Sistemas de Numeração

MAB 124

Sistemas de Numeração

PRC
Por que Binário?
• Primeiros computadores projetados eram
decimais
– Mark I e ENIAC

• John von Neumann propôs processamen...
Contagem e Aritmética
• Decimal ou sistema de base 10
– Origem: contando nos dedos
– “Dígito” vem do Latim digitus, que si...
Considerando os Bits
• Bits são normalmente armazenados e
manipulados em grupos
– 8 bits = 1 byte
– 4 bytes = 1 palavra (e...
Números: Representação Física

• Diferentes numerais,
mesmo número de laranjas
– Homem das cavernas: IIIII
– Romano: V
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Sistemas de Numeração
• Romanos: independentes da posição
• Moderno: baseado na notação posicional (valor
posicional)
– De...
Sistemas Numéricos mais Comuns

Sistema

Base

Símbolos

Usado por
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Decimal

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Quantidades / Contagem (2 de 3)
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Conversão Entre Bases
• Possibilidades:
Decimal

Octal

Binário

MAB 124

Hexadecimal

Sistemas de Numeração

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Exemplo

2510 = 110012 = 318 = 1916
Base

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Sistemas de Numeração

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Decimal para Decimal
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5 x 100
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Sistemas de Numeração

PRC
Binário para Decimal
Decimal

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Octal

Hexadecimal

Sistemas de Numeração

PRC
Binário para Decimal
• Técnica
– Multiplique cada bit por 2n, onde n é o “peso”
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– O peso é a posição do bit, começa...
Exemplo
Bit “0”
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x
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MAB 124

Sistemas...
Octal para Decimal
Decimal

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MAB 124

Octal

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Sistemas de Numeração

PRC
Octal para Decimal
• Técnica
– Multiplique cada bit por 8n, onde n é o “peso”
do bit
– O peso é a posição do bit, começand...
Exemplo

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MAB 124

4 x 80 =
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16
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Sistemas de Numeração

PRC
Hexadecimal para Decimal
Decimal

Binário

MAB 124

Octal

Hexadecimal

Sistemas de Numeração

PRC
Hexadecimal para Decimal
• Técnica
– Multiplique cada bit por 16n, onde n é o “peso”
do bit
– O peso é a posição do bit, c...
Exemplo

ABC16 =>

C x 160 = 12 x
1 =
12
B x 161 = 11 x 16 = 176
A x 162 = 10 x 256 = 2560
274810

MAB 124

Sistemas de Nu...
Decimal para Binário
Decimal

Binário

MAB 124

Octal

Hexadecimal

Sistemas de Numeração

PRC
Decimal para Binário
• Técnica
– Divida por dois, guardando os restos
– Primeiro resto é o bit 0 (bit menos
significativo)...
Exemplo
12510 = ?2

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2 15
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1
1
1
1
1

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MAB 124

Sistemas de Numeração

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Octal para Binário
Decimal

Binário

MAB 124

Octal

Hexadecimal

Sistemas de Numeração

PRC
Octal para Binário
• Técnica
– Converta cada dígito octal para uma
representação binária equivalente de 3 bits

MAB 124

S...
Exemplo
7058 = ?2

7

0

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7058 = 1110001012
MAB 124

Sistemas de Numeração

PRC
Hexadecimal para Binário
Decimal

Octal

Binário

MAB 124

Hexadecimal

Sistemas de Numeração

PRC
Hexadecimal para Binário
• Técnica
– Converta cada dígito hexadecimal para uma
representação binária equivalente de 4 bits...
Exemplo
10AF16 = ?2

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Sistemas de Numeração

PRC
Decimal para Octal
Decimal

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Sistemas de Numeração

PRC
Decimal para Octal
• Técnica
– Divida por 8
– Guarde os restos

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Sistemas de Numeração

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0

2
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MAB 124

Sistemas de Numeração

PRC
Decimal para Hexadecimal
Decimal

Binário

MAB 124

Octal

Hexadecimal

Sistemas de Numeração

PRC
Decimal para Hexadecimal
• Técnica
– Divida por 16
– Guarde os restos

MAB 124

Sistemas de Numeração

PRC
Exemplo
123410 = ?16
16
16
16

1234
77 2
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0 4

123410 = 4D216
MAB 124

Sistemas de Numeração

PRC
Binário para Octal
Decimal

Binário

MAB 124

Octal

Hexadecimal

Sistemas de Numeração

PRC
Binário para Octal
• Técnica
– Divida os bits em grupos de três, começando à
direita
– Converta para dígitos octais

MAB 1...
Exemplo
10110101112 = ?8

1 011 010 111
1

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10110101112 = 13278
MAB 124

Sistemas de Numeração

PRC
Binário para Hexadecimal
Decimal

Octal

Binário

MAB 124

Hexadecimal

Sistemas de Numeração

PRC
Binário para Hexadecimal
• Técnica
– Divida os bits em grupos de quatro, começando
à direita
– Converta para dígitos hexad...
Exemplo
10101110112 = ?16

10 1011 1011
1

B

B

10101110112 = 2BB16
MAB 124

Sistemas de Numeração

PRC
Octal para Hexadecimal
Decimal

Binário

MAB 124

Octal

Hexadecimal

Sistemas de Numeração

PRC
Octal para Hexadecimal
• Técnica
– Use Binário como uma representação
intermediária

MAB 124

Sistemas de Numeração

PRC
Exemplo
10768 = ?16
1

0

7

6

001

000

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110

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10768 = 23E16
MAB 124

Sistemas de Numeração

PRC
Hexadecimal para Octal
Decimal

Binário

MAB 124

Octal

Hexadecimal

Sistemas de Numeração

PRC
Hexadecimal para Octal
• Técnica
– Use Binário como uma representação
intermediária

MAB 124

Sistemas de Numeração

PRC
Exemplo
1F0C16 = ?8
1

F

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C

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1

4

1F0C16 = 174148
MAB 124

Sistemas de Numeração

PRC
Exercício – Converta ...
Decimal

Binário

Octal

Hexadecimal

33
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703
1AF
Não use calculadora!
Pule a resposta
MAB...
Exercício – Converta …
Resposta

Decimal

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431

MAB 124

Binário

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100001
1110101
111000011
1...
Potências mais Comuns (1 de 2)
• Base 10
Potência

Símbolo

Valor

10-12

pico

p

.000000000001

10-9

nano

n

.00000000...
Potências mais Comuns (2 de 2)
• Base 2
Potência

Prefixo

Símbolo

Valor

210

kilo

k

1024

220

mega

M

1048576

230
...
Exemplo
No laboratório…
1. Clique duplo em Meu Computador
2. Clique com o botão direito em C:
3. Clique em Propriedades

/...
Exercício – Espaço Livre
• Determine o “espaço livre” de todos os
drives de um computador do laboratório
Espaço Livre
Driv...
Revisão – multiplicando potências
• Para bases comuns, adicione os expoentes
ab × ac = ab+c

26 × 210 = 216 = 65,536
ou …
...
Adição Binária (1 de 2)
• Dois valores de 1-bit
A
0
0
1
1

MAB 124

B
0
1
0
1

A+B
0
1
1
10

Sistemas de Numeração

“dois”...
Adição Binária (2 de 2)
• Dois valores de n-bits
– Adicione os bits individualmente
– Propague as sobras
– E.g.,
1

1

101...
Multiplicação (1 de 3)
• Decimal (só para entender)
35
x 105
175
000
35
3675

MAB 124

Sistemas de Numeração

PRC
Multiplicação (2 de 3)
• Binário, dois valores de 1-bit
A
0
0
1
1

MAB 124

B
0
1
0
1

A×B
0
0
0
1

Sistemas de Numeração
...
Multiplicação (3 de 3)
• Binário, dois valores de n-bits
– Como no caso de valores decimais
– E.g.,
1110
x 1011
1110
1110
...
Frações
• Decimal para decimal (só para entender)

3.14 =>

MAB 124

4 x 10-2 = 0.04
1 x 10-1 = 0.1
3 x 100 = 3
3.14

Sist...
Frações
• Binário para decimal
10.1011 =>

MAB 124

1
1
0
1
0
1

x
x
x
x
x
x

2-4
2-3
2-2
2-1
20
21

=
=
=
=
=
=

Sistemas...
Frações
• Decimal para Binário
3.14579

11.001001...
MAB 124

.14579
x
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0.29158
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Exercício – Converta ...
Decimal

Binário

Octal

Hexadecimal

29.8
101.1101
3.07
C.82
Não use calculadora!
Pule a respost...
Exercício – Converta …
Resposta

Decimal

Binário

Octal

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5.8125
101.1101
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01 programando em python - sistemas de numeracao

  1. 1. Sistemas de Numeração MAB 124 Sistemas de Numeração PRC
  2. 2. Por que Binário? • Primeiros computadores projetados eram decimais – Mark I e ENIAC • John von Neumann propôs processamento com dados binários (1945) – Simplificava o projeto de computadores – Usado tanto por instruções como por dados MAB 124 Sistemas de Numeração Off Verdadeiro Falso Sim Não 1 • Relação natural entre comutadores on/off e cálculos com lógica Booleana On 0 PRC
  3. 3. Contagem e Aritmética • Decimal ou sistema de base 10 – Origem: contando nos dedos – “Dígito” vem do Latim digitus, que significa “dedo” • Base: o número de dígitos diferentes no sistema numérico, incluindo zero • Decimal ou base 10: 10 dígitos, 0 até 9 • Binário ou base 2: 2 dígitos, 0 e 1 – Bit (dígito binário) • Octal ou base 8: 8 dígitos, 0 até 7 • Hexadecimal ou base 16: 16 dígitos, 0 até F – Exemplos: 1010 = A16; 1110 = B16 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC
  4. 4. Considerando os Bits • Bits são normalmente armazenados e manipulados em grupos – 8 bits = 1 byte – 4 bytes = 1 palavra (em sistemas de 32 bits) • Número de bits usados em cálculos – Afetam a precisão dos resultados – Limitam o tamanho dos números manipulados pelo computador MAB 124 Sistemas de Numeração PRC
  5. 5. Números: Representação Física • Diferentes numerais, mesmo número de laranjas – Homem das cavernas: IIIII – Romano: V – Arábico: 5 • Diferentes bases, mesmo número de laranjas – 510 – 1012 – 123 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC
  6. 6. Sistemas de Numeração • Romanos: independentes da posição • Moderno: baseado na notação posicional (valor posicional) – Decimal: sistema de notação posicional baseado em potências de 10. – Binário: sistema de notação posicional baseado potências de 2 – Octal : sistema de notação posicional baseado em potências de 8 – Hexadecimal: sistema de notação posicional baseado em potências de 16 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC
  7. 7. Sistemas Numéricos mais Comuns Sistema Base Símbolos Usado por humanos? Decimal 10 0, 1, … 9 Sim Não Binário 2 0, 1 Não Sim Octal 8 0, 1, … 7 Não Não Hexadecimal 16 0, 1, … 9, A, B, … F Não Não MAB 124 Sistemas de Numeração Usado por computadores? PRC
  8. 8. Quantidades / Contagem (1 de 3) Decimal Binário Octal Hexadecimal 0 0 0 1 1 1 1 2 10 2 2 3 11 3 3 4 100 4 4 5 101 5 5 6 110 6 6 7 MAB 124 0 111 7 7 Sistemas de Numeração PRC
  9. 9. Quantidades / Contagem (2 de 3) HexaDecimal Binário Octal decimal 8 10 8 9 1001 11 9 10 1010 12 A 11 1011 13 B 12 1100 14 C 13 1101 15 D 14 1110 16 E 15 MAB 124 1000 1111 17 F Sistemas de Numeração PRC
  10. 10. Quantidades / Contagem (3 de 3) HexaDecimal Binário Octal decimal 16 20 10 17 10001 21 11 18 10010 22 12 19 10011 23 13 20 10100 24 14 21 10101 25 15 22 10110 26 16 23 MAB 124 10000 10111 27 17 Sistemas de Numeração Etc. PRC
  11. 11. Conversão Entre Bases • Possibilidades: Decimal Octal Binário MAB 124 Hexadecimal Sistemas de Numeração PRC
  12. 12. Exemplo 2510 = 110012 = 318 = 1916 Base MAB 124 Sistemas de Numeração PRC
  13. 13. Decimal para Decimal (só para entender) Decimal Binário MAB 124 Octal Hexadecimal Sistemas de Numeração PRC
  14. 14. Peso 12510 => 5 x 100 2 x 101 1 x 102 = 5 = 20 = 100 125 Base MAB 124 Sistemas de Numeração PRC
  15. 15. Binário para Decimal Decimal Binário MAB 124 Octal Hexadecimal Sistemas de Numeração PRC
  16. 16. Binário para Decimal • Técnica – Multiplique cada bit por 2n, onde n é o “peso” do bit – O peso é a posição do bit, começando em 0 à direita – Adicione os resultados MAB 124 Sistemas de Numeração PRC
  17. 17. Exemplo Bit “0” 1010112 => 1 1 0 1 0 1 x x x x x x 20 21 22 23 24 25 = = = = = = 1 2 0 8 0 32 4310 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC
  18. 18. Octal para Decimal Decimal Binário MAB 124 Octal Hexadecimal Sistemas de Numeração PRC
  19. 19. Octal para Decimal • Técnica – Multiplique cada bit por 8n, onde n é o “peso” do bit – O peso é a posição do bit, começando em 0 à direita – Adicione os resultados MAB 124 Sistemas de Numeração PRC
  20. 20. Exemplo 7248 => MAB 124 4 x 80 = 2 x 81 = 7 x 82 = 4 16 448 46810 Sistemas de Numeração PRC
  21. 21. Hexadecimal para Decimal Decimal Binário MAB 124 Octal Hexadecimal Sistemas de Numeração PRC
  22. 22. Hexadecimal para Decimal • Técnica – Multiplique cada bit por 16n, onde n é o “peso” do bit – O peso é a posição do bit, começando de 0 à direita – Adicione os resultados MAB 124 Sistemas de Numeração PRC
  23. 23. Exemplo ABC16 => C x 160 = 12 x 1 = 12 B x 161 = 11 x 16 = 176 A x 162 = 10 x 256 = 2560 274810 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC
  24. 24. Decimal para Binário Decimal Binário MAB 124 Octal Hexadecimal Sistemas de Numeração PRC
  25. 25. Decimal para Binário • Técnica – Divida por dois, guardando os restos – Primeiro resto é o bit 0 (bit menos significativo) – Segundo resto é o bit 1 – Etc. MAB 124 Sistemas de Numeração PRC
  26. 26. Exemplo 12510 = ?2 2 125 2 62 2 31 2 15 7 2 3 2 1 2 0 1 0 1 1 1 1 1 12510 = 11111012 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC
  27. 27. Octal para Binário Decimal Binário MAB 124 Octal Hexadecimal Sistemas de Numeração PRC
  28. 28. Octal para Binário • Técnica – Converta cada dígito octal para uma representação binária equivalente de 3 bits MAB 124 Sistemas de Numeração PRC
  29. 29. Exemplo 7058 = ?2 7 0 5 111 000 101 7058 = 1110001012 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC
  30. 30. Hexadecimal para Binário Decimal Octal Binário MAB 124 Hexadecimal Sistemas de Numeração PRC
  31. 31. Hexadecimal para Binário • Técnica – Converta cada dígito hexadecimal para uma representação binária equivalente de 4 bits. MAB 124 Sistemas de Numeração PRC
  32. 32. Exemplo 10AF16 = ?2 1 0 A F 0001 0000 1010 1111 10AF16 = 00010000101011112 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC
  33. 33. Decimal para Octal Decimal Binário MAB 124 Octal Hexadecimal Sistemas de Numeração PRC
  34. 34. Decimal para Octal • Técnica – Divida por 8 – Guarde os restos MAB 124 Sistemas de Numeração PRC
  35. 35. Exemplo 123410 = ?8 8 8 8 8 1234 154 19 2 0 2 2 3 2 123410 = 23228 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC
  36. 36. Decimal para Hexadecimal Decimal Binário MAB 124 Octal Hexadecimal Sistemas de Numeração PRC
  37. 37. Decimal para Hexadecimal • Técnica – Divida por 16 – Guarde os restos MAB 124 Sistemas de Numeração PRC
  38. 38. Exemplo 123410 = ?16 16 16 16 1234 77 2 4 13 = D 0 4 123410 = 4D216 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC
  39. 39. Binário para Octal Decimal Binário MAB 124 Octal Hexadecimal Sistemas de Numeração PRC
  40. 40. Binário para Octal • Técnica – Divida os bits em grupos de três, começando à direita – Converta para dígitos octais MAB 124 Sistemas de Numeração PRC
  41. 41. Exemplo 10110101112 = ?8 1 011 010 111 1 3 2 7 10110101112 = 13278 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC
  42. 42. Binário para Hexadecimal Decimal Octal Binário MAB 124 Hexadecimal Sistemas de Numeração PRC
  43. 43. Binário para Hexadecimal • Técnica – Divida os bits em grupos de quatro, começando à direita – Converta para dígitos hexadecimais MAB 124 Sistemas de Numeração PRC
  44. 44. Exemplo 10101110112 = ?16 10 1011 1011 1 B B 10101110112 = 2BB16 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC
  45. 45. Octal para Hexadecimal Decimal Binário MAB 124 Octal Hexadecimal Sistemas de Numeração PRC
  46. 46. Octal para Hexadecimal • Técnica – Use Binário como uma representação intermediária MAB 124 Sistemas de Numeração PRC
  47. 47. Exemplo 10768 = ?16 1 0 7 6 001 000 111 110 2 3 E 10768 = 23E16 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC
  48. 48. Hexadecimal para Octal Decimal Binário MAB 124 Octal Hexadecimal Sistemas de Numeração PRC
  49. 49. Hexadecimal para Octal • Técnica – Use Binário como uma representação intermediária MAB 124 Sistemas de Numeração PRC
  50. 50. Exemplo 1F0C16 = ?8 1 F 0 C 0001 1111 0000 1100 1 7 4 1 4 1F0C16 = 174148 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC
  51. 51. Exercício – Converta ... Decimal Binário Octal Hexadecimal 33 1110101 703 1AF Não use calculadora! Pule a resposta MAB 124 Sistemas de Numeração Resposta PRC
  52. 52. Exercício – Converta … Resposta Decimal Octal 33 117 451 431 MAB 124 Binário Hexadecimal 100001 1110101 111000011 110101111 41 165 703 657 21 75 1C3 1AF Sistemas de Numeração PRC
  53. 53. Potências mais Comuns (1 de 2) • Base 10 Potência Símbolo Valor 10-12 pico p .000000000001 10-9 nano n .000000001 10-6 micro µ .000001 10-3 mili m .001 103 kilo k 1000 106 mega M 1000000 109 giga G 1000000000 1012 MAB 124 Prefixo tera T 1000000000000 Sistemas de Numeração PRC
  54. 54. Potências mais Comuns (2 de 2) • Base 2 Potência Prefixo Símbolo Valor 210 kilo k 1024 220 mega M 1048576 230 Giga G 1073741824 • O que são os valores de “k”, “M”, e “G”? • Em computação, em particular com memórias, a interpretação de base-2 geralmente se aplica MAB 124 Sistemas de Numeração PRC
  55. 55. Exemplo No laboratório… 1. Clique duplo em Meu Computador 2. Clique com o botão direito em C: 3. Clique em Propriedades / 230 = MAB 124 Sistemas de Numeração PRC
  56. 56. Exercício – Espaço Livre • Determine o “espaço livre” de todos os drives de um computador do laboratório Espaço Livre Drive Bytes GB A: C: D: E: etc. MAB 124 Sistemas de Numeração PRC
  57. 57. Revisão – multiplicando potências • Para bases comuns, adicione os expoentes ab × ac = ab+c 26 × 210 = 216 = 65,536 ou … 26 × 210 = 64 × 210 = 64k MAB 124 Sistemas de Numeração PRC
  58. 58. Adição Binária (1 de 2) • Dois valores de 1-bit A 0 0 1 1 MAB 124 B 0 1 0 1 A+B 0 1 1 10 Sistemas de Numeração “dois” PRC
  59. 59. Adição Binária (2 de 2) • Dois valores de n-bits – Adicione os bits individualmente – Propague as sobras – E.g., 1 1 10101 + 11001 101110 MAB 124 21 + 25 46 Sistemas de Numeração PRC
  60. 60. Multiplicação (1 de 3) • Decimal (só para entender) 35 x 105 175 000 35 3675 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC
  61. 61. Multiplicação (2 de 3) • Binário, dois valores de 1-bit A 0 0 1 1 MAB 124 B 0 1 0 1 A×B 0 0 0 1 Sistemas de Numeração PRC
  62. 62. Multiplicação (3 de 3) • Binário, dois valores de n-bits – Como no caso de valores decimais – E.g., 1110 x 1011 1110 1110 0000 1110 10011010 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC
  63. 63. Frações • Decimal para decimal (só para entender) 3.14 => MAB 124 4 x 10-2 = 0.04 1 x 10-1 = 0.1 3 x 100 = 3 3.14 Sistemas de Numeração PRC
  64. 64. Frações • Binário para decimal 10.1011 => MAB 124 1 1 0 1 0 1 x x x x x x 2-4 2-3 2-2 2-1 20 21 = = = = = = Sistemas de Numeração 0.0625 0.125 0.0 0.5 0.0 2.0 2.6875 PRC
  65. 65. Frações • Decimal para Binário 3.14579 11.001001... MAB 124 .14579 x 2 0.29158 x 2 0.58316 x 2 1.16632 x 2 0.33264 x 2 0.66528 x 2 1.33056 etc. Sistemas de Numeração PRC
  66. 66. Exercício – Converta ... Decimal Binário Octal Hexadecimal 29.8 101.1101 3.07 C.82 Não use calculadora! Pule a resposta MAB 124 Sistemas de Numeração Resposta PRC
  67. 67. Exercício – Converta … Resposta Decimal Binário Octal 29.8 11101.110011… 35.63… 5.8125 101.1101 5.64 3.109375 11.000111 3.07 12.5078125 1100.10000010 14.404 MAB 124 Sistemas de Numeração Hexadecimal 1D.CC… 5.D 3.1C C.82 PRC

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