófiasegundoa = ãJl[x]= 2x+ I noPontox l; equaÉohoÉria dada xo [eÍnqu€S é dadoemÍn€ aba b)f(x)= xz I no pontox- 2. - trcse t é dado seglndoslDeteftnine, cada ern em caso, avelocdade pârtÍc!1a instante dâ no indcado. DeterÍnine sabendo l: R > R é defnida f[2]. que poÍ a)S = 2t,+ l0Ì I noinstantet= s. 3 ltxl-x3-1. blS - t?+ 3tnoinstantêt: 2s. ,r. DeteÍmnef[]), existìÍ, se sâbendo í:lR ) lRé de que = c) S = ts + t, + 2t + I noìnstantet I s. Ínidaporf[x] = x L A aceeÍação é a varlaçâo v a inslanlânea veocidad€ dâ : UÍnponto maÌefasemove sobr€ ú4etóÍia uma segun emrelação têmpo nlm lnstante ao t ou seja, a deÉ é L, doa equação hoÍára S[t] = 2tz I [emqueS é dado + vada veocidadev nsknte da no tb:arq)= vi,,). Saben- emmetros€t dado seoLrndosl. é em Detem avelo Íìe do queum pontomatedal velocidade tem varláveldada cidâdeno ÍìstanteÌ= 3 s. = peiaexpressâov3t? I, deÌeftnine acelemção, + sua eÍn rj, llmapaÍtÍcula rnove InhâÍeta se €m segundoequação â hoÍária = 3t + 2 [S enìmetros t ernsegundosj. S[t] e âJt= ls; Detemnea veocidade partícu no nsÌante = 2 s da a t blÌ=4s@À geométrica derivada[;C A interpretação da Jáestudamos Geometria em a da que,dadaumarêtar, seucoefìciente analítica inclinaçáo reta.Vimos angular 6= Y:-Yem que Pl(xÌ,yr)e Pr(xr, sâodois pontosquaisquerda yr) retaÍ.Châmandodeooânguloque rforma com oeixo x, o coeficiente é a tangentedecqou seja: m m=tga . Considerâmos à paÍìr do eixo x, em diÌEção d a r no sentidoanti-horário. . Não exìst€m quandor é paràlehao €Ìxo y.
  7. 7. 232 . (onrexro MatemátÌo &Aptk.çõ6 Vejamos, agorã, que vem a seta ìncnação funçóes de curvas o de (ouque as repíesentam) um deteíminado em ponto.Intuitivamente, inclina- ação de y = Í(x) em (xo,f(xJ) é à inclinaçãoda rcta tangenreem (xo,f(xo))ousimplesmente .em porexemplo, inclinação funçãof(x): x,, ou da curvaquea repíes€nta, pontoxo Consideremos, ã da no A inclinaçãoda édadapor: secânteAB f(xo I h) -t(Ç _ txo I hrr xá 2xoh h - -2xo_h {xo rh) xo h -r À medidaque B vai se apÍoximando Â, ou seja, de quandoh vaitendendoa 0, a retaABvai se ãproximando signifÌca â inclinação f(x) : x, em vaitendendo a 2x0.cadavezmaisda retatangentetem xo.lsso que de Numalinguagem maisprecisa, escrevemos: ,. f(x"+ h)- f (x . ) : (2xo+ h) :2xo hlimoqueé exâtamentef(), a deíÍvadadafunçãof no pontoxo(comâ diferença dequeaqui(hâmamos oacréscimodeh em lugardeÀx).Portanto, existindof(xo), existÍrá íetatãngentee: a f(xJ:tgdque é o coeficiente angularda Íetât, tangenteao gráfìco y = f{x) no ponto {xo, de f(xo)). Assintâ equação reta datangent€ao gráfìcodey: f(x)no ponto (, f(xJ)édada por: ,,,.-,- Y f(xo) ou: y - Í{): f(xo)(x xJObsêrvação:Para ponto,o gráficoda funçãonão podedar"salto"(não ôdmitirretatângenteem um determinadopodeserdescontínuonele)nemmudârbruscamente dìreção de (formar"bíco,,) nesseponto,Nãoâdmitemtangen,teem osseguintes gïáfìcos funções: de
  8. 8. (apíülo . lntmdudoàs I dêíivadas Retas paralelas eixoy nãotêm coefìciente ao angular,pois m : tg 90onãoestádeÍìnido.Assim, a tangen- se te ao gráíi(o de umafunçãonum ponto é paralela eixo y, ã funçãotambémnão admitederivadanesse ao ponto e dizemos que náo exìstea tangenteao gráficopor esseponto. Sãoexemplosdissoas sêguintesfunções,nos pont05xo indicados: r 5- Deterrììineequâção Íetatângente gráÍcoda â dâ ao Logo, = 2x I é a eqLrâção rctakngente y dâ ao lunção: gúÍco de f[x] = xzno ponloxD= ] â)f(x) - x? ponto = l; no xo b) f[x] = x3no pontoxo= 2 b)f(x) = x3no ponto = 2. xo Resolução: ll2) = 23:8 al ítxl = x? ponto = l no A equação rcia tangente gráfcode f(x) = xz da ao ft2l= hrqof t 2 + h l-í t 2 l noPonto=1édâdaPol y ltrl = fo)tx rl Írr+ hìe-Á ì Como = l?= l, basta ftll calcular f(11: 4 0 , ! t^ r r Í,r. ì "y t,m h _ :o h _ = lim [r2h+6h?+hr] h (r+h )-ftD + f0l : =Ím í t l2 + 6 h + h l hlimo Poftanto: y-l(21 = íi2lix 2)ëy 8-121x 2)<) ( í +2h+h" l) le+r) <JY= l2x 16 = hlì m o[ 2 + h ]= 2 y ftll - ftlltx lJ {-y - I = 2tx- 1l<ì Logo, = 121- 166. y feta ao tangente "Ouaçâoda gÍáÍcodeÍ[x] = xr noPonto = 2. xo L Dada íunção R + R deínidâ f(x) = x? 1, por 9, Dada fLrnçãolRJ lRdeínlda f(x) = 4, 6s-I a f: + a temlne: i: por a)í12)l a)l( 2)l b)a equaçâo retatangente gúncode f[x] n0 da ao bl a equação rctaiangente gÍáÍìco f(x) no poflo da ao de Ponto = 2
  9. 9. 234 l,falemftkaConlexto &Aplìc!Õej 10" Dada tunção r RdeÍnida f[x] : x? 2x+ I, deteÍm a equação rera a f:lR pof - ne da rângenÌe gráfco f(x)no pon ao de Ì ì" Dado gÉncoì o al det€Ímne eqLração fetatangente gÍáÍìco iunção = af no ponto a dâ ao da ftxl bl veÍifÌque no ponto = 0 nãoexiste que xo í[0], ou selâ. pontonãoexiste nesse a portanto exist€ Íetatang€nte. derivada; não affi Funçâo derlvada ConsÌderêmos funçáoÍcom domínioE e l(l C E)o conjuntode todososx pãraos quaisexiste derivada uma af(x).A funçãoque â câdax € lassocia derivadaí(x)é a chamada funçião de Aexpressão Íé dadapor: defivodd. de fO=n,t.!IjjL:l!9. 6. Sabendo f(xl = xz, que obtenha íunção a ou p derivada, sjnì esmentedervacla, a f[x]. Resoluçâo: li" t =nrt ! . , 9 a Ï A = n g , Ilz+ 2Nh h:] + ^:l =hmo[2x+h]=2x f(x) : 2x Logo, Sequiséssemosf[]l,teÍíarnosí[]l=2.1=2E.sequiséssernosf[xi],reríanìosÍ(xJ=2x0. 7. Detefininedefvada função a da cosseno, sela, ou í[x], sabendo í[x] = cosx. Ems€guida, deÌemine que deteÍmine a equação reta da tângentef[x) no ponto = a a x, Resol$ção: f..x): liÍÌì f(x + h) ftxl = lrTn costx + hl cosx [[cos .cos h - sen{ .senh) | cosx] - h = r g msx.[cosh ,I ]l senhl rì I [:a- cosh-l h .. .. l rrn senr. l rrn h+ o senh l---;íi -t- ì+ o h = cosx. 0 sen I : -senx x. Logo, f[x] = senx da ao x,: a: Equação Íet€taìgente gúÍco def[x] no ponto limo ì:ï r = 0 ê uma àplici4o h ../xì Jt ^ 4 2 do limitefundamênhl trigonométrìco 4 ÌIto i9!Ix : I veiao capÍtuto anterioÍ .í,t ì h " 4 "2 E 4, /
  10. 10. CàDítulo lntÍodu(aoà5de,ivadd 8 215 a tangentegÉfco í(xl= cos nopon- Logo.Íeta ao d€ x Resolução: "l Lerbrâ 10, que. veo.rdad"; o"" d ri..d ddda tox^= aé d adapol de Sttl,o! seja: stt+ h) - stÌl y rtxJ= ítxoltx l <- - vftì:Sftì= hrn Como * " - Í f(4/= fírÍ^ rì a ì- str+ h) s(rl= 4. 4J = [2(t h]3 [r+ h] + ll [2É+ t+ ]l: + + = 2[t3 3t?h 3th:+ +t+ h + I 2rl + + h]l .tE( nìl<+ -t I = 6rrh 6th,+ 2h3 h + + "E 2 2 4) 6 f h + 6 rh + 2 h + h { vftl = lirn l, (lr" !ãì <3V= X+l h (6 t + 6 rh + 2 h + t l 2 l. I 2) : llm Porcnro, = s€n e a rcta f[xJ x procurada é = liÍn f6f + 6Ìh+ 2h?+1l = 6t?+ l J , x+l -( -l t E ". r E ì r +- Logo. = 6t? l. v[t] + 2 || I 2) a veocidade instante: 2 s rsto bl PfocuÉrnos no I é procurcmos ouv[2] Podânto: S[2] Veja gÉfco: o vl2)=6 21+1=25 Logo.dêocaãd"orpd . L l d n o , d 1 | ê ; de 25m/s. cl  ace p€la olr eração dada dervadâ velocdBde, é dâ s€jâ, = v[t] ÂssÍÌr a[t] airl = vttl : hm r::ri: .- I6tr+ hÌ + rl [6r + ]l h t2th+ 6h: fítr2r+ 6hl h+0 m-= Ìì r, 8. llmapadícua Ínove s€ sobrc trajetór obedecen uÍna a = mo[]2t+ 6hJ l2t = h do à equaçãohorária = 2t3+ t + I [S dâdo S(t) €fir mçtros t dado seglrndosl. eÍn Determ ne: Logo, : ] 2t. a[i) e a) afunçâoveocldade lunção ternpo; em do dlA aceleÍação instante = 3 s é dad, po v[3] no t ouat3l: bl a velocdade p2ÍícLrlâ instante= 2 s; da no t at3l=12.3=36 aceleração íunção ternpo; c) a Íunção em do Logo, aceeração paftícula insiante : 3 s a da no t dlâ âceleração panícu no instant€= 3 s. da a t é de36 m/s,. propostos Exercícios .. DeteÍm asíunçôes ne deÍivadas dasfunções: 15" Usando ex€rcício o anteÍoÍ, determ ne al (xl = x3 dl rnixl = !ç bl ?txl = -2x? c) g(x) = xr + x1 elhtxl:x?+l íl ntxl= I "[+) , ,)hl+.J "(+) cl stol ì .1, Usando exefcíco o anteof,deterrìrine: que Ì E, Mostrc a dervada função: da a)ÍCl) cl st2l el htol alf:lR ì lRdefnida f[x] : ax + b [emquea e b são por b){(-r) dl mta) Íl n(3) númercs a I 0) é iguala reas, a; r Determ asfunçôes ne derivadasdasfunções: bl constantefllR lRdeÍnida f[x] = k para ì pof qLrâlquef a) f[x) : senx clg[xJ=1+senx x€ R.ólgua a0; blh[x):2.cosx dl {[x] = I - cosx cJidentdadeÍ: Rdefrndâ RJ = pofí[x] xéigua laI
  11. 11. . Mãteíníi(a Conterto &Âo|i.âder [ JDerivadas algumasfunçôeselementares de Vejamos, agora,como asderivâdâs âlgumas sáo de funçõês elementares. Derivada da função aÍim: f(x) : ax * b, a e lR, b € lR Considerando = ax + b, temos: f(x) f(x h) f(x) à{x+h)-b-(ax- b) _aí , hhí- Entáo: Í f(x)- lim a-a Logo,podemos que: escrever sef(x) = âx + b, entãof(x): a Exemplos: lq) Sef(x) = 2x + 3,entãof(x)= 2. 2q) Sef(x) = :-x + 5, entãof(x):- ^. Derivadaa. funçao iUentiOaOe: - x f(x) SenafunçãoafimdadaanteíioímentefizeÍmosâ:1eb:0,teremosafunçãoìdentidade(x)=xepodere sef(x) : x êntãof(x) : l Derivada da função constante: Í(x) : k, k C lR Senafunção a :0e b: kteremosf(x)a = 0.Assim, aÍimf(x):ax+ b fìzermos : sef(x): k entâo : 0 f(x) Exemplos: le) Se : 8,entãof(x):0. f(x) 2q) se(x) : 1ã, entãof(x) o. = Derivada da função potência com expoente natural: f(x) : x, n C lN ConsìdeÍemosafunçãoÍlR+lRdefinidapor(x):xi,n€lN.Aderivadadeíédadapor: ,. f(x I h) f(x) , (x I h)" x - hJ o h)o h h ndo Usa o desenvolvimento binômiode Newlon,temos: do n ur,, ínì" í"ì* -í"ìu. --...*í rìu 0/ r/ 2 / n / " í"ìn- n, nr, " " n ì r , , " . , - . . . , í " Ì " o n -í 2/ " " r, Logo: " .n ]- " ri*l = l9"[ "."*".[l)*o.... .[" i ,) " h =,,, L". /n l l trx -...-l 21 n / ô lh l- nx l J x.h" l I I
  12. 12. f(x) = nxn ì. Assim, Portanto, 1 sef(x)= x",n € lN,entãoÍ(x)= nx"Exernplos: =1q)5ef(x)= t, entãoí(x) óx52r) Sef(x): xz, f então (x): 2x.Derivada da função cosseno: f(x) : 6s. x Noexerc[cio 7 q rcsolvido Ítostramos ue: & f(x)= seÍ(x)= cos entáo senxDerivadada função seno:Í(x) : sen x SeÍ(x) = senx, então: rhì sent- J t "n ( " + t" n = ri .- : llm . - ..os í2x+ hì | = t_f l* l: h-o. ri l) " n- u h2./ h t Íh ì 2/ . -.ot t- ti. ,l ti,n .orÍ *-j l- t .o. h- o n h-0 . 2 ) " t Logo: sef(x) sen êntão = cos - x, f(x) x :Derivada produtode uma constanté umafunção:g(x) cÍ(x) do por temos: comog(x)= c. f(x), c . Í(x hì - c f(x) . ctf(x+ h) í(x)l --s,G)=.L1,,eg+4:IT" h iT" h =.. I[ÌIL-J.Í4 =.. 11*y n1;, se9(x)= c f(x),entãog(x) - c Í(x) Exemplos: 1e)Se - 2 senx,entãof(x):2 í(x) cosx. 2e)sef(x): 3. cos então x, : (-3x-senx): 3 senx, f(x) Derivadada Íunção logarítmica Funçã DêÌiv.dâ í(r): ax + b(a,b € R ) f(x) = a natural (base e): f(x) = 1n x íx)=x r(x): l Êpossívêl quê: demonstrar (x):k(keR) f(x) = 0 f({ = x" ln e lN) l = sef(x)= ?nx,êntãof(x) ; obtidas aqui: âté 9!t =lt!x) q-EI= !li4- oquadro-resumo deíivadas Veja das (x )= { n x = í(") +
  13. 13. 238 Màremi . ConteÍtoApkaçóej G I 9, ÉnconÍ€ equação reta a da tangente c!Na: à r l x ì = I = í r z ì = l . al y = xt noponto = l; xo , 2 bly = ín x no ponto = 2 xo Âssm, PonÌo = 2,temos: no xo Resoluçâo: -íí2-1.2)r ?)- t ? 2L al y = x5noponto = l x! Itxl =x5=ftxJ = r(r) = 15= I +v=lx+fínz 2 lì ftxl = 5x4=ftrl =5 la=5 Noponto ll, t€rnos: ogo. a eq d!ào da e.d l"rgpnle: L,1d v fn ( [], I lì ^ ì-j i. ì- noPontoxo=2éY= x+(?n2 1l +y:5x 4 Lagoa equâção retâ da tângente curva = x5no à y lO.Qualé a derivada função : x3nopontox0 2? da í[x] = ponio ll é y = 5x 4 [], bly=lnxnopontoxo=2 Resolução: í[x] = {n x Í(x)= 3-Í(2) = 3.2, = 12ijP_te[figqgqgoperatórias gqlyqse: ae! Vejãmos, ãgora, píopriedades ãlgumas que operatórias derivadas, admìtiremos das veÍdãdeiíâs de- semDerívãda uma soma (ÕudiÍerençâ)de Íunções de Aderivada soma(oudiferença)de da duãsfunçóes iguâlàsomô{ou diferença)dàs é derivadas dessas funções. seíe g sãofunçõesOu seja, deriváveis pontox, no entãoÍ+ 9 (ouf g)também derivávelnesse é pontoe: =f(x)+s(x) (f+ s)(x) :f{x)- 9(x) (f- s)(x) 11. DeteÍnine sabendo f[x), que Logo: .lrLl 7--r d)tl l ? Iixl = 3,stx) = 3.5x= r5x blÍ[x]=lnx cosx elf[x):ax:+ bx+ c Ou, ainda: cl í[x] = 3xó t3x5) 3tx5l 3.5x4= r5xr = = Resoluçâo: Logo, f(xl - I 5xr aJf[x]=x?+x+l dl í[x) = 3x? 2x + ] + Í[x]= [x,+x + ]l = [x,]+xr + l = ítxl = t3x? 2x + ll = t3xl + tzx) + l = + :2x+l+0 :2x+l =3(x1 + 2x + 1 3. 2x+ 2. I + 0 = 6x+ 2 - Logo, : 2x+ l f[x] Logo. f(x) = 6x + 2 blf[x]:{n x-cosx e)í[x]=axz+bx+c l[x] = [{n x - cos : [fn x] - [cos = x] x] ftxl = tâx? bx + cl = tax,l + tbx) + c = + = am + bx+ c = â.2x + b.l +0=2ax+b = Ponanto,l[x] 2ax+ b. Porbnto, = ftl + s€nÀ ObseÍvaÉo O I opj, pnlF a o . oa ,pld ldnqe- "r cl f(xl = 3x5 qladrática = ax? bx + c nopofto Ìe à turnção f[x] + Nestecaso,= 3 e g(x)= x5. k = Então,f[x) 3. g[x] xoé dâdo porí[xJ = 2axo b +
  14. 14. Drtrl=Ì r n" +z.co s, Logo,r()J=- 2.sen ru*r=[].2"-rz.*.,)= I 2. Determine o co€ÍÌc angulaf reta €nte da tang€ntecLr à f- vay = x3+ x, + x + I nopontoxo l = =[* Resolução: *-;*,-",, 0 coef ente c angular dado í,(x0). m: é pof Ass ftx) = tx3 + x + ll,= tx),+ ix1,+ (x),+ 01,= +x, &,, 2,,o.r =3x,+2x+t+0=3x,+2x+l - * J : " Logo = L ÍtxJ =Ífl) =3. l,+ 2. I + I =3 +Z+ I = 6 t 2 . . "n " 3x Poriânto,co€ÍcÌ€nte af procuradoiguala o angu é 6Derivada uÍn produtode Íunçôes de A deíivãda produto duasfunções do de é;9ualàderivada pdmeira dã funçãovezes segunda a primeira a maisfunçãovezes derívada segunda. seja, Í e g são a da Ou se funções derìváveis pontox, no então também derivá fg é (fS)(x):f(x)s{x) f(,s(x) +Exèmplo: : Sef(x) 2x + 1 e g(x)= xs,temos: =. (fs)(x) 2x4 x3+ (fs)(x) 8x3 3x: O + = +. f(x):2 e s(x) :3x2. f(x)S(x) 2xre (x)S(x) (2x+ 1)3x2 6x3 3x, = : = +. f(x)g(x) f(x)g(x) 2x3 6x3 3x2: 8x3 3x, O + : + + + Q que : Comparando e @,ver;ficamos (fg)(x) f(x)g(x) flx)g(x). + bl ítxl = tx, + 3x+ tlifn x) [] tJ 3, I rr | í 3, tj í.ì.1 = [ 2 r+ 3 ] f n r + [ x ,+ 3 (+ lì -: = =2x.{nx+3.{nx+x+3+- L o q ot x l = 2 { í n 1 + 3 . (n x + ì + 3 + - Íüerivaclade um quocientede funções A deíivâda quociente duasfunções igualàderivada numeÍadorvezes denomtnaoor do de é do o menoso nu_meradorvezes derivada denomìnador, tudo jssosobreo dênominâdor a do e elevado quadrado. seja, fe 9 ao Ou se deriváveis ponto x, com g(r 10, entãoI tambémé derìvávelnessesãofunçóes no ponto e í r Y,.., flx)s(x) íx)91x) - ltl"- G("t--
  15. 15. 240 . Matemíka cont*to Âplkaçõe! &Exemploi Sef(x)= 3xz x - 10 e g{x)= x - 2,parax + 2,teúos: - _1 10 (x-2)(3x+5). í1ìt.r= : : "+ s*{ !) 1 ,,1: 3 O s./ ; , x-2 s,/. f ( x) :6 x l eg (x)=1. f(x)g(x) (6x- lxx - 2): 6x:- 13x+ 2 ef(x)g(x) (3xz x - l0)l : 3xz x : : - l0 :. ts(x)1: (x - 2)z: x2 4x + 4 Logo: tf ( x ) g( x) f( x) g(x) (6xz-13x+2) (3x: x - _ 1 0 ) _ 3 x 2 -1 2 x + 1 2 3(x 4x + 4) : 3 @ Is(x)]: x -4 x + 4 compãrando(iD, (De veriticamos aue = f(x)s(x)-f(x)s(x) llJrxt ls(x)l f[x], que: 14. Determine sâbendo l-{nx í,txl = Logo, a)ftxl - sen x - cl ÌL* J= tgr= - b)(x) = IIa c) f[x] = tg x ,,r.. [senx]cosx senr [cosx] d) f[x) = cotgx .,. ."" Rosolução: cosx.cos x - senx. I senx) ã)(x): - = l. =secrx xtx+ll f G ) = t - --::t= txzÌix+ì [x + ]1? Portanto, f[x] = tg x,então - seCx se ftx) 2 xCx+t)-x?[]+01 [x + ])z tx + rl: cosx o lÌ L x j= c o rg x = - xz+2x x(x+ 2) [x + ]l tx + llz [cosx]sen x cosx . [ser x) = *t^+1) rooo.rr^t(x+D. I senx)sen - cosx . cosx x -sen,x- costx senx +cosx .,.- t{n x)x {n x . (x) ",_ * = __: = -cossec, x l.x- {nx.t l-{nx Logo,sef[x] = cotgx, entãof[x] = cossec? x.
  16. 16. . Qpítulo6 lnÌroduçáoàsdeíivadãr 241 Derivadada Íunção composta 5eÍéderjvávelnopontoxegdêrivávelemf(x),entâoaíunçãocompostagoféderivávelnopontoxe: : h(x) (s of){x): s,((x))f(x) Exêmplo: Dadasasfunçõesf(x)=xz1eg(,:y,,vamoscalcular(gof)(r,depoìsg(f(x))í,(x)econíìrmârquesã . (go fxx): g(flx) = g(x,- 1) (x2 l)2: x4- 2x, + I + (goD,(x):4x3 4x - f(x)- 2x 9íy):2y g((x)): s(x?- 1)= 2(x? l) : 2x? 2 = . s(íx))í{x) (2xz 2)2x:4x1 - 4x Portanto,temos ô 0(x)= S(flx))í(x). (9 15. Detem h(x),sabendo ne que: bl htx) : sef iín x) a) h[x] : sen(2x+ rl b) h[x] = sen[dnx] Nestecaso,y=l[xJ -{nx e g(y]=seny. Resolução: al h(x)= sen(2x+ lJ ííxì= l Nestecaso,y f[xl = 2x + I e g(yl = seny =l e h(x) = (g o D txl.Âsslm: Í(x)= l2x+ 1)=2 S[Y) cos = çes *1 = Y 64n g(Y)= cosy = cos[2x+ 1] = Portânto: = tfnx). L= L.cost{nxl htxl stylítxl cos htx) : so/lf ixl = cos(2x+ 1) .2 = -2.cos[2x+]lII Derivada da função inversa queadmite Seíé umaíunção pontot comf(x)10, então: inversa derivávelno eé = (f )(f(x)) -f rIxÌ Ousejâ, representada = y(x), suãinvêrsa dada sêâfunçáoé pory ã será porx = x(y). E,assimi I sex: x(y), = entãox(y) tGt
  17. 17. MaremÍkà (onreÍto ldi.àçd6 . &Exemplo: Afunçãof(x):3x - 6é btetiva. existeí !, inversa Podemos Logo, deÍ, dêteíminâr fazendo: f-(x) x=3y-6+3y : x + 6 + y : + x +2 3 1 entáo,f-r(x) : Temos, + 2. ãx vamoscalculãr compãrarf(x)e r)(x): Agora, ê (f. Í(x)= 3x 6+ f(x):3.(f j)(x)= x +2r(Ír)(x)=: 33 l . Então, ì) íx) - (f f,(x) 16. Sef(x) 2x+1,det€Ímner)(yl. = (f 17. Sey= v2,6"1"-1n"derivada suanversa, da " Rêsolüçâo: Rêsolução: y = í.a) 2x+ I =y(xl = f(x)= (2x+ ll = 2 = y = x, .ì y,(x)= 2x -- I I I 6- 1 r u1 l = l = y_,+_Vy - - - Í(xl 2 -rt y t _ vt_t 2 r- Z , l; Deout|a Tnane temos: m, y = 2x+ I +y(x) = 2 A inversa função= 2x+ I é dada da y pof vl 2 ll -- vil 2 q!e, a função= l]-1 em observe sedeÍivarmos x 2 íelacão v. obteÍemosrfvì ]. a = -2&hifl Derivadas outrasfunções deFunção logarítmica: Í(x) : |sg. 1 ,t Recordamos sef(x) : {n x (bâse êntãof(x)= 1. Âgoraprocuramosf{x)quandoÍx) lo9"x. que, e), - Fazendo mudança base,tem05l a de . loq- x loo x- -" J log_ - log,ê . log"x x " loô ê Então: f(x): log"e. log"x Usando derivada produto, a do temos: Í(x) = (log" e)1 Ouseja:
  18. 18. qtilqq8 . Ìnrrcdução às deÍivadó 243 f(x) : 6r Funçãoexponencial: que: Sabemos f(x) = ar <r x = lo9ãf(x) VamosderivaÍambos membros iglaldadêx - loga os da que Í(x),observando o segundomembroé umafun- çãocomposta: r:-f.tog"e.f tx) ou seja: f{") f(*): , lo9" e comof(x)= ae - loq-a,temos: -L e log. f(x) = ar logêa : at ln a seflrdl-= ëntãof(x)= a&,logê = axln a . al, a Se o : Obs€rvação: considerarmoscôsoparticularf(x) €È,teremos: Í(x)=er.lne:ex.1=ex Ou sejal f(x) : e seÍ(x) = êx,então í{x) = er 18, DeterÍn h[x],sabendo ne que: 2x âl htxl = os"tx, + rl b) htxl = e L0g0,nuJ=- ogae. Resolução: bl h[x)= e" al htxl = oga + ll tx, Ìmta-se uma de função composta. Assm: T dtaseranoe oe - nâdnFo corposta. n Assr: f[x]=xz+1 v=Ítxl=xz sty)= os"Y sol = eY ftxl= 2x í(x) = 2Y ll styl = eY g01 = -:. og"e=::--:, og.e Entào, yÌLrJ vern: Então,vem: hixl = gtylítxl= e!. 2x= e; . 2x= 2xe" tì - ...loq e. Íri - _-.log. e.2À Logo, = 2xer h[x] ÌtYl - r+l 2x x:+l -r"- Funçãopotênciacom expoentereal Já estudamos funçãopotência a com expoentenaturale vimosque,sef(x) : x^,n ë lN,entáof(x) : nx" Vamosgeneralizaesseresultado r paral h(x):x"(x>0ecr€lR) quel Sabemos er""= x (lembremos aq b =b) que
  19. 19. 244 . MàretubGConÌeÍto&AdG(@s Então: h(x):X"=(eh9":e" s Considèrandoy f(x) : e.{n xe9(y) = ev,vem Ìêmos aí umafunçãocomposta. = lgtY; =s f (x )-o Portanto: 1l h(x) -gív)f(x)-e" o -dxI ";-x" ;-oxx "t-o" h(x)= ox" r,0elR. Logo, A5sìm: Í sef(x)= r, d e lR,x > 0,entâof(x): o,c (a € LR, > 0) x19. Determinederivada função: a da t^ a) = Jx (x>O f(x) cf(xf=+ Então: bl ítx) : {f d)hGl = ./6- llt) = 2x, 1=-2x1=-:- RêsoÌrção: 2 LogoÌlxl= I a)í(x)= ./x = x -! Obseve ,âo exlsÍe derlvada ponto = 0. que a no x Entâo: dl htxl = r6os x = -:x ? ll TÍata-se uma de Ílnçãocornposta. AssiÍn: f/rxl = -:x2 22 Y=f[x)=cosx ! =.t sor f(xl = Logo, 2lx Então: f[x) = -sen x Obseve ro porÌo - 0 nio er,r,ed qre dFr[3a". I bljtxl=iÇ=xr Então: Portanto: l hixl= s(y)ítxl = sen = xl f ix_ . , (r ut-t - l= 3 3 I 3x3 3içt I = ,-..",, = l 2160sx Logo. Ì Lx J = -. senx Observeque no ponto x = 0 nã,aexÌsteaderyada. z!COS X Vamosveragora doisq uadros-resu asderivadas suâspropriedades: em mo e (x)=k(kelR) (a,bcelR,a*0) f(x)=2ax+b =ax+b(a,belB) = f(x) -senx

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