UNIDADE 1 – INTRODUÇÃO E MATEMÁTICA FINANCEIRA
GESTÃO FINANCEIRA
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Nossa Caminhada
1. MATEMÁTICA FINANCEIRA E FLUXO DE CAIXA
2. CAIXA E APLICAÇÕES FINANCEIRAS
3. FINANCIAMENTO DE CURTO PRAZ...
Regras do Jogo
Forma de Avaliação
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Materiais Complementares
Avaliações Nota Turma 207 Turma 208
AV1 AVALIAÇÃO 1 10,0...
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Nuvem
EVITE
DISTRAÇÕES
- Deixe o celular no modo
silencioso
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Introdução à Gestão Financeira
O que são finanças ?
Arte e a ciência de se administrar
fundos, isto é, aplicar princípios
econômicos, contábeis e conceit...
Criar valor econômico ou riqueza?
x
Valor de
Mercado: U$
153 Bilhões
Valor
Investido: U$
23 Bilhões
Valor de
Mercado: U$
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Tomada de Decisão?
Para poder sobreviver e prosperar, uma empresa precisa
(1) satisfazer seus clientes;
(2) produzir e ven...
O Administrador Financeiro
A função do administrador financeiro frequentemente está associada a um alto executivo da empre...
Ótimo! E agora...?
Você sabia que o capital
ou dinheiro tem valor ao
longo do tempo?
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queremo...
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mesma unidade mone...
Efeitos dos juros
$$$ Efeitos dos juros $$$
Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira
Os juros devem ser eficientes de maneira a remunerar:
$ o risco envolvido ...
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inicial que se tem ou qu...
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É o resultado total que se obtém da aplicação do capital, ou
seja, é quant...
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Período é definido como sendo o espaço de tempo pelo
qual o capital ficou ...
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A taxa de juros é o coeficiente que determina o valor do juro,
isto é, a r...
Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira
A taxa percentual se refere aos “centos” do capital, ou seja, o
valor dos ...
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A taxa unitária centra-se na unidade de capital. Reflete o
rendimento de c...
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Inversamente, para transformar uma taxa unitária em sua
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Representação Gráfica
Diagrama do
Fluxo de Caixa
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Regras Básicas
Nas fórmulas de matemática financeira, tanto o prazo da
ope...
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Critérios de capitalização dos juros
Os critérios (regras) de capitalizaçã...
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Capitalização simples (juros simples)
Suponha um indivíduo que deposita R$...
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Capitalização simples (juros simples)
O regime de capitalização simples co...
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Capitalização simples (juros simples)
Como os juros variam linearmente no ...
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Cálculo dos Juros (J):
J = Valor dos...
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Capitalização simples (juros simples)
Uma pessoa aplica R$ 18.000,00 à tax...
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Uma dívida de R$ 900.000,00 irá venc...
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Regime de Capitalização Simples
Taxa proporcional e taxa equivalente
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Taxa Proporcionais - Juros Simples
Ex: 12% a.a capitalizados mensalmente ...
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Taxa proporcional e taxa equivalente
Calcu...
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Nomenclatura
Capital Inicial (C0)
ou
Principal (P)
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Valor Presente (VP)
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Exercícios
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Regime de Capitalização Composta (Juros Compostos)
No Regime de Capitaliza...
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(1) Juros de cada perío...
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Séries Uniformes
Uma pessoa obteve empréstimo de R$ 1.0000,00, para ser pa...
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Regime de Capitalização Composta (Juros Compostos)
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Taxas equivalentes – Juros Compostos
Quais as taxas de juros compostos men...
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Taxa Efetiva x Taxa Nominal
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Taxas de Juros: Efetiva x Nominal
Unidade de tempo da taxa coincide com a ...
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Uma taxa é dita nominal quando o prazo de capi...
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Taxa Efetiva x Taxa Nominal
As três taxas acima são Equivalentes pois quan...
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Taxa Efetiva x Taxa Nominal
Um banco faz empréstimos à taxa de 5% a.a., ma...
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Taxa Efetiva x Taxa Nominal
Semestre 1
Semestre 2
Se a capitalização fosse...
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Observe que podemos obter o resultado diretame...
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Taxa Efetiva x Taxa Nominal
Um capital de $ 1.000,00 foi
aplicado por 3 an...
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Exercícios
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Desconto em Juros Simples
Desconto “por fora” (Desconto Bancário ou comerc...
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Desconto em Juros Simples
Você tem uma aplicação para resgate de R$ 1.500,...
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Regime de Capitalização Composta (Juros Compostos)
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Exercício Extra
Dois meses antes do seu vencimento, um título de valor nom...
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Séries Uniformes
É comum nos dias de hoje as pessoas adquirirem bens como ...
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Séries Uniformes
Até agora tratamos o juros compostos em pagamentos simple...
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Séries Uniformes
VP = R x (1 + i)-1 + R x (1 + i)-2 + R x (1 + i)-3 + R x ...
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Séries Uniformes
Capitalização - Por dedução semelhante a anterior:
Calcul...
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Perpetuidades
Esta série ou anuidade se chama assim porque os fluxos de ca...
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Perpetuidades
Séries de pagamentos uniformes e infinitas
10 n
PGTO
VP
VP =...
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Perpetuidades
1. Uma loja comercial tem apresentado receita média anual de...
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Sistemas de amortização
O reembolso de um empréstimo ou financiamento cons...
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Sistemas de amortização
Os empréstimos de grandes quantias para compra de ...
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Sistemas de amortização
Outros Conceitos
- Credor ou Mutuante: é aquele qu...
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Sistema de Amortização ou Tabela (Sistema) Price
As prestações são iguais ...
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Sistema Francês de Amortização ou Tabela (Sistema) Price
É utilizado na co...
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Representação das prestações
Prestação Saldo Devedor
TempoTempo
Amortizaçã...
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Representação das prestações
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Uma máquina custa R$ 10.000 com financiamento em até 5 anos, carência
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Uma máquina custa R$ 10.000 com financiamento em até 5 anos, carência
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Uma máquina custa R$ 10.000 com
financiamento em até 5 anos,
carência de p...
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Sistema de amortização constante (SAC) ou Sistema Hamburguês de Amortizaçã...
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Representação das prestações
Prestação Saldo Devedor
TempoTempo
Juros
Amor...
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Representação das prestações
Prestação Saldo Devedor
TempoTempo
Juros
Amor...
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Uma máquina custa R$ 10.000 com financiamento em até 5 anos, carência
de p...
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Per.
n
Saldo inicial Juros
j
Amort
a
Parcela
p
Saldo final
0 - - - 10.000
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Uma máquina custa R$ 10.000 com financiamento em até 5 anos, carência de p...
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Sistemas de amortização
(2.000)
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2.000
4.000
6.000
8.000
10.000
12.000
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  1. 1. UNIDADE 1 – INTRODUÇÃO E MATEMÁTICA FINANCEIRA GESTÃO FINANCEIRA 1
  2. 2. Nossa Caminhada 1. MATEMÁTICA FINANCEIRA E FLUXO DE CAIXA 2. CAIXA E APLICAÇÕES FINANCEIRAS 3. FINANCIAMENTO DE CURTO PRAZO 4. PLANEJAMENTO PARA INVESTIMENTOS DE LONGO PRAZO 5. FINANCIAMENTO DE LONGO PRAZO 6. CUSTO DE CAPITAL E CUSTOS FINANCEIROS 7. ALAVANCAGEM E ESTRUTURA DE CAPITAL 8. TEORIA DAS AÇÕES E POLÍTICA DE DIVIDENDOS 9. INCORPORAÇÕES, FUSÕES E CISÕES
  3. 3. Regras do Jogo Forma de Avaliação 10 Mon Materiais Complementares Avaliações Nota Turma 207 Turma 208 AV1 AVALIAÇÃO 1 10,0 13/09 14/09 AV2 AVALIAÇÃO 2 10,0 25/10 26/10 AV3 AVALIAÇÃO 3 10,0 29/11 30/11 (AV1 + AV2 + AV3)/3 = NOTA FINAL
  4. 4. Duas Ferramentas para Aproveitar! App Software em Nuvem
  5. 5. EVITE DISTRAÇÕES - Deixe o celular no modo silencioso - Feche o WhatsApp - Feche o Face - Feche o Instagram - Feche o Snapchat - Feche o Google (por enquanto...) - Relaxe - Interaja
  6. 6. Introdução à Gestão Financeira
  7. 7. O que são finanças ? Arte e a ciência de se administrar fundos, isto é, aplicar princípios econômicos, contábeis e conceitos do valor do dinheiro no tempo às tomadas de decisões em negócios. Praticamente todos os indivíduos e o r g a n i z a ç õ e s o b t ê m r e c e i t a s ou levantam fundos, gastam ou investem. Finanças está relacionada com todas as áreas da empresa. A administração financeira está concentrada na manutenção e criação de valor econômico ou riqueza
  8. 8. Criar valor econômico ou riqueza? x Valor de Mercado: U$ 153 Bilhões Valor Investido: U$ 23 Bilhões Valor de Mercado: U$ 67 Bilhões Valor Investido: U$ 85 Bilhões Quem produziu mais riquezas? Base: 1998
  9. 9. Tomada de Decisão? Para poder sobreviver e prosperar, uma empresa precisa (1) satisfazer seus clientes; (2) produzir e vender produtos e serviços obtendo lucro. Para poder produzir, ela precisa de muitos ativos – fábrica, equipamentos, escritórios, computadores, tecnologia, etc. A empresa precisa decidir: Temos ainda as atividades financeiras cotidianas, como cobrança e pagamento a fornecedores. A administração destas atividades chama-se administração de capital de giro. 1. Quais ativos comprar ? 2. Como pagar por eles ? Decisão de Investimento (Fábrica, Equipamento) Decisão Financeira (Em quantas vezes? Como?)
  10. 10. O Administrador Financeiro A função do administrador financeiro frequentemente está associada a um alto executivo da empresa, geralmente denominado diretor financeiro ou vice presidente de finanças (em inglês, Chief Financial Officer = CFO) Orçamento de Capital ou Análise de Investimentos Estrutura de Capital Administração do Capital de Giro Áreas da Administração Financeira Investimentos a longo-prazo da empresa. Montante de fluxo de caixa que espera receber, quando irá recebe-lo e qual a probabilidade de recebê-lo. Refere-se à combinação específica entre capital de terceiros a longo prazo e capital próprio que a empresa utiliza para financiar suas operações. (1) qual o montante que a empresa deve tomar emprestado? (2) qual a fonte mais barata de fundos para a empresa? Refere-se à administração dos ativos de curto prazo da empresa, tais como estoques, e passivos de curto prazo, tais como pagamentos a fornecedores. É uma atividade cotidiana que assegura que os recursos sejam suficientes para continuar a operação. (1) Quais devem ser os volumes disponíveis de caixa e estoque? (2) Devemos vender a crédito para os nossos clientes? (3) Como obteremos os recursos financeiros a curto prazo que venham ser necessários?
  11. 11. Ótimo! E agora...? Você sabia que o capital ou dinheiro tem valor ao longo do tempo? Vamos ao dia-a-dia... Por que queremos desconto? Tem juros? Tem desconto? Vou pagar quanto? Em quantas parcelas? Vale a pena pagar a vista?E a inflação? Por que pagamos juros? Comprar ou alugar? Fazer ou contratar? Vou receber quanto?
  12. 12. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Em princípio, uma unidade monetária hoje é preferível à mesma unidade monetária disponível amanhã. Postergar uma entrada de caixa (recebimento) por certo tempo envolve um sacrifício, o qual deve ser pago mediante uma recompensa, definida pelos juros. São os juros que efetivamente induzem o adiamento do consumo, permitindo a formação de poupanças e de novos investimentos na economia. Juro (J)
  13. 13. Efeitos dos juros
  14. 14. $$$ Efeitos dos juros $$$
  15. 15. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Os juros devem ser eficientes de maneira a remunerar: $ o risco envolvido na operação $ a perda do poder de compra (inflação) $ o custo de oportunidade $ outras denominações para juro são rendimento do capital, ganho sobre o capital ou remuneração do capital. Juro (J)
  16. 16. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Capital pode ser definido como sendo a quantidade inicial que se tem ou que se recebe. Outras denominações para capital inicial são capital (C), principal (P), valor presente (VP), valor inicial, valor aplicado ou depósito inicial. Capital Inicial (C0)
  17. 17. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira É o resultado total que se obtém da aplicação do capital, ou seja, é quanto se recebe ou se paga pelo “empréstimo” do capital. O montante também é chamado de capital final (Ct), valor futuro (VF), valor de resgate, “capital + juros”, valor final ou valor capitalizado. Montante (M ou S)
  18. 18. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Período é definido como sendo o espaço de tempo pelo qual o capital ficou aplicado. Este dado vem representado por um número de períodos que podem ser, por exemplo, dias, meses, trimestres ou anos. Representamos o número de períodos pela letra n, mas ele também pode ser identificado pela letra t, de tempo. Período (t ou n)
  19. 19. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira A taxa de juros é o coeficiente que determina o valor do juro, isto é, a remuneração do fator capital utilizado durante certo período de tempo. As taxas de juros referem-se sempre a uma unidade de tempo (mês, semestre, ano, etc.) e podem ser representadas equivalentemente de duas maneiras: taxa percentual e taxa unitária. A notação i vem do inglês interest (taxa). Taxa de Juros (i ou r)
  20. 20. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira A taxa percentual se refere aos “centos” do capital, ou seja, o valor dos juros para cada centésima parte do capital. Por exemplo, um capital de R$ 1.000,00 aplicado a 20% ao ano quanto rende de juros ao final deste período: O capital de R$ 1.000,00 tem dez centos. Como cada um deles rende 20, a remuneração total da aplicação no período é, portanto, de R$ 200,00. Taxa de Juros (i ou r)
  21. 21. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira A taxa unitária centra-se na unidade de capital. Reflete o rendimento de cada unidade de capital em certo período de tempo. No exemplo acima, a taxa percentual de 20% ao ano indica um rendimento de 0,20 (20% = 20/100) por unidade de capital aplicada, ou seja: Taxa de Juros (i ou r)
  22. 22. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Inversamente, para transformar uma taxa unitária em sua forma percentual deve-se multiplicá-la por 100. Taxa de Juros (i ou r) EXEMPLOS DE TAXA DE JUROS Forma PERCENTUAL Para transformar na forma unitária Forma UNITÁRIA 20% ao ano 20/100 0,2 ao ano 6% ao semestre 6/100 0,06 ao semestre 2% ao mês 2/100 0,02 ao mês 0,3% ao dia 0,3/100 0,003 ao dia
  23. 23. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Representação Gráfica Diagrama do Fluxo de Caixa
  24. 24. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Regras Básicas Nas fórmulas de matemática financeira, tanto o prazo da operação como a taxa de juros devem necessariamente estar expressos na mesma unidade de tempo. Os critérios de transformação do prazo e da taxa para a mesma unidade de tempo podem ser efetuados através das regras de juros simples (média aritmética) e de juros compostos (média geométrica), dependendo do regime de capitalização definido para a operação.
  25. 25. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Critérios de capitalização dos juros Os critérios (regras) de capitalização demonstram como os juros são transformados e sucessivamente incorporados ao capital no decorrer do tempo. Nesta conceituação podem ser identificados dois regimes de capitalização dos juros: simples (ou linear) e composto (ou exponencial).
  26. 26. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Capitalização simples (juros simples) Suponha um indivíduo que deposita R$1.000,00 em um banco que lhe promete juros simples de 10% a.a. Qual será seu saldo ao final de 4 anos? Ano Saldo inicial Juros Saldo final 1 2 3 4 1.000 1.100 1.200 1.300 0,1 x 1.000 = 100 0,1 x 1.000 = 100 0,1 x 1.000 = 100 0,1 x 1.000 = 100 1.100 1.200 1.300 1.400
  27. 27. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Capitalização simples (juros simples) O regime de capitalização simples comporta-se como se fosse uma progressão aritmética (PA), crescendo os juros de forma linear ao longo do tempo. Neste critério, os juros apenas incidem sobre o capital inicial da operação (aplicação ou empréstimo), não se registrando juros sobre o saldo dos juros acumulados.
  28. 28. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Capitalização simples (juros simples) Os juros, por incidirem exclusivamente sobre o capital inicial de R$ 1.000,00, apresentam valores idênticos ao final de cada ano (0,10 x R$ 1.000,00 = R$ 100,00); Em consequência, o crescimento dos juros no tempo é linear (no exemplo, cresce R$ 100,00 por ano), revelando um comportamento idêntico a uma progressão aritmética. Os juros totais da operação atingem, nos 5 anos, R$ 500,00; Se os juros simples, ainda, não forem pagos ao final de cada ano, a remuneração do capital emprestado somente se opera pelo seu valor inicial (R$ 1.000,00), não ocorrendo remuneração sobre os juros que se formam no período.
  29. 29. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Capitalização simples (juros simples) Como os juros variam linearmente no tempo, a apuração do custo total da dívida no prazo contratado é processada simplesmente pela multiplicação do número de anos pela taxa anual, isto é: 5 anos x 10% ao ano = 50% para 5 anos Se desejar converter essa taxa anual para mês, por exemplo, basta dividir a taxa anual por 12, isto é: 10% ao ano/12 meses = 0,8333% ao mês, e assim por diante.
  30. 30. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Capitalização simples (juros simples) Cálculo dos Juros (J): J = Valor dos Juros; i = Taxa de Juros Unitária VP = Valor Presente; e n= Prazo Cálculo do Valor Futuro (VF) ou Montante (M): Da fórmula acima, temos que: J = VP x i x n VF = VP + J VF = VP x (1 + i x n) VF (1+ i x n) VP =
  31. 31. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Capitalização simples (juros simples) Uma pessoa aplica R$ 18.000,00 à taxa de 1,5% ao mês durante 8 meses. Determinar o valor acumulado ao final deste período. Solução: VP = R$ 18.000,00; i = 1,5% ao mês (Taxa unitária igual 0,015 a.m.); n = 8 meses VF = M = ? M = 18.000,00 x (1 + 0,015 x 8) M = 18.000,00 x 1,12 = R$ 20.160,00 VF = M =VP x (1 + i x n)
  32. 32. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Capitalização simples (juros simples) Uma dívida de R$ 900.000,00 irá vencer em 4 meses. O credor está oferecendo um desconto de 7% ao mês caso o devedor deseje antecipar o pagamento para hoje. Calcular o valor que o devedor pagaria caso antecipasse a liquidação da dívida. Solução: M = R$ 900.000,00; n = 4 meses; i = 7% ao mês (0,07) C = VP = ?
  33. 33. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Regime de Capitalização Simples Taxa proporcional e taxa equivalente Toda operação envolve dois prazos: (1) o prazo a que se refere a taxa de juros; e (2) o prazo de capitalização (ocorrência) dos juros. É necessário para o uso das fórmulas de matemática financeira expressar esses prazos diferentes na mesma base de tempo. No regime de juros simples, diante de sua própria natureza linear, esta transformação é processada pela denominada taxa proporcional de juros, também chamada de taxa linear. Essa taxa proporcional é obtida da divisão entre a taxa de juros considerada na operação e o número de vezes em que ocorrerão os juros (quantidade de períodos de capitalização).
  34. 34. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Taxa Proporcionais - Juros Simples Ex: 12% a.a capitalizados mensalmente  1% a.m 24% a.a capitalizados trimestralmente  6% a.t A taxa nominal tem uma taxa efetiva implícita, que é obtida através de taxas proporcionais, a juros simples          dmtsa i360i12i4i2i 
  35. 35. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Regime de Capitalização Simples Taxa proporcional e taxa equivalente Calcular a taxa anual proporcional a: (a) 6% ao mês; (b)10% ao bimestre. Solução a) i = 6% x 12 = 72% ao ano b) i = 10% x 6 = 60% ao ano
  36. 36. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Regime de Capitalização Simples Taxa proporcional e taxa equivalente Calcular a taxa de juros semestral proporcional a: (a) 60% ao ano; (b) 9% ao trimestre. Solução: Deve haver uma igualdade entre a razão das taxas e a razão dos períodos a que se referem. a) a.s., porque b) a.s.
  37. 37. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Regime de Capitalização Simples Taxa proporcional e taxa equivalente Uma instituição financeira oferece a seus clientes uma taxa de rentabilidade de 1,2% a.m., a juros simples. Determinar o valor do rendimento de uma aplicação de R$10.000,00 efetuada nessa instituição por um prazo de 18 dias. Solução VP = 10.000, n = 18 dias , i = 1,2% / 30 = 0,04% a.d. Rendimento = VF – VP = 10.000,00 x 0,0004 x 18 = R$ 72,00.
  38. 38. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Nomenclatura Capital Inicial (C0) ou Principal (P) ou Valor Presente (VP) Capital Final (Ct) ou Montante (M ou S) ou Valor Futuro (VF) Períodos: t ou n Juros ou rentabilidade: i ou r
  39. 39. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Exercícios
  40. 40. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Regime de Capitalização Composta (Juros Compostos) No Regime de Capitalização composta (juros compostos), os juros de um período são incorporados ao capital para cálculo do período seguinte. Diz-se, assim, que os juros são capitalizados (somados ao capital) e passam a gerar novos juros no período seguinte, resultando no que se denomina “juros sobre juros”. Como os juros de cada período são apurados a partir do valor inicial capitalizado, ou seja, acrescido dos juros acumulados até o período anterior, pode-se inferir que os rendimentos serão crescentes para uma mesma aplicação ou um mesmo investimento.
  41. 41. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Regime de Capitalização Composta (Juros Compostos) Suponha um indivíduo que deposita R$1.000,00 em um banco que lhe promete juros compostos de 10% a.a. Qual será seu saldo ao final de 4 anos? Ano Saldo inicial Juros Saldo final 1 2 3 4 1.000,00 1.100,00 1.210,00 1.331,00 0,1 x 1.000 = 100,00 0,1 x 1.100 = 110,00 0,1 x 1.210 = 121,00 0,1 x 1.331 = 133,10 1.100,00 1.210,00 1.331,00 1.464,10    t t VF iVPVF 1,01000.1 1   VF = capital ao final do ano t i = taxa de juros VP = capital inicial 0 1 2 3 4 ano 100 100 100 100 1.000 1.100 1.200 1.300 1.400 Juros compostos (exponencial)Valor Futuro
  42. 42. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Regime de Capitalização Composta (Juros Compostos) (1) Juros de cada período são calculados sobre o saldo existente no início do respectivo período; (2) Juros acumulados ao longo dos períodos, quando retidos pela instituição financeira, são capitalizados e passam a render juros; e (3) Crescimento do dinheiro, ao longo do tempo, é exponencial (ou em progressão geométrica)
  43. 43. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Regime de Capitalização Composta (Juros Compostos) VF = C = capital ao final do ano t i = taxa de juros VP = Co = capital inicial J = juros P = prestação Sn = P x ( 1 + i ) n          i 1ni)(1PVF                   1i)(1 i)(1i VPP i)(1i 1i)(1 PVP n n n n
  44. 44. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Regime de Capitalização Composta (Juros Compostos) Determinar o valor acumulado em 24 meses, a uma taxa de 1% a.m., a partir de um principal de R$ 2.000,00. Basta aplicar a fórmula: Sn = P x ( 1 + i ) n ou VF = VP x ( 1 + i ) n VF = 2.000,00(1+0,01) 24 = VF = 2.000,00 x (1,01)²⁴ (xᵞ) = 2.000,00 x 1,2697 = 2.539,46
  45. 45. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Regime de Capitalização Composta (Juros Compostos) Qual é o juro pago no caso do empréstimo de $ 1.000,00 à taxa de juros compostos de 2% a.m. e pelo prazo de 10 meses? Basta aplicar a fórmula:
  46. 46. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Regime de Capitalização Composta (Juros Compostos) Um capital de R$ 6.000,00 foi aplicado a juros compostos de 9,5% ao ano, tendo rendido R$ 2.470,00. Durante quanto tempo ele ficou aplicado? Basta aplicar a fórmula: 2470 = [6000 x (1 + 0,095)ⁿ - 1] 2470 = [ 6000 x 1,095ⁿ - 1] 0,41166 = 1,095ⁿ -1 1,04166 = 1,095ⁿ n= log1,04166/ log 1,095 n =0,1512/0,0394 n = 3,83 n = 3 anos e 10 meses
  47. 47. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Regime de Capitalização Composta (Juros Compostos) Suponhamos que uma empresa contrate um financiamento de capital de giro no valor de R$ 3.000,00, tendo que pagar no final R$ 6.036,59 a 6 % a.m. Qual é o prazo desta aplicação? Basta aplicar a fórmula: 6.036,59 = 3.000,00 x (1+0,06)ⁿ 6.036,59 / 3.000,00 = (1,06)ⁿ 2,0121 = (1,06)ⁿ n= log 2,0121 / log 1,06 n= 0,3036/ 0,02530 n = 12
  48. 48. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Regime de Capitalização Composta (Juros Compostos) Suponhamos que uma empresa contrate um financiamento de capital de giro no valor de R$ 125.519,92, por 3 meses, tendo que pagar no final R$ 148.020,26. Qual a taxa média desta aplicação? Basta aplicar a fórmula: 148.020,26 =125.519,92 x (1+i)³ 148.020,26/ 125.519,92 = (1+i)³ 1,1792 = (1+i)³ 3 1,1792 = 1+i i = 1,0564 – 1 i = 0,0564 = 5,64% a.m
  49. 49. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Regime de Capitalização Composta (Juros Compostos) Passando em frente a uma loja que comercializa eletrodomésticos, Cícero viu o anúncio de venda de um fogão, com zero de entrada e 6 prestações de R$ 30,00, sendo a primeira prestação com vencimento um mês após a data da compra. Qual o valor atual do fogão, isto é, quanto deveria custar esse fogão se comprado à vista, sabendo-se que a taxa aplicada é de 5% ao mês, sob o regime de capitalização composta?                   1i)(1 i)(1i VPP i)(1i 1i)(1 PVP n n n n V V V V
  50. 50. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Séries Uniformes Uma pessoa obteve empréstimo de R$ 1.0000,00, para ser pago em 8 prestações iguais, com juro composto de 8% ao mês. Qual o valor de cada prestação? resolvendo P = R$ 1.740,10 7493,5/10000P7493,5P10000 14800, 8509,0 P10000 8509,10,08 18509,1 P10000 (1,08)0,08 1(1,08) P10000 8 8                                            1i)(1 i)(1i VPP i)(1i 1i)(1 PVP n n n n
  51. 51. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Regime de Capitalização Composta (Juros Compostos) João recebeu a notícia de que sua promoção, há tanto tempo aguardada, seria efetivada no próximo mês. Para aproveitar a oportunidade, fez os cálculos de suas necessidades mensais, verificando que teria de sobra todo mês a quantia de R$ 1.000,00. Resolveu, então, aplicar em um fundo de investimentos, no qual deveria depositar durante seis meses, a partir do mês seguinte, os R$ 1.000,00 reais que lhe sobrariam. Admitindo que o banco de quem João aplicou promete pagar juros compostos de 4% ao mês, quanto ele teria ao final do sexto mês?          i 1ni)(1PVF V V V V
  52. 52. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Taxas equivalentes – Juros Compostos Quais as taxas de juros compostos mensal e trimestral equivalentes a 25% ao ano? Solução: a) Taxa de juros equivalente mensal i = 25% a.a. q = 1 ano (12 meses) b) Taxa de juros equivalente trimestral q = 1 ano (4 trimestres)          astmd iiiii  11111 2412360
  53. 53. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Taxa Efetiva x Taxa Nominal
  54. 54. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Regime de Capitalização Composta (Juros Compostos) Ao final de cada período, o juro obtido nesse período é incorporado ao principal que o produziu e passam os dois, principal mais (+) juro, a render juros no período que segue. Assim : S1 = P + J = P + P x i x 1 => S1 = P x ( 1 + i ) S2 = S1 + J2 = S1 + S1 x i x 1 = S1 x ( 1 + i ) = P x ( 1 + i ) 2 S3 = P x ( 1 + i ) 3 e assim por diante. A fórmula geral é dada por: Sn = P x ( 1 + i ) n ou VF = VP x ( 1 + i ) n
  55. 55. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Taxas equivalentes – Juros Compostos Duas taxas equivalentes, quando aplicadas a um mesmo capital inicial (principal), durante um mesmo período de tempo, produzem o mesmo capital disponível (montante) acumulado ao final daquele período.          astmd iiiii  11111 2412360
  56. 56. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Taxas de Juros: Efetiva x Nominal Unidade de tempo da taxa coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. Exemplos (I) 3% a.m. (capitalizados mensalmente); (II) 12% a.a. (capitalizados anualmente). Unidade de tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. Exemplos (I) 12% a.a capitalizados mensalmente (II) 24% a.a capitalizados trimestralmente Efetiva Nominal
  57. 57. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Taxa Efetiva x Taxa Nominal Uma taxa é dita nominal quando o prazo de capitalização dos juros (ou seja, período de formação e incorporação dos juros ao principal) não é o mesmo daquele definido para a taxa de juros. Exemplo Seja a taxa nominal de juros de 36% ao ano capitalizada mensalmente. Os prazos não são coincidentes. O prazo de capitalização é de um mês e o prazo a que se refere a taxa de juros igual a um ano (12 meses). A taxa por período de capitalização é de 36%/12 = 3% ao mês (taxa proporcional ou linear). Taxa efetiva de juros: = 42,6% ao ano
  58. 58. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Taxa Efetiva x Taxa Nominal As três taxas acima são Equivalentes pois quando aplicadas ao mesmo capital inicial, durante um mesmo prazo, produzem o mesmo montante. Caderneta de Poupança: 6 % a.a. ou 0,5 % ao mês?      0617,1 005,112 0 12 0 C CC   6,17% a.a. Taxa nominal : 6 % a.a. capitalizados mensalmente Taxa efetiva mensal: 0,5% a.m. Taxa efetiva anual: 6,17% a.a.
  59. 59. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Taxa Efetiva x Taxa Nominal Um banco faz empréstimos à taxa de 5% a.a., mas adotando a capitalização semestral dos juros. Qual seria o juro pago por um empréstimo de $ 10.000,00, feito por 1 ano?
  60. 60. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Taxa Efetiva x Taxa Nominal Semestre 1 Semestre 2 Se a capitalização fosse anual:
  61. 61. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Taxa Efetiva x Taxa Nominal Observe que podemos obter o resultado diretamente, aplicando os $ 10.000,00 em dois semestres: A taxa efetiva é dada por:
  62. 62. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Taxa Efetiva x Taxa Nominal Um capital de $ 1.000,00 foi aplicado por 3 anos, à taxa de 10% a.a. com capitalização semestral. Calcular o montante e a taxa efetiva da operação.
  63. 63. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Exercícios
  64. 64. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Desconto em Juros Simples Desconto “por fora” (Desconto Bancário ou comercial): calculado multiplicando-se o Valor Futuro pela taxa de juros e pelo número de períodos. Desconto “por dentro” (Desconto Racional): calculado multiplicando-se o Valor Presente pela taxa de juros e pelo número de períodos. VP = VF x (1 – d x n) VF = VP x (1 + d x n)
  65. 65. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Desconto em Juros Simples Você tem uma aplicação para resgate de R$ 1.500,00 em 3 meses e deseja antecipar a retirada. Se a taxa de Desconto Bancário/Racional é de 8% ao mês, qual o valor resgatado na data de hoje? Resolução: a) Desconto bancário Desconto = 0,08 x 3 x 1500 = 360 Valor Regatado = R$ 1500 – 360 = 1140 b) Desconto racional VP = 1500/(1+ 0,08 x 3)= 1209,67 Desconto = 1209,67 x 3 x 0,08 = 290,32 VP = VF x (1 – d x n) VP = VF-(VF x d x n) VF = VP x (1 + d x n) VF = VP+(VP x d x n)
  66. 66. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Desconto em Juros Simples Determinar o valor da taxa mensal de desconto “por dentro” e “por fora” usada numa operação de desconto de 60 dias, de uma duplicata com valor de resgate de R$ 10.000,00 e com valor de principal igual a R$ 9.750,00. VP = 9.750; VF = 10.000; n = 60 dias (2 meses) VP = VF x (1 – d x n) VF = VP x (1 + d x n)
  67. 67. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Desconto em Juros Compostos Desconto “por fora” (Desconto Bancário ou comercial): raramente aplicado no Brasil. Desconto “por dentro” (Desconto Racional) : é o mais aplicado na prática. VP = VF x (1 – d)n
  68. 68. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Desconto em Juros Compostos Você tem uma aplicação para resgate de R$ 1.500,00 em 3 meses e des eja antecipar a retirada. Se o regime de Desconto Composto é utilizado e a taxa é de 8% ao mês, qual o valor resgatado na data de hoje? Resolução VP = VF / (1 + j)n = 1500 / (1,08)3 Valor Regatado = R$ 1.190,75
  69. 69. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Regime de Capitalização Composta (Juros Compostos) Uma loja oferece duas alternativas de pagamento de um bem cujo preço é R$ 1.000,00. A primeira é um desconto à vista de 25%, a segunda é o preço cheio para 30 dias. Dado que o dinheiro do comprador está aplicado a 30% ao mês, qual a melhor alternativa de pagamento? Valor à vista com desconto => R$ 750,00 Se aplicar esse valor a 30%, seu valor futuro é R$ 975,00, o que não paga a TV lá na frente. Logo, a melhor estratégia é o pagamento à vista com desconto
  70. 70. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Exercício Extra Dois meses antes do seu vencimento, um título de valor nominal N sofrerá desconto. Se o desconto for racional composto e a taxa utilizada for de 20% ao mês, o valor do desconto será igual a d. Se o desconto for comercial composto, qual deverá ser a taxa mensal de desconto para que o valor do desconto seja o mesmo? (A) 83,3% (B) 69,1% (C) 42,8% (D) 20,0% (E) 16,7%
  71. 71. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Séries Uniformes É comum nos dias de hoje as pessoas adquirirem bens como celulares, aparelhos de televisão, automóveis, terrenos, casas e outros ou fazerem empréstimos e investimentos. Os pagamentos dessas aquisições podem ser feitos de diversas formas, mas o mais difundido na nossa economia é o pagamento periódico por meio de parcelas. Essas parcelas constituem, na matemática financeira, uma série de pagamentos, recebimentos ou depósitos.
  72. 72. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Séries Uniformes Até agora tratamos o juros compostos em pagamentos simples, isto é, uma entrada e uma saída de caixa. O que acontece quando temos várias entradas (ou saídas) de caixa? Suponha que lhe seja oferecido um bem que custa 4 prestações mensais de R$1.000,00. Qual o valor presente deste bem, supondo que a taxa de juros praticada no mercado é igual a 10%?
  73. 73. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Séries Uniformes VP = R x (1 + i)-1 + R x (1 + i)-2 + R x (1 + i)-3 + R x (1 + i)-4, multiplicando por (1 + i) VP x (1 + i ) = R + R x (1 + i)-1 + R x (1 + i)-2 + R x (1 + i)-3 diminuindo a segunda equação da primeira, temos: VP x (1 + i ) – VP = R - R x (1 + i)-4, temos:          4 4 i)i(1 1i)(1 RVP
  74. 74. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Séries Uniformes Capitalização - Por dedução semelhante a anterior: Calcule quanto terei no fim de um ano, se deposito R$ 500,00 durante 11 meses, a juros compostos de 2%.          i 1ni)(1PGTOVF
  75. 75. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Perpetuidades Esta série ou anuidade se chama assim porque os fluxos de caixa são perpétuos. Uma perpetuidade é uma anuidade que dura um tempo infinito. É muito utilizada no cálculo do valor de empresas Por esta razão, obviamente, não podemos avaliá-las descontando todos os fluxos de caixa e nem tão pouco aplicando a fórmula diretamente. Felizmente, a avaliação é extremamente simples, e isto pode ser visto com um pouquinho de matemática.
  76. 76. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Perpetuidades Séries de pagamentos uniformes e infinitas 10 n PGTO VP VP = PGTO ou i 10 n PGTO VP g VP = PGTO ou i- g
  77. 77. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Perpetuidades 1. Uma loja comercial tem apresentado receita média anual de R$ 1.500.000,00. Sabendo-se que possui potencial de crescer em média 5% ao ano o faturamento no futuro, qual o valor do negócio para uma taxa de juros de 10%? 2. O pedágio de uma rodovia estadual arrecada em média $ 200.000/mês. Calcular o valor presente dessas rendas, considerando um custo de capital de 2% a.m.. 3. Para fazer uma doação, que paga $100.000 por ano, para sempre, quanto dinheiro deve ser reservado hoje se a taxa de juros é 10%? 4. A Companhia de Seguro Bob´s Life Co. está tentando lhe vender uma apólice que renderia a você e a seus herdeiros $ 5.000 por ano, para sempre. Se a taxa de retorno exigida nesse investimento igual a 8%, quanto você pagaria pela apólice? Séries de pagamentos uniformes e infinitas
  78. 78. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Sistemas de amortização O reembolso de um empréstimo ou financiamento consiste no pagamento de prestações em datas predeterminadas. Estas prestações são compostas de duas partes: - Amortização: é a parte da prestação que está abatendo o valor inicial do empréstimo sem o cômputo do juro, ou seja, é a devolução do principal. - Juro: é a parte da prestação que remunera o “dono do dinheiro” pelo empréstimo, ou seja, é o que se cobra pelo “aluguel do dinheiro”. PRESTAÇÃO = AMORTIZAÇÃO + JURO
  79. 79. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Sistemas de amortização Os empréstimos de grandes quantias para compra de imóveis ou outros vêm, em geral, acompanhados de longos prazos para pagamento e quitação. São os conhecidos pagamentos de longo prazo. Neste tipo de aplicação financeira, é importante estudarmos as maneiras mais comuns de quitação da dívida, ou seja, os sistemas de amortização.
  80. 80. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Sistemas de amortização Outros Conceitos - Credor ou Mutuante: é aquele que dá o empréstimo; - Devedor ou Mutuário: é aquele que recebe o empréstimo; - Taxa de Juros: é a taxa acordada entre as partes. É sempre calculada sobre o saldo devedor; - Carência: diferimento na data convencional do início dos pagamentos. - Prazo de Amortização: é o intervalo de tempo durante o qual são pagas as amortizações - Parcelas de Amortização: correspondem às parcelas de devolução do principal
  81. 81. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Sistema de Amortização ou Tabela (Sistema) Price As prestações são iguais e em sequência, ou seja, é uma série uniforme de pagamentos. Nesse sistema, o juro é decrescente e a amortização, crescente. A cota de amortização na última prestação é igual ao saldo devedor anterior. O saldo devedor em um determinado momento é o valor atual da série, que corresponde aos pagamentos que são devidos.
  82. 82. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Sistema Francês de Amortização ou Tabela (Sistema) Price É utilizado na compra à prazo de bens de consumo (crédito direto ao consumidor). Alguns autores consideram a Tabela Price (Sistema Price) como um caso particular do Sistema Francês de Amortização, em que a única diferença é que a taxa de juros da operação é nominal. Dessa forma, o cálculo da Tabela Price se inicia com o cálculo da taxa efetiva da operação. As demais etapas são idênticas àquelas do Sistema Francês.
  83. 83. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Representação das prestações Prestação Saldo Devedor TempoTempo Amortização Juros
  84. 84. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Representação das prestações Prestação Saldo Devedor TempoTempo Amortização Juros
  85. 85. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Uma máquina custa R$ 10.000 com financiamento em até 5 anos, carência de principal e juros no primeiro ano e parcelas anuais calculadas com base em uma taxa de juros igual a 10% a.a. Per. n Saldo inicial Juros j Amort a Parcela p Saldo final 0 - - - 10.000 1 10.000 +10.000* 10% - - +10.000 +10.000*10% 2 3 4 5
  86. 86. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Uma máquina custa R$ 10.000 com financiamento em até 5 anos, carência de principal e juros no primeiro ano e parcelas anuais calculadas com base em uma taxa de juros igual a 10% a.a. Per. n Saldo inicial Juros j Amort a Parcela p Saldo final sf 0 - - - 10.000 1 10.000 1.000 - - 11.000 2 SF SI*j +p-j PMT SI-a 3 PMT 4 PMT 5 PMT
  87. 87. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Uma máquina custa R$ 10.000 com financiamento em até 5 anos, carência de principal e juros no primeiro ano e parcelas anuais calculadas com base em uma taxa de juros igual a 10% a.a. Per. n Saldo inicial Juros j Amort a Parcela p Saldo final sf 0 - - - 10.000 1 10.000 1.000 - - 11.000 2 11.000 1.100 2.370 3.470 8.630 3 SF SI*j +p-j 3.470 +SI-a 4 3.470 5 3.470
  88. 88. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Uma máquina custa R$ 10.000 com financiamento em até 5 anos, carência de principal e juros no primeiro ano e parcelas anuais calculadas com base em uma taxa de juros igual a 10% a.a. Per. n Saldo inicial Juros j Amort a Parcela p Saldo final sf 0 - - - 10.000 1 10.000 1.000 - - 11.000 2 11.000 1.100 2.370 3.470 8.630 3 8.630 863 2.607 3.470 6.023 4 SF SI*j +p-j 3.470 +SI-a 5 3.470
  89. 89. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Uma máquina custa R$ 10.000 com financiamento em até 5 anos, carência de principal e juros no primeiro ano e parcelas anuais calculadas com base em uma taxa de juros igual a 10% a.a. Per. n Saldo inicial Juros j Amort a Parcela p Saldo final sf 0 - - - 10.000 1 10.000 1.000 - - 11.000 2 11.000 1.100 2.370 3.470 8.630 3 8.630 863 2.607 3.470 6.023 4 6.023 602 2.868 3.470 3.155 5 3.155 315 3.155 3.470 0
  90. 90. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Uma máquina custa R$ 10.000 com financiamento em até 5 anos, carência de principal e juros no primeiro ano e parcelas anuais calculadas com base em uma taxa de juros igual a 10% a.a. - 500 1.000 1.500 2.000 2.500 3.000 3.500 0 1 2 3 4 5 - 2.000 4.000 6.000 8.000 10.000 12.000 Juros Amortização Parcela Saldo final
  91. 91. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Sistema de amortização constante (SAC) ou Sistema Hamburguês de Amortização A amortização é constante e é igual ao valor do empréstimo dividido pelo número de prestações. Nesse sistema, a prestação e o saldo devedor decrescem em progressão aritmética. Utilizado em financiamentos a longo prazo. Popularizado pelo Sistema Financeiro de Habitação (SFH)
  92. 92. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Representação das prestações Prestação Saldo Devedor TempoTempo Juros Amortização
  93. 93. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Representação das prestações Prestação Saldo Devedor TempoTempo Juros Amortização
  94. 94. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Uma máquina custa R$ 10.000 com financiamento em até 5 anos, carência de principal e juros no primeiro ano e parcelas anuais calculadas com base em uma taxa de juros igual a 10% a.a. Per. n Saldo inicial Juros j Amort a Parcela p Saldo final 0 - - - 10.000 1 10.000 1.000 - - 11.000 2 11.000 SI*j +SI/n +j+a +SI-a 3 +SI-a +SI/n +SI-2a 4 +SI-2a +SI/n +SI-3a 5 +SI-3a +SI/n +SI-4a
  95. 95. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Per. n Saldo inicial Juros j Amort a Parcela p Saldo final 0 - - - 10.000 1 10.000 1.000 - - 11.000 2 11.000 1.100 2.750 3.850 8.250 3 8.250 +SI*j 2.750 +j+a 5.500 4 5.500 2.750 2.750 5 2.750 2.750 0 Uma máquina custa R$ 10.000 com financiamento em até 5 anos, carência de principal e juros no primeiro ano e parcelas anuais calculadas com base em uma taxa de juros igual a 10% a.a.
  96. 96. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Per. n Saldo inicial Juros j Amort a Parcela p Saldo final 0 - - - 10.000 1 10.000 1.000 - - 11.000 2 11.000 1.100 2.750 3.850 8.250 3 8.250 825 2.750 3.575 5.500 4 5.500 550 2.750 3.300 2.750 5 2.750 275 2.750 3.025 0 Uma máquina custa R$ 10.000 com financiamento em até 5 anos, carência de principal e juros no primeiro ano e parcelas anuais calculadas com base em uma taxa de juros igual a 10% a.a.
  97. 97. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Uma máquina custa R$ 10.000 com financiamento em até 5 anos, carência de principal e juros no primeiro ano e parcelas anuais calculadas com base em uma taxa de juros igual a 10% a.a. - 500 1.000 1.500 2.000 2.500 3.000 0 1 2 3 4 5 - 2.000 4.000 6.000 8.000 10.000 12.000 Juros Amortização Parcela Saldo final
  98. 98. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Sistemas de amortização (2.000) - 2.000 4.000 6.000 8.000 10.000 12.000 14.000 16.000 18.000 20.000 0 1 2 3 4 5 PRICE SAC - 10.000 20.000 30.000 40.000 50.000 60.000 0 1 2 3 4 5 PRICE SAC O sistema Price expõe mais o financiador ao risco de crédito; O volume de juros recebidos é maior no sistema Price Juros acumulados Saldo devedor
  99. 99. Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira Sistema de Amortização Misto (SAM) As prestações correspondem à média aritmética das prestações calculada s pelo Sistema Francês e pelo SAC. Nesse sistema, o devedor obriga-se a devolver o principal em uma só pa rcela, no final do prazo concedido. Os juros podem ser pagos durante a carência ou capitalizados e devolvidos juntamente com o principal. Todo o prazo do empréstimo é considerado como carência e a amortizaç ão, portanto, é feita no último pagamento. A forma de pagamento dos j uros define as duas modalidades do Sistema Americano. Sistema de Americano de Amortização
  100. 100. http://fazaconta.com/juros-compostos.htm

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