Aula inequacoes

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Aula inequacoes

  1. 1. INEQUAÇÕES DO 1º GRAU 1 - Linguagem das inequações Qual a diferença entre uma equação do 1º grau e uma inequação do 1º grau ? Como se sabe, uma equação é uma igualdade entre dois membros e por isso usa-se o sinal de igual entre eles. Para termos uma inequação, basta termos, em vez de um sinal de igual, sinais de: maior > menor < maior ou igual ≥≥≥≥ menor ou igual ≤≤≤≤ Assim : x + 2 = 7 3 − é uma equação (porque usa o sinal =) 3x + 5 > 8 é uma inequação (porque usa o sinal >) 6,4x – 9 < 9 5 é uma inequação (porque usa o sinal <) 3 9 12 4 x + ≥ − é uma inequação (porque usa o sina l≤) 5 – 12x ≤≤≤≤ 0,14 é uma inequação (porque usa o sinal ≥) Nas inequações utiliza-se a mesma linguagem das equações: membro, termo, incógnita, solução e resolução. Assim, para a inequação: x + 2 > 4 temos: incógnita ⇒ x 1º membro ⇒ x + 2 2º membro ⇒ 4 termos ⇒ x , 2 e 4 Numa inequação, normalmente, temos muitas soluções: 5 é solução ; 5 + 2 > 4 ( verdadeiro ) 3 é solução ; 3 + 2 > 4 ( verdadeiro ) – 2 não é solução ; –2 + 2 > 4 ( falso ) Uma inequação está resolvida quando se determinou o conjunto das soluções (conjunto-solução). Duas inequações são equivalentes quando têm o mesmo conjunto-solução.
  2. 2. 2 - Resolução de inequações Na resolução de inequações usam-se duas propriedades da relação > ou < e que são a Monotonia da adição e a Monotonia parcial da multiplicação. 1ª – Monotonia da adição Se numa balança tivermos 5 kg num prato e 3 kg no outro, e se acrescentarmos 2 kg a cada um dos pratos, a situação não se altera. Matematicamente escrevíamos: 5 > 3 ⇔ ⇔ 2 + 5 > 2 + 3 O mesmo se passa se subtrairmos: 5 > 3 ⇔ ⇔ 5 – 2 > 3 – 2 Diz-se, por isso, que: Podemos adicionar ou subtrair a ambos os membros de uma inequação um mesmo número, que obtemos uma inequação equivalente à primeira. Assim: 2x –5 > 8 ⇔ 2x –5 +5 > 8 +5 ⇔ 2x > 8 +5 Na prática e simplificadamente, podemos dizer que podemos passar um termo de um membro para o outro desde que se troque o sinal, tal como se faz nas equações: o –5 mudou de membro trocando de sinal Exemplos: a) 4x – 5 < 8 ⇔ 4x < 8 + 5 b) 12 + x > 25 ⇔ x > 25 – 12 2ª - Monotonia parcial da multiplicação • Multiplicação por um número positivo Observemos: 2 é menor que 3 e matematicamente escrevemos: 2 < 3 Podemos multiplicar ambos os membros por qualquer número positivo, que a desigualdade contínua a ser verdadeira: 2 x 6 < 3 x 6 ⇔ 12 < 18 2 x 25 < 3 x 25 ⇔ 50 < 75 2 x 0,01 < 3 x 0,01 ⇔ 0,02 < 0,03 etc.
  3. 3. Diz-se, por isso, que: Podemos multiplicar ambos os membros de uma inequação por um n.º positivo, mantendo o sinal da desigualdade, que obtemos uma inequação equivalente à primeira. • Multiplicação por um número negativo Observemos novamente: 2 < 3 Mas se multiplicarmos ambos os membros por – 1 verifica-se que: – 1 x 2 dá – 2 e – 1 x 3 dá – 3 Ora – 2 é maior que – 3 e por isso temos de inverter o sinal da desigualdade: 2 < 3 ⇔ ⇔ – 1 x 2 > – 1 x 3 ⇔ ⇔ – 2 > – 3 Ao multiplicarmos ambos os membros por um n.º negativo tivemos de inverter o sinal da desigualdade. Diz-se, por isso, que: Podemos multiplicar ambos os membros de uma inequação por um n.º negativo, invertendo o sinal da desigualdade, que obtemos uma inequação equivalente à primeira. A Monotonia parcial da Multiplicação é usada para a resolução de inequações, quando se pretende eliminar o coeficiente da variável. O coeficiente da variável é o número que multiplica a variável; exemplos: 3x a variável é x e o seu coeficiente é 3 – 0,8 y a variável é y e o seu coeficiente é – 0,8 – a a variável é a e o seu coeficiente é – 1 4 b a variável é b e o seu coeficiente é 1 4 ( porque 1 4 x b = 4 b ) Assim: • Se o coeficiente de x for positivo muda de membro passando a dividir, sem mudar o sinal da desigualdade. Exemplos: a) 4x < 5 ⇔ x < 5 4
  4. 4. b) 12x ≥ – 24 ⇔ x ≥ 24 12 − ⇔ x ≥ – 2 • Se o coeficiente de x for negativo muda de membro passando a dividir, mudando-se o sinal da desigualdade. Exemplos: a) – 3x > 18 ⇔ x < 18 3 − ⇔ x < – 6 b) – 14x ≤≤≤≤ – 42 ⇔ x ≥≥≥≥ 42 14 − − como já se sabe dois sinais – dão sinal + e por isso escreve-se: ⇔ x ≥ 42 14 ⇔ x ≥ 3 Nas mudanças de membro os sinais dos coeficientes da variável mantêm-se tal como nas equações. Exercícios resolvidos: 1) 4 ( x – 12 ) < x ⇔ ⇔ 4x – 48 < x ⇔ ⇔ 4x – x < 48 ⇔ ⇔ 3x < 48 ⇔ ⇔ x < 48 3 ⇔ x < 16 Solução : S = ] – ∞ , 16 [ 2) 3 x ≤ 7 ( x + 5 ) ⇔ ⇔ 3 x ≤ 7x + 35 ⇔ ⇔ 3 x ≤ 7 3 35 3 3 3 x× × + e retirando os denominadores agora que estão todos iguais ⇔ x ≤ 21x + 105 ⇔ ⇔ x – 21x ≤ 105 ⇔ ⇔ – 20x ≤ 105 ⇔ ⇔ x ≥ 105 20 − ⇔ ⇔ x ≥ – 5,25 Solução : S =[ – 5,25 ; + ∞ [
  5. 5. 3) 5 x − > 3,5 – x ⇔ ⇔ – x > 17,5 – 5x ⇔ ⇔ – x + 5x > 17,5 ⇔ ⇔ 4x > 17,5 ⇔ ⇔ x > 4,375 Solução: S = ] 4,375 ; + ∞ [ Exercícios para resolver 1) 2x – 1 > 3 ⇔ Solução: S = ] 2 , + ∝ [ 2) 1 2 – 3x > – 8x ⇔ Solução: S = ] – 0,1 , + ∝ [ 3) 2 ( 1 – x ) < – 3 ( 1 + x ) ⇔ Solução: S = ] – ∝ , – 5 [ 4) 1 – 2x > – 5 ⇔ Solução: S = ] – ∝ , 3 [ 5) – ( 1 + 3x ) ≤ 5 2 − ⇔ Solução: S = [ 0,5 , + ∝ [ 6) ( )5 3 2 x − > 7x ⇔ Solução: S = ] – ∝ , – 1 3 [ 7) ( )1 2 1 2 x− − ≤ 0 ⇔ Solução: S = [ 1 , + ∝ [ 8) 1 – 5x ≥ 2 – 1 3 x + ⇔ Solução: S = ] – ∝ , – 1 7 ]

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