Este documento apresenta um resumo de conteúdos básicos de matemática elementar, incluindo funções, inversas de funções, composição de funções e domínios de funções. Inclui seis questões resolvidas como exemplos.

1. MATEMÁTICA ELEMENTAR
MATEMÁTICA ELEMENTAR
Carlos Alberto G. de Almeida
(cviniro@gmail.com)
17 de setembro de 2012

2. MATEMÁTICA ELEMENTAR
Introdução
Olá a todos!
Estudaremos neste tópico o seguinte conteúdo:
Funções.
Apresentaremos aqui alguns Exercícios Resolvidos sobre o
assunto descrito acima, porém, é interessante que você estude
antes a teoria.
BOM ESTUDO!

3. MATEMÁTICA ELEMENTAR
Questão 01: Utilize o método algébrico para determinar a inversa
da função dada.
1. f (x) = 2x + 1
2. f (x) = x 3 − 8
Solução: 1.
f (x) −→ y : =⇒ y = 2x + 1
x ←→ y : =⇒ x = 2y + 1
x −1
y =? : =⇒ y =
2
y −→ f −1 (x) : =⇒ f −1 (x) = x − 1
2
f ◦ f −1 = f −1 ◦ f = Id =⇒
f (f −1 (x)) = 2f −1 (x) + 1 = 2( x−1 ) + 1 = x
2
Portanto f −1 é definida pela equação
−1 1

4. MATEMÁTICA ELEMENTAR
Questão 01: CONTINUAÇÃO
Solução: 2.
f (x) −→ y : =⇒ y = x 3 − 8
x ←→ y : =⇒ x = y 3 − 8 √
y =? : =⇒ y 3 = x + 8 =⇒ y √ 3 x + 8
=
y −→ f −1 (x) : =⇒ f −1 (x) = 3 x + 8
f ◦ f −1 = f −1 ◦ f = Id : =⇒ √
f (f −1 (x)) = (f −1 (x))3 − 8 = ( 3 x + 8)3 − 8 = x
Portanto f −1 é definida pela equação
√
f −1 (x) = x + 8
3

5. MATEMÁTICA ELEMENTAR
1
Questão 02: Seja f (x) = 3x − 1, g(x) = x 3 e h(x) = 3 (x + 1).
Calcule:
1. (f ◦ g)(2) e (g ◦ f )(2)
2. (f ◦ g)(x) e (g ◦ f )(x)
3. (f ◦ h)(x) e (h ◦ f )(x)
4. (f ◦ f )(x) e [f ◦ (g + h)](x)
Solução:
1.
(f ◦ g)(2) = f [g(2)] = f (23 ) = f (8) = 3(8) − 1 = 23
(g ◦ f )(2) = g[f (2)] = g[(3)(2) − 1] = g(5) = 53 = 125
2.
(f ◦ g)(x) = f [g(x)] = f (x 3 ) = 3x 3 − 1
(g◦f )(x) = g[f (x)] = g[3x−1] = (3x−1)3 = 27x 3 −27x 2 +9x−1.

6. MATEMÁTICA ELEMENTAR
Questão 02: CONTINUAÇÃO
Solução:
3.
(f ◦ h)(x) = f [h(x)] = f [ 1 (x + 1)] = 3[ 1 (x + 1)] − 1 = x
3 3
(h ◦ f )(x) = h[f (x)] = h[3x − 1] = 1 (3x − 1 + 1) = x.
3
4.
(f ◦ f )(x) = f [f (x)] = f [3x − 1] = 3(3x − 1) − 1 = 9x − 4
[f ◦ (g + h)](x) = f [(g + h)(x)] = f [g(x) + h(x)] = f [x 3 + 1 (x + 1)]
3
1
= 3[x 3 + 3 (x + 1)] − 1 = 3x 3 + x.

7. MATEMÁTICA ELEMENTAR
Questão 03: Considere a função g(x) = 4x + 7. Calcule
g(3 + h) − g(3)
para h = 0 e siplifique a resposta.
h
Solução:
g(3 + h) − g(3) [4(3 + h) + 7] − [4(3) + 7]
=
h h
12 + 4h + 7 − 12 − 7 4h
= = = 4.
h h

8. MATEMÁTICA ELEMENTAR
Questão 04: Se f (1) = 5, f (3) = 7 e f (8) = −10. Encontre f −1 (7),
f −1 (5) e f −1 (−10)
Solução:
Definição: Seja f uma função bijetora com domínio A e imagem
B. Então sua FUNÇÃO INVERSA f −1 tem domínio B e imagem
A, sendo definida por
f −1 (y ) = x ⇐⇒ f (x) = y
Da definição de f −1 temos:
f −1 (7) = 3 porque f (3) = 7
f −1 (5) = 1 porque f (1) = 5
f −1 (−10) = 8 porque f (8) = −10

9. MATEMÁTICA ELEMENTAR
Questão 04: CONTINUAÇÃO
O diagrama na figura abaixo torna claro que f −1 reverte o
efeito de f nesse caso.

10. MATEMÁTICA ELEMENTAR
Questão 05: Encontre o domínio da cada função
√
1. f (x) = x + 2
1
2. g(x) = 2
x −x
Solução:
1.
Como a raiz quadrada de um número negativo não está
definida (como um número real), o domínio de f consiste em
todos os valores de x tais que x + 2 ≥ 0. Isso é equivalente a
x ≥ −2; assim, o domínio é o intervalo [−2, ∞), ou seja,
Df = {x ∈ R; x ≥ −2}

11. MATEMÁTICA ELEMENTAR
Questão 05: CONTINUAÇÃO
2. Uma vez que
1 1
g(x) = =
x2 −x x(x − 1)
e a divisão por 0 não é permitida, vemos que g(x) não está
definida no caso de x = 0 ou x = 1. Dessa forma, o domínio
de g é
Dg = {x|x = 0, x = 1}
que também pode ser dado na notação de intervalo como
(−∞, 0) (0, 1) (1, ∞)

12. MATEMÁTICA ELEMENTAR
Questão 06: Dada a função f (x) = −x 2 + 2x, simplifique:
f (x) − f (1)
1.
x −1
f (x + h) − f (x)
2.
h
Solução:
1.
f (x) − f (1) (−x 2 + 2x) − 1 −(x − 1)2
= = .
x −1 x −1 x −1
Assim,
f (x) − f (1)
= −(x − 1), x = 1.
x −1
Observe: f (1) = −12 + 2 = 1

13. MATEMÁTICA ELEMENTAR
Questão 06: CONTINUAÇÃO
2.
Primeiro vamos calcular f (x + h). Temos:
f (x+h) = −(x+h)2 +2(x+h) = −x 2 −2xh−h2 = −x 2 −2xh−h2 +2x+2h
Então
f (x + h) − f (x) −x 2 − 2xh − h2 + 2x + 2h − (−x 2 + 2x)
=
h h
−2xh − h2 + 2h
= −2x − h + 2
h
ou seja,
f (x + h) − f (x)
= −2x − h + 2, h = 0.
h

14. MATEMÁTICA ELEMENTAR
OBSERVAÇÕES:
Caros alunos e alunas, é de extrema importância que
vocês não acumulem dúvidas e procurem, dessa forma,
estarem em dia com o conteúdo.
Sugiro que estudem o conteúdo apresentado neste tópico,
e coloquem as dúvidas que tiverem no fórum, para que eu
possa tentar esclarecê-las.
BOM ESTUDO!