1. Подготовка к государственному экзамену по математике

5. Образцы решения задач

7. C A D B В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна С , а биссектриса одного из острых углов равна Найдите катеты Решение : Обозначим через α острый угол , из которого проведена биссектриса AD. Тогда CAD = DAB= Из ∆ ABC находим AC = AB . cos α = C . cos α Из ∆ ACD получаем Ответ : ; Приравнивая выражения, получаем тригонометрическое уравнение , т.е Используя формулу cos 2 = (1 + cos α ) , т.е cos α = 2 cos 2 - 1 , получаем уравнение : (2 cos 2 –1)= cos Сделаем замену cos α = t , в результате получаем уравнение D = 25 , t 1 = , t 2 = Т.к по условию задачи угол - острый, то Получаем , , Тогда ,

8. Определите острые углы прямоугольного треугольника , стороны которого составляют арифметическую прогрессию 53 0 2 / ; 36 0 58 | А B C C a b β α Решение : Пусть a и b катеты c – гипотенуза, α , β – угол ∆ ABC Т.к a,b,c – члены арифметической прогрессии, то на основании свойств арифметической прогрессии b – a = c- b . Т.к , то получим ,откуда следует Решим уравнение : т.к очевидно , то разделив обе части на , получим , , , Ответ :

9. Дан квадрат ABCD со стороной, равной единице. Точка K лежит на стороне CD и делит её в отношении CK : KD = 1 : 2 .Найти расстояние от вершины C до прямой AK A D B C K E Решение : Опустим из вершины С перпендикуляр СЕ на прямую АК и рассмотрим треугольники СКЕ и АКД. Треугольники подобны , т.к Поэтому но А D = 1 , , (т.к СК : KD = 1 : 2 и СК + К D = 1 ) Из ∆АК D по теореме Пифагора : , поэтому Ответ :

10. В равнобедренном ∆ ABC основание AB равно 30 , высота AD равна 24. Найти длину боковой стороны 25 A E B C D Решение : Пусть СЕ – высота , опущенная на основание , тогда Из ∆ ABD по теореме Пифагора : В прямоугольном ∆ ACE и ∆DAB равны острые углы : , значит треугольники подобны , поэтому , т.е Ответ :

13. В равнобедренный треугольник вписана окружность радиуса r . Высота, проведённая к основанию, делится окружностью в отношении 1 :2. Найти площадь треугольника A D C E O Решение : По условию задачи BF:FD = 1:2 Но FD = 2r , значит BF = r, а высота BD = BF + FD = 3r. Прямоугольные ∆ОЕ B и ∆ DBC подобны, так как , поэтому , т.е. , BC = 2DC Пусть DC = x , тогда из ∆ DBC по теореме Пифагора , т.е , откуда Найдём площадь ∆ ABC . Ответ :

14. Площадь прямоугольного треугольника равна S 1 а площадь круга , вписанного в него , S 2 Найдите площадь круга, описанного около этого треугольника B C A O Решение : Пусть АС = x , BC = y , r – радиус вписанной окружности, R – радиус описанной окружности. Известно, что x + y = 2(R + r) , отсюда x 2 + 2xy + y 2 = 4(R + r) 2 Но по условию задачи , т.е 2 x y = 4S 1 кроме того , т.е x 2 + y 2 = (2R) 2 , поэтому получаем Откуда S 1 = 2 Rr + r 2 , , но , значит , ,следовательно, площадь круга равна : Ответ :

15. Определите углы параллелограмма, если две его высоты равны h 1 и h 2 , а периметр равен 2 p . A B C D F E b a α β h 1 h 2 Решение : Пусть AB = b , BC = a Из ∆ ABE : Из ∆ BFC : По условию задачи : отсюда Ответ :