1. TRIGONOMETRÍA

2. TRIGONOMETRÍA TRIGONOMETRÍA = medida de triángulos Permite coñecer tódolos elementos dun triángulo( lados e ángulos) a partir do coñecemento dalgun lado e dalgún ángulo

5. O radián é un ángulo plano , que tendo o seu vértice no centro dun círculo, intercepta sobre a circunferencia un arco de lonxitude igual ao raio É un vector perpendicular ao plano do ángulo e sentido o do avance do parafuso. S  r Se S = r , entonces α = 1 radián Unidades para medir ángulos: o RADIÁN

6. EQUIVALENCIAS ENTRE GRAOS SESAXESIMAIS , CENTESIMAIS E RADIÁNS 0 g = 0º = 0Rad 100 g = 90º =  /2 rad 200 g = 180º =  rad 300 g = 270º = 3  /2 rad 360º = 400 g =2  rad 400 g = 360º = 2  rad

7. Relaciones trigonométricas 2 Paso de forma complexa a imcomplexa e viceversa Para pasar da forma decimal á forma graos-minutos-segundos ... por exemplo, 32,257 º = 32 º + 0,257º ( a parte decimal pasámola a minutos) Multiplicamos 0,257º por 60: Multiplicamos 0,42´por 60: 0,257º · 60 = 15,42´= 15 min +0,42 min 0,42´· 60 = 25,2´´ Logo: 32,257º = 32º 15´ 25,2´´ Para pasar da forma graos-minutos-segundos á decimal , pásanse a graos os minutos e os segundos. Dividindo os minutos por 60: Dividindo os segundos por 3600 (60 · 60): Logo: 45 º 30´55´´ = 45º + 0,5º + 0,0152777... = 45,5152777...º Por exemplo, 45º 30´55´´

8. RAZÓNS TRIGONOMÉTRICAS DE ANGULOS AGUDOS CATETO OPOSTO (b) CATETO CONTIGUO (a) HIPOTENUSA (c) SENO COSENO TANGENTE COTANGENTE SECANTE COSECANTE B

9. 12 35 H TEOREMA DE PITÁGORAS EXEMPLO : EXEMPLO : Sabendo que  é un ángulo agudo tal que sen  =2/3 calcula as restantes razóns trigonométricas 2 3

13. RELACIÓNS ENTRE AS RAZÓNS TRIGONOMÉTRICAS Aplicando o Teorema de Pitágoras: 1.- TEOREMA FUNDAMENTAL DE TRIGONOMETRÍA : (sen  ) 2 + (cos  ) 2 = sen 2  + cos 2  = 1 Dividindo na 1ª relación por cos 2  2.- RELACIÓN FUNDAMENTAL DE TRIGONOMETRÍA : 3.- RELACIÓN FUNDAMENTAL DE TRIGONOMETRÍA :

14. Relación entre las razones trigonométricas. Segunda relación fundamental No triángulo rectángulo ABC, pódese considerar a tanxente do ángulo C. Para cualquier ángulo  , se verifica que su tangente es igual al cociente entre el seno y el coseno del ángulo.

15. Completa a seguinte taboa α 0,75 tg α 0,12 Cos α 0,2 0,92 Sen α

17. Razóns trigonométricas de ángulos de 30º, 60º e 45º É importante coñecer as razóns trigonométricas destes ángulos xa que aparecen con moita frecuencia ,e ademáis, permiten calcular as razóns de moitos ángulos que imos poñer en función deles  º  º  º Triángulo equilátero de lado L Cadrado de lado L

19. Razóns trigonométricas de ángulos de 30º e 60º  º L L/2  º

21. Taboas das razóns dos ángulos principais 0 1 0 360º 0 -1 270º 0 -1 0 180º 0 1 90º 0 1 0 0º 1 45 o 1/2 30 o 1/2 60 o tangente coseno seno ángulo

22. Relación entre las razones trigonométricas. Segunda relación fundamental No triángulo rectángulo ABC, pódese considerar a tanxente do ángulo C. Para cualquier ángulo  , se verifica que su tangente es igual al cociente entre el seno y el coseno del ángulo.

23. AMPLIACIÓN DO CONCEPTO DE ÁNGULO Orixe da medida de ángulos  = 405º  = –105º Ángulo reducido dun ángulo é o ángulo menor que 360º definido pola súa mesma posición O ángulo reducido de 405º é o de 45º Sentido negativo Sentido positivo

25. RAZÓNS TRIGONOMÉTRICAS DUN ÁNGULO CALQUERA Collendo a circunferencia goniométrica (r = 1), As razóns trigonométricas do ángulo α , coinciden coas coordenadas do punto P P P P P  y y y y x x x r r r    r x y sen  x cos  x y tan 

26. SIGNO DAS RAZÓNS TRIGONOMÉTRICAS EN CADA CUADRANTE cos  Signos do (coseno, seno) en cada cuadrante (+,+) (–,+) (–, –) (+, –) I II III IV cos  r = 1 u. r = 1 u. r = 1 u.     r = 1 u. 0º 90º =  /2 rad 180º =  rad 270º = 3  /2 rad 360º = 2  rad sen  sen  sen  cos  sen  cos 

27. RAZÓNS TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS (Suman 180º) Se un ángulo mide  seu suplementario mide 180º –  . sen (180º –  ) = sen  cos (180º –  ) = – cos  tan (180º –  ) = – tan   x y – x 180º –  y 1 1

28. RAZÓNS TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS QUE DIFEREN EN 180º sen (180º +  ) = – sen  cos (180º +  ) = – cos  tan (180º +  ) = tan  Se dous ángulos diferen en 180º e un mide  o outro mide 180º +   x – x 180º +  y – y 1 1

29. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS OPUESTOS sen (–  ) = sen(360º –  ) = – sen  cos (–  ) = cos(360º –  cos  tan (–  ) = tan(360º –  ) = – tan  Se dous ángulos son opostos e un mide  o outro mide –  – y y  x –  1 1

30. RAZÓNS TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Se un ángulo mide  seu complementario mide 90º –  sen (90º –  ) = AC / AB = cos  cos (90º –  ) = BC / AB = sen  tan (90º –  ) = 1 / tan      A B C

31. COMPLETA A SEGUINTE TABOA A PARTIR DAS RAZÓNS DE 30,60 e 45 330º 315º 240º 225º 210º 150º 135º 120º tg Cos Sen

33. ÁNGULOS DE ELEVACIÓN E DE DEPRESIÓN Son ángulos agudos contidos nun plano vertical e formados por dúas líñas imaxinarias chamadas horizontal e visual ÁNGULO DE ELEVACIÓN ÁNGULO DE DEPRESIÓN HORIZONTAL VISUAL VISUAL ) )

34. Unha persoa observa nun mesmo plano vertical dous ovnis voando a unha mesma altura con ángulos de elevación de 53 0 e 37 0 ,se a distancia entre os ovnis é de 70m ¿A qué altura están os ovnis? EXEMPLO : SOLUCIÓN ) ) 70 H ) x ) y = x + 70 + tg53º=H/x x=92 H = 1,327x H tg37º=H/(x+70) 1,327=H/x 0,754=H/(x+70) 0,754=1,327x/(x+70) H = 122

36. 6 Razóns trigonométricas de ángulos agudos: Exercicio resolto Resumindo, para o triángulo rectángulo ABC, tense: Un triángulo rectángulo ten de lados 3, 4 e 5 cm. Hallar as razóns trigonométricas dos ángulos agudos A e B. Exercicio resolto O seno e o coseno dun ángulo agudo é sempre un número menor cá unidade, pois a hipotenusa é sempre maior cós catetos. Sen embargo, a tanxente pode tomar calquera valor.

37. Obtención das razóns trigonométricas con calculadoras Os debuxos no siempre permiten calcular as razóns trigonométricas; por iso foi necesario ao longo dos séculos ir obtendo taboas de razóns trigonométricas. As calculadoras científicas dan o valor das razóns trigonométricas coñecido o ángulo e ao revés. Para o seno utilízanse as teclas e . sin sin -1 Por exemplo: 30º = 0,5 sin sin -1 Ao revés: 0,5 = 30º Para o coseno utilízanse as teclas e . cos cos -1 Por exemplo: 33º = 0,8387 cos cos -1 Ao revés: 0,97437 = 13º Para a tanxente utilízanse as teclas e. tan tan -1 Por exemplo: 33º = 0,5494 tan tan -1 Ao revés: 5,14455 = 79º

38. Os lados que interveñen son a hipotenusa e o cateto contiguo ao ángulo coñecido. Calcula a medida do lado BC no seguinte triángulo rectángulo.  Interesa utilizar o coseno Razones trigonométricas: para practicar 8 

39. Relación entre as razones trigonométricas. Exercicio resuelto Se  é un ángulo agudo e sen  = 0,6, ¿canto valen as outras duas razóns? Exercicio resolto Sustitúese sen  polo seu valor na fórmula Por outra parte:

40. Resolución de triángulos rectángulos. Exercicio resolto 1 Dun triángulo rectángulo ABC coñécense a hipotenusa c = 15 cm e o ángulo B = 20º. Calcular os outros elementos Exercicio resolto 1 b = 15 · sen 20º = 15 · 0,3420 = 5,1303 a = 15 · cos 20º = 15 · 0,9396 = 14,0954 Ángulo A: Cateto b: Cateto a:

41. Resolución de triángulos rectángulos. Exercicio resolto 2 A hipotenusa dun triángulo rectángulo mide c = 25 m e o cateto a = 20 m. Calcular os outros elementos. Exercicio resuelto 2 Teorema de Pitágoras:  b = 15 m Ángulo B: Ángulo A: O ángulo A tamén se pode obter aplicando a relación:

42. Resolución de triángulos rectángulos. Aplicación 1 Calcula a área dun pentágono regular de lado 20 cm. Aplicación 1 Un pentágono regular pode inscribirse nunha circunferencia. No triángulo OAH, sendo a a apotema tense: Área do pentágono = 10 · área do triángulo OAH Área do pentágono = O ángulo central dun pentágono vale:  el ángulo mitad es 36º 72º O A B

43. Resolución de triángulos rectángulos. Aplicación 2 a) A altura h sobre o lado a corta a BC en H. b)A área do triángulo mide: O triángulo ABH é rectángulo en H. Como: h = 2,5 · sen 56º = 2,5 · 0,8290 = 2,07 cm Aplicación 2 Dado o triángulo = 56º, c = 2,5 cm, a = 6,4 cm: a) Calcula a medida da altura sobre o lado a. b) Calcula a área do triángulo.

44. TEOREMA DOS SENOS (I) ENUNCIADO Nn triángulo calquera os lados son proporcionais aos senos dos ángulos opostos. A B C c a b

46. APLICACIONES DO TEOREMA DOS SENOS Dúas boias A e C están situadas a 64 m de distancia. Un barco encóntrase a 35 m da máis cercana(A).O ángulo formado polas visuais das boias é de 30º.¿Qué distancia separa ao barco da boia máis alonxada(C)? A B C 64 35 d 30º Aplicando o Teorema dos Senos: senC = 0,2734 C = 15º52’8’’ A = 134º7’52’’ Aplicando de novo o Teorema dos Senos:

47. APLICACIÓNS DO TEOREMA DOS SENOS Nun Supermercado A prodúcese un roubo. A alarma está conectada a 2 Comisarías cercanas B e C, separadas entre sí por 4 Km. Cos datos do debuxo, se os ladróns salen do local 2 minutos despois de soar a alarma e o coche da policía de B vai a 80 Km/h e o de C a 120 Km/h, ¿Chegará alguno deles antes de que saian os ladróns?. A B C a=4Km c b 60º 45º A = 180º - (B+C) = 75º Aplicando o Teorema dos senos: Chegan os de C

48. PROBLEMAS DE MÓVILES Un avión observa dos ciudades A y B bajo ángulos de depresión de 30º y 45º respectivamente. Si la distancia entre las ciudades es de 40 Km, calcula la altura a la que se encuentra y la distancia que le separa del campo de aterrizaje en la ciudad B. A B 30º 45º h  40 Km Entonces A=30º y B=45º. Por tanto C=105º Aplicando el Teorema de los Senos obtenemos a : a En el triángulo rectángulo de la derecha: Despejando calculamos h:

49. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS Resolver el triángulo ABC conocidos: a = 10 cm, b = 16 cm y A = 30º. Aplicando el Teorema de los Senos: Por tanto: y Aplicando de nuevo el Teorema de los Senos: Por tanto: A B C a b c

50. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS Resuelve el triángulo ABC conocidos: b = 12 cm, c = 6 cm y A = 60º. Calcula su Área. A B C 60º c a b Aplicando el Teorema del coseno: Aplicando el Teorema de los Senos: B = 90º C = 30º Calculamos su Área:

51. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS Resuelve el triángulo ABC conocidos: a = 10 cm, B = 60º y C = 45º. Calcula su Área. A B C a b Calculamos el ángulo A: A = 180º - (B+C) = 75º Aplicamos el Teorema de los Senos: Calculamos b y c: y Por último, calculamos el Área: c

52. TEOREMA DOS COSENOS ENUNCIADO Nun triángulo calquera ABC cúmplense as relacións seguintes: A B C a b c

53. APLICACIONES DO TEOREMA DO COSENO Un topógrafo C situado na chaira observa 2 picos A e B dunha montaña situados a 870 e 960 m respectivamente do observador cun ángulo de 60º. Encontra a distancia entre ambos picos. A B C 60º 960m 870m c Aplicando o Teorema do Coseno:

54. PROBLEMAS DE MÓVILES Aplicando el T. de los Senos calculamos el ángulo C: Un barco sale de un puerto A en dirección NE a una velocidad de 40 nudos. Al cabo de 3 horas gira 120º a babor y permanece en ese rumbo durante 5 horas. Entonces decide regresar al puerto A. ¿Cuántos grados a babor deberá girar y cuánto tardará en llegar? (1 nudo= 1,852 km/h). A B C AB = 74·3 = 222 Km BC = 74·5 = 370 Km Aplicando el T. del Coseno calculamos la distancia CA: V=74 Km/h 120º senC= AB·senB/CA = 222·0.866/322,6 = 0,596 Por tanto: C=36º35’ Tardará en llegar: t= CA/V t= 4h 21m 34sg. Deberá girar a babor: 143º25’ B=60º

55. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS Resolver el triángulo ABC conocidos sus lados: a = 10 cm, b = 5 cm y c = 5 cm. Calcula su Área. A B C a b c Aplicando el Teorema del Coseno: De aquí que: A=90º, B=30º y C=60º El Área:

56. FIN