Este documento presenta un módulo sobre sistemas de ecuaciones. Explica que los sistemas de ecuaciones son herramientas útiles en matemáticas y otras áreas. Luego, describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones 2x2, incluyendo sustitución, eliminación y gráficos. Finalmente, incluye ejemplos y ejercicios resueltos para que los estudiantes practiquen estos conceptos.

1. Prof. Esteban Hernández Sistemas de Ecuaciones

2. Justificación Los sistemas de ecuaciones son una de las herramientas más útiles dentro del estudio de las matemáticas. Podemos resolver innumerables situaciones usando los sistemas de ecuaciones lineales y no lineales. Las aplicaciones van desde las ciencias naturales, la matemática, las ramas de administración de empresas, la ingeniería, etc. Espero que este módulo sirva de guía para que los estudiantes se inicien en la comprensión de los conceptos básicos de los sistemas de ecuaciones.

3. Pre Prueba: Sistemas de ecuaciones 1. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución . Pre Prueba: Sistemas de ecuaciones 1. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución . 2. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución . 3. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución . 4. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de eliminación. 5. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de eliminación.

4. 6. Resuelve el ejercicio. Una pareja de retirados tiene $ 170,000 para invertirlos y obtener un ingreso anual. Ellos invirtieron una cantidad en Certificados de Deposito a una tasa del 5% anual y el resto lo invirtieron en bonos AA que pagan un 11% anual. ¿Cuánto deben invertir a cada por ciento para obtener unos ingresos de $ 15,100 al año?

6. Definición Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones simultáneas. Ejemplos: Sistemas de Ecuaciones

7. Aclaración El tamaño de un sistema de ecuaciones está determinado por el número de ecuaciones y el número de variables. Un sistema con tres ecuaciones y con tres variables se dice que es un sistema 3x3, uno con dos ecuaciones y tres variables se dice que es un sistema 2x3. Si todas las ecuaciones en un sistema son lineales, al sistema se le llama sistema ecuaciones lineales . De lo contrario se le llama sistema de ecuaciones no lineal . Sistemas de Ecuaciones

8. Definición Una solución de un sistema 2x2 es un par ordenado (x,y) que hace cierta cada una de las ecuaciónes del sistema. Resolver un sistema de ecuaciones consiste en encontrar el conjunto de todas las soluciones del sistema. El conjunto formado por todas las soluciones de un sistema de ecuaciones se conoce como el conjunto solución del sistema. Sistemas de Ecuaciones

9. Ejemplo: Verifica si el par ordenado es una solución del sistema de ecuaciones. Sistemas de Ecuaciones

10. Sistemas de Ecuaciones

14. Ejemplos: Resuelve cada sistema de ecuacioes por el método gráfico Sistemas de Ecuaciones

15. Sistemas de Ecuaciones

16. Las dos líneas son paralelas, no tienen puntos de intersección. El conjunto de soluciones es vacío. Sistemas de Ecuaciones

17. El sistema es dependiente y tiene infinitas soluciones. Las soluciones se pueden encontrar buscando puntos de cualquiera de las líneas. Sistemas de Ecuaciones

18. El conjunto solución contiene dos pares ordenados. Sistemas de Ecuaciones

20. Ejemplos: Resu e lve usando el método de sustitución . Escogiendo la ecuación, , tenemos Sustituyendo en la otra ecuación tenemos, Sustituyendo el valor obtenido en la primera ecuación tenemos Sistemas de Ecuaciones

21. Escogiendo la ecuación, , tenemos Sustituyendo en la otra ecuación tenemos, Sistemas de Ecuaciones

22. Sustituyendo el valor obtenido en la primera ecuación tenemos, Sistemas de Ecuaciones

23. Escogiendo la ecuación, , tenemos Sustituyendo en la otra ecuación tenemos, Sistemas de Ecuaciones

24. Multiplicando la ecuación por 16 tenemos, Sustituyendo en la ecuación tenemos, Sistemas de Ecuaciones

26. Multiplicando la segunda ecuación por -2 obtenemos, Restando las ecuaciones obtenemos, Sistemas de Ecuaciones

27. Multiplicando la segunda ecuación por -3 y la primera por 2 obtenemos, Sumando las ecuaciones obtenemos, Sistemas de Ecuaciones

28. Sustituyendo y = 1 en la ecuación, Observación: Para encontrar el valor de la segunda variable se puede usar el método de sustitución. Sistemas de Ecuaciones

29. Multiplicando la primera ecuación por 2 obtenemos, Sumando las ecuaciones obtenemos, Falso Sistemas de Ecuaciones

30. Multiplicando la primera ecuación por 2 obtenemos, Sumando las ecuaciones obtenemos, Cierto Sistemas de Ecuaciones

31. Aplicaciones: 1. El precio de un boleto para cierto evento es de $2.25 para adultos y $1.50 para niños. Si se venden 450 boletos para un total de $ 777.75; ¿cuántos boletos de cada tipo se vendieron? Sistemas de Ecuaciones

32. Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos, Sistemas de Ecuaciones

33. 2. Una lancha de vapor operada a toda máquina hizo un viaje de 4 millas contra una corriente constante en 15 minutos . El viaje de regreso (con la misma corriente y a toda máquina) lo hizo en 1 0 minutos . Encuentra la velocidad de la corriente y la velocidad equivalente a la lancha en aguas tranquilas en millas por hora. Sistemas de Ecuaciones

34. Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos, Sistemas de Ecuaciones

35. Sistemas de Ecuaciones

36. Pre Prueba: Sistemas de ecuaciones 1. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución . Pos Prueba: Sistemas de ecuaciones 1. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución . 2. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución . 3. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución . 4. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de eliminación. Sistemas de Ecuaciones

37. 6. Resuelve el ejercicio. Una pareja de retirados tiene $ 170,000 para invertirlos y obtener un ingreso anual. Ellos invirtieron una cantidad el Certificados de Deposito a una tasa del 5% anual y el resto lo invirtieron en bonos AA que pagan un 11% anual. ¿Cuánto deben invertir a cada por ciento para obtener unos ingresos de $ 15,100 al año? Sistemas de Ecuaciones 5. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de eliminación.

38. Respuestas de la pre y pos prueba 1) x = 1, y = -4 2) x = 3, y = 8 3) x = 1, y = -3 4) x = -1, y = 1 5) x = 5, y = -2 6) $ 110,000 al 11% y $ 60,000 al 5% Sistemas de Ecuaciones