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Volume 1

  1. 1. ISSN 2316-7939v.1 n.1 Série Monografias - Prograd/UFU novembro de 2012
  2. 2. REITOR Alfredo Júlio Fernandes Neto VICE-REITOR Darizon Alvez de Andrade PRÓ-REITOR DE GRADUAÇÃO Waldenor Barros Moraes FilhoP R Ó - R E I T O R D E E X T E N S Ã O , C U LT U R A E A S S U N T O S E S T U D A N T I S Alberto Martins da Costa PRÓ-REITOR DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO Alcimar Barbosa Soares PRÓ-REITOR DE PLANEJAMENTO E ADMINISTRAÇÃO Valder Steffen Júnior PRÓ-REITOR DE RECURSOS HUMANOS Sinésio Gomide Júnior PREFEITO UNIVERSITÁRIO Renato Alves Pereira Pró-Reitoria de Graduação
  3. 3. UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA Pró-reitoria de Graduação v.1 n.1 ISSN: 2316-7939Sér. Monog. Uberlândia/MG v.1 n.1 p. 1-XXXX nov.2012
  4. 4. Todos os direitos desta edição são reservados à Pró-reitoria de Graduação da Universi- dade Federal de Uberlândia. Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida por qualquer meio, sem a prévia autorização desta editora. Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) Sistema de Bibliotecas da UFU - MG, Brasil S485m Série Monografias, v. 1. / editor Waldenor Barros Moraes Filho. – Uberlândia : UFU, Pró-reitoria de Graduação, 2012. CD-ROM. : il. Inclui bibliografia. ISSN: 2316-7939 1. Pesquisa. 2. Universidades e faculdades - Pesquisa. 3. Ensino superior – Pesquisa. 4. Universidade Federal de Uberlândia – Pesquisa. I. Moraes Filho, Waldenor Barros. II. Universidade Federal de Uberlândia. Pró-Reitoria de Graduação. CDU: 001.8 Tiragem: 500 exemplares EDITOR Waldenor Barros Moraes Filho CONSELHO EDITORIAL Mara Alves Soares Patrícia Pimenta Azevedo Ribeiro Paula Godoy Arbex CAPA, PROJETO GRÁFICO E EDITORAÇÃO Sabrina Maia Lemos (Direção de arte) João Paulo Garcia Tatyane Maria EstevãoUNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIAPró-reitoria de GraduaçãoAv. João Naves de Ávila 2121, Campus Santa Mônica, Bloco A, sala 1A217Uberlândia | MG CEP: 38408-100Fones: (34) 3239-4356 / 3239-4357Homepage: www.prograd.ufu.br E-mails: prograd@ufu.br | seriemonografias@prograd.ufu.br
  5. 5. + A P R E S E N TA Ç Ã OÉ com grande satisfação que apresentamos o primeiro volume da Série Monografias, uma iniciativada PROGRAD para divulgar, por meio de publicação, trabalhos de excelência apresentados por alunosda UFU como requisito para a conclusão de cursos de graduação. A proposta da Série Monografiasé trazer, em cada volume, de periodicidade anual, trabalhos das diferentes áreas de conhecimentocontempladas por nossos cursos, e que tenham sido defendidos no ano anterior à publicação.Com o objetivo de mostrar o que a UFU tem produzido no âmbito da graduação, por meio de ideias,projetos e iniciativas de seus graduandos – sendo estes os protagonistas desta publicação –, a SérieMonografias é um produto de cunho científico que visa criar um espaço para os estudantes apresentaremseus trabalhos não somente a seus pares, mas também a um público mais amplo de interessados.Cabe, ainda, ressaltar que este primeiro volume da Série somente se concretizou após um longopercurso. Embora a criação da Série tenha sido aprovada pelo Conselho de Graduação em 2010, aaprovação de seu regulamento somente ocorreu em 2011, quando então teve início o processo deseleção das monografias a serem publicadas. Naquele momento, das coordenações de curso da UFUcontactadas, cerca de um terço respondeu afirmativamente à chamada para a Série, enviando-nos osmelhores trabalhos defendidos por seus alunos no ano de 2010. São, portanto, estes 16 trabalhos queconstituem o primeiro volume da Série, que contempla as seguintes áreas: Engenharia; Ciências Exatase da Terra; Ciências Humanas e Sociais Aplicadas; Linguística, Letras e Artes.Para os próximos volumes, atenderemos ao que está previsto no projeto da Série – publicar monografiasdefendidas no ano anterior –, acreditando que o cuidado no preparo da presente edição seja umestímulo para uma adesão maior dos cursos, no sentido de oportunizar a seus discentes a participaçãoneste projeto de publicação e divulgação científica.Acreditamos que, com sua temática diversa, a Série Monografias representa uma real contribuição aosgraduandos de diferentes cursos, uma vez que os trabalhos publicados têm sua qualidade assegurada,pois são avaliados e aprovados por uma banca, indicados pelos colegiados dos cursos e, por fim,selecionados por pareceristas de diferentes áreas do conhecimento.Quanto a seu projeto gráfico, a Série Monografias busca, além da clareza na apresentação dos trabalhoscientíficos, uma formatação que faz uso das mídias eletrônicas e digitais, com seus volumes sendopublicados no formato Cd e disponíveis também na versão para internet.Por fim, nesta oportunidade, desejamos agradecer a todos os docentes, discentes, coordenadores,colegiados de curso e pareceristas que colaboraram para que este primeiro volume pudesse serpublicado. Prof. Waldenor Barros Moraes Filho Pró-reitor de Graduação
  6. 6. +SUMÁRIOE N GENHARI A, C I ÊN CI AS E X ATAS E D A T E RR AM ATE MÁ TI CAUma proposta de intervenção pedagógica para o ensinoda Geometria 19Aluna: Beatriz Aparecida SilvaOrientadora: Prof.a Dra. Fabiana Fiorezi de Marco MatosCIÊNCIAS HUMAN AS, SOCIAIS APLICADAS, LINGUÍSTICA,LETRAS E ARTESAR QUI TE TURA E URBA N IS MOConservatório Estadual de Música Cora Pavan Capparelli:uma proposta arquitetônica para construção de uma cul-tura musical emancipadora 69Aluno: Plínio Sérgio Brandão Mota JúniorOrientadora: Prof.a Dra. Maria Beatriz C. CappelloAR TE S VI SUAI SMitos pessoais: a gravura e o desenho na criação de seresimaginários 117
  7. 7. Aluno: Aender Rodrigues FerreiraOrientadora: Prof.a Dra. Beatriz Basile da Silva RauscherBonecas de pano: reconhecendo aspectos da minhaidentidade visual 141Aluna: Mara Lúcia de França RezendeOrientador: Prof. Esp. Alexandre Pereira FrançaTecnomitologia Gráfica 183Aluno: Rainer Petter RibeiroOrientador: Prof. M.e Gastão FrotaCI ÊNCI AS E CONÔMICA SFragilidade Financeira do Setor Público e CrescimentoRecente da Economia Brasileira 207Aluno: Eduardo Santos AraújoOrientador: Prof. Dr. Guilherme Jonas Costa da SilvaO Enfoque Territorial como alternativa às abordagenstradicionais de desenvolvimento em áreas rurais 235Aluno: Jessé Morais PachecoOrientador: Prof. Dr. Ebenézer Pereira CoutoCI ÊNCI AS SOCI AISEmpreendimentos hidrelétricos e conflitos sócio-ambien-tais: UHE Amador Aguiar I (Capim Branco I) e Assenta-mento Vida Nova 277Aluna: Priscilla Mércya Alvarenga RibeiroOrientador: Prof. Dr. Alessandro André LemeDE SI GNBiblioteca Pública Municipal de Uberlândia 327
  8. 8. Aluna: Maria Cristina de Almeida RezendeOrientador: Prof. Dr. Juliano Aparecido PereiraEspaços reversíveis móveis: Nômades tecendo nós eligações entre lugares 379Aluna: Dayane Brito de CastroOrientador: Prof. Dr. Sandro CanavezziH IS TÓRI AEstética naturalista como expressão da sociedadeindustrial: uma leitura da obra Germinal de Émile Zola 455Aluno: Rodrigo Janoni CarvalhoOrientadora: Prof.a Dra. Josianne Francia CerasoliPoética dos gestos: o Ballet e a corte em Des balletsanciens et modernes selon les règles du théâtre (1682),de Ménestrier 579Aluna: Clara Rodrigues CoutoOrientador: Prof. Dr. Guilherme Amaral LuzM ÚS ICACoral Pequenos Cantores de Cássia: um estudo sobre suacriação e relação com a cidade de Cássia-MG 627Aluno: Reinaldo Honório ToledoOrientadora: Prof.a Dra. Maria do Socorro Calisto MarquesTema e variações OP.77 de Lennox Berkeley: uma análisetécnico-interpretativa 677Aluno: Gustavo da Silva OliveiraOrientador: Prof. M.e Celso CintraT EATROAs faces ocultas das Folias de Reis 715
  9. 9. Aluna: Juliana Margarete PintoOrientadora: Prof.a Dra. Maria do Socorro Calixto MarquesA música cênica de Dalga LarrondoAluno: Guilherme Calegari 751Orientadora: Prof.a Dra. Renata Bittencourt Meira
  10. 10. .45450x.v]//
  11. 11. + ENGENHARIA, C I Ê N C I A S E X ATA S E DA TERRA
  12. 12. U M A P R O P O S TA D E I N T E R V E N Ç Ã O PEDAGÓGICA PARA O ENSINO DA GEOMETRIA UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE MATEMÁTICA 19 CURSO DE MATEMÁTICA Aluna: Beatriz Aparecida Silva Orientadora: Profª. Dra. Fabiana Fiorezi de Marco MatosRESUMOEntendemos que ensinar Matemática é desenvolver o raciocínio lógico, estimular o pensamento, acriatividade e a capacidade de resolver problemas procurando alternativas para desafiar a aprendizagemdos alunos, estimulando a socialização e construção do conhecimento realizada por eles próprios. Pormeio da nossa vivência nos Estágios Supervisionados e nossa participação no PIBID percebemos queo ensino de geometria no Ensino Fundamental, acontece separado da “matemática”, sem nenhumarelação com o contexto dos alunos ou mesmo conceitos numéricos. Diante desta perspectiva, nossotrabalho busca explorar a interdisciplinaridade unindo o ensino da matemática com a educação artística,identificar o desempenho de alunos ao vivenciarem situações de produções artísticas aliadas ao ensinoda matemática, em especial a geometria, mediante intervenções pedagógicas e avaliar as implicaçõesdidático-metodológicas na formação do futuro professor. Para tanto, nossa questão de pesquisa setraduz em: é possível elaborar uma estratégia de ensino da geometria utilizando da interação entre esteramo da matemática e aspectos da educação artística que contribua para que a aprendizagem se torneinteressante, dinâmica e interativa? Trabalhamos com alunos do 9º ano do Ensino Fundamental noestudo dos polígonos e das transformações do plano e fundamentamo-nos, principalmente, nas idéiasde Almeida (2003), Ponte, Oliveira e Brocardo (2003) e Barbosa (2005). Buscamos como metodologia detrabalho atividades de investigação matemática, por meio da manipulação de materiais manipulativos,software e atividades lúdicas. Pela análise dos resultados obtidos, podemos inferir que os alunos seenvolvem com propostas dinâmicas e interativas, onde têm maior liberdade para apresentar suasdúvidas e conclusões, além de revisar conceitos esquecidos e adquirir novos conhecimentos. Entretanto,percebemos que os alunos têm uma grande dificuldade em lidar com uma matemática dedutiva eformal.Palavras-chave: Geometria; Pensamento geométrico; Artes; Intervenção.
  13. 13. INTRODUÇÃO Entendemos que pensar na carreira docente nos instiga a pensar antes em diferentes e inúmeras variáveis, donde podemos citar a formação do futuro professor e a utilização de diferentes práticas didático-pedagógicas, que permitam ao professor agregar valor ao processo de ensino-aprendizagem, uma gestão escolar que atenda as necessidades do corpo discente e docente, uma equipe capaz de pensar e refletir suas práticas do âmbito escolar. Com o objetivo de refletir e responder a alguns questionamentos que nos fazíamos a nossa inserção no projeto PIBID (Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência) se fez válida. Durante um ano se fez possível conhecer a realidade de uma Escola Pública, sob a supervisão de uma Professora dos Ensinos Fundamental e Médio que atua com turmas neste nível de ensino.20 Tornou-se possível entender questionamentos bastante relevantes e capazes de desmotivarem muitos licenciandos à prática docente. Esta experiência nos levou a pensar questões como: Por que o ensino público se apresenta tão defasado e desestimulante? Por que ser professor de escola pública constitui hoje uma profissão tão mal vista? Percebemos que estes questionamentos são dependentes de muitas reflexões, pois ao contrário do que a sociedade pensa, o descaso com o ensino público não está nas mãos apenas dos professores, mas também nas mãos da própria sociedade. Tais perguntas são plausíveis de inúmeras respostas e pontos de vista. Estar no PIBID, proporciona ao bolsista cuidar de sua formação profissional, havendo a possibilidade de participar de mini-cursos e oficinas realizados dentro da Faculdade de Matemática; tem-se contato com recursos didáticos, que auxiliam o trabalho docente, agregando saberes docentes para a constituição da futura prática pedagógica, além de ser um estímulo, uma vez que se passa a conhecer o ambiente de trabalho, além dos estágios, para os graduandos, futuros professores. Com esta perspectiva, temos por objetivo neste trabalho: explorar a interdisciplinaridade associando o ensino da matemática com a educação artística; identificar o desempenho de alunos ao vivenciarem situações de produções artísticas aliadas ao ensino da matemática, em especial a geometria, mediante intervenções pedagógicas; avaliar as implicações didático-metodológicas na formação do futuro professor. O ensino de Matemática tem sido tratado com cuidado, por muitos estudiosos visando uma maior interação das relações aluno-professor, aluno-aluno e aluno-conteúdo. Dentre estes estudiosos podemos citar Freire (2007) que defende que o ensino deveria ser focado em informações a serem apresentadas para o aluno e, se bem recebidas por ele, se transformariam em conhecimento. Este autor defende ainda que É preciso, sobretudo, e aí já vai um deste saberes indispensáveis, que o formando, desde o principio mesmo de sua experiência formadora, assumindo-se como sujeito também da produção do saber se convença definitivamente de que ensinar não é transferir conhecimento, mas criar as possibilidades para a sua produção e construção. (FREIRE, 2007, p.22). Diante desta idéia, consideramos importante que o professor proporcione momentos para que o aluno possa atribuir significados próprios (MARCO, 2009) às informações que obtém para que estas possam se transformar em conhecimentos. Zacharias (2007), recorrendo a Piaget, escreve que “o conhecimento ocorre em função da atividade do sujeito em relação ao meio” (p.1). Esta, segundo Zacharias (2007), é a concepção construtivista onde o conhecimento é construído a partir da ação do sujeito sobre o objeto de conhecimento, interagindo com ele, sendo as trocas sociais condições necessárias para o desenvolvimento do pensamento. Essa relação de interdependência entre o sujeito e seu meio, tem um sentido de organização, estruturação e
  14. 14. explicação a partir da experiência. Ainda segundo Zacharias (2007), citando Piaget, O conhecimento não é uma cópia da realidade, nem simplesmente olhar e fazer uma cópia mental ou imagem de um acontecimento, modificar, transformar o objeto, e compreender o processo dessa transformação e, por conseguinte, compreender o modo como o objeto é construído é, para o autor, o que constitui o ato de conhecer. (ZACHARIAS citando PIAGET, 2007, p.1).Como meio de despertar o interesse dos alunos pelas aulas de matemática o professor pode utilizarum grande número de alternativas, dentre as quais, jogos, softwares matemáticos, atividades lúdicas,materiais manipuláveis.As atividades lúdicas (jogos, brincadeiras, brinquedos) devem ser vivenciadas pelos educadoresanteriormente à sua proposição em sala de aula (GRANDO, 1995), podendo instigar seus alunos para o 21conhecimento matemático, despertando-lhes a curiosidade.Inúmeros pesquisadores defendem a importância da utilização de atividades lúdicas e materiaismanipulativos em sala de aula (FIORENTINI; MIORIM, 1990). Dentre tais pesquisadores, podemos citar amédica e educadora italiana Maria Montessori, que após experiências com diversas crianças, utilizandomateriais manipulativos destinados a aprendizagem da matemática, percebeu que “Nada deve ser dadoà criança, no campo da matemática, sem primeiro apresentar-se a ela uma situação concreta que a levea agir, a pensar, a experimentar, a descobrir, e daí, a mergulhar na abstração”. (AZEVEDO, 1979, p.27).Com base no que discutimos e de acordo com as observações e reflexões proporcionadas pelo PIBIDpercebemos que o ensino da geometria é evitado por muitos professores que, por não terem acesso auma prática de ensino diferenciada, preferem não ministrar tal conteúdo ou restringi-lo a aplicação defórmulas em inúmeros e exaltivos exercícios.Neste estudo, perseguiremos a seguinte questão de pesquisa: é possível elaborar uma estratégia deensino da geometria utilizando da interação entre este ramo da matemática e aspectos da educaçãoartística que contribua para que a aprendizagem se torne interessante, dinâmica e interativa?Para atender ao nosso objetivo e a questão de pesquisa fizemos parceria com uma professora deMatemática da Rede Pública de Ensino da cidade de Uberlândia.Os alunos que participaram do nosso projeto foram alunos do 9º ano do Ensino Fundamental, que seencontravam em uma faixa etária entre 13 e 15 anos e, nossa professora-parceira, ministra aulas naescola há dez anos, com turmas do 9º ano do Ensino Fundamental ao 1º ano do Ensino Médio.Passamos então a apresentar o trabalho realizado, onde o leitor encontrará no Capítulo 1 reflexõessobre o ensino da geometria e sobre atividades investigativas, além de uma breve noção sobre a teoriade pavimentação e transformações no plano, permitindo que o leitor interaja com os temas, sem aintenção de abordá-lo em todo o seu contexto formal. Para tanto, estudamos os trabalhos de Almeida(2003), Ponte, Brocardo e Oliveira (2003), entre outros.No Capítulo 2, apresentamos uma análise relativa à abordagem do conteúdo de geometria de algunslivros didáticos presentes na escola onde realizamos este estudo, enfatizando os conteúdos de Polígonose Transformações no Plano.No Capítulo 3, expomos nossa metodologia de trabalho, quais foram os caminhos percorridos e nossasexpectativas perante as atividades propostas aos alunos.Com relação ao Capítulo 4, discutimos a execução das atividades, quais foram às respostas dos alunos,seus sentimentos com relação às ações desempenhadas, nossas observações sobre o que os alunos nosremetiam.
  15. 15. Finalizando no Capítulo 5, apresentamos algumas considerações sobre o que significou este trabalho para os alunos, para a formação da licencianda e ainda apresentamos algumas considerações sobre a participação no PIBID. CAPÍTULO 1 breve revisão sobre O ENSINO DE GEOMETRIA: VOLTANDO O OLHAR PARA A LITERATURA Os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998) dão ênfase a uma matemática significativa e crítica, que permita ao aluno sua evolução enquanto ser social e produtivo. Assim, ele estará apto a motivar avanços na sociedade em que vive por meio de investigações, equacionamento de problemas22 que permitam solucionar ou mesmo detectar possíveis erros ou falhas presentes em situações do seu cotidiano. Em seu papel formativo, a Matemática contribui para o desenvolvimento de processos de pensamento e a aquisição de atitudes, cuja utilidade e alcance transcendem o âmbito da própria Matemática, podendo formar no aluno a capacidade de resolver problemas genuínos, gerando hábitos de investigação, proporcionando confiança e desprendimento para analisar e enfrentar situações novas, propiciando a formação de uma visão ampla e científica da realidade, a percepção da beleza e da harmonia, o desenvolvimento da criatividade e de outras capacidades pessoais. (BRASIL, 1998, p.40). Com relação ao ensino da Geometria, os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998), direcionam a aprendizagem multidisciplinar, uma vez, que o aluno será capaz de representar o mundo que o cerca, através de modelos geométricos, por meio de uma argumentação objetiva e apoiada em princípios matemáticos. Formando cidadãos, conscientes de sua realidade, mas habilitados a promoverem conclusões por intermédio de premissas. Numa outra direção, as habilidades de visualização, desenho, argumentação lógica e de aplicação na busca de soluções para problemas podem ser desenvolvidas com um trabalho adequado de Geometria, para que o aluno possa usar as formas e propriedades geométricas na representação e visualização de partes do mundo que o cerca. (BRASIL, 1998, p.44). Trabalhar com a disciplina de Matemática no Ensino Médio é sinônimo de trabalhar com conteúdo denso e detalhado, onde muitas vezes o professor não consegue cumprir todo seu planejamento. Ensinar o conteúdo de geometria constitui uma tarefa complexa para alguns professores, visto que esta possui muitas ramificações sendo necessário um bom planejamento por parte do professor, além do conhecimento das justificativas dos resultados a serem apresentados e a clareza na sua exposição. Estas idéias são fundamentadas por Fiorentini e Lorenzato (2006), quando alegam que A Educação Matemática caracteriza-se como uma práxis que envolve o domínio do conteúdo específico (a matemática) e o domínio de idéias e processos pedagógicos relativos à transmissão/assimilação e/ou à apropriação/construção do saber matemático escolar (p.5). Pensamos que a Geometria constitui-se um grande aliado para o docente, pois quando trabalhada em sala de aula, pode permitir explorar com os discentes a criatividade, a capacidade argumentativa, seu uso para resolução de diferentes problemas matemáticos e sua aplicação no cotidiano, sendo algo próximo da realidade dos discentes, bem como permitindo a relação com outras disciplinas. Essas competências são importantes na compreensão e ampliação da percepção de espaço e construção de modelos para interpretar questões da Matemática e de outras áreas do conhecimento.
  16. 16. De fato, perceber as relações entre as representações planas nos desenhos, mapas e na tela do computador com os objetos que lhes deram origem, conceber novas formas planas ou espaciais e suas propriedades a partir dessas representações são essenciais para a leitura do mundo através dos olhos das outras ciências, em especial a Física. (BRASIL, 1998, p.44).Percebemos que ensinar geometria torna-se então, ensinar o aluno a raciocinar, a ser capaz de construirconjecturas e analisar sua veracidade, embasado inicialmente de deduções empíricas e posteriormenterespaldado por argumentos formais. Todavia, faz-se necessário que o professor esteja atento amaturidade de seu aluno. Para tanto, podemos recorrer ao modelo Van Hiele de desenvolvimentodo pensamento geométrico, onde tal modelo caracteriza o nível de amadurecimento do aluno para oestudo da geometria. Segundo Shaughnessy e Burguer (1985), citado por Crowley (1994, p.2), o modelorecebe cinco níveis de classificações:Nível 0 – Visualização: As figuras geométricas são reconhecidas por sua forma como um todo, o aluno 23conseguirá reconhecer formas especificas, e reproduzi-las;Nível 1 – Análise: Através da observação e da experimentação os alunos começam a discernir ascaracterísticas das figuras, neste nível temos a inserção das propriedades para conceituar classes deconfigurações, entretanto os alunos deste nível ainda não são capazes de relacionar propriedades e nãoentendem definições;Nível 2 – Dedução Informal: Capacidade de deduzir propriedades de uma figura e reconhecer classes defiguras. As deduções são significativas e a argumentação informal, entretanto não se tem compreensãodo papel dos axiomas;Nível 3 – Dedução: Ocorre a construção de demonstrações e não acontecesse apenas à memorização épossível perceber que se pode seguir por diferentes caminhos para construir uma demonstração;Nível 4 – Rigor: Podem-se estudar geometrias não euclidianas e comparar sistemas diferentes, tem-sea percepção de uma geometria abstrata.Para Pavanello (1998), a enfatização da álgebra em detrimento da geometria traz à tona um problema de caráter essencialmente político. A questão sobre que qualidades e habilidades se pretende que os alunos desenvolvam, conduz à própria finalidade da educação: para que se educa e a quem isso interessa? (p.97).Entendemos que será função do educador, explorar um ensino dinâmico e contextualizado, desde que,sua intenção seja desenvolver as habilidades anteriormente citadas, tendo por finalidade a educação.Pensamos ser de extrema importância, a determinação de quais são os objetivos que o professor desejaalcançar, pois caso esteja interessado em formar seres pensantes e produtivos, sua função será a demediar os caminhos para tanto.1.1 O que é pavimentação?Segundo Almeida (2003, p. 35), “um conjunto de polígonos é uma pavimentação do plano se, e somentese, cobrir todo o plano sem lacunas ou cruzamentos”. Teremos que os vértices dos polígonos recebema denominação de nós da pavimentação e as arestas da pavimentação são os segmentos de retas quetem por extremos dois vértices consecutivos de um mesmo lado do polígono.Ressaltamos que existem diferentes tipos de pavimentações, entretanto em nosso trabalho iremosutilizar apenas as pavimentações uniformes, que segundo Almeida (2003, p.35), “uma pavimentaçãoé lado-a-lado se, e somente se, toda aresta é lado comum a dois polígonos”, isto é, ao se encaixar um
  17. 17. novo polígono ao lado de outro, os lados dos polígonos se encaixam perfeitamente. 1.1.1 Quais Polígonos Regulares pavimentam o plano? Para entendermos melhor as definições apresentadas por Almeida (2003), podemos fazer alguns testes, utilizando diferentes polígonos regulares congruentes, como por exemplo, quadrados, triângulos, pentágonos, hexágonos, entre outros. Podemos seguir as seguintes orientações para tal entendimento: 1º Momento: Coloque os polígonos regulares de um mesmo tipo ao redor de um ponto, encostando-os lado a lado, teremos duas possibilidades:24 a) Completamos a volta e os polígonos se ajustam bem. b) Não completamos a volta, mas se colocarmos mais um haverá sobras. Agora então, vamos analisar os ângulos ao redor do ponto. Seja n o número de polígonos colocados e i a medida do ângulo interno de cada polígono. Em a, devemos ter n · i = 360º, e então passamos ao segundo momento. Em b, temos n · i < 360º ou n · i > 360º, então podemos constatar a impossibilidade de pavimentação com este tipo de polígono. 2º Momento: Vamos dar continuidade à pavimentação, colocando novos polígonos regulares do mesmo tipo ao redor dos já colocados. Se conseguirmos, concluímos que a pavimentação é possível para tal tipo. 1.1.1.2 Análise de cada caso Quadrados 1º Momento: Seja P0 o ponto central. Verificamos que é possível colocar perfeitamente quatro quadrados ao seu redor (Figura 1). Fig. 1 – Quadrados ao redor do ponto P0 Ou seja, n = 4, i = 90º 4 · 90º = 360º 2º Momento: Sejam P1, P2, P3, P4, P5, P6, P7 e P8, os vértices exteriores (Figura 2). Fig. 2 – Pavimentação com Quadrados
  18. 18. Em P1, temos 2 quadrados. Em P2 temos 2; então, podemos colocar mais 2, ficando com 3 em P3, ondecolocamos mais 1 e assim, sucessivamente, colocamos 2 em P4, 1 em P5, 2 em P6, 1 em P7e em P8,completando um novo quadrado. Podemos seguir da mesma forma.Concluímos que o quadrado pavimenta o plano.Triângulos Equiláteros1º Momento:Seja P0 o ponto central.Verificamos que é possível colocar perfeitamente seis triângulos equiláteros ao seu redor (Figura 3). 25Ou seja, n = 6, i = 60º 6 · 60º = 360º Fig3 - Triângulos equiláteros ao redor do ponto P02º MomentoSejam P1, P2, P3, P4, P5, P6, os vértices exteriores (Figura 4). Fig. 4 – Pavimentação com triângulos equiláterosEm P1, temos 2 triângulos, então colocamos 4. Agora, em P2 temos 3, colocamos mais 3, e assimsucessivamente até P6, onde ficamos com 4. Portanto, colocamos mais 2 para completar. E, seguindoesta lógica, podemos colocar novas sequências.Conclusão: O triângulo equilátero pavimenta o plano.Pentágonos Regulares1º Momento:Seja P0 o ponto central (Figura 5). Fig. 5 – Pentágonos regulares em torno do ponto P0
  19. 19. Verificamos que é possível colocar três pentágonos ao redor do ponto, mas se colocarmos o quarto haverá problemas. Ou seja, n = 3, i = 108º 3 · 108º = 324º < 360º 4 · 108º = 432º > 360º Conclusão: O pentágono não pavimenta o plano. Hexágonos Regulares 1º Momento: Seja P0 o ponto central (Figura 6).26 Fig. 6 – Hexágonos regulares em torno do ponto P0 Verificamos que é possível colocar perfeitamente três hexágonos ao seu redor. Ou seja, n = 6, i = 120º 3 · 120º = 360º 2º Momento: Sejam P1, P2, P3, P4, P5, P6, P7, P8, P9, P10, P11 e P12 os vértices exteriores (Figura 7). Em P1, temos 2 hexágonos, colocamos mais 1, ficando 2 em P2, colocamos mais 1. Em P3, adicionamos 1 e o mesmo para P4, mas este atingirá P5 e P6,então colocamos 1 em P6, 1 em P7, 1 em P8, que atinge P9 e P10. Colocamos 1 em P10, 1 em P11, que atinge P12, completando a volta. Podemos repetir a sequência. Concluímos que o hexágono regular pavimenta o plano. Fig. 7 – Pavimentação com hexágonos regulares Então será que existe mais algum polígono regular que pavimenta o plano? Temos visto que se o polígono regular tem n lados, a medida do ângulo central pode ser obtida da seguinte forma: x = 360º, onde o ângulo interno i será determinado por n 2y + x = 180º, ou ainda, i + x = 180º ou i = 180º - 360º, o que nos resulta n i = (n - 2) ∙ 180º. n
  20. 20. Supondo que k polígonos regulares congruentes se ajustam ao redor de um ponto, devemos ter k ∙ i =360º ou k = 360º. iOu ainda, k ∙ i = k ∙ (n - 2) ∙ 180º = 360º. nLogo, k = 2n = 2 + 4 . n–2 n–2Os divisores positivos de quatro são 1, 2 e 4. Portanto, n – 2 = 1, n – 2 = 2, ou n – 2 = 4, o que nosfornece n = 3, n = 4 ou n = 6. Assim, apenas o triângulo equilátero, o quadrado e o hexágono regular,fornecem pavimentações do plano usando um único tipo de polígono regular.1.1.2Quais são as combinações possíveis de Polígonos Regulares para se pavimentar o plano? 27Novamente, deveremos ter que a soma dos ângulos internos em torno de um ponto deve ser igual a360º. Apoiadas nos estudos de Almeida (2003) vamos descobrir algumas combinações possíveis. Sendok o número de polígonos regulares a serem dispostos ao redor de um nó, já sabemos que k ≥3 e queo menor ângulo interno de um polígono regular será 60º (triângulo equilátero), logo 6 é o maior valordado a k (6 triângulos eqüiláteros ao redor de um ponto), assim nosso intervalo de restrição do inteirok será 3 ≤ k ≤ 6.1.1.2.1 Análise de cada casoTriângulos Equiláteros e QuadradosSendo p e q, a quantidade de triângulos equiláteros e de quadrados, respectivamente, utilizados napavimentação, deveremos ter: p ∙ 60º + q ∙ 90º = 360º. Simplificando, temos p ∙ 2 + q ∙ 3 = 12, logo,podemos ter três triângulos equiláteros, e dois quadrados, dispostos de diferentes posições em tornode um ponto (Figura 8). Fig8 – Pavimentações com Triângulos equiláteros e QuadradosTriângulos Equiláteros e Hexágonos RegularesSendo p e q, a quantidade de triângulos equiláteros e de hexágonos regulares, respectivamente,utilizados na pavimentação, deveremos ter: p ∙ 60º + q ∙ 120º = 360º. Simplificando, temos p ∙ 1 + q ∙2 = 6, logo, podemos ter dois triângulos equiláteros, e dois hexágonos regulares, ou quatro triângulosequiláteros e um hexágono regular (Figura 9). Fig.9 – Pavimentações com Triângulos equiláteros e Hexágonos regulares
  21. 21. Triângulos Equiláteros e Dodecágonos Regulares (12 lados) Sendo p e q, a quantidade de triângulos equiláteros e de dodecágonos regulares, respectivamente, utilizados na pavimentação, deveremos ter: p ∙ 60º + q ∙ 150º = 360º. Simplificando, temos p ∙ 2 + q ∙ 5 = 12, logo, podemos ter um triângulo equilátero, e dois dodecágonos regulares (Figura 10).28 Fig.10 – Pavimentação com Triângulos equiláteros e Dodecágonos regulares Quadrados e Octógonos Regulares (8 lados) Sendo p e q, a quantidade de quadrados e de octógonos regulares, respectivamente, utilizados na pavimentação, deveremos ter: p ∙ 90º + q ∙ 135º = 360º. Simplificando, temos p ∙ 2 + q ∙ 3 = 8, logo, podemos ter um quadrado, e dois octógonos regulares (Figura 11). Fig.11 – Pavimentação com Quadrados e Octógonos regulares Triângulos Equiláteros, Quadrados e Hexágonos Regulares Sendo p, q e r a quantidade de triângulos equiláteros, quadrados e hexágonos regulares, respectivamente, utilizados na pavimentação do plano. Segue que: p ∙ 60º + q ∙ 90º + r ∙ 120º = 360º. Simplificando, temos p ∙ 2 + q ∙ 3 + r ∙ 4 = 12, logo, podemos ter um triângulo equilátero, dois quadrados, e um hexágono regular (Figura 12). Fig.12 – Pavimentação com Triângulos equiláteros, Quadrados e Hexágonos regulares Quadrados, Hexágonos Regulares e Dodecágonos Regulares Sendo p, q e r a quantidade de quadrados, hexágonos regulares e dodecágonos regulares, respectivamente, utilizados na pavimentação do plano.
  22. 22. Segue que: p ∙ 90º + q ∙ 120º + r ∙ 150º = 360º.Simplificando, temos p ∙ 3 + q ∙ 4 + r ∙ 5 = 12, logo, podemos ter um quadrados, um hexágono regulare um dodecágono regular (Figura 13). 29 Fig. 13 – Pavimentação com Quadrados, Hexágonos regulares e Dodecágonos regulares1.2 Transformações no planoFundamentadas em Ripplinger (2006), entendemos que duas figuras são congruentes se coincidiremperfeitamente por meio de uma mudança de posição ou movimento rígido, sendo chamados deisometrias (do grego, mesma medida). Ainda sob as ideias da autora definimos também como sendotransformações que preservam o comprimento dos segmentos e, consequentemente, a distância entredois pontos quaisquer do plano.Translação, reflexão e rotação são movimentos do plano que preservam estas propriedades e recebemo nome de isometrias. Uma questão importante de ser estudada é a existência ou não de ponto fixo,isto é, pontos que não mudam de posição sob efeito da isometria considerada.Todas as definições abaixo apresentadas foram fundamentadas no estudo do Departamento de MétodosMatemáticos da Universidade Federal do Rio de Janeiro1.Reflexão AxialO reflexo na água, as asas da borboleta (tomando o seu corpo como eixo de simetria) e as pavimentaçõessão exemplos onde podemos encontrar a reflexão axial.Dizemos que duas figuras são simétricas em relação a uma reta qualquer quando uma é a imagemespelhada da outra em relação à reta considerada, chamada eixo de simetria.As figuras que satisfazem esta definição coincidem completamente quando sobrepostas. Isto aconteceporque pontos simétricos estão em lados opostos, mas à mesma distância do eixo de simetria, isto é, oeixo de simetria é a mediatriz do segmento de reta que une estes dois pontos.Na figura a seguir (Figura 14), o triângulo ABC é o original e o triângulo A’B’C’ o refletido. O eixo desimetria é a reta L. Note que foram preservadas as distâncias do triângulo ABC ao construir o triânguloA’B’C’. Fig. 14 - Reflexão do triângulo ABC1 http://www.im.ufrj.br/dmm/projeto/projetoc/precalculo/sala/conteudo/capitulos/cap26s3.htm. Acessado em: 06/09/2010.
  23. 23. Reflexões axiais são isometrias que tem infinitos pontos fixos, nenhum ponto pertencente ao eixo de simetria se move sob efeito de uma reflexão que tenha essa reta como eixo de reflexão, ou seja, os pontos que pertencem ao eixo de simetria não se movem durante a reflexão. Translação No nosso cotidiano existem diferentes momentos em que a translação está presente, como por exemplo, no abrir e fechar de uma gaveta, na pavimentação, nas pessoas ao se deslocarem em uma escada rolante. Mas então, o que é translação?30 O deslocamento total na direção horizontal, que chamaremos de x e o deslocamento total na direção vertical, que chamaremos de y definem uma translação. Estas grandezas definem sem o uso de coordendas, um segmento orientado de reta, chamado vetor de translação, de coordenadas (x, y) (Figura 15). Fig. 15 - Translação do triângulo ABC Na figura acima, o triângulo ABC é o original e o triângulo A’B’C’ o transladado. O vetor de translação é determinado pelo segmento orientado de reta OZ. Note que, dependendo dos sinais de x e y, coordenadas do vetor de translação OZ, a figura se desloca | x | unidades para a direita (x > 0) ou para a esquerda (x < 0) e | y | unidades para cima (y > 0) ou para baixo (y < 0). Como podemos perceber a translação não possui pontos fixos uma vez, que se transladar um objeto em questão, se faz o deslocamento de todos os pontos, nenhum ponto permanece na mesma coordenada inicial. Rotação A janela gira em torno das dobradiças; os ponteiros do relógio giram em torno de um ponto no centro, na roda podemos encontrar rotações e também no volante. Então, do que se trata uma rotação? Podemos dizer que uma rotação é facilmente entendida se imaginarmos que qualquer ponto da figura irá “mover-se” ao longo de um arco de circunferência que terá o seu centro coincidente com o centro da rotação, ou seja, a figura final é obtida através de uma única imagem, onde é mantido fixo um ponto (o centro da rotação) e todos os outros sofrem deslocamentos ao longo de arcos de circunferência de certa amplitude e em torno do ponto fixo. Então, para rotacionar uma figura basta fixar um ponto e girar a figura em torno de um ângulo α qualquer, ao redor desse ponto (Figura 16).
  24. 24. Fig. 16 - Rotação do triângulo AA rotação tem um ponto fixo apenas, o centro de rotação permanece fixo não importa qual seja arotação efetuada. 311.3 Investigação matemáticaSegundo os autores Ponte, Brocardo e Oliveira (2003), oferecer aos alunos como metodologia de ensinoa investigação matemática, nos remete a um ensino com grande pluralismo de idéias, que tenderão aser confirmadas ou renegadas, ao passo que forem realizadas as devidas investigações e análises.Estes autores nos afirmam que: investigar em matemática, assume características muito próprias, conduzindo rapidamente à formulação de conjecturas que se procuram testar e provar, se for o caso. As investigações matemáticas envolvem, naturalmente, conceitos, procedimentos, e representações matemáticas, mas o que mais fortemente as caracteriza é este estilo de conjectura-teste- demonstração (PONTE, BROCARDO e OLIVEIRA, 2003, p.10).Neste tipo de contexto o aluno não é visto apenas como ouvinte, mas sim, como alguém capaz de“fazer matemática2”, como nos revela Ponte, Brocardo e Oliveira (2003, p. 23), “o aluno aprende quandomobiliza os seus recursos cognitivos e afetivos com vista a atingir um objetivo”. No entanto, paraque isso ocorra, é imprescindível estar envolvido com a proposta e ter conhecimento matemático doassunto a ser trabalhado.Durante as observações pedagógicas realizadas tanto nos estágios supervisionados quanto no PIBID,notamos a ausência de aulas investigativas nos ambientes escolares. Acreditamos que isso se baseieno medo de não se ter controle do caminho que estas atividades podem tomar, pois nesta proposta oprofessor consegue ter o domínio do início destas atividades, mas sua execução constitui-se imprevisível,o que vem a ser algo muito belo e interessante, podendo revelar um conhecimento construído a partirdas intervenções dos sujeitos que empregam suas reflexões e considerações que julgam pertinentes.Buscamos formar alunos independentes capazes de avaliar os caminhos percorridos e as soluçõesencontradas e as aulas investigativas apresentam-se inseridas nesta perspectiva de acordo com Ponte,Brocardo e Oliveira (2003): É fundamental que o aluno se sinta à vontade e lhe seja dado tempo para colocar questões, pensar, explorar as suas idéias e exprimi-las, tanto ao professor como aos seus colegas. O aluno deve sentir que as suas idéias são valorizadas e que se espera que as discuta com seus colegas, não sendo necessária a validação constante por parte do professor. (p. 28).Concomitante as justificativas das afirmações apresentadas, devemos ter a socialização dos resultados,reunindo os diferentes fundamentos apresentados pelos alunos, desde os caminhos percorridos até assoluções obtidas.2 Este termo nos leva ao aluno visto como agente construtor de conhecimento, um matemático capaz de formular hipóteses eapresentar as justificativas para sua afirmação ou negação.
  25. 25. A investigação para o ensino de geometria “pode contribuir para concretizar a relação entre situações da realidade e situações matemáticas” (Ponte, Brocardo e Oliveira, 2003, p.71), como será nosso foco ao buscarmos trabalhar a geometria presente no contexto dos alunos apresentando, a todo o momento, exemplos do cotidiano aliados ao estudo da matemática escolar. A investigação geométrica constitui-se no estreitamento da relação entre professor e aluno, não sendo o professor o único responsável pelo processo de transformar uma informação em conhecimento, “Emergem, assim, novas formas de conceber e produzir conhecimentos geométricos em sala de aula, principalmente com dinâmicas de maior dialogicidade entre professor e aluno, numa perspectiva de negociação e produção de significados” (GRANDO, NACARATO, GONÇALVES, 2008, p.43).32 As investigações em geometria também podem ser realizadas por meio de softwares matemáticos. Muitos são os programas de Geometria Dinâmica (GeoGebra, Cabri Géometrè, dentre outros), que permitem ao aluno construir conceitos matemáticos e manipulá-los, mostrando um aprendizado que acontece em movimento, ou seja, sobre a ação das transformações geométricas, deixando de lado a concepção de uma geometria estática, antiga e sem maiores atrativos. Conforme nos respaldam Ponte, Brocardo e Oliveira (2003), esse suporte tecnológico permite o desenho, a manipulação e a construção de objetos geométricos, facilita a exploração de conjecturas e a investigação de relações que precedem o uso do raciocínio formal. Vários estudos empíricos destacam também que, na realização de investigações, a utilização dessas ferramentas facilita a recolha de dados e o teste de conjecturas, apoiando, desse modo, explorações mais organizadas e completas e permitindo que os alunos se concentrem nas decisões em termos do processo. (p.83). As atividades de investigação geométrica propostas aos alunos são interessantes por atingirem diferentes perfis de alunos, se por um lado, o aluno não possui amplo conhecimento de geometria, a atividade pode levá-lo a explorar as situações apresentadas, trabalhando em um caminho mais suave e sem grandes descobertas, mas mesmo assim poderá vir a ocorrer o interesse do aluno pela atividade em questão; em contrapartida, se o aluno possuir um conhecimento mais denso, a tarefa atingirá todas as suas potencialidades, onde via a investigação ele poderá explorar os conceitos, unir diferentes conhecimentos, buscar compreender, formular questões e estabelecer conclusões à luz do que lhe foi proposto. Conforme nos respalda Grando, Nacarato e Gonçalves (2008), Como são tarefas abertas, o conhecimento geométrico exigido, inicialmente, é restrito ao conteúdo de que trata a tarefa. Se o aluno tiver um domínio restrito dos conteúdos geométricos, muito provavelmente a tarefa venha a ficar no nível da exploração, mas, caso seja um aluno que apresente um domínio maior dos conteúdos geométricos e mesmo algébricos, existe grande possibilidade de que a tarefa se torne, para ele, investigativa (p.44). Quando se fala de investigação geométrica, as tarefas “revelam-se ricas do ponto de vista da não- fragmentação do conhecimento matemático e de articulação de diferentes recursos didáticos, levantamento de conjecturas, estratégias de resolução e valorização da comunicação de idéias matemáticas” (GRANDO, NACARATO E GONÇALVES, 2008, p.55). CAPÍTULO 2 OS CONTEÚDOS DE GEOMETRIA NO ENSINO FUNDAMENTAL: ANÁLISE DE ALGUNS LIVROS DIDÁTICOS Diante das reflexões apresentadas, estaremos interessadas em analisar como acontece o ensino de
  26. 26. alguns conteúdos na sala de aula (polígonos e simetrias) e, se uma abordagem lúdica pode ou não, serinteressante para introdução, auxílio ou formalização durante o processo de ensino-aprendizagem.Antes, porém, vamos analisar algumas recomendações do Programa Nacional do Livro Didático 2010(Brasil, 2009), sobre a escolha do livro didático. Um bom livro didático deve conter informações e explanações sobre o conhecimento matemático que está em nosso cotidiano – um conhecimento que interfere e sofre interferências das práticas sociais do mundo atual e do passado. Deve, também, adotar uma proposta pedagógica que leve em conta o conhecimento prévio e o nível de escolaridade do aluno e que, além disso, ofereça atividades que o incentivem a participar ativamente de sua aprendizagem e a interagir com seus colegas. (Brasil, 2009, p.40)Em virtude do trecho acima podemos inferir que existe um olhar atento à inserção de atividadesrelacionadas ao contexto dos alunos, bem como atividades que promovam a diversidade de opiniões 33apresentadas em trabalhos de grupo.Neste capítulo, vamos analisar diferentes livros didáticos, escolhidos pela licencianda, que abordam osconteúdos de Polígonos e Transformações no Plano, que são o nosso tema de estudo neste trabalho. Oprimeiro livro recebe o nome de Matemática na Medida Certa, de Marília Centurión e José Jakubovicda editora Scipione, 2009; o segundo Matemática, de Luiz Márcio Imenes e Marcelo Lellis, da editoraModerna, 2009, e por fim, Matemática e Realidade, de Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce e Antonio Machado,da Atual Editora, 2009.A escolha dos livros se deu por estarem presentes na escola onde a pesquisa ocorreu. Ressaltamos quefaremos uma análise apenas dos livros do 8º ano e não de toda a coleção, já que nosso intuito é avaliarqual o conhecimento dos alunos do 9º ano sobre o tema, procurando perceber como o conteúdo éabordado na série anterior.O primeiro livro, Matemática na Medida Certa, de Marília Centurión e José Jakubovic, traz doiscapítulos destinados ao ensino da geometria, intitulados Polígonos e medida de ângulos e Triângulos,Quadriláteros e Circunferências. O primeiro capítulo citado traz alguns ângulos notáveis, ângulosformados por paralelas e transversais, abordando as propriedades dos ângulos e dos ângulos empolígonos, teorema da soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo e o teorema da somadas medidas dos ângulos internos de um polígono convexo. Na introdução é apresentado o tangram,onde é feita sua construção usando o conceito de diagonal e ponto médio; é feita também a análise detodas as medidas dos ângulos das peças do tangram, bem como, as congruências nele presentes. Noitem “alguns ângulos notáveis” temos o estudo dos ângulos internos e externos de um polígono, ondesão apresentados alguns exercícios que remetem à pavimentação do plano sem que este termo sejacitado ao aluno e exemplificando, há um mosaico formado por quadrados e octógonos, onde é pedidaa medida dos ângulos internos do octógono regular. Para a soma das medidas dos ângulos internosde um polígono convexo, temos a demonstração de tais teoremas, o que nos revela um diferencialdeste livro, pois percebemos a preocupação dos autores em justificar os resultados para os alunos, nãoapresentando apenas fórmulas sem significado e compreensão.O segundo capítulo citado, Triângulos, Quadriláteros e Circunferências, traz o estudo das propriedadesbásicas de triângulos, quadriláteros e circunferências. Os resultados que são passíveis de umademonstração sem muita rigorosidade são feitos (casos de congruências de triângulos).Percebemos a constante preocupação dos autores em justificar os resultados apresentados, maspercebemos também que não existe um estudo sobre as transformações no plano. Todavia destacamosa preocupação dos autores em definir um teorema – “quando uma propriedade é demonstrada pormeio de propriedades já conhecidas, ela é chamada de teorema” (Centurión e Jakubovic, 2009,p.133) – e, posteriormente, demonstrá-lo.
  27. 27. O livro Matemática, de Luiz Márcio Imenes e Marcelo Lellis, traz cinco capítulos sobre geometria, Construções Geométricas; Ângulos, Paralelas e Polígonos; Desenhando Figuras Espaciais; Áreas e Volumes e Geometria Experimental. Analisaremos os dois iniciais que são o foco de nossa pesquisa. Os capítulos começam pela construção geométrica, por meio de instrumentos como compasso, esquadro entre outros, mas explorando suas aplicações no cotidiano; para construções espaciais é utilizada a planificação das figuras. Em seguida, são apresentados os ângulos notáveis e suas propriedades, soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo e de polígonos. Novamente percebemos a preocupação em justificar os resultados apresentados, alguns informalmente, como por exemplo, por meio de desenhos. Acreditamos ser uma postura interessante ao docente, pois poderá levar os alunos a discussão e análise de resultados. Neste capítulo do livro, temos um momento que os autores chamam de Ação, onde os alunos são34 convidados a construírem mosaicos geométricos. Temos também a definição do que é um polígono e de como são classificados, o que não havia sido feito no livro analisado anteriormente. Como diferencial de outros livros didáticos, os autores, trazem um breve estudo sobre dois tipos de simetrias: simetria axial e simetria de rotação. Sobre a simetria axial, os autores afirmam: “reconhecemos esta simetria pela presença de um eixo de simetria” (Imenes e Lellis, 2009, p.115). A simetria de rotação é apresentada via figuras que foram rotacionadas, sendo exemplificada pela utilização de imagens de obras artísticas e fenômenos da natureza. Após este estudo, temos a relação das simetrias com as propriedades dos quadriláteros, explorando as diagonais dos losangos e paralelogramos. São apresentados alguns problemas e exercícios aos alunos, onde é pedido que se encontre o eixo de simetria de algumas figuras, o tipo de simetria presente em outras. A arte também é foco! Neste capitulo, temos a exploração de faixas decorativas, onde o diálogo com a matemática é realizado por meio dos conceitos de simetria anteriormente trabalhados. Por fim, é apresentado um texto sobre um artista plástico que utiliza apenas quadrados, círculos e triângulos em seus quadros. Concluímos esta análise, dizendo que os autores se preocuparam em oferecer um livro didático que estabelece constante diálogo com outras áreas do conhecimento, com muitas propostas lúdicas, visando um aprendizado mais significativo e participativo, onde os alunos são convidados a interagir com o conteúdo. O livro apresenta sugestões aos professores de como realizar a abordagem dos assuntos e questões apresentadas, sendo um grande aliado do docente em sala de aula. O livro Matemática e Realidade, de Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce e Antonio Machado (2009), traz três unidades (cada unidade é subdividida em capítulos) destinadas ao ensino da geometria denominadas Segmentos, Ângulos e Triângulo; Quadriláteros e Circunferências; Arcos e Ângulos. Inicia-se com o estudo de segmentos, onde é feita a definição de um segmento como “o conjunto de todos os pontos da reta r compreendidos entre os pontos A e B, mais esses dois pontos” (p.73) e o estudo das congruências, medida e ponto médio dos segmentos. Se fazem presentes algumas construções com régua e compasso, como por exemplo, a transposição de segmentos. Esse estudo ocorre também para ângulos, onde os autores definem ângulo como “a reunião de duas semi-retas de mesma origem” (IEZZI, DOLCE e MACHADO, 2009, p.80) e temos a construção com régua e compasso da bissetriz de um ângulo, o que pode ser visto como um diferencial do livro, já que essas atividades ainda não haviam sido encontradas nos livros didáticos da educação básica analisados no presente trabalho. O livro apresenta um capítulo direcionado ao estudo de triângulos, onde é feita a classificação quanto aos lados (equilátero, isósceles e escaleno) e quanto aos ângulos (acutângulo, retângulo e obtusângulo), a soma dos ângulos internos e externos de um triângulo. Como novidade em relação às outras obras analisadas, temos o enunciado da desigualdade triangular, “em qualquer triângulo, cada lado é menor que a soma dos outros dois” (IEZZI, DOLCE e MACHADO, 2009, p.102), onde são estudadas as congruências de triângulos, os pontos notáveis (mediana, baricentro, bissetriz, incentro, altura, ortocentro, mediatriz e circuncentro). Finalizando esta unidade temos o estudo das propriedades dos triângulos isósceles, bem como, dos triângulos eqüiláteros. Neste livro temos um termo novo aos discentes, equiângulo (polígono que tem todos os ângulos de medidas iguais), trazido para enunciar a propriedade dos triângulos equiláteros como “todo triângulo equilátero é equiângulo e a recíproca,
  28. 28. todo triângulo equiângulo é equilátero” (IEZZI, DOLCE e MACHADO, 2009, p.136).Na unidade que trata sobre os quadriláteros, inicialmente se faz presente a definição de quadriláteroscomo: “dados quatro pontos, A, B, C e D, dos quais não há três pontos colineares, chama-se quadriláteroABCD a reunião dos segmentos AB, BC, CD, DA” (IEZZI, DOLCE e MACHADO, 2009, p.215). Posteriormente,são apresentados quadriláteros convexos e côncavos, a soma dos ângulos de um quadrilátero pormeio de sua decomposição em triângulos e os quadriláteros notáveis (trapézio, paralelogramo, losango,retângulo e quadrado) com suas definições e propriedades.Percebemos que este livro didático, apresenta uma constante preocupação em desenvolver nos alunosa habilidade de realizar construções geométricas com o uso da régua e do compasso. De acordo comexperiências adquiridas em estágios e no PIBID, pensamos ser este livro um aliado do docente, poispermite a interação do aluno com o conteúdo a ser estudado e, a partir destas construções, o alunopoderá compreender melhor algumas propriedades ou definições a ele apresentadas. 35CAPÍTULO 3METODOLOGIANossa pesquisa, segundo Fiorentini e Lorenzato (2006, p.106), trata-se de uma pesquisa de campo,pois é a “modalidade de investigação na qual a coleta de dados é realizada diretamente no local, emque o problema ou fenômeno acontece”. Fomos inseridas no contexto escolar, buscando observar eanalisar nossos sujeitos. Coube à licencianda, o papel de executar uma observação participante, ou seja,registrar as observações sem causar grandes intervenções em determinados momentos. Este termo édiscutido por Fiorentini e Lorenzato (2006, p.107), que o definem como “participação com registro dasobservações, procurando produzir pouca ou nenhuma interferência no ambiente de estudo”.Entretanto, percebemos que nossa pesquisa nos revela algo muito amplo, com diferentes olhares,uma vez que podemos a definir como um estudo de caso, onde estaremos interessadas em estudar oconhecimento prévio dos alunos, bem como, o que será apreendido por eles no decorrer do mini-cursoministrado. Conforme Fiorentini e Lorenzato (2006), O estudo de caso busca retratar a realidade de forma profunda e mais completa possível, enfatizando a interpretação ou a análise do objeto, no contexto em que ele se encontra, mas não permite a manipulação das variáveis e não favorece a generalização. Por isso o estudo de caso tende a seguir uma abordagem qualitativa (p.110).Realizamos uma parceria com uma professora de matemática de uma escola da rede pública estadualda cidade de Uberlândia/MG, participante do PIBID/UFU. Os alunos do 9º ano do Ensino Fundamentaldas turmas em que a professora ministra a disciplina de Matemática foram convidados a participar deum mini-curso intitulado Geometria e Arte, com uma carga horária de 1 hora e 30 minutos por encontro,durante 10 dias. Contamos com a presença de 15 alunos, com média de 13 e 15 anos de idade, ondeforam trabalhados, os conteúdos de Polígonos e Transformações no Plano. O mini-curso aconteceu em horário extra-turno (os alunos estudam no turno da manhã, no qual asaulas se realizam das 07h00min às 11h30min, e o mini-curso ocorreu das 17h30min às 19h00min nasdependências da escola).O primeiro momento aconteceu nos dias 20/09/2010 e 21/09/2010; o segundo momento no período de22/09/2010 a 27/09/2010 e, o último, no período de 28/09/2010 a 30/09/2010. À pedido dos alunos, oúltimo dia (01/10/2010) foi utilizado para término de suas produções - mosaicos.Para realização das atividades, a licencianda contou com a colaboração de um bolsista do PIBID/
  29. 29. UFU Matemática, que atua no mesmo campo de projeto. A este bolsista, coube a função de auxiliar a distribuição de materiais para os alunos e auxiliá-los quanto a possíveis dúvidas, conforme discussão prévia com a licencianda. A professora-parceira se fez presente em todos os encontros, entretanto em nenhum momento houve intervenções realizadas pela mesma, já que o mini-curso seria planejado e ministrado pela licencianda. Os materiais necessários3 para cada atividade foram adquiridos via verba do PIBID e eram distribuídos aos alunos no início de cada encontro4. À licencianda cabia também o papel de observar e registrar o desenvolvimento das atividades, fazendo o mínimo de intervenções necessárias, de forma escrita e com registros fotográficos. Os alunos registravam suas ações ao longo do encontro em folhas sulfites, fornecidas pela licencianda,36 que eram devolvidas ao fim de cada situação proposta. Foi-lhes pedido que justificassem cada afirmação, sentimento e conclusões sobre as atividades realizadas, assim como, diariamente eram realizadas avaliações quanto à proposta, a postura da licencianda e do seu próprio aproveitamento, não sendo obrigatória a identificação do aluno. As carteiras dos alunos foram dispostas em forma de um semi- círculo, proporcionando a licencianda observar as ações e reações dos alunos, além de promover uma maior interação entre os próprios alunos, pois assim dispostos, eles poderiam se comunicar a fim de resolver os problemas propostos. A escolha da abordagem de tais conteúdos ocorreu devido à percepção durante os estágios realizados e a experiência no PIBID de que os alunos não possuem muita intimidade com estes temas, além de, geralmente, não conseguirem relacionar com seu contexto pessoal, onde na maioria das vezes, após as provas, o conteúdo simplesmente é esquecido por um grande número de alunos. Elaboramos atividades que visassem abordar os conteúdos de forma atrativa, mas com a constante preocupação em dar ênfase ao aprendizado significativo, ao esclarecimento das dúvidas dos alunos e sua participação efetiva no processo de execução das mesmas, onde à licencianda caberia apenas o papel de mediar os alunos neste processo. Lembramos que para este estudo, nossos objetivos são: - explorar a interdisciplinaridade associando o ensino da matemática com a educação artística; - identificar o desempenho de alunos ao vivenciarem situações de produções artísticas aliadas ao ensino da matemática, em especial a geometria, mediante intervenções pedagógicas; - avaliar as implicações didático-metodológicas na formação do futuro professor. Para atingir nossos objetivos procuramos percorrer a seguinte questão de pesquisa: é possível elaborar uma estratégia de ensino da geometria utilizando da interação entre este ramo da matemática e aspectos da educação artística que contribua para que a aprendizagem se torne interessante, dinâmica e interativa? Para tanto, as atividades foram adaptadas dos trabalhos de Barbosa (2005) e Santos (2007) sobre pavimentação no plano e, Ripplinger (2006), abordando o conteúdo de transformações no plano, que nos forneceram idéias para concepção das atividades bem como respaldo teórico acerca dos temas abordados. O mini-curso contou com três momentos: - Breve revisão sobre algumas Figuras Geométricas, como o triângulo, o quadrado e o paralelogramo; - Estudo da pavimentação do plano via Polígonos Regulares (triângulo equilátero, quadrado, pentágono 3 Na análise de cada atividade no capítulo 4 teremos a lista de materiais utilizados. 4 Fazemos uso do termo encontro por acreditar que ambos (licencianda e alunos) buscavam aprendizado; houveram momentos onde a licencianda assumiu o papel de docente, mas em tantos outros os alunos eram os construtores e os interlocutores do conhecimento.
  30. 30. regular, hexágono regular, octógono regular e dodecágono regular);- Estudo da pavimentação do plano via Transformações no Plano (simetria: reflexão axial, rotação etranslação).3.1 Discutindo cada item3.1.1 Breve revisão sobre algumas figuras geométricasEntendemos que por se tratar da primeira atividade5 do mini-curso, cabia neste momento, algo maislúdico e interativo, visando convidar os alunos para um ambiente de produção de materiais e aprendizado.Acreditamos que por meio desta atividade poderíamos diagnosticar o nível de conhecimento do grupo 37de alunos, que constituirão nosso foco da pesquisa, investigando de forma empírica, isto é, sem nospreocuparmos em um primeiro momento com formalizações, o grau de conhecimento dos estudantes,sobre as figuras geométricas que seriam estudadas e suas propriedades.A inserção deste tópico ao mini-curso se deu visando apresentar aos alunos uma matemática artísticae dinâmica; expor os conteúdos de forma atrativa a qual eles poderão criar figuras, utilizando as peçasdo tangram livremente explorando sua criatividade. A licencianda visava estimular a participação dosalunos em atividades lúdicas com a finalidade de promover a interação das artes com a matemática,bem como, promover a interdisciplinaridade com a disciplina de Português por meio da escrita detextos, a partir das criações dos alunos. Contudo, como já dito, tínhamos como objetivo propiciar acriação de problemas matemáticos e a resolução dos mesmos via elaboração de conjecturas.Esta atividade teve como fundamento trabalhar diferentes conceitos geométricos como propriedadesda diagonal do quadrado, equivalência das peças do tangram, onde os alunos poderiam perceber asfiguras geométricas que compõem o tangram e desenvolver os conceitos geométricos das mesmas.Além disso, os alunos poderiam construir figuras por meio destas peças, visando trabalhar as relações deequivalência entre as peças do tangram, a reflexão dos alunos quanto aos questionamentos propostos,revisando conhecimentos que possam ter se perdido ao longo da trajetória estudantil, tendo o professorcomo mediador enfatizando as propriedades das figuras geométricas.A priori, os alunos foram apresentados ao tangram, conhecendo quais são as peças que o compõeme sua lenda e, em seguida, foram indagados sobre algumas propriedades das figuras geométricasencontradas no tangram. De posse desta revisão, tivemos uma atividade aonde cada aluno construiuseu próprio tangram e, a cada construção, tivemos algumas questões respondidas individualmente epor escrito.3.1.2 Estudo da pavimentação do plano via polígonos regularesNeste momento, contamos com dois aspectos diferentes. Primeiramente, trabalhamos com materialpedagógico que consistia em ladrilhos de MDF visando trabalhar o conceito de pavimentação, adquiridosvia verba do PIBID e, posteriormente, realizamos um trabalho com o software matemático GeoGebra.Inicialmente, foram realizados questionamentos aos alunos quanto ao conceito de polígonos, polígonosconvexos e polígonos regulares; posteriormente, realizamos uma formalização dos conceitos abordados,visando a revisão dos mesmos, uma vez que este assunto é, geralmente, abordado no 8º ano do EnsinoFundamental. Em seguida, em conjunto com os alunos, fizemos uma análise do valor da medida doângulo interno dos seguintes polígonos: triângulo equilátero, quadrado, pentágono regular e hexágonoregular, visando prepará-los para uma atividade investigativa.5 A atividade será apresentada no item 3.2.1.2 deste capítulo.
  31. 31. Após o respaldo teórico, à cerca do que da definição de pavimentação os alunos receberam um kit (Figura 17) existente na escola, constituído de 6 triângulos equiláteros, 4 quadrados, 3 pentágonos regulares, 4 hexágonos regulares, adquiridos via verba do PIBID, para que empiricamente, constatassem quais polígonos podem pavimentar um plano.38 Fig. 17 – Kit entregue aos alunos Diante da constatação e sob a mediação da licencianda, os discentes foram levados a concluir quais as justificativas para que tais pavimentações se tornassem possíveis. Elaboramos um roteiro de atividades6 para os alunos, a fim de que eles explorassem o conceito de pavimentação no plano, bem como os conceitos anteriormente trabalhados. Após a conclusão desta atividade, ocorreu a inserção do uso da tecnologia, contando para isso, com o software GeoGebra anteriormente instalado no laboratório de informática da escola, onde os alunos ficaram dispostos um em cada computador. Objetivamos que os alunos pudessem constatar a veracidade das conclusões anteriormente obtidas com o uso do material pedagógico, além de expandir suas justificativas para as questões abordadas, pois, o uso do recurso computacional pode permitir olhares que antes estavam adormecidos. Entendemos que a utilização de ambientes computacionais no ensino de matemática pode contribuir para a inserção do “caráter dinâmico, visual, atrativo e a não- linearidade de pensamento que a tecnologia possibilita dificilmente se obtêm na mídia tradicional.” (MARCO, 2009, p.40). Além disso, a idéia de movimento que o ambiente computacional pode propiciar “pode permitir ao professor desmistificar determinados conceitos matemáticos que, na maioria das vezes, são complicados para o entendimento do aluno” (MARCO, 2009, p.147). Novamente, os alunos receberam um roteiro para realizar a atividade. Tal roteiro tinha como objetivo direcionar os caminhos para que os alunos pudessem trabalhar no sentido esperado pela licencianda, obtendo êxito na atividade. Eles iriam construir no computador os polígonos e verificar se suas pavimentações são possíveis, além de testar combinações para pavimentar o plano com dois tipos de polígonos regulares e mais de dois tipos. Por meio da exploração destas atividades esperava-se que os alunos demonstrassem o porquê de somente o triângulo equilátero, o quadrado e o hexágono pavimentarem o plano usando um único tipo de polígono; algo remoto de sua realidade, onde cada vez mais na educação básica, percebemos, por meio dos estágios realizados e da participação no PIBID, que os alunos não têm acesso a uma justificativa formal de suas conclusões, ficando o ensino restrito a aplicação de fórmulas ou algoritmos e verdades tomadas como absolutas. 3.1.3 Estudo da pavimentação do plano via transformações no plano O mini-curso se encerra com as transformações no plano. Este tema esteve presente buscando concluir 6 Os roteiros serão apresentados no item 3.2.2 deste capítulo.
  32. 32. a pavimentação no plano e trazer aos alunos algo que não tem sido trabalhado com grande ênfase noensino fundamental.A introdução deste tópico visava trazer como benefícios aos alunos o enfoque de três movimentosde simetria – reflexão, translação e rotação –, já que, normalmente, é abordado apenas o ensino dasimetria axial7, apesar destas transformações estarem presentes na vida dos alunos, embora passaremdespercebidas por eles.Posteriormente, discutimos os movimentos de reflexão axial, translação e rotação. E realizamos algumasatividades sobre este tema e os alunos foram indagados sobre a presença destes movimentos em suavida. Iniciamos o estudo com a reflexão por acreditarmos ser mais visível aos alunos, posteriormente,trabalhamos o movimento de translação e finalizamos com a rotação. 39Antes de cada atividade, a licencianda apresentou uma breve explicação sobre o movimento em questão,formalizando com a discussão dos alunos e introduzindo as atividades que foram direcionadas por umroteiro8 a ser seguido pelos alunos. Entretanto, para este assunto, tivemos um momento onde os alunosiriam realizar uma atividade em grupo, onde as discussões seriam socializadas buscando solucionar umproblema proposto, visando aflorar o trabalho em grupo e a comunicação entre os alunos.Encerrando o mini-curso os alunos foram convidados a construir mosaico utilizando a teoria trabalhadae sua criatividade artística, mostrando uma aplicação matemática no contexto das artes.3.2 Atividades propostas3.2.1 Breve revisão sobre algumas figuras geométricasVeremos aqui, como as atividades foram apresentadas aos alunos. Cabe dizer que a parte teóricadas aulas foi ministrada utilizando-se como recurso didático o data-show e as aulas tiveram caráterexpositivo-dialogadas, ou seja, houve momentos onde a licencianda expôs alguns conceitos e, outrosmomentos, onde os alunos foram convidados a discutir algumas questões ou foram levados a refletir eexplanar suas conclusões, e outros onde a aula teve caráter investigativo, ou seja, os alunos receberamo roteiro para que formulassem suas hipóteses e tirassem suas conclusões, baseados nas atividades querealizavam.3.2.1.1 Conhecendo o Tangram9Para a exploração do tangram utilizamos a seguinte estratégia:1- Questionamos aos alunos “O que é o Tangram?”.2- Para subsidiar nossa discussão com os alunos, lembramos que o Tangram é um quebra-cabeçachinês formado por sete peças (Figura 18):- Dois triângulos maiores;- Dois triângulos menores;- Um triângulo médio;- Um quadrado;- Um paralelogramo.7 Simetria Axial pode ser entendida como a simetria em que existe a presença de um eixo de simetria. (IMENES e LELIS, 2009, p.115).8 O roteiro será apresentado no item 3.2.3 deste capítulo.9 Lembramos que a discussão desta atividade se dará no próximo capítulo.
  33. 33. 40 Fig. 18 - Tangram10 3. Como surgiu o Tangram? A origem do tangran possui inúmeras lendas, dentre elas temos: Conta a lenda que um jovem chinês despedia-se de seu mestre, pois iniciaria uma grande viagem pelo mundo. Nessa ocasião, o mestre entregou-lhe um espelho de forma quadrada e disse: - Com esse espelho você registrará tudo o que vir durante a viagem para mostrar-me na volta. O discípulo, surpreso, indagou: - Mas mestre, como, com um simples espelho, poderei eu lhe mostrar tudo o que encontrar durante a viagem? No momento em que fazia esta pergunta, o espelho caiu-lhe das mãos, quebrando-se em sete peças. Então o mestre disse: - Agora você poderá, com essas sete peças, construir figuras para ilustrar o que ver durante a viagem. (http://paje.fe.usp.br/~labmat/edm321/1999/geometr/tangram.html) Posteriormente, foi solicitado aos alunos que expusessem seus conhecimentos sobre as propriedades das figuras geométricas encontradas no tangram que se recordavam. Nosso intuito era perceber qual a presença da matemática em sua vida escolar. Lembramos que esse momento da atividade constituiu-se de uma breve revisão, um diálogo informal entre licencianda e alunos, servindo apenas como base para a construção do tangram, não existindo assim, um aspecto mais formal ou demonstrações sobre as afirmações realizadas. Após a discussão de cada figura geométrica que compõe o tangram, os alunos foram convidados a construir seu tangram11 e responder algumas questões, que apresentamos a seguir, ao longo das construções com o objetivo de que esta não seja apenas uma atividade de dobradura sem nenhum significado matemático para os alunos. 3.2.1.2 Construindo o Tangram Lembramos que a atividade que passamos a apresentar foi adaptada pela licencianda de um material produzido por Antônio César Geron (mimeo). Abaixo apresentamos a proposta utilizada: 10 Figura extraída do site http://professoraericanaves.blogspot.com/2009/12/tangran.html, acessada em 01/09/2010 11 Atividade adaptada de Atividades com o Tangram de Antônio César Geron (mimeo).
  34. 34. Agora é sua vez, como já conhecemos o tangram e a matemática nele presente, vamos construí-lo?1. Faça um quadrado de maior lado na folha, para isto basta dobrar o lado menor do retângulo sobreo lado maior;2. Ao realizar a dobra sobrará um retângulo pequeno que poderá ser recortado, e o quadrado ficarádividido em duas partes (dois triângulos). 41Qual nome recebe o segmento de reta, representado pelo vinco, presente no quadrado? O que se podeafirmar sobre este segmento?3. Considerando o quadrado e utilizando a marca da dobra recorte os triângulos.Quanto mede cada ângulo interno destes triângulos?O que se pode afirmar sobre estes dois triângulos?4. Pegue um dos triângulos que representa a metade do quadrado e dobre ao meio e recorte.5. Pegue o outro triângulo e marque o ponto médio da base maior, para isto, basta usar a mediatrizdeste segmento.Após, dobre de forma que o vértice oposto a base encoste-se ao ponto médio encontrado.Desdobre e recorte o triângulo (3) obtido.Como o triângulo 3 pode ser classificado?Qual o polígono obtido ao retirar o triângulo 3?6. Ao destacar o triângulo, obtivemos um trapézio, pois como sabemos, o trapézio é o quadrilátero quetem apenas dois lados paralelos.Encontre o ponto médio da base maior do trapézio e em seguida marque-o.Sobreponha um dos vértices da base maior do trapézio no ponto médio desta mesma base.
  35. 35. Perceba que formamos um triângulo (4) e um quadrado (5). Recorte-os. Quais são as justificativas, para que o polígono cinco seja classificado como um quadrado?42 7. Neste momento temos um trapézio retângulo, pois possui dois ângulos retos. Sobreponha o vértice da base maior que forma o ângulo reto, com o vértice oposto, da base menor, de forma que se obtenha um paralelogramo (7) e um triângulo (6). Recorte o triângulo do paralelogramo. Compare o triângulo seis com as demais peças do tangram. O que se pode concluir? Agora monte novamente o quadrado! Finalizando esta parte, os alunos foram convidados a construir uma figura e uma história com as peças do tangram, como apresentamos a seguir. 3.2.1.3 Conhecendo a criatividade dos alunos Para este momento fizemos a seguinte proposta: Como você já possui o seu tangram, agora é hora de usar sua criatividade e formar figuras. Depois escreva uma história com o que você construiu. Esperamos que ela esteja relacionada à matemática e ao que você aprendeu sobre a aula de hoje! 3.2.2 Estudo da pavimentação do plano via polígonos regulares Para esta etapa do estudo, realizamos questionamentos aos alunos quanto ao conceito de polígonos, polígonos convexos e polígonos regulares; posteriormente, fizemos uma formalização dos conceitos abordados. Apresentamos, a seguir, as questões propostas juntamente com as definições matemáticas para cada questão. Porém, ressaltamos que as respostas não foram apresentadas aos alunos, em um primeiro momento, somente após a discussão feita pelos alunos, houve a apresentação das respostas pela licencianda.
  36. 36. O que é polígono? Quando um polígono é convexo? É toda região do plano delimitada por uma linha poligonal (segmentos de retas consecutivos) fechada, podendo ser dito convexo quando determina uma região convexa do plano, isto é, se unirmos quaisquer dois pontos do polígono o segmento determinado por eles pertencerá ao polígono. O que são polígonos regulares? É todo polígono convexo que satisfaz as seguintes características: todos seus lados têm a mesma medida, ou seja, são congruentes e todos seus ângulos internos têm medidas iguais.Continuando, tivemos a discussão em conjunto com os alunos, da medida dos ângulos internos de 43alguns polígonos regulares. Além disso, a partir do cálculo da soma dos ângulos internos do triânguloequilátero e do pentágono regular foi solicitado que os alunos fizessem os cálculos para o quadrado eo hexágono regular por analogia.Para determinarmos a medida do ângulo interno de um polígono regular, basta lembrar de que estepolígono pode ser inscrito em uma circunferência. Sabemos que uma circunferência possui 360º, então,cada ponto da divisão representa um vértice do polígono regular nela inscrito. O que nos fornece:Triângulo Equiláterox = 360º = 60º 3 x = 60º i = 60ºQuadradox = 360º = 90º 4 x = 90º i = 90ºPentágono Regular Fig. 19 - Pentágono Regularx = 360º = 72º 5Como o triângulo é isósceles, pois dois de seus lados são raios da circunferência que circunscreve opentágono regular, segue que para determinar o valor de y, devemos ter:2y + x = 180º 2y = 180º - 72º 2y = 108º i = 108º
  37. 37. Hexágono regular Fig. 20 - Hexágono Regular x = 360º = 60º44 6 Como o triângulo é isósceles, pois dois de seus lados são raios da circunferência que circunscreve o hexágono regular, segue que para determinar o valor de y, devemos ter: 2y + x = 180º 2y = 180º - 60º 2y = 120º i = 120º A realização destes cálculos ocorreu para que os alunos tivessem um respaldo teórico para realizar a atividade futura no GeoGebra. Em seguida, os alunos receberam o kit com o seguinte roteiro: Utilizando o Kit: Verifique se é possível construir uma pavimentação utilizando apenas triângulos equiláteros. Justifique sua resposta. Tente fazer uma pavimentação utilizando apenas quadrados, é possível? Verifique se é possível fazer uma pavimentação utilizando apenas pentágonos regulares. Justifique sua resposta. É possível fazer uma pavimentação utilizando apenas hexágonos regulares? Será que é possível construir uma pavimentação com polígonos regulares com número de lados maior que seis? Justifique sua resposta. Era nosso intuito que os alunos descobrissem sem muita formalização quais são os polígonos regulares que pavimentam o plano. As configurações seguintes eram as esperadas (Figura 21): Fig. 21 - Pavimentações com um só tipo de Polígono Regular
  38. 38. Após a realização da segunda parte, houve uma formalização da teoria, onde a licencianda apresentouaos alunos a justificativa de que somente o triângulo equilátero, o quadrado e o hexágono regular,conseguem pavimentar sozinhos o plano, o que foi proposto como problema a ser resolvido pelosalunos no item 9 do roteiro seguinte.A segunda parte da atividade foi apresentada para os alunos da seguinte maneira:Utilizando o Software GeoGebra: 1. Na barra de ferramenta escolha a opção “exibir” e selecione “eixo”, isso fará com que os eixos cartesianos fiquem escondidos, pois para nossa atividade não serão necessários. 2. Verifique que é possível construir uma pavimentação do plano utilizando triângulos equiláteros, 45 para isto, selecione a opção “polígonos”, na barra de ferramenta, e construa um triângulo equilátero. Continue a construir triângulos equiláteros de modo a obter uma configuração em torno de um nó. 3. Selecione a opção “ângulo” na barra de ferramentas, e responda qual é a soma dos ângulos internos dos triângulos equiláteros com vértice em um nó da pavimentação? 4. Verifique que é possível construir uma pavimentação do plano utilizando quadrados, para isto, selecione a opção “polígonos”, na barra de ferramenta, e construa um quadrado. Continue a construir quadrados de modo a obter uma configuração em torno de um nó. 5. Selecione a opção “ângulo” na barra de ferramentas, e responda qual é a soma dos ângulos internos dos quadrados com vértice em um nó da pavimentação? 6. Verifique se é possível construir uma pavimentação do plano utilizando pentágonos regulares, para isto, selecione a opção “polígonos”, na barra de ferramenta, e construa um pentágono regular. Continue a construir pentágonos regulares de modo a obter uma configuração em torno do nó.Se não, justifique sua resposta. 7. Verifique que é possível construir uma pavimentação do plano utilizando hexágonos regulares, para isto, selecione a opção “polígonos”, na barra de ferramenta, e construa um hexágono regular. Continue a construir hexágonos regulares de modo a obter uma configuração em torno de um nó. 8. Selecione a opção “ângulo” na barra de ferramentas, e responda qual é a soma dos ângulos internos dos hexágonos regulares com vértice em um nó da pavimentação? 9. Temos visto que se o polígono regular tem n lados, a medida do ângulo central pode ser obtida da seguinte forma: x = 360º, onde o ângulo interno i n será determinado por: 2y + x = 180º. Ou ainda, i + x = 180º ou i = 180º - 360º, o n que nos resulta i = (n - 2) ∙ 180º. n Supondo que k polígonos regulares congruentes se ajustam ao redor de um ponto, devemos ter k ∙ i = 360º ou k = 360º. i Ou ainda, k ∙ i = k ∙ (n - 2) ∙ 180º = 360º. n Logo, k = 2n = 2 + 4 . n–2 n–2 Os divisores positivos de quatro são 1, 2 e 4. A partir destas informações conclua que n, será igual a 3, 4 e 6, ou seja, apenas triângulos eqüiláteros, quadrados e hexágonos regulares,
  39. 39. pavimentam o plano sozinhos. 10. Encontre algumas pavimentações utilizando apenas dois polígonos regulares em torno de um ponto. Não se esqueça de escrever quais foram os polígonos utilizados. Porque essas pavimentações foram possíveis? 11. Descubra algumas pavimentações possíveis utilizando mais de dois polígonos regulares. Quais polígonos você utilizou? Qual a justificativa para que essas pavimentações sejam possíveis? Por meio desta atividade, esperávamos que os alunos pudessem atentar para a medida dos ângulos internos do polígono em questão percebendo que a pavimentação do plano se faz possível quando a soma das medidas dos ângulos internos dos polígonos em torno de um nó é igual a 360º.46 Esperávamos que os alunos chegassem aos seguintes resultados (Figura 22): Fig. 22 - Pavimentações no Geogebra No item 6 da atividade proposta no GeoGebra, os alunos deveriam perceber que, caso utilizassem três pentágonos regulares, a soma dos ângulos internos em torno de um nó, faltaria 36º para completar os 360º, e se inserissem mais um pentágono regular, a soma iria exceder 360º. Assim, ao tentar construir a pavimentação com pentágonos regulares, ficaria evidente aos alunos a condição da soma dos ângulos internos ao redor de um nó ser igual a 360º, algo que poderia ficar implícito apenas utilizando o material concreto. Nos itens 10 e 11 da atividade proposta no GeoGebra, os alunos foram desafiados a encontrarem as pavimentações de acordo com as configurações pedidas. Entendemos que este processo poderia ocorrer por meio de tentativa e erro, uma vez que os alunos iriam dispor os polígonos que desejassem verificando se realizam ou não a pavimentação; entretanto, pensamos que o fato de nos itens anteriores terem trabalhado com a medida dos ângulos internos dos polígonos, poderia ser um caminho para que encontrem a solução. Era esperado as seguintes pavimentações (Figura 23): Fig. 23 - Pavimentações com mais de um polígono regular no GeoGebra
  40. 40. 3.2.3 Estudo da pavimentação do plano via transformações no planoComo este não é um conteúdo trabalhado em sala de aula e sim em um mini-curso, tivemos a necessidadede apresentar12 para a turma a teoria matemática encontrada em cada movimento a ser estudado. Com afinalidade de apresentar aos alunos uma noção de como se realiza cada movimento e quais são as justificativaspara tanto.As atividades13 que foram propostas para os alunos sobre transformações no plano foram adaptadas dosseguintes sites http://www.im.ufrj.br/dmm/projeto/projetoc/precalculo/sala/conteudo/capitulos/cap26s3.html e http://www.sbem.com.br/files/viii/pdf/02/MC40685080706.pdf e são apresentadas a seguir:Reflexão Axial 47Para as atividades de 1 e 2 será construído um plano cartesiano no chão da sala dois alunos quese prontificarem serão colocados em determinadas coordenadas e posteriormente, a turma seráquestionada sobre qual atitude a ser tomada para que o item em questão seja resolvido corretamente.1- Que substituição deverá ser feita no ponto que define a posição do aluno para que o mesmo sofrauma reflexão em relação ao eixo x?2- Que substituição deverá ser feita no ponto que define a posição do aluno para que o mesmo sofrauma reflexão em relação ao eixo y?Faça a seguinte reflexão:4- Qual é o eixo se simetria da pavimentação abaixo?12 A teoria exposta aos alunos ocorreu conforme apresentada no capítulo 1, item 1.2 deste trabalho.13 As figuras das atividades foram extraídas dos sites http://www.im.ufrj.br/dmm/projeto/projetoc/precalculo/sala/conteudo/capitulos/cap26s3.html e http://www.sbem.com.br/files/viii/pdf/02/MC40685080706.pdf, acessados em 06/09/2010.
  41. 41. Translação As atividades de 1 a 4 serão realizadas da seguinte forma: será construído um plano cartesiano no chão da sala e, os alunos que se prontificarem serão colocados em determinada coordenada e, posteriormente, a turma será questionada sobre qual atitude a ser tomada para que o item em questão seja resolvido corretamente. Para realização do item 6 será fornecido aos alunos malha quadriculada. 1- Que mudança na coordenada do ponto da posição do aluno define uma translação, na direção vertical, três unidades para cima? 2- Que mudança na coordenada do ponto da posição do aluno define uma translação, na direção vertical, cinco unidades para baixo?48 3- Que mudança na coordenada do ponto da posição do aluno define uma translação, na direção horizontal, três unidades para a esquerda? 4- Que mudança na coordenada do ponto da posição do aluno define uma translação, na direção horizontal, cinco unidades para a direita? Rotação As atividades 1 e 2 serão realizadas da seguinte forma: será construído um plano cartesiano no chão da sala e os alunos que se prontificarem serão colocados em determinados pontos e, posteriormente a turma será questionada sobre qual atitude a ser tomada para que o item em questão seja resolvido corretamente. 1- Que mudança na coordenada do ponto em que o aluno se encontra, corresponde a uma rotação de 90º no sentido anti-horário, em relação à origem? 2- Que mudança na coordenada do ponto em que o aluno se encontra, corresponde a uma rotação de 180º no sentido anti-horário, em relação à origem? 3- Qual é o ângulo de rotação desta pavimentação? 4- Desenhe uma flor usando as rotações. Para isso, siga as instruções: - Desenhe uma pétala, no formato que achar mais bonito. - Recorte o desenho produzindo uma figura vazada, como mostram os 2 exemplos da ilustração abaixo. - Fixe com uma tachinha, ou alfinete, um ponto da folha que contém a figura vazada. - Desenhe a pétala contornando o recorte. - Gire e desenhe novamente. Faça isso várias vezes para obter sua flor. - Discuta como fazer para que a flor fique com as pétalas equidistantes (ou seja, para que a distância entre duas pétalas seguidas seja a mesma).

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