Sumário
3 Bem vindo à nossa jornada
4 Matemática é para todo mundo
6 Estudando para aprender
8 Superando o medo de errar
1...
Capítulo 1
Bem vindo à nossa jornada
Tudo bem! Meu nome é Valério. Eu já passei por essas fases do ensino: fundamental e m...
Capítulo 2
Matemática é para todo mundo
Valério diz: Tudo bem Mateus! Como vai!
Mateus diz: Poderia está melhor. É que não...
Mateus: Estou sim! Quero saber de tudo! Cada detalhe! Não esconda nada!
Valério: Calma Mateus, vamos um passo por vez. O p...
Capítulo 3
Estudando para aprender
Mateus: Tudo bem Valério o esforço é importante, já entendi. Mas o que faço se der um b...
Valério: Em hipótese nenhuma. A não ser que você queira enganar a si próprio e ir empurrando com a
barriga, tirando nota s...
Capítulo 4
Superando o medo de errar
Mateus: Estudar um pouquinho todo dia, já entendi. Mas eu tenho muito medo de errar. ...
vai querer se esforçar nas aulas e o pior: ela vai ter medo de errar, pois isso iria expô-la à difícil situação
de contrar...
6. Assim que você cometer um erro pense sempre: Que ótimo! O que posso aprender a partir desse erro?
Como posso fazer para...
Capítulo 5
O que é matemática?
Mateus: Puxa Valério, já estou me sentindo mais confiante. Amanhã vou entrar na escola com ...
aquela pessoa chegou àquela fórmula, obviamente está tirando a parte humana, viva e divertida da
matemática e restará some...
Mateus: Puxa vida! Se minhas aulas de matemática seguissem esse conceito e eu me sentisse como se
estivesse em uma aula de...
reconhecendo os padrões na matemática, você passa a assimilar outras disciplinas de forma mais leve.
Além disso, você esta...
Capítulo 6
O mapa para compreender a
matemática
Mateus: Estou ansioso para saber suas dicas.
Valério: Pelo menos é uma ans...
também que outra forma de representar partes de um todo é a porcentagem: Por exemplo, 50% é o
mesmo que ½, que é o mesmo q...
3. 1995 para chegar a 2000 falta 5. Entre 2000 e 2010 tem 10 anos. De 2010 para 2013 tem 3 anos. Portanto o
resultado é 10...
Valério: É por isso que estou chamando essas dicas de kit de sobrevivência. Não perca seu tempo se
posicionando contra seu...
entre dois números, passamos a utilizar o conceito de multiplicação. Ex: se uma caixa de chocolate
possui 20 bombons, surg...
perderá o conceito de compactação e álgebra vai parecer desconectado de tudo que você já viu. Como
consequência você senti...
menos tempo. Tem um fato interessante no caso do DragonBox é que crianças de 5 anos estão
aprendendo os conceitos mais ava...
Capítulo 7
Muito obrigado!
Esse livro também é uma homenagem a todas as pessoas que procuram fazer a diferença na área que...
Capítulo 8
Referências
Boaler, J. What’s Math Got To Do With It? How Parents and Teachers Can Help Children Learn to Love
...
Yi-Ling Cheng & Kelly S. Mix. Spatial Training Improves Children's Mathematics Ability, Journal of
Cognition and Developme...
Carta aos Jovens Estudantes de Matemática - Kit de Sobrevivência para o Ensino Fundamental e Médio.
Autor: Valério Farias ...
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Carta aos Jovens Estudantes de Matemática - Kit de Sobrevivência para o Ensino Fundamental e Médio

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Um verdadeiro kit de sobrevivência para o Ensino Fundamental e Médio no que diz respeito a Matemática.

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  • Acabei de fazer uma pequena revisão no ebook no conceito de compactação baseando em um artigo de Keith Devlin: http://www.maa.org/external_archive/devlin/devlin_01_11.html
    Quem já baixou o arquivo, faça novamente o download com a última revisão. Um abraço.
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Carta aos Jovens Estudantes de Matemática - Kit de Sobrevivência para o Ensino Fundamental e Médio

  1. 1. Sumário 3 Bem vindo à nossa jornada 4 Matemática é para todo mundo 6 Estudando para aprender 8 Superando o medo de errar 11 O que é matemática? 15 O mapa para compreender a matemática 22 Muito obrigado! 23 Referências
  2. 2. Capítulo 1 Bem vindo à nossa jornada Tudo bem! Meu nome é Valério. Eu já passei por essas fases do ensino: fundamental e médio e sei o quanto são complicadas. Por isso vou repassar algumas dicas para diminuir um pouco a ansiedade dessas fases e desmistificar os mitos ao redor dessa área de conhecimento que está a todo tempo ao nosso redor sem a gente nem perceber: a matemática. Para facilitar o processo eu chamei Mateus que é um amigo meu que está passando pela mesma fase que você. Espero que a conversa entre eu e Mateus sobre a matemática seja muito proveitosa para você. Uma pequena curiosidade antes de começarmos é que coincidentemente as iniciais do nome Mateus são as mesmas que o nome Matemática. Fique agora com o texto. 3
  3. 3. Capítulo 2 Matemática é para todo mundo Valério diz: Tudo bem Mateus! Como vai! Mateus diz: Poderia está melhor. É que não estou indo bem nas aulas de matemática da escola. Valério: Você sempre foi tão alegre e agora está com esse jeito abatido. Conte-me mais detalhes do que aconteceu? Mateus: É que eu acho que eu não nasci para matemática. Matemática não é para mim. Minhas notas estão baixas e estou a cada dia sem ânimo para estudar. Acho as aulas chatas, distantes e não vejo sentido em assisti-las. Assisto porque sou obrigado. Valério: Mateus, eu te entendo, você não é o único. São centenas de adolescentes que estão sentindo essa ansiedade que você está sentindo. Eu já passei por isso quando tinha a sua idade. Eu persisti, me esforcei e consegui superar essa fase. Mas tenho uma surpresa para você. Vou te dar algumas dicas sobre matemática que aprendi pesquisando fora da escola que vão te ajudar a superar sua dificuldade. Você vai achar a matemática até divertida depois da nossa conversa. Mateus: Que dicas são essas?! Me conte logo! Matemática divertida?! Isso é possível? Valério: Claro que é possível. Mas não existe pilula mágica. Minhas dicas te ajudarão somente se você se comprometer com seu aprendizado e se esforçar diariamente. Se eu soubesse dessas dicas quando tinha a sua idade teria sido tudo mais simples. Lembre-se que isso não é uma aula e sim uma conversa. Fique sempre a vontade para falar sobre dúvidas e ansiedades do seu dia a dia. Meu objetivo não é bancar o sabe tudo e sim te ajudar. Está preparado para começar a viagem ao mundo da matemática? 4
  4. 4. Mateus: Estou sim! Quero saber de tudo! Cada detalhe! Não esconda nada! Valério: Calma Mateus, vamos um passo por vez. O primeiro ponto que é preciso saber é que matemática é uma disciplina para todos os seres humanos: meninos, meninas, crianças, adultos e idosos. Qualquer frase que você ouvir, seja na escola ou em filmes do tipo: matemática é coisa de menino, ou, em escolas que tem alunos de vários países você escutar frases como: só os orientais (japoneses, chineses) dominam a matemática, diga na mesma hora para si mesmo: isso é uma grande mentira, matemática é para todo mundo, para todos os seres humanos, a única coisa necessária é o esforço individual para conseguir aprendê-la. O segundo ponto é que matemática serve para pessoas em todos os níveis de aprendizado. Se você ouvir frases do tipo: matemática é só para pessoas muito inteligentes ou matemática é só para nerds. Diga no mesmo minuto para si mesmo: isso não passa de uma mentira. Matemática é para todos os níveis de aprendizado. Você só precisa identificar, com a ajuda dos seus pais e de seu professor, o seu nível de aprendizado. Em seguida, resolver problemas para esse nível até dominá-los. Logo você poderá ir para próximo nível. O outro ponto é que não existe essa coisa de já nascer inteligente. Inteligência é a capacidade que a pessoa tem de detectar e resolver problemas. A inteligência é desenvolvida através do esforço individual. Os mais inteligentes se esforçaram mais. Pode ter algumas pessoas que aprendem mais rápido que outras, mas todas as pessoas, quando se esforçam conseguem aprender os problemas de forma efetiva. A exceção é para pessoas que tenham algum problema cerebral, mas mesmos nesses casos existem pesquisadores e instituições que criam atividades de aprendizado específicas e essas pessoas conseguem aprender. A neurociência, que é a área do conhecimento que estuda o cérebro humano, já comprovou a plasticidade do cérebro, que é a capacidade do cérebro se adaptar e se superar quando é trabalhado por meio de problemas apropriados. O ponto chave é o ESFORÇO INDIVIDUAL. 5
  5. 5. Capítulo 3 Estudando para aprender Mateus: Tudo bem Valério o esforço é importante, já entendi. Mas o que faço se der um branco na prova?! Valério: Mateus, o primeiro ponto é que não se estuda para provas, nem para tirar notas, se estuda para APRENDER. Quando você estuda somente para provas e notas, o conteúdo é visto de maneira superficial, de forma que você esquece rapidamente. Quando você estuda para aprender é igual a andar de bicicleta: estuda uma vez e vale para toda a vida. Mateus: Certo, estudar para aprender e não para tirar nota. Mas como é que eu faço isso? Como posso estudar para aprender? Valério: Apenas compreenda que você vai à escola para ENTENDER assunto, e no MESMO DIA, você deverá escrever apontamentos com suas palavras ou resolver problemas a respeito da aula que assistiu, na escola ou em casa (ESTUDAR). Pierluigi Piazzi (professor Pier), em seu livro: Aprendendo Inteligência, resume esse processo na seguinte frase: aula dada, aula estudada hoje. Estudar para aprender é reescrever o que você entendeu na aula com suas palavras um pouquinho por dia. Com esse hábito, a nota boa, ou a prova será uma consequência, sua ansiedade diminui e a sensação de dar o branco que era frequente, vai acontecer só de vez em quando. Com hábitos de estudos saudáveis, as suas notas aumentarão sem você se preocupar com elas. Lembre-se apenas de nunca estudar excessivamente um dia antes da prova, pois só aumentará sua ansiedade. Estude um pouco, todos os dias e descanse um dia antes da prova. Dessa forma, sua mente tranquila poderá captar as informações estudadas e aprendidas e você poderá resolver os problemas contidos na prova de forma mais efetiva. Mateus: Porque devo estudar no mesmo dia da aula? Não posso deixar somente para o final de semana? 6
  6. 6. Valério: Em hipótese nenhuma. A não ser que você queira enganar a si próprio e ir empurrando com a barriga, tirando nota suficiente para passar e fingindo que sabe de algo sem saber de nada. Eu tenho certeza que não é o seu caso. A questão é que se você assiste à aula e entende o conteúdo, mas não reescreve em casa no mesmo dia (não estuda), aquele conteúdo não será armazenado no seu cérebro. Será esquecido e você perde literalmente um dia de sua vida no que diz respeito a aprendizado. O cérebro aprende no decorrer do dia. Tudo que você exercitou com mais intensidade fica armazenado de forma permanente durante o sono. Se você não estudou, durante o sono as informações que você viu na aula são quase 100% esquecidas. Entendeu agora porque eu repito tanto que o esforço é essencial para o aprendizado? 7
  7. 7. Capítulo 4 Superando o medo de errar Mateus: Estudar um pouquinho todo dia, já entendi. Mas eu tenho muito medo de errar. O que eu faço para superar isso? Valério: Eu compreendo e sinto muito por você está nessa situação. Eu posso pensar em dois motivos possíveis para que você tenha chegado a esse ponto: 1. A cultura excessiva em torno de provas e notas e, pior ainda, a cultura de testes cronometrados que os colégios adotam, na qual o aluno pode perder o ano se cometeu um erro na prova é o que pode criar essas fobias e afastar o aluno da cultura empolgante do aprendizado contínuo. A Finlândia já resolveu isso muito bem. Lá, os alunos passam um bom tempo experimentando, exercitando, fazendo projetos, debatendo, errando, acertando e aprendendo efetivamente. Só depois desse período é que são submetidos a testes. Não é a toa que os alunos da Finlândia geralmente estão entre os mais bem preparados do mundo segundo o teste PISA. Juro para você que se eu tivesse um botão que transformasse a cultura de notas e provas em cultura de aprendizado eu já teria apertado. Mas, infelizmente não existe. Esse equívoco cultural ocorre em diversos países, inclusive nos EUA. A questão aqui não é eliminar os testes, mas colocá-los somente depois dos alunos terem vivenciado e assimilado os conceitos básicos e, de preferência, que o teste não seja feito pelo professor daquela turma e sim por outro profissional ou outra instituição. Dessa forma, o aluno se sentirá mais a vontade e não ficará constrangido durante a fase de aprendizado, convivendo com um professor que ao invés de treinador exerce o papel de juiz. Ver mais sobre isso no livro: Ensinando inteligência de Pierluigi Piazzi. 2. Seus pais, por ignorância, na sua infância, elogiaram demais sua personalidade ao invés do seu esforço. Elogiar a personalidade de uma criança com frases do tipo: "Você é o menino mais inteligente do mundo! Você é a garota mais bonita do mundo!" é muito prejudicial, pois a criança passa a acreditar nisso e a consequência é muito ruim. Se ela já sabe que é inteligente porque seus pais disseram, ela não 8
  8. 8. vai querer se esforçar nas aulas e o pior: ela vai ter medo de errar, pois isso iria expô-la à difícil situação de contrariar a definição estática que seus pais deram para ela. Por outro lado, se os pais elogiam o esforço da criança, ela passa a ver o erro como parte do aprendizado e lida com naturalidade diante dele. Esses dois tipos de mentalidade: fixa e de crescimento são detalhadas no livro: Porque algumas pessoas fazem sucesso e outras não, escrito por Carol Dweck, uma pesquisadora americana. Peça para seus pais lerem esse livro assim que puderem. O que eu posso apenas é te dar algumas dicas para lidar com esse dilema: 1. O primeiro ponto que você precisa saber é que ninguém nasce com medo de errar. Pode observar um bebê e veja quantas vezes ele se mete em encrenca e sempre parece está se divertindo. Devemos sempre nos dedicar ao resgate dessa ação de explorar as coisas ao nosso redor sem receio, que tínhamos quando éramos bebê. 2. O segundo ponto que você deve saber é que o erro faz parte do aprendizado. Não existe aprendizado efetivo sem erro. Se você nunca errou, você nunca aprendeu nada. O erro cria novas conexões cerebrais (sinapses), ou seja, ele faz com que seu cérebro fique cada vez mais desenvolvido. O erro é uma oportunidade para te deixar mais preparado ao enfrentar problemas maiores. Errar é essencial, errar é bom. 3. Se no seu colégio a cultura de notas e provas é muito exagerada, peça para seus pais lerem essa carta e cogite a possibilidade de mudar de colégio. 4. Se seus colegas falarem mal de você por você ter errado, comunique aos seus pais o acontecido, não dê atenção aos seus colegas, se eles fossem especialistas não estariam ainda na escola, estariam sendo útil a sociedade. 5. Caso você se encaixa no segundo item, vítima do excesso de elogio a sua personalidade ao invés de seu esforço tome consciência disso. Perdoe seus pais, eles não têm culpa, por ignorância fizeram isso. Tenho certeza que eles pensaram estar fazendo o melhor para você. Apenas comece a se esforçar mais, que aos poucos você vai evoluindo e perdendo o medo. 9
  9. 9. 6. Assim que você cometer um erro pense sempre: Que ótimo! O que posso aprender a partir desse erro? Como posso fazer para concertar? Que lição eu tiro a partir desse meu erro? E de erro em erro você vai se preparando para problemas mais complexos que virão na sua fase adulta. 10
  10. 10. Capítulo 5 O que é matemática? Mateus: Puxa Valério, já estou me sentindo mais confiante. Amanhã vou entrar na escola com o pé direito e disposto a enfrentar os desafios sem medo de errar. Mas me fale um pouco sobre a matemática em si. Para você o que é matemática? Valério: Gosto muito da definição de Paul Lockhart: Matemática é a arte de explorar padrões. Padrão é qualquer coisa que estiver ao nosso redor que se repete. Ex: A cerâmica da sala tem as mesmas dimensões, formato de um quadrado e se encaixa uma na outra direitinho. Daí podemos ter a curiosidade e perguntar: Será que outras formas se encaixam perfeitamente, semelhante ao quadrado? Pelas experimentações e observações percebemos que a outra forma que se encaixa bem são os hexágonos (seis lados), que na natureza são encontrados nos casulos de abelha. Portanto poderíamos substituir nosso piso de cerâmica que é quadrado por outro de forma hexagonal e continuaríamos com o piso da sala se encaixando direitinho. Viu como é interessante! É uma área de constante investigação. O objetivo é detectar o padrão envolvido naquele problema e você deve brincar de detetive. Isso mesmo brincar. Matemática não é para ser chata, ela pode ser transformada em algo chato se focar totalmente na repetição mecânica de fórmulas e procedimentos, mas não precisa ser assim. Mateus: Você tocou num ponto que eu nunca tinha imaginado. Eu imaginava que matemática fosse algo distante, sem sentido, chato. Mas pelo seu exemplo, vejo que é exatamente o oposto. Matemática era cinza para mim, agora passou a ser colorida. Mas as fórmulas e procedimentos não são importantes? Valério: Eles são importantes. São através deles que você ganha fluência na matemática, ou seja, que você consegue saber a resposta na ponta da língua, num piscar de olhos. O ponto que eu falo é não focar 100% nisso. Pois as fórmulas e procedimentos são o resultado de se fazer matemática, a consequência de explorar os padrões. Se você eliminar o exercício de saber o propósito daquela fórmula ou de como 11
  11. 11. aquela pessoa chegou àquela fórmula, obviamente está tirando a parte humana, viva e divertida da matemática e restará somente a repetição vazia, que tem sua importância, mas se focar somente nela a matemática torna-se entediante. Mateus: Mas o que você quis dizer com arte? Na minha escola tenho a aula de educação artística, que tem desenho, pintura e às vezes música e é uma aula totalmente diferente da matemática. Explique melhor isso. Valério: Quero dizer o seguinte: da mesma forma que o desenho, pintura e música, a matemática também é uma arte. A arte tem diversos significados. Eu me refiro a arte como qualquer atividade humana executada pelo simples prazer de expressar a beleza por meio das formas, sons, cores e no caso da matemática expressar por meio dos padrões. Por seu caráter universal, qualquer forma de arte pode ser usada pelas pessoas da maneira que sua criatividade permitir. Alguns usam pelo prazer do entretenimento. Outros pelo prazer em encontrar a beleza nas formas e padrões. Outros pela sensação de ser terapêutico. Outros para preencherem seu tempo ocioso. Outros fazem disso um negócio e tiram seu sustento e outros preferem associar e ver a arte por outras visões como a científica e filosófica. Eu gosto dessa definição porque ela não limita a matemática. A matemática, nessa visão, pode ser uma forma de entretenimento, uma forma de sustento e pode ter ou não utilidade prática. Parte da matemática é utilizada no ambiente científico auxiliando a criar modelos aproximados de como funciona a natureza. Parte dela é usada na animação digital, suas fórmulas se transformam nos pinceis digitais que criam os objetos do cenário. Parte dela é usada em projetos de robótica, como o projeto do carro da Google que anda sozinho. Mas a matemática em si é muito mais ampla que isso e portanto prefiro chamá-la de arte. O único motivo dela não ser amplamente conhecida como arte é porque a sociedade não a reconhece como tal, preferiram limitar seu conceito somente a sua utilidade e às vezes forçam a barra ao ponto de procurar dar utilidade prática a conceitos abstratos como álgebra, que é um produto criado pela inteligência humana e em sua maior parte não se encaixa com as características do mundo cotidiano, nem tem esse objetivo. 12
  12. 12. Mateus: Puxa vida! Se minhas aulas de matemática seguissem esse conceito e eu me sentisse como se estivesse em uma aula de música ou pintura, envolvido com o prazer de experimentar e explorar os padrões seria um sonho! Infelizmente tenho que voltar para minha aula chata que se limita a decorar fórmulas e repetir procedimentos. Como posso sobreviver a essa dura realidade? Valério: Primeiro lugar tenha calma, pois você já dispõe de várias dicas que eu te repassei: como aprender de forma efetiva, não se prender a mitos e mentiras, entender que o erro faz parte do aprendizado e é sempre bem vindo e entender de forma mais abrangente o conceito da matemática. Isso já te dá uma estrutura inicial na qual você pode se apoiar. Mas as dicas não param por aí, vou te repassar alguns conceitos mais específicos que servirão como um kit de sobrevivência para que você possa superar essa fase tumultuada de sua vida escolar. Vai depender só do seu esforço. Lembre que a equação tem dois lados, eu estou dando as informações que sonhei ter na minha época de escola, mas você deverá se esforçar e colocar em prática as dicas que estou te fornecendo. Mateus: Prometo que vou me esforçar e fazer a minha parte! Mas se matemática é uma arte, porque tenho mais aulas dela do que de educação artística que trabalhamos as formas de artes reconhecidas como tal? Valério: A sociedade define em cada época suas prioridades e o que deve deixar de lado. Afirmo o seguinte: a matemática serve de base para todas as engenharias e ciências, que são as estruturas responsáveis pelo progresso de nossa sociedade. Seu bisavô só se comunicava por carta, seu avô adicionou o telefone, seu pai passou a usar e-mail e agora você usa também o WhatsApp. Compreendeu a evolução? A carta ainda continua disponível, mas teve uma diversificação de possibilidades de como se comunicar, graças à criação do computador. A estrutura por baixo que faz isso tudo funcionar são sequências de bits, ou seja, matemática binária, já que o computador só entende 0 e 1. Compreendeu agora a importância? Se você domina a matemática estará com o conhecimento básico para continuar contribuindo com o progresso da nossa sociedade. O outro ponto que você deve compreender é que a matemática é um ótimo exercício para o cérebro. Mesmo que você não utilize a matemática avançada da engenharia no futuro, quando você exercita seu cérebro, resolvendo os problemas matemáticos, 13
  13. 13. reconhecendo os padrões na matemática, você passa a assimilar outras disciplinas de forma mais leve. Além disso, você estará bem preparado para a diversidade do mundo real que envolve tomada de decisões e agilidade. O meu único ponto é que se eu me limitar durante o aprendizado básico somente às partes úteis da matemática, repassadas como mera repetição mecânica, acabo tirando a parte lúdica e artística de lado, tornando o aprendizado maçante. Compreendeu onde quero chegar? Mateus: Entendi sim Valério, já estou pensando em ser um futuro engenheiro. Mas será que eu vou precisar mudar de escola para finalmente aprender matemática dessa forma divertida? Valério: Acho muito improvável que você possa fazer isso. São pouquíssimas escolas que usam a experimentação na essência do aprendizado: a única que conheço é a escola Lumiar que é sediada na cidade de São Paulo. Se você morar próximo, fale com seus pais e procure se informar mais sobre o funcionamento dessa escola. Fora esse exemplo eu sei que existem verdadeiros heróis espalhados pelo Brasil que procuram despertar a curiosidade de seus alunos. Como é o caso de Josilda Ferreira, da cidade de Paulista na Paraíba, de 11 mil habitantes. Através das suas aulas, a escola Municipal Cândido de Assis Queiroga tornou-se recordista de medalhas e menções honrosas nas olimpíadas de matemática OBMEP. Ela coloca os alunos para vivenciar a matemática através de atividades do cotidiano, como fazer compras na feira, medir ingredientes. No ensino de frações ela leva os alunos à pizzaria e ao dividir a pizza eles aprendem o conceito. Você pode até procurar por escolas que sejam diferenciadas, mas será uma tarefa difícil. Porém não fique triste, pois vou te dar algumas dicas que você poderá utilizar para aprender matemática de uma forma mais prazerosa sem precisar mudar de escola. 14
  14. 14. Capítulo 6 O mapa para compreender a matemática Mateus: Estou ansioso para saber suas dicas. Valério: Pelo menos é uma ansiedade boa de curiosidade, totalmente diferente das que os alunos geralmente passam durante o ensino médio nas escolas. Vamos às dicas: Procure sempre entender o conceito por trás do problema. Do que se trata o problema? Qual o padrão envolvido? Sabendo o padrão, como resolver fica mais suave. Ex: Qual o maior número: 1/3 ou 3/3? Apesar desse exemplo ser fácil, nem todos darão uma resposta imediata. Se possível, associe esses números a coisas do mundo real para que você possa entender do que se trata o problema. Vamos imaginar que eu acabei de comprar uma pizza e a dividi em 3 fatias. A minha pergunta agora é: Você prefere comer 1 só fatia entre as 3 disponíveis ou comer todas as 3 fatias entre as 3 disponíveis? Agora ficou muito intuitivo, sabemos que as frações são partes de um todo representados por fatias da pizza. E ficou óbvio que 3/3, que é igual a 1, é maior que 1/3. Ou seja, a pizza inteira é maior que 1/3, que é só uma fatia entre 3, que dá o número irracional 0,333... Portanto 1 é maior que 0,3333... O conceito, ou padrão numérico aqui foi o de frações que são pedaços ou porções de um todo e a estratégia para entender esse conceito foi utilizar objetos do cotidiano, no caso a pizza. A partir do momento que você aprende o conceito (qual o padrão, do que se trata) o como você resolve fica mais simples. Mateus: Esse exemplo eu também resolveria, mas depois que você falou da pizza ficou mais instantâneo ainda. É claro que eu prefiro a pizza inteira. Mas não sou fominha, eu deixo você dar uma mordida em uma das fatias, rsrsr. Da próxima vez que eu ver um número sobre o outro já sei que o numerador significa quantas partes eu disponho da quantidade total de partes que está no denominador. Sei 15
  15. 15. também que outra forma de representar partes de um todo é a porcentagem: Por exemplo, 50% é o mesmo que ½, que é o mesmo que 0,5, que é o mesmo que metade. São várias formas de representar um só conceito. Valério: Muito bem Mateus! Você antecipou a minha segunda dica: na matemática, apesar do resultado do problema ser o mesmo, normalmente, existem várias formas de se chegar ao mesmo resultado. O que sugiro aqui é que você explore o problema de diversos ângulos, não se limite somente aos passos que seu professor sugere. Se o padrão numérico puder ser transformado em alguma figura geométrica ou objeto do cotidiano desenhe. Se puder ser representado pelo gráfico cartesiano desenhe o gráfico. Sempre que possível use blocos como os do LEGO para criar a representação em 3 dimensões do conceito matemático. Lembre que blocos são para meninos como você e também para meninas. São recursos para a aprendizagem. Nunca se prenda a esteriótipos durante o aprendizado. Outra forma de exploração dos padrões seria criar um origami da figura geométrica, outra forma seria explorar jogos de tabuleiro, alguns jogos de computador ou até criar seu próprio programa de computador para aprender o conceito matemático. Enfim, explore todo o universo de possibilidades que o problema possa oferecer, quanto maior sua sede de exploração maior será sua habilidade em lidar com problemas mais complexos. Depois de explorar o maior número possível de possibilidades compare as formas de resolução e tente achar a forma que levou menos passos, ou seja, a forma mais otimizada, que é um conceito muito importante na matemática. Ex: uma senhora queria saber quantos anos ela tinha de experiência de trabalho como secretária, sendo que ela tinha começado a trabalhar em 1995 e saiu da empresa em 2013. 1. Sua primeira intensão é o método tradicional de subtrair 2013 – 1995 que dá 18. Mas será que não existem outras formas? 2. Usando cálculo mental posso somar 20 ao número de 1995 que me dá 2015. Depois vejo quanto devo subtrair de 2015 para chegar a 2013 e obtenho 2. Finalmente subtraio 2 do número que usei de base anteriormente, no caso 20. 20-2 = 18. 16
  16. 16. 3. 1995 para chegar a 2000 falta 5. Entre 2000 e 2010 tem 10 anos. De 2010 para 2013 tem 3 anos. Portanto o resultado é 10 + 5 + 3 = 18. 4. 1995 para chegar a 2010 resulta 15 anos. Para chegar de 2010 a 2013 falta 3 anos. Portanto o resultado é 15 + 3 = 18. Perceba que o resultado foi sempre o mesmo, mas eu consegui resolver de diversas maneiras. Dentro dessas a que posso citar como mais otimizada e ao mesmo tempo intuitiva seria a quarta opção que só preciso de 2 passos fáceis de compreender. Mas, na prática use o que for mais fácil para você. Essa forma de cálculo mental se chama de reagrupamento, no qual você representa o número pela soma ou subtração de outros dois números mais fáceis de lembrar e de calcular. Essa atividade desenvolve o senso numérico, ou seja, a sua percepção de quantidade e relação entre os números. Outro ponto importante é que o cálculo mental usando reagrupamento é uma espécie de treinamento para álgebra, no qual você procura o valor de x reagrupando a equação. Se você só aprendeu o algoritmo de soma padrão e não desenvolveu o senso numérico através de cálculo mental e reagrupamento, é muito provável que você sinta dificuldade com a álgebra. Parecerá algo desconectado, distante. Liping Ma, que é uma pesquisadora chinesa, nos alerta que é preciso trabalhar melhor a aritmética, pois ela é o alicerce para as outras áreas da matemática. Jo Boaler, pesquisadora inglesa e criadora do curso: “Como aprender Matemática” (somente em inglês), ressalta a importância de desenvolver o raciocínio lógico e senso numérico através da participação ativa dos alunos em atividades de percepção de padrões, quantidades e cálculo mental, além de incluir problemas desafiadores, que fujam da mesmice e despertem a curiosidade. Mateus: Eu me lembro quando me ensinaram a primeira forma de cálculo. Mas meu professor nunca nos falou dessas outras possibilidades e do cálculo mental. Ele parece bem divertido. Você dividiu o número complexo em partes que são fáceis de lembrar, depois juntou novamente, muito interessante. O único problema é que se eu fizesse isso na prova, meu professor me daria um zero, pois está diferente da forma que ele mostrou como sendo a única forma correta. 17
  17. 17. Valério: É por isso que estou chamando essas dicas de kit de sobrevivência. Não perca seu tempo se posicionando contra seu professor. Faça a lição do jeito que ele te pedir e por conta própria comece a exercitar também esse outro formato. Professor de matemática é diferente de matemático. Matemático é aquele que se identificou tanto pela disciplina que se tornou um estudioso e pesquisador entusiasmado e tende a repassar o conteúdo de uma forma mais simples. Professor de matemática, principalmente no Brasil, está na maioria das vezes tentando sobreviver, ganhar seu salário e sustentar sua família. Não o culpe se ele não consegue inovar ou criar aulas dinâmicas e participativas. Isso exigiria uma mudança cultural em toda a nossa sociedade. Por isso eu te peço: a partir de hoje, se comprometa com o que você pode fazer, se comprometa com seu aprendizado, independente do ambiente que você esteja, seja ele propício ou precário. Lembre-se do nosso trato! Esforço e dedicação levam a vitória! Mateus: Missão dada é missão cumprida! Estou comprometido com meu aprendizado! Você me disse muitos pontos interessantes que eu não conhecia, isso me deixou empolgado. Mas, ao mesmo tempo com um pouco de medo. Medo porque às vezes acho que a matemática é como uma escada com infinitos degraus, quando a gente acha que a dominou, aparece outro degrau. Eu me sinto muitas vezes desanimado, pois sinto que nunca terei o domínio suficiente. Valério: Entendo sua ansiedade. Essa característica de surgir novidades a cada dia não faz parte somente da matemática, mas de qualquer outra área do conhecimento humano, por isso devemos nos manter atualizados estudando um pouquinho todos os dias. Mas tenho uma dica que vai diminuir um pouco sua ansiedade. É o conceito de compactação. Calma, é simples. Procure ver a matemática como uma pirâmide invertida ao invés de uma escada infinita. Domine a base da pirâmide, que os outros pontos vão se tornar alcançáveis. O conceito de compactação significa que qualquer área da matemática, apesar das diferenças, está de certa forma conectada com as mais simples operações contidas na base da pirâmide. Na base da pirâmide existem as 4 operações da aritmética: soma, subtração, multiplicação e divisão. Cada uma não recebe um nome diferente por acaso, elas possuem em sua essência caraterísticas distintas. A soma é a aglutinação, a aproximação de elementos. O oposto dessa operação é chamado de subtração, quando os elementos se separam, ou seja, se subtraem. Quando percebemos uma relação fixa 18
  18. 18. entre dois números, passamos a utilizar o conceito de multiplicação. Ex: se uma caixa de chocolate possui 20 bombons, surge a relação 1 - 20. Se alguém compra 2 caixas, já saberá que terá 40 bombons, pois multiplicará 2 por 20. Se eu só tiver dinheiro suficiente para comprar meia caixa, terei 0.5 x 20 = 10 bombons. Quando estamos lidando com números inteiros positivos, a multiplicação, pode ser observada também como somas sucessivas: 3 x 6 = 6 + 6 + 6 = 18. Porém, esse conceito quebra quando usamos números fracionários. O matemático inglês Keith Devlin fala sobre a importância de evitar definições simplistas que firam a essência da matemática. Um exemplo que deve ser evitado é a afirmação de que multiplicação é sinônimo de somas sucessivas. Já vimos no exemplo anterior que trata-se de uma semelhança entre operações distintas: multiplicação e soma, que só acontece em um contexto restrito: números inteiros positivos. O importante é se aprofundar em cada operação, sabendo que são distintas entre si e no decorrer desse processo perceber seus pontos em comum. Finalmente o oposto da multiplicação é a divisão na qual também existe uma relação fixa de separação de unidades. Ex: quero dividir 20 bombons em partes iguais com 2 pessoas, resulta em 10 bombons para cada pessoa. No dia que você se deparar com uma fórmula complexa, relaxe. Lembre-se que, apesar da complexidade ela terá características semelhantes as mais básicas das operações. Essa fórmula poderá está representando uma aglutinação ou separação de elementos ou uma relação de escala entre elementos que crescem ou diminuem seguindo um determinado padrão. Dominando a base siga com operações mais complexas, o próximo passo seria a exponenciação e radiciação, sempre explorando individualmente como operações distintas e em seguida procurando semelhanças entre o que você já absorveu. Deixe de lado o velho hábito de repetir procedimentos e decorar fórmulas mecanicamente, a compactação é o resultado da exploração conceitual da matemática, ou seja, compreender cada operação de forma individual, em seguinda detectar as diferenças e semelhanças, além de saber como aplicar cada conceito. Dessa forma você terá mais confiança e eliminará sua sensação de não possuir o domínio suficiente. Um exemplo simples do conceito compactação são os cálculos mentais que desenvolve o senso numérico, como aquele que te falei anteriormente da secretária. Se você aprende a fazer somas ou subtrações dessa forma flexível, quando chegar temas mais complexos como a álgebra, vai dominar com maior facilidade, pois trata-se de procedimentos semelhantes ao que você experimentou na aritmética usando cálculo mental. Se você só repetiu as somas e subtrações mecanicamente de uma única maneira padronizada, 19
  19. 19. perderá o conceito de compactação e álgebra vai parecer desconectado de tudo que você já viu. Como consequência você sentirá muita dificuldade. Mateus: Puxa vida, agora você transformou o impossível em alcançável! Sei que terei dificuldades, que terei que me esforçar, mas não me sinto mais vagando em uma estrada sem fim, agora estou com uma base de conceitos sólida. Muito obrigado por compartilhar essas dicas! São verdadeiras ferramentas de primeiros socorros. Um verdadeiro kit de sobrevivência. Valério: Eu só estou te dando um mapa. O caminho do aprendizado é você que terá que percorrer. O mapa vai evitar que você se perca, vai te orientar. A minha próxima dica é que você complemente o aprendizado de matemática com 3 recursos: 1. Assistindo a série Isto é Matemática, na qual o matemático português Rogério Martins repassa os conceitos, a utilidade, a história dos matemáticos que se destacaram, enfim, ele mostra de uma forma lúdica e bem acessível do que se trata realmente a matemática. 2. Acessando o Khan Academy, projeto criado por Salman Khan, que agora já possui versão em português. Nesse projeto você poderá ver quantas vezes quiser a resolução daquele cálculo que o professor passou na sala de aula. 3. Com jogos de vídeo game. Calma, não é qualquer jogo, eu já explico. ◦ A pesquisadora Kelly Mix, cientista americana descobriu que exercitar com atividades de raciocínio espacial, mais especificamente exercícios de rotação mental, na qual é preciso imaginar como duas figuras giram no plano se encaixam, faz com que as crianças se saiam melhor em exercícios de aritmética. Os exercícios de rotação mental trabalham a mesma área cerebral que é utilizada para cálculos matemáticos. Um dos jogos mais conhecidos que envolve rotação mental é o Tetris. Um outro é o BigSeed. Eles servem como uma espécie de aquecimento. ◦ Para exercitar a matemática em si sugiro os seguintes: WuzzitTrouble para aritmética e DragonBox2 para álgebra. Os dois jogos já levam em conta o conceito de otimização, ou seja, você resolve o problema uma vez e depois tenta resolver em menos passos, para chegar ao resultado em 20
  20. 20. menos tempo. Tem um fato interessante no caso do DragonBox é que crianças de 5 anos estão aprendendo os conceitos mais avançados de álgebra se divertindo. Algo que sabemos ser quase impossível sem usar o jogo. ◦ Um desses jogos é pago e os outros são gratuitos. Para o caso do pago, converse com seus pais para que eles se informem mais e tomem a decisão em família. Não estou sendo pago por essas empresas que fizeram os jogos. Estou te dizendo, o que eu pesquisei, experimentei e constatei que dá um grande impulso no aprendizado. Mateus: Já estou baixando os jogos para meu tablet. É muito bom saber que posso aprender enquanto estou me divertindo! Valério: Apenas lembre-se que os jogos são complementos. Frequente todas as aulas. Tire dúvidas com seu professor, converse com seus colegas e principalmente, estude diariamente. A minha dica final é: se no decorrer do seus estudos você desenvolver gosto pela matemática, recomendo a leitura do livro do matemático Ian Stewart: Cartas a Uma Jovem Matemática. Nesse livro Ian retrata de forma acessível como é o dia a dia de um matemático. Mateus: Está bem Valério. Muito obrigado pelas dicas! Valério: Lembre-se sempre que o esforço é a chave do sucesso. Tenha um bom estudo! Um bom esforço e um bom aprendizado! 21
  21. 21. Capítulo 7 Muito obrigado! Esse livro também é uma homenagem a todas as pessoas que procuram fazer a diferença na área que atuam. Por esse motivo, aqueles que foram referência para eu aprender e simplificar os conceitos abordados, foram mostrados no decorrer do texto em Negrito. Um agradecimento especial ao professor Pier (Pierluigi Piazzi). Ele tirou algumas dúvidas minhas por email e seus livros me fizeram abrir os olhos para o verdadeiro aprendizado. Um muito obrigado para a dedicada professora e pesquisadora Jo Boaler. Através do seu curso: como aprender matemática, ofertado através da plataforma Stanford Online, eu pude desmistificar e apreciar esse maravilhoso universo dos padrões, que é a matemática. 22
  22. 22. Capítulo 8 Referências Boaler, J. What’s Math Got To Do With It? How Parents and Teachers Can Help Children Learn to Love Their Least Favorite Subject. Penguin: New York, 2007. Devlin, Keith. What exactly is multiplication?, Jan. de 2011. Disponível em http://www.maa.org/ externalarchive/devlin/devlin01_11.html. Acessado em 10 de Maio de 2014. Dweck, Carol S. Mindset: The new psychology of success. New York, NY: Random House, 2007. Lockhart, P. A mathematician's lament. New York, NY : Bellevue Literary Press, 2009. Ma, Liping. A Critique of the Structure of U.S. Elementary School Mathematics. Disponível em http://lipingma.net/math/Ma-Critique-March-19-2013.pdf. Acessado em 11 de maio de 2014. Ma, Liping. One-place addition and subtraction. Disponível em http://lipingma.net/math/One-place- number-addition-and-subtraction-Ma-Draft-2011.pdf. Acessado em 11 de maio de 2014. Piazzi, Pierluigi. Aprendendo Inteligência. Manual de instruções do cérebro para alunos em geral. Coleção Neuroaprendizagem, volume 1. 2.ed. São Paulo: Aleph, 2008. Piazzi, Pierluigi. Estimulando Inteligência. Manual de instruções do cérebro do seu filho. Coleção Neuroaprendizagem, volume 2, São Paulo: Aleph, 2008. Piazzi, Pierluigi. Ensinando Inteligência. Manual de instruções do cérebro do seu aluno. Coleção Neuroaprendizagem, volume 3. São Paulo: Aleph, 2009. 23
  23. 23. Yi-Ling Cheng & Kelly S. Mix. Spatial Training Improves Children's Mathematics Ability, Journal of Cognition and Development, 15:1, 2-11, DOI:10.1080/15248372.2012.725186, 2014. 24
  24. 24. Carta aos Jovens Estudantes de Matemática - Kit de Sobrevivência para o Ensino Fundamental e Médio. Autor: Valério Farias de Carvalho, site: valeriofarias.com, twitter: @valeriofarias Data de publicação: 11/05/2014, primeira edição. Palavras-chave: Matemática, Aprender matemática, Kit de sobrevivência, Ensino Médio, Ensino Fundamental This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International (CC BY-NC 4.0).

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