MATRIZES<br />Conceito:<br />Em Matemática matrizes são tabelas retangulares utilizadas para organizar dados numéricos.<br...
Matrizes Por Valtenir
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Estude matriz: Conceito, Nomenclatura, Tipos de Matrizes, Adição e Subtração de Matrizes, Multiplicação de um Escalar por uma Matriz e Multiplicação de Uma Matriz por Outra

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  • qual é a soma dos elemenos da matriz C=(cij)2x4 em que cij=1+i+j? poderia me ajudar?
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Matrizes Por Valtenir

  1. 1. MATRIZES<br />Conceito:<br />Em Matemática matrizes são tabelas retangulares utilizadas para organizar dados numéricos.<br />Nas matrizes, cada elemento é chamado elemento da matriz.<br />As filas horizontais são chamadas linhas.<br />As filas verticais são chamadas de colunas.<br /> Uma matriz com m linhas e n colunas é chamada de matriz m por n (escreve-se m × n) e, m e n são suas dimensões, tipo ou ordem.<br />-109220163195EXEMPLO:<br />Neste exemplo a matriz tem 4 linhas e 3 colunas então dizemos que esta é uma matriz 4 x 3 (lê-se quatro por três), isso por que tem 4 linhas e 3 colunas.<br /> (Lê-se matriz de ordem 3×3, ou seja três linhas e três colunas) (Lê-se matriz de ordem 4×5, ou seja quatro linhas e cinco colunas (Lê-se matriz de ordem 2×3, ou seja duas linhas e três colunas (Lê-se matriz de ordem 2×2, ou seja duas linhas e duas colunasVeja outros exemplos de matrizes e suas ordens ou tipos.<br /> <br />Numa matriz, cada número(elemento) ocupa uma posição definida por sua linha e por sua coluna, nessa ordem.<br />-109220236220VEJA:<br />EXERCICIO<br />1- O que são matrizes?<br />2- Como são chamadas as filas horizontais de uma matriz?<br />3- O que são colunas de uma matriz?<br />4- Por que uma matriz é chamada 3 x 5 (de ordem três por cinco)?<br />5- Crie uma matriz de ordem 3 x 6.<br />6- Como se lê as matrizes abaixo:<br /> <br />7- Em que linha e coluna está o elemento 5 da matriz abaixo <br />8- Em que linha e coluna estão os elementos 6 e 7 da matriz abaixo <br />REPRESENTAÇÃO DE UMA MATRIZ<br />Uma matriz pode ser representada de três formas ou através de parenteses, ou através de chaves ou por meio de barra dupla.<br />Veja:<br /> matriz representada entre parenteses<br /> Matriz representada entre colchetes<br />Matriz representada entre barra dupla<br />PARTES DE UMA MATRIZ<br />Observe a tabela abaixo.<br />-27305146685<br /> Como você pode vê as partes de uma matriz são Elemento, linhas e colunas<br /> Elementos saão cada parte que está dentro da matriz;<br /> Linhas é o conjunto dos elementos que estão na horizontal<br /> Coluna é o conjunto dos elementos que estão na vertical<br />NOMENCLATURA <br />No âmbito da nomenclatura de matrizes podemos ver as seguintes definições:<br />Am x n (É uma matriz A com m linhas e n colunas).<br />aij (É um elemento qualquer que está na linha i e na coluna j de uma matriz).<br />REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DE UMA MATRIZ<br />Observe as matrizes ao lado.<br /> Matriz genérica matriz específica Indicamos assim:a11 = 1 (Lê-se a um um igual a 1) a21 = 5 (Lê-se a dois um igual a 5) a12 = 3 (Lê-se a um dois igual a 3) a22 = 4 (Lê-se a dois dois a 4) a13 = 9 (Lê-se a um três igual a 9) a23 = 10 (Lê-se a dois três igual a 10) O<br />20320308610Logo podemos escrever a matriz generica ou seja a matriz que representa matriz de qualquer ordem.<br /> Abrevidamente esta matriz pode ser representada assim:<br /> A = (aij) m x n (Lê-se Matriz A dos elementos aij do tipo m x n<br /> i – Representa a linha na qual o elemento está inserido.<br /> j – Representa a coluna na qual o elemento está inserido.<br />Vamos ver alguns exemplos:<br />-1568452743201º EXEMPLO: Quais os valores de, a13 e a21 na matriz abaixo?<br /> <br /> a13 é o elemento que está na 1ª linha e na 3ª coluna. Então a13 = 1<br /> a21 é o elemento que está na 2ª linha e na 1ª coluna. Então a21 = 4<br />133352387602º EXEMPLO:, Quais os valores de, a23 e a34 na matriz abaixo?<br /> <br /> a23 é o elemento que está na 2ª linha e na 3ª coluna. Então a23 = 2<br /> a34 é o elemento que está na 3ª linha e na 4ª coluna. Então a34 = 6<br />3º EXEMPLO: Na matriz abaixo quais os valores de aij?<br />-17081519050 <br /> i é a linha como aij está na linha 2 então i = 2<br /> j é a coluna como aij está na coluna 1 então j=1<br /> logo (i = 2; j =1)<br />-819152800354º EXEMPLO: Na matriz abaixo quais os valores de aij?<br /> <br /> i é a linha como aij está na linha 3 então i = 3<br /> j é a coluna como aij está na coluna 2 então j=2<br /> logo (i = 3; j =2)<br />EXERCICIO<br />1- Escreva como se lê os elementos abaixo:<br />a11 a21 a32<br />a43 a 56 a45<br />2- Diga quais são os valores dos elementos a23, a33, a42 representados na matriz abaixo.<br />163830122555<br />3- Observe a matriz abaixo e diga quais são os valores dos elementos a14, a31, a44 nela representados.<br />2032050165<br />4- Quais são os valores de i e j na matriz abaixo?<br />2032089535<br />5- Na matriz abaixo qual é o valor de i e de j?<br />03257556- Observe a tabela abaixo e responda:<br />a) O elemento quatro está em que linha e em que coluna?<br />b) Como indicamos o elemento 20 na matriz genérica?<br />c) O elemento 12 é indicado de que maneira?<br />d) Se i é igual a 4, e j é igual a 2, qual é o elemento representado na matriz?<br />e) Qual é o elemento representado na tabela em i=2 e j=4?<br />LEI DE FORMAÇÃO DE UMA MATRIZ (ESCREVENDO UMA MATRIZ)<br />Para escrever uma matriz, precisamos saber sua ordem (ou seja quantas linhas e quantas colunas ela terá), conhecer a lei de formação (geralmente uma expressão algébrica), depois substituir os valores de i e j na expressão e realizar os cálculos.<br />EXEMPLO 01 – Escrever a matriz A = (aij)2 x 3, tal que aij = i + j.<br />20671-1829<br />A lei de formação é aij = i +j.<br />i é a linha<br />j é a coluna<br />EXEMPLO 02 – Escrever a matriz A = (aij)2 x 3, tal que aij = i − j.<br />2032084455<br />A lei de formação é aij = i −j.<br />i é a linha<br />j é a coluna<br />EXEMPLO 03 – Escrever a matriz A = (aij)2 x 2, tal que aij = 2i –j.<br />SOLUÇÃO:<br />20320529590Pelos dados do problema a matriz é dois por dois, ou seja tem duas linhas e duas colunas. Então na representação genérica pode ser assim.<br />A lei de formação é aij = 2i –j.<br />i é a linha<br />j é a coluna<br /> <br /> Então temos<br />274320030480a11 = 2.1 −1 = 1<br />a12 = 2.1 −2 = 0 logo a matriz é <br />a21 = 2.2 −1 = 3<br />a22 = 2.2 −2 = 2<br />EXEMPLO 04 – Encontre a matriz B = [bij]2 x 3, tal que aij = 3i –j.<br />SOLUÇÃO:<br />Pelos dados do problema a matriz é dois por três, ou seja tem duas linhas e três colunas. Então na representação genérica pode ser assim.<br />-11620560325A lei de formação é aij = 3i –j.<br />i é a linha<br />j é a coluna<br /> <br /> então temos<br />270891010795a11 = 3.1 −1 = 2<br />a12 = 3.1 −2 = 1 logo a matriz é <br />a13 = 3.1 −3 = 0<br />a21 = 3.2 −1 = 5<br />a22 = 3.2 −2 = 4<br />a23 = 3.2 −3 = 3<br />EXEMPLO 05 – Encontre a matriz C = [cij]3x2, tal que C = .<br />SOLUÇÃO:<br />i é a linha <br />j é a coluna<br />2538095135890<br />c11 = 12 = 1<br />c12 = 4.1 = 4 logo a matriz é <br />c21 = −2.1= −2<br />c22 = 3.2= 6<br />EXERCICIO<br />1- Escreva a matriz A = [aij]2 x 2, tal que aij = 4i –j.<br />2- Encontre a matriz B = [bij]2 x 3, tal que bij = 2i + j.<br />3- Escrever a matriz C = [cij]3 x 2, tal que C= <br /> 4- Diga quais são os elementos a13, a32, a22 representados na matriz abaixo.<br />327660186055<br />5- Reescreva a matriz abaixo substituindo os valores de i e j pelo seu correspondente e representando corretamente entre parenteses, colchetes ou barra dupla.<br />19748599060<br />6- Escreva a matriz A = [aij]4 x 5, tal que aij = i2 –j.<br />7- Escreva a matriz B = [bij]3 x 5, tal que bij = i +2j.<br />8- Escreva a matriz C = [cij]3 x 6, tal que cij = i2 –2j.<br />TIPOS DE MATRIZES<br />Uma matriz pode ser de vários tipos. Quanto às fileiras podemos ter:<br />Matriz linha.<br /> (Observe que esta matriz tem somente uma linha). Então ele é chamada de Matriz linha.<br />Matriz coluna.<br /> (Observe que esta matriz tem somente uma coluna). Então ele é chamada de Matriz coluna.<br />Matriz Quadrada<br />Uma Matriz é quadrada quando o número de linhas é igual ao números de colunas, ou seja, quando podemos dizer que, m tem a mesma quantidade de elementos que n. <br />Exemplo:<br /> é uma Matriz quadrada pois o número de linha é igual ao de colunas, ou seja ela tem duas linhas e duas colunas.<br />Chamamos esta matriz de matriz quadrada de ordem 2.<br /> é uma Matriz quadrada pois o número de linha é igual ao de colunas, ou seja ela tem três linhas e três colunas.<br />Chamamos esta matriz de matriz quadrada de ordem 3.<br /> Esta não é uma Matriz quadrada pois o número de linha não é igual ao de colunas.<br />Ela é uma matriz de ordem 2 x 3<br />ESTUDANDO A MATRIZ QUADRADA <br />A Matriz Quadrada tem a diagonal principal e a diagonal secundário. Numa matriz quadrada A de ordem n × n, chama-se de diagonal principal os elementos aij onde i = j, para i de 1 a n. A outra diagonal da matriz é chamada de diagonal secundária.<br />87312564770<br />Exemplo: <br /> <br />704215104775<br />Uma matriz Quadrada pode ser: Triangular Inferior, Triangular Superior e Diagonal<br />812800114300<br />Exemplo: (Observe que abaixo da Diagonal Principal todos os elementos são zeros). logo esta matriz e <br /> chamada de Matriz Triangular Inferior.<br />82042026670<br />Exemplo: (Observe que acima da Diagonal Principal todos os elementos são zeros). logo esta matriz e <br /> chamada de Matriz Triangular Superior.<br />81280074930<br /> <br />Exemplo: (Observe que tanto a acima da Diagonal Principal como em baixo todos os elementos são <br /> zeros). logo esta matriz e chamada de Matriz Diagonal. Note que uma matriz diagonal ela <br /> é ao mesmo tempo triangular superior e triangular inferior.<br />Matriz Identidade<br />Matriz identidade é uma matriz diagonal (lógico que todo matriz diagonal é quadrada), que tem todos os elementos da diagonal principal iguais a 1 e os outros elementos iguais a 0.<br />Exemplo: outro exemplo: <br />A única matriz identidade que não contém zero é a matriz identidade de ordem 1: <br />Matriz Nula<br />Matriz nula é uma matriz onde todos os elementos é 0. Ela pode ser quadrada ou de qualquer ordem.<br />Exemplo: esta é uma matriz nula, pois todos os seus elementos são 0.<br />Matriz transposta<br />A matriz transposta de uma matriz Am × n é a matriz Atn × m em que , ou seja, todos os elementos da primeira linha, tornar-se-ão elementos da primeira coluna, todos os elementos da segunda linha, tornar-se-ão elementos da segunda coluna, todos os elementos da n linha, tornar-se-ão elementos da m coluna. <br />Exemplo: . Outro exemplo .<br />Matriz simétrica<br /> Uma matriz A é simétrica se ela for igual a sua transposta ou seja uma Matriz A é simétrica se A = At. Isso só ocorre com matrizes quadradas.<br />-26670136525Exemplo: <br />se fazermos a transposta desta matriz temos as duas são iguais. Logo dizemos que a Matriz A é simétrica ou A = At. (observe que os elementos acima e abaixo da diagonal principal são iguais. Quando isso acontece a matriz é simétrica, pois sua transposta vai ser igual a matriz principal.<br />Outros exemplos de matrizes simétricas:<br /> é uma matriz simétrica porque B =Bt é uma matriz simétrica porque B =Bt<br />EXERCICIO<br />1- Quais os tipos de matrizes que você conhece até agora?<br />2- O que é uma Matriz linha? dê exemplo.<br />3- Define matriz coluna e escreva uma para exemplificar.<br />4- O que é uma matriz quadrada? Construa uma de ordem 5.<br />5- Das matrizes abaixo quais não são quadrada?<br /> <br />6- Diga quais são os elementos da diagonal principal das matrizes abaixo.<br /> <br />7- Determine a soma dos elementos da diagonal principal da matriz abaixo.<br />8- Determine a soma dos elementos da diagonal secundária da matriz abaixo.<br />9- Diga se as matrizes abaixo são Triangular inferior, Triangular superior ou diagonal.<br /> <br />10- O que é uma matriz identidade? Dê exemplo.<br />11- Das matrizes abaixo, diga quais são nulas e quais são identidades.<br /> <br />12 – Determine a transposta das matrizes abaixo.<br /> <br />13- Verifique quais das matrizes abaixo são simétricas.<br /> <br />14- Escreva a transposta da matriz A = (aij) 3x3 talque aij = i + 3j.<br />15- Determine a soma da diagonal principal da matriz B = (bij)4 x 4 tal que bij = 4i –j.<br />16- Construa uma matriz linha com 4 elementos talque aij = i + j2.<br />17- Escreva uma matriz coluna com 5 elementos onde cada elemento aij = i + j2.<br />IGUALDADE DE MATRIZES<br />Duas matrizes são iguais se e somente se são da mesma ordem (ou seja possuem o mesmo número de linha e colunas) e seus elementos correspondentes são iguais.<br />Exemplo: Vejas as matrizes abaixo.<br /> e Elas são de mesma ordem e cada elemento correspondente são iguais. Dizemos então que estas matrizes são iguais ou simplesmente A=B.<br />Veja outro exemplo:<br /> e Elas são de mesma ordem e seus elementos correspondentes são iguais. Dizemos então que estas matrizes são iguais ou simplesmente A=B. <br />Veja outro exemplo: Quais os valores de a, b. c e d, para que as matrizes sejam iguais?<br />Resposta: e para que as matrizes sejam iguais devemos ter <br /> logo fica <br /> <br />Exercício<br />1- Detemine o valor de cada incógnita para que as matrizes sejam iguais.<br /> = <br />2- As matrizes abaixo são iguais?<br /> e <br />3- Quais os valores das incógnitas para que as matrizes abaixo seja iguais?<br /> e <br />ADIÇÃO DE MATRIZES (Soma de Matrizes)<br />Para efetuarmos a soma de duas matrizes de mesma ordem basta somarmos os elementos que ocupa as posições correspondente.<br />Exemplo 01 – Vamos somar as matrizes A e B. ou seja A + B<br /> + = = <br />Exemplo 02 – Vamos somar as matrizes B e C. ou seja B + C<br /> + = = <br />Exemplo 03- Vamos somar as matrizes A e C. ou seja A + C<br /> + = <br />Exemplo 04- Vamos somar as matrizes A, B e C. ou seja A + B + C<br /> + + = = <br />Exemplo 05- É possível realizar a soma das matrizes C e D. ou seja C + D<br />Resposta:Não é possível pois as matrizes não são de mesma ordem. (ou seja não possui o mesmo número de linha e de coluna). + <br />EXERCÍCIO<br />1- Agora que você já sabe somar matrizes, faça a soma das matrizes abaixo:<br /> <br />2- Dadas as matrizes , e calcule:<br />a) A + B b) B + C c) A + C d) A + B + C<br />3- Efetue a soma da matriz A escrita abaixo com sua transposta. ou seja A + At.<br />4- Escreva a matriz A = (aij) 2x2, tal que aij = i+j sua transposta e depois faça a soma de A + At.<br />5- Escreva a matriz A = (aij)4x3, tal que aij = i + j e a Matriz B = (bij)4x3, tal que bij = 2i + j, em seguida faça a soma de A com B.<br />SUBTRAÇÃO DE MATRIZES<br />Para efetuarmos a Subtração entre duas matrizes do mesmo tipo basta subtrairmos os elementos que ocupa as posições correspondente.<br />Exemplo 01 – Vamos subtrair as matrizes A e B. ou seja A –B<br /> − = = <br />Exemplo 02 – Vamos subtrair as matrizes B e C. ou seja B –C<br /> − = = <br />Exemplo 03- Vamos subtrair as matrizes A e C. ou seja A –C<br /> − = <br />Exemplo 04- É possível realizar a subtração das matrizes C e D.<br />Resposta:Não é possível pois as matrizes não são de mesma ordem. (ou seja não possui o mesmo número de linha e de coluna). − <br />EXERCÍCIO<br />1- Agora que você já sabe subtrair matrizes, faça a subtração das matrizes abaixo A −B:<br /> <br />2- Dadas as matrizes , , e calcule:<br />a) A − B b) B − C c) A − C <br />3- Efetue a subtração da matriz A escrita abaixo de sua transposta. ou seja A − At.<br />4- Escreva a matriz A = (aij) 3x3, , tal que aij = i+j sua transposta e depois faça a subtração de A − At.<br />5- Escreva a matriz A = (aij)2x4, tal que aij = i + j e a Matriz B = (bij)2x4, tal que bij = 2i + j, em seguida faça a subtração de A − B.<br />MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO POR UMA MATRIZ (PRODUTO DE UM ESCALAR POR UMA MATRIZ)<br />Para multiplicar um número k qualquer por uma matriz n×m A, basta multiplicar cada entrada aij de A por k. Assim, a matriz resultante B será também n×m e bij = k.aij. ou seja de maneira mais simples podemos dizer que basta multiplicar o número qualquer por cada elemento da matriz.<br />Exemplo 01 – Multiplicar a matriz abaixo por 2.<br />2 . = =<br />Exemplo 02 – Multiplicar a matriz abaixo por 3.<br />3 . = = <br />Exemplo 03 – Multiplicar a matriz abaixo por 5.<br />5 . = <br />EXERCICIO<br />1- Faça o produto da matriz abaixo por 2.<br />2- Ao multiplicarmos a matriz A = (aij)2x2, tal que aij= 2i –j pelo número 3 obtemos que matriz?<br />3-Faça a multiplicação da transposta de A= por 4. <br />MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES (Produto de Matrizes)<br />Antes de iniciamos a fazer o produto entre matrizes vamos destacar alguns detalhes.<br />-> O produto A . B é diferente de B . A, ou seja na multiplicação de matrizes a ordem importa (Normalmente estamos acostumados com a idéia de que a ordem dos fatores não altera o produto), isso em matrizes não existe. <br />-> Seja A a primeira matriz do produto e B a segunda matriz, o produto só é possível se atender as seguintes condições:<br />O número de coluna da primeira matriz (A), deve ser igual ao número de linha da segunda matriz (B).<br />A matriz produto que é o resultado terá o mesmo número de linha da primeira matriz (A), e o mesmo número de coluna da segunda matriz (B).<br />Demonstração:<br />-3810106045<br />301625028575<br />Exemplo 01 – Seja A = e B= <br />a) Podemos fazer o produto de A por B (A . B).<br />Resp. Sim pois o número de coluna da matriz A é igual ao número de linha da matriz B. como a matriz A tem 2 linhas e a matriz B tem duas colunas então a nova matriz produto vai ser de ordem 2 x 2.<br />40640229870b) Calcule o Produto se existir.<br />Exemplo 02 – Multiplique a matriz A pela B =<br />-19050257175Solução:<br />Exemplo 03 – Faça o produto C . D<br />Solução:<br />Exemplo 04 – Faça o produto das matrizes (A . B).<br /> e B= Resposta: Não é possível fazer a multiplicação, pois o número de coluna da Matriz A, não é igual ao número de linha da matriz B.<br />EXERCICIO<br />1- Efetue a multiplicação das matrizes A e B. (A.B)<br /> e B=<br />2- Seja a matriz Responda:<br />a) É possível efetuar a multiplicação de A.B. justifique. b) Calcule o Produto se existir.<br />3- Escreva a matriz A = (aij)2x3 tal que aij = i + j, e a matriz B = (bij)3x2 tal que bij = i – j, em seguida faça o produto de A.B. <br />4- Calcule o produto das matrizes A e I3(A. I3). e <br />5- Faça a multiplicação da matrizes C por D (C. D). e <br /> <br />

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