Cap.2 geometria analítica-a circunferência

4.515 visualizações

Publicada em

MATERIAL DE CÁLCULO

Publicada em: Educação
0 comentários
0 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

  • Seja a primeira pessoa a gostar disto

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
4.515
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
548
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
84
Comentários
0
Gostaram
0
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Cap.2 geometria analítica-a circunferência

  1. 1. J Irl ,/J / t a!,1t | ?leJirt il f ,),:, imagem umpontôcircutldddo de pot referímosa essaforma í! ítbertúra do capí- ,. , ,,irlfrnitos autras,todosà mesmadís- tulo 11 tlo volume2, qwúdo introduaimos o, .tâncí.t dele,é o que chamamos de estudodos corposredondos,ressaltandoseuscircunferência- estáprese te em nossa Ela a.spectospftiticos. Podeúdmos ílustrá- ld aquívitiaemquase tutloe a todomomentoJá nos com uma infinítlatle de etemplos, mas tlen- tre eles escolhemosum que acima d.e tudo nlostra seu caráter estétíco, tãq amplamenteer,plorcdo na Arquttetura. O contorno rítra.l do pa- fece caffespolla,efaum4 cLt- cunferência, seupree chí- e mento, completanda círcu- o Ia, de ama belezaindiscutí- vet, ]4osmôsúd sud ptapfle- dadeíu dame tal, que é a pontos eqüíd.istanÇíd seus de
  2. 2. No .otidiatlo tls pfopríed,ades círcunfe- da cutlíerêcíaé u,istacomoumafigura geométricarência são aplícad,as sem que ecessaría.mente e comotal podeserrepresentada algebrícamen_se tenha co/tscíênci.td,elas.Por etetuplo, na te. Assím comofzemos no capítulo anteriotconstraçãode am poço, uma estacltéfrncada com o panto e a reta, determinítremos agorano terreno e um barbctnteé amarrado em sua essa,represekla para a circunlcrëncia,ps- Çãobase, coktend.o outra ertremidadeum estile, na tend,endo nossoestudoàs suasposições rel,c.ti-te; ao girálo, uma círcunferência desenhada é Í vasaospoktos e às retasdopl.ttlo cartebÌ.ano,eno solo,delineando íutura boca do poço. a destacando ítuportafite aplícaçAo a destemeto-Assím,a largura do poço correspondcni do- ao do na resolução problemas resolvídos de já geo-blo do comprime to d.obarbante- o díâmetro metricamente Desenho em geométrico,da circuflíerêncíq.. Colocadttkam sistemade eiros perpendi-culares Jormamo plano cartesiano, cir- que a L Clrcunferências ortogonais cLrrvâs secorram são que a) ascoordenad;s centrode do todaseÌds; segundo ãnguos retos. teorernâ ptágoras, P€o de bl a mêddado râo derodas ds; e diras rcunÍerênclasraÌos e 12, c de rr culoscenrros dis c) â qLralclrcunferéncta peÍlence ortgern slstema a do târnd um do ouÍo, são o.togonais ri + rj = d, se oÊcoor0enada5l d) as .oordenadas ponto de nìaor absctssa do da maiorc rcunlÊrênca; e) a d stânca cenrro oíigem do à 3. Naaberturâ câpítu dovol!me deÍacoteção do o12 I o. r" ,d.de ocd.dop..a a ", constrLrção bandeÌa da braseia:parca calcuja das dimenóe,tama bdse taryuradesejada,dividin- tepat d ao ettaen 11 portet ì7uai. Cada uno daspanes,eú consderada uma medìda nóduja. O camptinenta au Deacordo coan textopodernos o conclu queexsÌe r ,ì da bdndeirc de2AmódulôL será L^ áro o "tá o. o". . o. dec l "oo"Làddp" O dado o p-16 o" o-1e o- oèo" oo.è.o,é rcrencâsortogonah.Transfrao desenho mapafa ac o pode enconÍar 5ire tNlv1ETRO] no do seucacerno conìpÍove essas e que cÌcunferêncâs sa- t íazeÍnà defniç;ode oÍtogonais, ww1,{/.ìnmetro.govbf deternìnando, por Cornbas€ con ííuçao, triáng! rerângLroâ o nessã nforrnaçáoobservandogrãftco e o o easassoclâdo. aDa determin€: xo, al ascoordenadasdos vértces.do quâtro osangoque 2. CircLrnfeÍêncÌas concêntrcâs aqueasque pos- são âparec€ naíguÍa bandetra; da sLrem mesrno o centro laios e diÍerentes: b" oo o--ìdo.oo - ooo. ooLõ . értaè la xâ"OrdemProqresso,; e c) unìaen matvade medÌda rao desse do cÍcu o, consrderandometria bândeÌa, as da d)as cooÍdenadarpontoAndicado do nográíco,cle êcoroocom rnedidâ ralo mêdâ a do êsr Considerando asnìedidas ralos que dos dessas circ!nre Íenciasvão 1! â 10u (damaior â menor) d€ para unifor- mementeidentÌflcando-as cor, e poÍsua det€rrnne:
  3. 3. 52 Matemátka Onteft &Ápl alões Introduçâo analítica,Algebra ã GêomeÍìâ intêgram. EmGeometria a e se problemas ceomeÍiasáoresolvidos Assim, dêporprocessos algebíicos, e relaçóes geometricamente. algebrica5 interpretadas sáo Podemos lembràrdocàpÍtulo porexemplo, anterÌor, que:. a equação + 2y - 5 : 0 representa reta; 3x uma. um pontodo planopode representado par(4, 3); ser pelo. o ponto(4,3)pertence representada : à reta pory 2x+ 11). a retaqueconaoseixos (5,0)e (0,3)tem em equaçao + {: ] t. Nestecapítulo, íìgura a estudadà a circunferência,mesmã será Oa maneira comofizemos a reta, com vamosassociar circunferência equação panirdaL cadâ a uma e,a estudaras propriedades suas geométricas. DeÍinição pelâ plana, Sabemos, Geometria quecircunfeftncii o conjuntodetodosos pontosde um planoeqüidistantes éde um pontofixo. O ponto fixo châma-se da (na aenÍro chcuníerência fìgura,o ponto O),e a distância constante denomìnada é (nâfigurã,OA= OB= OC = r). circìrnfelênciâJgglaEl Equação circunÍerência da Con siderandodeterm inadâsituâção quea dìstância em entreos pon- y) e A(5,3)é iguâla 2, qual seráa relaçáotos P(x, que sepode estabeìecerentrex ei? Pelafórmulada distân(ia, temos: d(P, : A) : Comod(P,A) 2,vem: íx-5)+{y - 3), -2-lx 5 ), ly 3 J , -4 -a / -/ -] O x -6 y + 3 0 = O relação belecida(x - 5)?+ Logo,a esta é (y 3)]= 4 ou xz+yz- 10x- 6y + 30= 0. Oconjunto pontos y)queêstão dos P(& situadosumadhtância do ponto â 2 A(5,3)é circunferênciacentÍo a deA(5,3) raio2.Assim, relação 5)?+(y 3)?: 4é sâtisfeitâ e a (x portodos pontos y) dacircunferência os P(x, dêcentroA(5,3)e 2.Dizemos ràio (x 5)1+(y 3)::4 éa equação entãoque circunferência. dessô
  4. 4. Gpílülo2 GmÍiêtda malílkàra drudèrÉn(ia Agom,genericãmente, considerando b)o centro, râioe P(x, um ponto da circu O(a, Ìo y) nferênciâ, temos: d (P .o )=J{x-a )+(y - bf : r3 (x a ), + (y b )r: a Dâípodemos que escrever umacircunferênciâ centroO(a,b)e raioÌtem equação: de ObsêÍvaçãor casopafticulâr o centroda circunferência No de estarnâ origem,ou sêja,a : b = O,a equaçãoda circuníerência x2+ y2: l é aíÌuaçâonormal da circunferência. Ao desenvolver equação circuníerênciâ - â)z (y a dâ (x + b)2=.r2 obtemoso que se chamâde equação normdlou geld/da circuníerênciâl xt - 2ax ar+ y?- 2by+bz-É_-0 + :*+ i- 2àx + + 2by .Émuitocomumna prátcâquea5circunferênciassejam poÍ representâdas suâequação geral,como,porexem- plo,a circunferênciã + y, 2x + 4y 4 : 0. À primekavìsta, x2 êssaequaçãonão nos permiteidentiíicarnem o centronem o raiodã circunferência questão, em portanto, Precisâmos, aprender obter o raioe o centrode uma a cìrcunferênciapartirde suaequação a geral,Têmos métodos dois que podemserutilizados: l!) Método de completaÌ os qu.drâdos Nesse método,oobjetìvoé obterosquadrados peíeitos (x a),e (y b), a partiídasinformaçôes apresenta- dâsna equação geral. Vejamôs comoelefuncionacom a equação normalx: + y2 - 2x+ 4y 4 = Ol . a9rupam-se equação na normal termos x e os termos y, isolando outÍo membro termoìnde- os em em no o pendente, interêssante É deixarum espãçodepois dostermosem x e dos termosem yÍ e ootsespâços no x2-2x+-+y1+4y+ :4+-+ :-- . somam-5e ambosos termosdã êquâçãô a vâlore5convenientes, modo que os termosem x e 05termosem y de sêtrânsfoimem,cadaqúal,em um quâdrâdoperfeito, prática, Na usâmos espaços os vâgospardescreveresses números, númeroque complêtao quadradoperfeitoem x é o quadradoda metâdèdo coéfìciente x, seo O de coeíiciente x, for 1.Assim, de comoo coeficiente dexé -2, metade -2 é -t êoquadradode é t, soma- de -j mosI emàmbo5or membros: x1 2x+ 1 + Y1 4Y+ - + 1 +- -=4+ Damesmã forma,o númeroquecompletâ quâdÍadopeíeito em yé o quadrado metade coêficientê y,. o da do de seocoeficientedey2íorl.Assim,comoocoeficiêntedeyé4,metadede4é2eoquadradode2é4,somâmos4 em amDos membros: 05 x 2x 1 y, t4y 4 4-1 4 A5sim,temos seguintês os quadrados peíeitos: xz- 2x + 1+ Yz+ 4Y + 4 = 4 + 1+ 4 r"-rr r (Y_2) =-ì- Portanto,aequaçãox2+y2-2x+4y-4:Orcpresentaumacircunferênciadecentro(1,-2)eràìo-ì
  5. 5. 54 , Lontexto tualemãti.a &Apli(açõesOb5eruâçâo:Se coefìcientes x2e y2 nãoforem 1,bastadividirtodâa equação os de normalpor um númeroconve-niente deforma torná-los a 1,2a) Método da compaÌação Nêssemétodo,devemos compararos coefÌcientes termosdasd uasequâçõe5, equação dos a dadâêâ teóricai x1+Y2 2ax 2bY+làz+b1 t2):x2+yz-2x+4y 4 Destaforma:-2a- 2= a:1-2b:4+b: -2â1+b2-í2=-4111+(-2)2-t2=:4.+1+4 t2= 4 =,t12 g ,) I : 3 (não : existe negativo) raio Então, centroda circunferência(1, -2)e o raioé 3. o é O métodode completar quâdrados o melhordosdois,pois não envolvememorizâção formateóricada é daequação normale oterece possibilidâde a detrabalhar mesma da formacom outrasequâções(nãosó a da circunfê-rênciâ). Íúasíica seucrìtérìo escolha métodopaíaresolver exercícios. a a do osCondiçõesde existência Consideremosequâção a genérica + 8y, + Cxy+ Dx + Ey + F: O.parâquêela represente Ax, umâcircunfe-rência necessárioque é sejam atendìdas condições: três. 1acondiçãot Ai= B +0, ou seja, coeficiente o dex2rem de serìguâlaocoeficiênte deyì. 2acondição: = o,ou seja,não C podeexistiroprodutory.. 3acondjçãot + Ez 4AF > 0, ou sejâ,gâÍantimosque o raìoé raizde um númeropositivoe portantoum Dz numero reat. l, Detemin€ equação umacÍcuníefência cen a de com Resoluçâo: tÍo no pontoO(-3, r) e rao 3. RêsoluÉo: Péoproblema,ternosa b = I e r = 3 llsando equação, a (x al?+ = -3, vem: =É=tx+31,+ 6/- ll,=3,+ ty- bl? =x,+y,+6x-2y+t=0 I I Logo, equâção [x + 3], + (y - r), : I o! a é xz+yz+6x 2y+l=0. fgtrÉ,| = d[P,A) Então: Pela tx + tz + ty - ll, = I é a equação dacircunf€rênciabnìâ ÌEduzida na d(P, = {(2 Al tl, + t3 + 2), : " / / r+ 1 5 = exr+f+6x-2y+1=Oéã =,8a..>r=Jn equa4ó brmageral. nâ Pea equaçãó al, + (y - b), = I,temos: (x (x - 1),+ (J + 2),= ?,rÃ)= 2. Deterrnine a €quaçâo crcunferênca centTo da coTn rìo = (x rl, + [ y + 2 ] , = 2 6 + -21 e quepassa ponÌo ypontoA(1, p€lo P[2,3]. . 9 x ,+ , 1 - 2 x + 4 y 2 1= A Logo,a (x- = equaçãoé rl?+ ú + 21, 26ou x , + y , -2 x + 4 y- 2 1= 0
  6. 6. . -Gp tu lo2 . eom qr , ,r.r! -Í.+ n (à a1à a í.u G€feÉ zando:Em uma crcuffefêr]cia ceJìÍode Logo,aequaçãox?+ 2x 2y+6=0nãorepre +y, C[ê,b) e fao r seuspontos satslazemequação a serlaumâ cunfefência. cif l-x- a)2+ ty bl = r RecpÍocarnente, eqla uma Devernosserìrpreernbmf quel çãode vafáveis e y €scrtanessa x foÍna rcprcsenla urìracrclnferêJìcÌa centro de C[â,b] e mo Í > 0 um8equêçâo tarávèis € y representa nas x 3.Veffq!€sea €qLração y, 4x 8y + t9 = 0 x, + lma crcunÌeÍência e soment€ podeser se, se, representa cÍcunleéncia. !fna escdÌa foma: nâ Resoluçãol ix-al?+0 bl:=fz usando pfocesso o conhecidoconìo completârnento coma€ tR, € lR, € lRe r> 0. b Í p dèqradrodo( e Ìb ooqueL _ 2a. è, = [x a]:,terììosl " Auriarcsaluçãa: x?+y? 4x 8y+19=0= Ern +y, + 2x 2y + 6= 0remosA= B = j, x, =z 4^+ +!,-av+ c=0.D=2,E= 2eF=6 = -ìq + _A 3qcondiÇâo é arendida não pos . ) 86 (2)+ | 2) 4.1.6= -l I 6.Logo, equação a não = tx - 2)?+ = (y- 41, t= (J- 2),+ g q, =1, feprcsenta c rclrníeÉncra. urnâ Logo, equação a lnìca repfes€nia crcunfererÌca 5. Obt€nha €io € o cenrfo cifcunteÉncia Urna o da dec€ntrc C[2,4) Íao ]. e x1+f +6x 4y 12=A AutraresaluçãD: Ernx:+y, - 4x gy+ t9 = 0r€mosA B = t, Resoluçâo: = c=0,D= 4,E= 8eF=lg llétada de camptetar quatlrados Âssirìì, atendernostréscondições existênca às r2+6+ +v: 4v+ de =12+_+_ l?lA=Bl0 posA=B=l 3elD,+E_4AF>0 x +6x+9+y. 4y + 4 =12+I + 4 pois( 41,+( 81,-4.1. t9=4 [x+3) + [y-2]? = q, Logo, eqLração a incalrepresenta circunfeénciâ. urna Pofiafto aequaçãox, y, + 6x- 4y t2 = 0 feprc + 4.Aeqlaçãox: +yl + 2x - 2y + 6 = 0 fepfes€nÌê urna sÊro.tu Í r-Íeíê1.â Lp,ìtÍo , 2l e,oo 5 de l crcLrnÍefénca? caso Ern afÍmaÌivo, ascoordenadas dê lrlétada canpançãa da x + y2- 2ax 2by+ (ar+ br - t1 = Resoluçâo: = x?+ y, + 6x - 4y - 12 = 0 * +f + x 4 + 6 =D+x, +n+f _ 2y= _6= ue lcrcunierêncá (a, centfo bl e |aoÍl =x:.+2x+1+f-2y+ l= 6+t+ = -2a=6:râ=_3 =tx+ll,+ty rl,= 4 Corno + ]1, é sempre [x posÌÌvo nulo, ou b€mcomo a:+bz É= -j2=l-B),+2, t,= 12= ty 11,a sorna + ]), + [y - ]1, nunca negati_ [x é =9 + 4 - d = -12+É = 2b=f : b [nãoexiste vatenÌão, há pontoqLr€ não satisfaçaretêção a raionegarÌvo) tx+11:+0/-tl,=-4 qÍì|ào c€nÍo o dlcrÍcunfeÍênca3.2]eoraioeB e[Exerddos propostos Dqas coofdenadês ceJìtfo o m o das cifcunfeén- do e Obtenha Íaioe o centrc crcunfêÍêncas o das â segur crasrcprcsentadas as €quaèões: pe [PaÉrcsolvef exercíco, o método comptelaf est€ use c]e altx-51.+ 0 4),= l qLraaraoos 0acompaÍaçãol €o b)(x-2)z+y=a a)zx,+ 2y, Bx+12y 6=A cl tx + 3), + ty ty = t6 blx,+y,-6x-2y-6=0 dl x,+ y, = l0 D€t€m !ma equação cÌcuníeÉnciâ ne da quetem ,1ssegu eqlaçSes ntes represenÌaÍn circunfeÉncas; deteF âl centrc C(2,5l e mo 3 €nì mneascoodenadas centÍo Êioemc€dâcaso. do eo b)cenÍoemM[ 1,-4)eÂioD alx,+y, 4x By+16=0 cl centfo Q(0, 2) e raio em 4 blx: + y, + t2x - 4y 9 = 0 d) c€ntrc D(4 0l e raiob €rìr c)x?+y,+8x+|=0
  7. 7. . MatemáticConÌexlo &Ápliciõer 5.VeriÍquequasdasequaçôes âbaxorcprcsenÌâm cÊ dessa cÌeuníeénci€ 1ã, deteffninesuaequugao. é a cunfeÍênca: 8.0s po_ro, Aíu. -2) e Bl?.0JsàoaseÌ.enioaoesco âlx,+y, 8x+6y+1=0 diàrneiro umacìfclníefênca centroC(a, b) e de de bìx?+y,+xy+4x+6y-3=0 É o r. Delemine €quação urnã dessa crcLtníeÍênca. c)2x1+y,+4x 2y+1=0 + dl3x? 3y? l2x lsy-6=0 9.llmâ circuníeÍênca centro ponb q[2, 0) passa de no el4x? 4y?.=0 pelooo-rode e co t o oasteto:r e s de eq râções 6. VerfqLre ospontos entre 4t0,3),Bt7,2l C( t,3l e x y- 2:0ex+y- 6=0 rcspectvarnente. Quaé qLraspeftencernà cÍclrníefência eqlação de a equação dessâ fcunfefència? c ix - 3)2.,+ +,11,= 25. ty que lo.quais são os vâlores k pod€assumfparaque a 7.0 cènÍode umacrcuníefênca ponto éo nrédodo equação + y, 2x + IOy+ 13k= 0 fepresenfe x, urna i segmênto seJìdo -5] e B[-2, -3). Seo Íao AB, A[2, cifcunferênca? Posiçõesrelativasde um ponto e uma circunÍerência Quândotemos ponto P(xr,yr)eumâcircunferência de centroC(a, raioÍ, âs possíveis um )., b)e posiçôes relatì-vasde Pe ì são:1è) O ponto penenceà circunferência: Nêssecaso, coordenadas ponto devemsatisÍâzer equação ciícunfêÍênciã, a ãs do ã da e distânciã entreP e Cé igualar.2q) O ponto é internoà circunferência: Nessecajo, distância ponto ao centroé menorqueo raio. a do3!) O pònto éexternoà circunÍerência: caso, distânciã pontoaocentro maiorqueo Nesse a do é râio, que da (reduzida geral)é obtida ô panir da condição Considerando a equâção c;rcunferência ou d(p,C) = r,podemos escrever:. d(P, : r<ì (xj - â)z+(yr bÌ = Ê <r (xr- aF + (yr-b)2-rr=0<+p€À c). d(P,C)<r<ì( - â)z+ (y, b),< Pê(xr - aF + (y,- b)z Ê< 0<+PéinternoaÀ -. d(P, c)> r<ì (x,- aF + (yr bF > r, ê (xr- aF + (y,- b)z rz> 0 <+ P é externoa À 6. Dêa posção ponto Íeativa cÍcuníerénciâ do P à À: al P[3 2) eì:x,+y,- 6x+5= 0 + : cl P[4,3) e tr:xz yz 36 _ blP[5, 1] e À:x,+ y, - 6x- 2y + 8 = 0 dl Pi 2, -31 e ì:(x + rl? + [y + 4], = h/5 )?
  8. 8. Gèomètda íliGiacrcuúedn(ã ana Resolução: al P[3,2] e Iixz + y? 6x + 5 = 0 qlre DaGeoÍnetrphna,l€mbrérnos o centro clrcunie ; dâ Substìt!indo: réncra a !Ín oLlsela, circünscrita Íânguoé o circunc€ntro, 3r+2,, 6,3 + 5-9+4 _ t8+5= é o enconüo mediaÍzes trángulo. das do Então, vamos = 18 18= 0 obreÍ equação d-aòì"daì/pa e o oorlode nte a de Enlão, € tr. P secçâo O a será€sseponto delas. centrcdacìrcuníerênc blP[5, ]) e ],rx:+Y?- 6x- 2Y+ I = 0 e o Ta|o a o stanc ooLenl ê Jn dosl "s véÍlces seÉ a o SLrbstìtìrìndo: MediatÍiz lado do AB: 5,+(,1), 6.5,2(_11 +I= =25+l -30+2+8=36 30=6>C m, =;--- = -l EntãoPéexlernoâ). *l l . |,_.-._ c) P(4,3)e Lix?+yz:36 SLrbstt!lndo: Ponto o deAB:Ml:. : I med 4,+3r_36=16+9_36= ]]<0 2 2) EntãoPé ntemoa)! Então, Í€tâquepassa M corn a pof angular coeíciente d) P(-2, -31 e r (x + ll?+ ty + 4Y = t!6," S!bstltulndo: (-2+ l),+t-3+4Y tn6)= I + I -s= v-:=rl l+zv-s=2^,1 .1 2 ^ 2) =-3<0 =2x-2y+4=Aàx-y+2=a ÊntãoPé nteÍno tr â Medatriz adoBC: do7. DeteÍm lrna equaÉoda circLrnfeÍènca ne cÍcunscita 43 aoÍiángllodevértces A[].2), Bt0,3)e C( 7, 41. 7A Resolução: Aequação crcuníeÍêncaI: da é r .= - I= - l= fr, , I t*-è1,+ ty b).=l . A[].2l É À:[] a)+t2 blz=ÍzQ Ponio o deBC Nl -;, -; mëd I z z) . 8t0,3) € À: to ay + t3 blz= É (, a que por Então,feta passâ N com anglrlaÍ coefclente . c(-7, -4) € rr(-7 - aÌ + t 4-bl=É@ mr= -ló r gualando OeO, tenros: 1 2a+a2+4 : 4b + b? a:+ I - 6b + b?+ u + l= - r í * + 1 ì = z v r = 2 {- 7 = + 2 2l 2a+2b=4=-a+h=2 é2x+2y+8:03x+y+4=0 - lgualando @, ternos: O€ Centrc dacrcLrnierêncla: O a, +9 - 6b+b?- 49+ 14â +al + 16+ 8b+ b?ì A intercecção duâs das ínediatrzes sãoÍetas [qÌre con +-l4a-14b=56+a+b= 4 é pelâ coffentesl obtida reso!ção sstema do R"sohe-doossler" - _ I l_conaro. -,Fesoeroo lâ+0=-4 1 essessenà,enconlla- a=-3eb=_1. [x+y+4=0 mosx=-3ey= O[-3, ]). ] Logo, Assm, [x + 3]?+0/ + ll?= É À: por a Raio cifcunfeénciâ: da PamencoòtÍaf vaof de Í usamos, exernpìo, o Distáncia centro vértce B [poderâ quaqLreÍ do ao ser equaçãoO : uÍndostÍésvértlcesl 0-alz+(2-bl?=É= rf -J- 12- tt-tz-í1 25 o (0 . 8 )-í (-3 -0 r. Í 3l =Je 1 6 -s Poftanto,€quâção a pfocumda é Portanto, = 5. Íâo [x+3]?+0i+l)z=25 a pÍocuEda tx + 3l + (y + ll?= 25. Então,€qLração éI l. Dados ponto e a c rclníerêncla deteÍnine p0_ 12, Dada c rcunfeÍênca equação o P tr, a a de sçãode P enìtêlação tr. a x+ f - 2x + 4y 3 - 0,qualé pos do ponto a ção a) P[-] 2l e I:(x - 31?+ + lY 6/ = s? P[3,-4] ernrelação essa a crcunferêncâ? b)P[2,2]e À:xz+ y? lox + 8y I : 0 a que pelÓs 13. Encontre eqlaçãoda clrc!íìfefênciá passa cJP(3, e ì:xz+ t - 8x-5= 0 ll pontos o], Q[3,3)e R[0,8]. P[0,
  9. 9. Posiçõesrelâtivasde uma retã e ma circunferência astrêspossíveis Considerernos posiçóes umaretaem relação uÍnacircunfeÍência: de ali) A retaté secantecÌcunferência: à PÌopri€dades Ìetâ e da de ckcunferência s€cantes: Nesse caso, distânciâ centroda circunferênciã retaé a do à .ON TA S menorque o raio,A íetae a circunferência dois pontos . M é pontômédio de têm AB IAB = 2AM] . TeoÌ€mà Pitácoras: de (o Ml, + I B MF = t B O y23) A retatétangenteàcircunfeíência: Nêssecaso, distânciâ centroda circunferênciaretaé igualaoraio,Aíetae a circunfe_ a do à rência um único têm pontocornum,3-) A fetat é exterÌoràcircunferência: Nesse caso, distânc;ã centroda cìrcuníerência retaé maiorque o raio.A reta e a a do à cifcunferêncìa têm ponto comum, náo Vejamos, panir dasequãções, a como identificarqualdesses câsos severiíica, ì 8.Sãodadasarctar d€€quâção2x+y I = 0,€a OutrarcsaluÇão: deeqlaçãox, y2+ 6x 8y= 0.Qua c rclnf€Íênca + OsponÌos comuns rctae à c rcunfeÉnc s€houver à a , é a posção rctar €nìr€ação cfcunf€iênca? sá0as soLrções ssterna do pof foÍmado suâsequa- da à ç0es: Resolução: [2x+y ]=0=y=l-2x VârÍos cuaf, nicia ca mente, coordenadascentfo as do l- lx+y+6x 8y=0 e o rao dacÍclrníefênca: Substtu y nasegLnda ndo €quação temos: x:+)??+6x 8y= 0+x?+ 6x+y, - 8y= 0= xz+y:+6x 8y=0+ ex,+ 6x+ 9 +yr-8y+ t6=9+ t6= +x,+[] -2x),+6x-8(t 2xl=0+ + [x + 3)?+ 6/ 4]:= 25 .r x, + I - 4x + 4x, + 6x - I + I 6x = o + =sx?+l8x-7=0 Então 3 4)er=5 C( 0 cálcuo À seú suíciente deteminar de pam quantos Agorâ vamos deteiminârclisünca cenÍoà rcra a cìo ponbscornufs â rcÌae a c rcLrníefênca a têrn e daÍ posrção rearva. Então: :_ ,T !ì+rfuì - l -!- t _______: _ 2l " __: 1 A : l8r + 140= 324+ 140 464>0= .121 1 + ./5 J5 O vaor de > 0 ndica exstência dos vâores a de feaFe d|st ^ d€xe, conseqü€ntemente,pontos ntos dois CompaÍân.lo Í, ternos < r (1,3< bl de d comuns reta à cìÍcunleéncia â e Logo, rcÌâr é secant€ cfcunÍeréncia. a à Logo, Íetaé secante crclnierência. a à
  10. 10. . CapÍtul02GemeÌíia G:âdÌonfeÍêncÌa malít Observaçâo:A resoução p€mì quassão completa sist€nìa t€ descobdf do osdoispontos comuns reiae à cÍcLrníeéncia. à I Quao comprlmento corda da deterrìrinada ÍeÌas:3y 4x + I = 0 nâ pea crcunferêncìa y?=25? x?+ Resolução: Os pontoscornuns retâe à ciÍcunleéncis as €Ìtrcnì à são dades e B dâ A coda ÁB procuÍadâ. m,vamos Ass resov€Í sistenìaobt€r pontos e B dacodâ AB. o e os A I l. v -/q 1 4r1 l3v-4^+l=0-v=: t_ 3 3 { S!bsttundoy na laequação,temos:I , 6,i Br - _ .. 25, B 221= , Í.r ì_r, ,^ Ft=z5= -t- 0 = 25x- 8N 224= o - 3 3./ I I I II Resolvendo a eqLrâção À=[-8], = 4.25.t 224) 22 464 -(-at- a-z"uEí o t puEg 4 - 12.,r6s E-qw 2.25 5A 25 r-- ,5I ^ - 4 + r2.[t PAÍAXj=-rcrnOS q( q+v,lw t -3+16Ãã 3 25 ) 3 25 Í, .^ Â; ^ .^Ã; [2525) ^ XT = q tz"6 HATa l€mOS. q íq -r z ..6gì r s rouãt " J II - - -( q n"Eí s ro,6t ì f2s25) obternosd stâncÌa entre pontos e B: FnalÍÍ€nte, a dÁ6 os A ç Ì, It 24V39| -J í 32./39ì ll 25 ll2sJ 1600.39 ,,0.[9 8..6e 625 25 Auta rcs,aluçã,a: ìI
  11. 11. o . Mãtenálic CdntelloAplieções & O pontoO temcoordenadas 0J.O segnìento [0, OB Erìtão equação a detéy 2 = 6(x- 5) ou Ín€de [Éo). OIV]é dlstânc de O a s Então: 5 a a 6x-y-28=0. Ì I.Areia deequâção y + k:0 é tangente rclrn- x àc leÉncia eqlação + y, = L CalculevaloÍ k. de x, o de Logo: Resolução: = (rvrB),tíirOl, tOBÌ= + Se â |e1a tang€nte cÍcunferència, é à a distâncra do +fMBl,+ L=2sJt,18: 4J3e centro a retaé iguâlâo aÌé |aìo. 25 Cerìtro raiodaciÍcuníeÉncia: € x?+y,:9+ [x 0),+ 6i - 0),= 3, AB=2MB=:fja 5 Então,C[0,0)ef=3I0-O ponto P(5 2l pertenc€ cÍcuníefència equalru Í à de Dstáncia cenrro do [0,0] à fetatx ty + k = 0: - y z o 2/ - 0 Dete nóê êqLado . aa , 1.0 I.0+[ f, r€tattangênteessa a circLrníerêncaP. ern - Resoluçáo: "[ r rE Lemore oeque, umâ Cáculo k sabendo d = Í: de que se se rcÌê I tangenca circLrníeÉnca urna t- + = 3- r ^ = .3J2- [- a3Jz d€ centÍo e Íaior €rnP, en- C tãolé p€jgendìcuarà s|J rcta pone CP. de Caculândo coodenadas as do centloCeor.ior,Ìemos x,+y,+2x-6y-27-0= ..>2+2x+y 6y=27,.. ) x2+ 2x+ I +yr-6y+9= 27+ I +9= OutrarcsaluÈo: =íJ(+ lì,+Ív 3ì2=37 Sea Íetâé tano€nte circuníeÉncia, o s st€rna à então En u o ,cc l r,:i e r= pelas fofinado duas€quações urna tern única soluçãol Vamos ã7 anguÌar dâ rctaque det€rm o coefciente nar mr lx y+k=0=âx=y-k l" passa pelospontos C[-].3l e P[5,2) Lx+]?=9 231 Substtuindonasegunda x equação, Ìemos: xz+y?=I + (V- t)+ t: n VaÍnos detefininâr co€ícenÌe o angllafm2 da retat .Jy,-2ky+k,+y, 9=0= - perp€ndicuafà quepassâ retâ p€los ponÌos e P: C =2f 2W+k,-s=0 r "= - - L = l =6 PâÍâ a solução úncadev€Ínos = 0: qle seja ter l--t 8tk -9)-0-.r- 8 ^ 72-0 6 "fr, Calcuamos êgoma equação Íetat quepâssa dâ peo -rç. 1 72:6arc = !? = $ =) ponto P[5,2Je temd€cvdade6: - =a3/2 y 2=6tx-51ãy 2=6x 30=) =k=aJl8 +6x y 28=0 12.0 ponto P0, 2Jé exremocircunferêncaeqlação à de Logo, equação dâé 6x y 28 = 0. â ped tx : ll: + 6? 21? L Deternrine eq!àções as dâs Outa rcsaluÇão: rctas Ìângentesà circLrnfefênca passam P. e que por Obtemos centÍoC[ 1,3) can.lo pflmetra o na rcsa Resoluçâo: luÇíia. P€a equação ternos dada, Ctt,2) e Í = J8 DeteÍmnamos€quaçâo a rcduzida rctaCPe dea da t mrnos coefcient€ o angulâr [mr]: xvl - 3 I 0-ì 5-2-l i 2 n- ls 2l ã 6 v = x + 1 7 e v=--L x+ L Z = = I 666 A rctat procumda passa P(5,2) e é peÍpend pof cular à ÍeÌa aP ogo. s-L coeíceìlp èngLld p o. porà í -lì u=, 6,]
  12. 12. Geoneniàìna a.a(runÍeren.a ConsideÉndo c ente o coef angulaÍ dasrcrâs e t2. m q poderos epr êq.oçâo dloF..a|e(dq. esc ge ê1 t llx y -2 " t t )= 0 = x -y -t = 0 = bÍândo passanì P[], 2l que pof y+2=.rlx 1))y+2 =rnx Íì+ Ioao êo è, õF. ars -e.dstonae Ìes tr e t2 5:o 9rì]X-y 2 Ín:0 " x -y 3=0€x+y+t=0. . Se p€íence circuntuÉncìa, uma reta P à exiíe ó quepassâ P e é tangente por à circunf€rêncià_ { I3. Detemnea€quação crcunferéncia cenrro da com no oonoC. ,r"o ê- dncieteê e.drdeeqJaçioI . SeP é ext€rno, duâs há hnCentes. x+y+2=0 Resolução:l . SePè rnremo,não lincenr€. exisre Corno disÌância € enÍ€ o centÍoCtl, 2) e a rcraoe equação - y - 2 rn= 0 deveserigualao mx |âoI, _=võ= I[2) 2-m rn[]) E /rn + II = ! ã= D p" Ío. oo-e1ê l or qLe o ao oo . . - tere ca -4 1! " +-+=V8 - = p" dd" e gi d ddsrá i dpnl eoc- oC F.retdL --=r/8I r/m+t ./m+t Enlão: +-=8+8m,+8=16+ - lt+3+2t =i l6 .tr = j a m , - s - o +.m,- r = o =m, = r = o ovu =9m=lenra=:l .J2 2I V"nos calc-aÍ dgod. ac eoLèçops ê os tr e t. sLrbsirtlindo o vâlor m naeqlação mx Y-2_m- 0. de oac geÍal  equação crcunierèncra da a:l,b:3€Í=3J2.é: pedida,sabendo qu€ ú al+ (y bl,=É=ix rl, + (y- 3),= l3,A)=l ì[x ]), + 0i 3),=tB= tllx-y-2 I = 0+x-y 3=0 +x,+y, 2x-6y 8=0 Ì 4..Dadas urna r e urna reia crcunleénciê vefÍìque ì, a ì 5. Determ ascooÍdenadas ponÌos qúea rera ne dos ern r, posrçãoreatvade r e tr.Sehouvefpontoscorìruns de equação = x + 5, ìnteEectacrclníerênca y a de (tange.ìle sêcâmeì. ni-ê es.eò ó- det- ponto,. equaçâo + y, - l]x 2y + 2j : A x, a)r:2x y+ 1=0etrx,+y,-2x=0 i ã" A rcta deequaçãox y 3 = 0,ea circunfeéncia r, + d€ blÍ:Y=xeI:x? +Y2+ 2x- 4Y- 4 : O equação + 2), + (! - 1) = ]o sãosecantes [x nos cJr:x=Ì-4ey=2 Ìe pontos e B. DeteÍÍìine áreâ rriângu cujos A a do o vértices ì:xz+y,-2x 6y 8=0 são c€n!! dacÍcunleÉncia porìlcs e B. o e os A
  13. 13. . (ontexto M.temálkã &Àpli.ades Cor .d p -ìo i o pla r de - a- o! ; o J 0. eé 2l. A ciÍclnfefència centro conì c[], tl é rângenre rerât à crcuJìfeÉnciaeqlação + c - 2x - 2y - 3 : A de xz de equação + y l0 = 0. Detemne a eqlaçãoda x Qla é a posção reta da rem reação crcLrnferénca? c rclrnÍefêIìca. à .. Sabendo a feÌa = mxé tangente que y à crcunferênciê ::l=QLrêl a eqLrêção cifc!nlerènca c€ntfono de é de de eqlação + y, - l0X+ l6 - 0,cacue osV€ dem. x, ofes ponto C[4, 4J e queé iângente dois€ xosde aos O ponto A[2, 3] pefience c rcunf€rência equação à de L00 dp1:drs x, + y, 2x 2y 3 = 0. DeteflÌ a eqltação ne da Íetatangent€crcunferència ponto à no A ? 3. DeteÍm a equação urna rcunleÉndâ ne de c langente eixo ao yeà e-adeeqLàção F q-e.erocen.roìo x - r. eio oeooonoP0.,ì F e o . cicunee1cade a Êq .ão l I Li ll r oa:sa 1;s eras e t2. ?/.i.4Íetax+y tr I = 0 seccÌona cirbuníerènca a q p c;o rorqp-ìl-. d . .. fe-e c o déda. Dee Trle è< 2 + y, + 2x 3 = 0 nospontos B. Caculea Ae equâções retastl€ t2. das distânca c€ntfo à corda do C ABi lFosiçôesralativaç duas cãrcunferências de Duas circunfeÍênciâs distintaspodem terdois, ou nenhum um pontocomum, A partirdasequações duascircunferências das podemos quantose quâissãoos pontoscomunsre- descobrirsolvendo sistema o formadopor elas.Alémdisso,podemosidentificar posição a relâtivausando dois raios€ a osdistância entreos centros. Considere umacircunfeÍência centroCl e râioÌ1 e outrâde centroC2e raio12. distâncìa de A entreos centrosserád(C| C,). Vejaas possíveis posiçóesÍelativâs duascircunfeÍências: das1s) DoìsDontos comuns: l ,j ,:l < d(q,c:)< r,+ r:2-)Umponto comum: pònto tansência d€ são tangentes exterioÍfrente tangente5 inteÍ orm€nte d (c ,,c ,)= Í,+ f: Nenhum pont o c o m u m l dtcj, = 0. c,l umaclrcunterência à ôutra nterna
  14. 14. Gmnìetdaanalíticra ciÍ(unfeÉn.i. 14. VeÍiÍìque posçãoÍeativàdas dLras a crcunferêncas dascÍcunfeÉncas poÍ meio seusraos (efiì e de d€das, forem Se secantes tangentes, ou deteÍm os ne que D|ando 0scentÍos cifcLrníeféncasponto das eo pontoscom!ns: deÌangência sempfe inhadosl estão a a)x? = 30 e [x - 3],+ y?= e +yz bJx,+y,-20x 2y+100=0€ x,+y,-2x-2y S8=O c)(N+ 2), + ly - 2), = r e r, + y: = r d) (x 31?+ - 2)?- e e (j/ t xz+f-6x-4y+12=A Resolução: al ResoÌvendo o sist€Ína pe fofrnado asduas equações circunfeÍências Ìãngentes etr€rnãmente 7T) -30 d(q,c:)= r, + rr = (x - 3)?+Yz 9âxz +y?- 6x= O3 =30-6x=0=6x=30+x=5 Substituindo prirnera x na equaçâo, vemr -)]-30-25ry -c0=) -5 , 3y= l!6 Logo, duascúcunferènciss secantes seus âs são e ponros comuns [s, Jd] e [b, !6]. são bl ResoÌvendo stema, os temos: ciÍcunferênciã5 tangentes internãmenre l x "+ y - 2 a x 2 v+to o =o d(q,c,)= Ì,1 r, 1 ^ , - z - zy o e -o .rj ConsdeÍando a pÍirne equação |a temos: x +Í 2 a t- ? 4+1 a o =a 2 y 20-2) r00-0- )-1 =x/- 2A+ 100 y, - 2y + I = + | /,/ +c + . +ae=n- tf -- 8.-1S8-0- = - 100 100 I = [x - ]0),+ - l), = l, + + 8-tg8+ 0i Entêo, 0, ll e fì - L Cr[] 3x:19931=11 t8 /1gompetâ s€gunda vemI x+y2-2x 2y-9a=0.) Substituindo prmeirâ x na equâÇão, vern: i),-2 Ì -J - 2t, -98- t 3 tx- ll, + ty -1) = r00 = 10, - xz+yz 2Ax-2y+1AA-0.) = 3l l? + y:- 20.11 2y+ lOO 0+ EnÌéo C2t. e.- 0. )yz 2y+121-220+100=03 Calc ianos.Fltào a otsl-, a erÌ.eos ce-.os C1 éYz2y+1=A e c2: d t c , , c=). v 6 0 r l+ 0 - r l = i6 Ì = s , Y= = 2 Coríìo €os medern = I e r?= t0 e os fr 9= I l0,temosd[C],C?)= -r,. fr [] l, ll é o únicoponto cornum dLras às ctrcunferên ciês, portanto sãotangent€s. elas Logo, circunferêncsão as as tangentes intemarnente comojá v mos, c rcuníerênctang€ntes as es podem e o ponto comlm [1], tl. é serexaernas iniernas. ou Podernos determinar a sua c) Nêc rclníefência + 2], + 0/ - 2), = t, remos [x posçãoreativâ Íì€ o dad stánc entre c€ntrcs por a os C(-2,2) e | = 1.
  15. 15. NacircunfeÍéncla Jl = l,ternosC[0,0] = 1. + xz eÍ +x:-6x+9+l 4y +4= 12+S+ 4= Esboçândoo gráfco, podemos queasc rcLrnf€- ver =tx-3)?+0 2)z=l rêncâs têrnponto não cornum sãoext€mas: e Então, a crcunÍêÍênca 3],+0 [x 21,= ltenì C[3,2)e r= ]. t Agom,vaÍnos veranaliticarnente feso Pelo sisterna, temos: Como duas as ckcunfeÍèncâs o nTesmo têm centTo podemos lconcéÍìt| e Êlosd ferentes, cas] afiÍmaÍque e asnãotêmpontocomurn uma lrìterna out|a. e é à 15. DeienÌine equação circunfefência centrc â da de ern [8,4] e q!€ tangencia extedoffnente a crcLtnferênca -8)x-y=-2)x=y-2 x,+y, 4x+8y-t6=0 Resolução: Substitu x nasegunda ndo eqlação Nesse câso,6distância oscentros igualà entfe é sorna x , + y , = r =0 2 ),+l =1 = =f 4 y+4 +f l =0 =a l 4 y+3= 0 A=16 24= 8<0 Se < 0, nãoexiste sol!çãopaÍao s stemâ, então as ciÍcunferéncias têrnpontocomLrrn. ^ não Vejamos qualdas duassituaçôes verÍca: se d(c,,C?)= rr+L Iniciamente, câlculârnos [C1]e o €io [l] .lâ o c€ntro c rcunlerênc â dâda: xz 4x+4+yz+8y+ 16= 16+4 + 16 + =tx-2)1+(y+41,=36 . Calcuando distânc en$eos centros ( 2, 2) e a a Cr Então,C,(2, 4J e fr - 6 cz(0,0),vem: Âgor€cacuamos distânca a enÍe oscentrcs Crt2,-4) e C,i8 al: d(c,,c,) = !G2 - o) + (2 oÍ = !ã Como raìos os rnedern = I e f?= I e rr a=G+*=.úoo=ro Cornod=f,+r?pod€mo Jí > I + t,temosd r, + r.. > d=fr+r, ã l0=6+rr=rr=4 Logo, circuníefências exernas. as são A eoudçào píocuÍêd€a cà cicunlerFnna r" o 4 e oF " [x = dlA c rclníeréncia- 3]z (y - 21? I tern + Ct3,2l centrc 4]: [8 tx 81z+(y al:= a? ou xz+y?-6x-4y+12=0+ x,+y,- t6x 8y+64=025. Dadas ciÍcun as eèncias e À- oescuorê oosi Àj suas 26. Aequação crcLrnfeÍênca 4 e concêntrica dâ d€€io com çôes Íelatvas seus e pontos (se comuns houver): a cÌcunferência deequâção al Àr:xz+ yz- 4x - 8y- 5 : 0 x z + y , + 2 x -6 y + g = 0 é : ì.r:x?+y?2x 6y+1:0 a lx , + y ? + 2 x 6 y -6 = 0 . b lx ? + y , + 2 x -6 y + 6 = 0 . blr,ìix-21,+(y-11,=4 c )x , + y , + 2 x 6 y + 2 = 0 . À- l_x zì?+fv + 2ìz=) d )x , + y , + 2 x 6 y 4 = 0 .
  16. 16. Gê0metria acirunfsêndà analÍtÌ.artÍ-t s"j". s, sJr.. cn"u nferênciss langenres ex1êrna-?S" trr e ),>: sãoduas rcunfefèfcas c corìcêntdcas, ì,r com rnente," que tern tais sr como equação nteínêìÀ,.Sabendo € equEçâo À é que de I x, + y, - 2x- 4y+ 4 = 0 es2terncentrc porìro no ír 6 8) -0eo e € áÍeâ a-e , ircura. do I p0Í Ìormâ00 Àr e À, é iguaa 24n,deteínÌne equação Ci5,-rl Calcule dâcÍcunteéncia o Íalo S2 a I de ì, nalofmagefa. Aplica 16. Umengenheiro precÌsâconstÍuir ponte íofina urna em remos o centrc cifcunfêrêncÌa C(0, t6l que da seú 0e arcode circuníefênciâ, sernehalìtequeaparece a poF0 rao tern20 m e a pt/astm maior 4 m. puÍa tem na fotoabaÌxo vãolivÍesobreo rio a servencido 0 obÉf 0 tarnanho pilastÉs das peddas,pfecisêmos pelaponte de 24 m, e a piasÍa centrai, é segundo o apenas ofdenadas pontos e B, cujas das dos A âbs_ arqutêto,devêfiá 4 rndeatum.O engenhe usan_ ter ro, cBsas rcspedivamente 8. Nestè sá0 4e €xercício, a do seuscofhec mentos Geornet plana,já cutou de a ca escoÌha sisterna exoscadesÌanos do de queo raiodo arco crcunfeÉncia adequêdoé de pfoletado ar- peio Íì1r.rÌ0 mportante fâcilitar feso para â ução, qurteto de20Ín Agom pÍecÌsa é ee calculaftarnanho o dasoutÉsqLatro pilãstras (duss €squerda rnenofes à e duas difeita p last|a à dã centÉD.Segundo prcieto, o todâs pibsÌms as esião 4 m urna outra, a da A equação cifcunferêncaentão, dâ é, . _6J.- 400. oblenosã de-êdav- ty Pa-è o oo oon,oA.oasãsJo, aêoscssè. J - Ponte Hamburgo, eh Alemanha. "no"q-ícro 4z (y 16l,= 400 (yÁ t6l, = 384= + + 3 + éyA + l6 = r68a= 1s,60 =yA= 3,60rn Da mesrnaíorma,paraobt€rrnos odenadayo oo a oono B bd:Ìa rosÌr , a .osciòsa _ I naeqJãção s s 8: + [yB ]6Y = 400+ [yB j6], = 336.r + + Cornbasenas nformaçôes prcblerna, do escoha Ltm +ys + 16= Êãã 18,33 y. = 2,33, - = sEterna exoscoordenados de conveniente e ohefhaa altLr|a quaÍopiÌastras Porcausê smeÍa d€ pont€, dlrasp lastrâs da as oo dessas menorcs. lado€sqLrefdo o mesrnotarnafho teËo desuascoffes_ Resolução: pondentes adod rcito. m,as piastras tas no Ass são Escolhendosstema exos LtÍn de caÍtesanos coÌoqle que o " dJa< Én. op-o,iloo;ne-.e,2,?3 e oLasÌeTn n a p lastracenlfalno eixoy e o vãoda ponteno eixor, 3,60 e â cent|a, rn. comojá sãbírrnos, 4 m. teÍn Escolha ststerna exoscoordeÍìados um de âdequadofe- € íDrcè: Cooque ênce oo àrgJo.eto triangLlo o oo te_ soè,LsaToo GeoÍIFtria and,rica. seqJ p ooelds oe os rrcs Énguto orqem.J na 30, llma c rcunlefêncEestá L inscrìta unìtrángu eqüi_ em o látefo ado2J3. [,40s!re pa€ todoponto L, a dê que de29,Obtenhâ ralodacrclfferência o inscnta trángulo num sorna quâdmdos suas dos de distáncas Íês vénices âos rctângulo catetos cujÕs meçam cme 4 cm, 3 dotriângulo constante. é

×