1. Nguyên hàm và tích phân bất định
Hai phương pháp tính tích phân
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số
Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1
Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng
Ngày 17 tháng 11 năm 2010
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
2. Nguyên hàm và tích phân bất định
Hai phương pháp tính tích phân
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số
NỘI DUNG CHÍNH
Nguyên hàm và tích phân bất định
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
3. Nguyên hàm và tích phân bất định
Hai phương pháp tính tích phân
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số
NỘI DUNG CHÍNH
Nguyên hàm và tích phân bất định
Các phương pháp tính tích phân
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
4. Nguyên hàm và tích phân bất định
Hai phương pháp tính tích phân
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số
NỘI DUNG CHÍNH
Nguyên hàm và tích phân bất định
Các phương pháp tính tích phân
Phép tính nguyên hàm một số hàm số
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
5. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số một biến
Hai phương pháp tính tích phân Tích phân bất định
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Bảng tích phân của các hàm số thông dụng.
Nguyên hàm của hàm số một biến
Định nghĩa
Cho hàm số y = f (x) xác định trong khoảng mở (a; b)
Hàm số y = F (x) xác định trong (a; b) được gọi là nguyên hàm của
hàm số y = f (x) nếu y = F (x) có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a; b) và
F (x) = f (x) hay dF (x) = f (x)dx với mọi x ∈ (a; b).
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
6. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số một biến
Hai phương pháp tính tích phân Tích phân bất định
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Bảng tích phân của các hàm số thông dụng.
Nguyên hàm của hàm số một biến
Định nghĩa
Cho hàm số y = f (x) xác định trong khoảng mở (a; b)
Hàm số y = F (x) xác định trong (a; b) được gọi là nguyên hàm của
hàm số y = f (x) nếu y = F (x) có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a; b) và
F (x) = f (x) hay dF (x) = f (x)dx với mọi x ∈ (a; b).
Hai nguyên hàm khác nhau của cùng một hàm số chỉ sai khác nhau
một hằng số.
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
7. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số một biến
Hai phương pháp tính tích phân Tích phân bất định
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Bảng tích phân của các hàm số thông dụng.
Nguyên hàm của hàm số một biến
Định nghĩa
Cho hàm số y = f (x) xác định trong khoảng mở (a; b)
Hàm số y = F (x) xác định trong (a; b) được gọi là nguyên hàm của
hàm số y = f (x) nếu y = F (x) có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a; b) và
F (x) = f (x) hay dF (x) = f (x)dx với mọi x ∈ (a; b).
Hai nguyên hàm khác nhau của cùng một hàm số chỉ sai khác nhau
một hằng số.
Hàm số y = F (x) là nguyên hàm của hàm số y = f (x) trên khoảng
đóng [a; b] nếu:
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
8. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số một biến
Hai phương pháp tính tích phân Tích phân bất định
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Bảng tích phân của các hàm số thông dụng.
Nguyên hàm của hàm số một biến
Định nghĩa
Cho hàm số y = f (x) xác định trong khoảng mở (a; b)
Hàm số y = F (x) xác định trong (a; b) được gọi là nguyên hàm của
hàm số y = f (x) nếu y = F (x) có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a; b) và
F (x) = f (x) hay dF (x) = f (x)dx với mọi x ∈ (a; b).
Hai nguyên hàm khác nhau của cùng một hàm số chỉ sai khác nhau
một hằng số.
Hàm số y = F (x) là nguyên hàm của hàm số y = f (x) trên khoảng
đóng [a; b] nếu:
F (x) là nguyên hàm của f (x) trên (a; b) và
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
9. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số một biến
Hai phương pháp tính tích phân Tích phân bất định
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Bảng tích phân của các hàm số thông dụng.
Nguyên hàm của hàm số một biến
Định nghĩa
Cho hàm số y = f (x) xác định trong khoảng mở (a; b)
Hàm số y = F (x) xác định trong (a; b) được gọi là nguyên hàm của
hàm số y = f (x) nếu y = F (x) có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a; b) và
F (x) = f (x) hay dF (x) = f (x)dx với mọi x ∈ (a; b).
Hai nguyên hàm khác nhau của cùng một hàm số chỉ sai khác nhau
một hằng số.
Hàm số y = F (x) là nguyên hàm của hàm số y = f (x) trên khoảng
đóng [a; b] nếu:
F (x) là nguyên hàm của f (x) trên (a; b) và
F (a + 0) = f (a); F (b − 0) = f (b).
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
10. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số một biến
Hai phương pháp tính tích phân Tích phân bất định
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Bảng tích phân của các hàm số thông dụng.
Nguyên hàm của hàm số một biến
Định nghĩa
Cho hàm số y = f (x) xác định trong khoảng mở (a; b)
Hàm số y = F (x) xác định trong (a; b) được gọi là nguyên hàm của
hàm số y = f (x) nếu y = F (x) có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a; b) và
F (x) = f (x) hay dF (x) = f (x)dx với mọi x ∈ (a; b).
Hai nguyên hàm khác nhau của cùng một hàm số chỉ sai khác nhau
một hằng số.
Hàm số y = F (x) là nguyên hàm của hàm số y = f (x) trên khoảng
đóng [a; b] nếu:
F (x) là nguyên hàm của f (x) trên (a; b) và
F (a + 0) = f (a); F (b − 0) = f (b).
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
11. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số một biến
Hai phương pháp tính tích phân Tích phân bất định
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Bảng tích phân của các hàm số thông dụng.
Nguyên hàm của hàm số một biến
Định nghĩa
Cho hàm số y = f (x) xác định trong khoảng mở (a; b)
Hàm số y = F (x) xác định trong (a; b) được gọi là nguyên hàm của
hàm số y = f (x) nếu y = F (x) có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a; b) và
F (x) = f (x) hay dF (x) = f (x)dx với mọi x ∈ (a; b).
Hai nguyên hàm khác nhau của cùng một hàm số chỉ sai khác nhau
một hằng số.
Hàm số y = F (x) là nguyên hàm của hàm số y = f (x) trên khoảng
đóng [a; b] nếu:
F (x) là nguyên hàm của f (x) trên (a; b) và
F (a + 0) = f (a); F (b − 0) = f (b).
x3
Ví dụ. Nguyên hàm của hàm số f (x) = x 2 là hàm số F (x) =
3
. Nguyên hàm của hàm số f (x) = sinx là hàm số
F (x) = −cosx
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
12. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số một biến
Hai phương pháp tính tích phân Tích phân bất định
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Bảng tích phân của các hàm số thông dụng.
tích phân bất định
Định nghĩa
Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên (a; b) thì tập hợp
các nguyên hàm của hàm số f (x) là F (x) + C , C là hằng số tùy ý. Họ vô
số các nguyên hàm của f (x) đó được gọi là tích phân bất định của
f (x), x ∈ (a; b) và kí hiệu là f (x)dx = F (x) + C
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
13. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số một biến
Hai phương pháp tính tích phân Tích phân bất định
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Bảng tích phân của các hàm số thông dụng.
tích phân bất định
Định nghĩa
Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên (a; b) thì tập hợp
các nguyên hàm của hàm số f (x) là F (x) + C , C là hằng số tùy ý. Họ vô
số các nguyên hàm của f (x) đó được gọi là tích phân bất định của
f (x), x ∈ (a; b) và kí hiệu là f (x)dx = F (x) + C
Các tính chất đơn giản
1. f (x)dx = f (x).
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
14. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số một biến
Hai phương pháp tính tích phân Tích phân bất định
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Bảng tích phân của các hàm số thông dụng.
tích phân bất định
Định nghĩa
Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên (a; b) thì tập hợp
các nguyên hàm của hàm số f (x) là F (x) + C , C là hằng số tùy ý. Họ vô
số các nguyên hàm của f (x) đó được gọi là tích phân bất định của
f (x), x ∈ (a; b) và kí hiệu là f (x)dx = F (x) + C
Các tính chất đơn giản
1. f (x)dx = f (x).
2.d f (x)dx = f (x)dx
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
15. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số một biến
Hai phương pháp tính tích phân Tích phân bất định
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Bảng tích phân của các hàm số thông dụng.
tích phân bất định
Định nghĩa
Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên (a; b) thì tập hợp
các nguyên hàm của hàm số f (x) là F (x) + C , C là hằng số tùy ý. Họ vô
số các nguyên hàm của f (x) đó được gọi là tích phân bất định của
f (x), x ∈ (a; b) và kí hiệu là f (x)dx = F (x) + C
Các tính chất đơn giản
1. f (x)dx = f (x).
2.d f (x)dx = f (x)dx
3.Nếuf (x)là hàm khả vi thì f (x)dx = f (x) + C
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
16. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số một biến
Hai phương pháp tính tích phân Tích phân bất định
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Bảng tích phân của các hàm số thông dụng.
tích phân bất định
Định nghĩa
Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên (a; b) thì tập hợp
các nguyên hàm của hàm số f (x) là F (x) + C , C là hằng số tùy ý. Họ vô
số các nguyên hàm của f (x) đó được gọi là tích phân bất định của
f (x), x ∈ (a; b) và kí hiệu là f (x)dx = F (x) + C
Các tính chất đơn giản
1. f (x)dx = f (x).
2.d f (x)dx = f (x)dx
3.Nếuf (x)là hàm khả vi thì f (x)dx = f (x) + C
4.Nếuf (x)là hàm khả vi thì df (x) = f (x) + C
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
17. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số một biến
Hai phương pháp tính tích phân Tích phân bất định
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Bảng tích phân của các hàm số thông dụng.
tích phân bất định
Định nghĩa
Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên (a; b) thì tập hợp
các nguyên hàm của hàm số f (x) là F (x) + C , C là hằng số tùy ý. Họ vô
số các nguyên hàm của f (x) đó được gọi là tích phân bất định của
f (x), x ∈ (a; b) và kí hiệu là f (x)dx = F (x) + C
Các tính chất đơn giản
1. f (x)dx = f (x).
2.d f (x)dx = f (x)dx
3.Nếuf (x)là hàm khả vi thì f (x)dx = f (x) + C
4.Nếuf (x)là hàm khả vi thì df (x) = f (x) + C
5. αf (x)dx = α f (x)dx
6. (f (x) + g (x)) dx = f (x)dx+ g (x)dx
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
18. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số một biến
Hai phương pháp tính tích phân Tích phân bất định
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Bảng tích phân của các hàm số thông dụng.
Tích phân một số hàm cơ bản
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
19. Nguyên hàm và tích phân bất định
Phương pháp đổi biến số
Hai phương pháp tính tích phân
Phương pháp tích phân từng phần
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số
Phương pháp đổi biến số
Nếu tồn tại hàm hợp f (ϕ(x)) và hàm t = ϕ(x) liên tục trên đoạn
[a; b] và khả vi trong khoảng (a; b), thì
f (ϕ(x)) · ϕ (x)dx = f (t)dt t=ϕ(x)
(1)
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
20. Nguyên hàm và tích phân bất định
Phương pháp đổi biến số
Hai phương pháp tính tích phân
Phương pháp tích phân từng phần
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số
Phương pháp đổi biến số
Nếu tồn tại hàm hợp f (ϕ(x)) và hàm t = ϕ(x) liên tục trên đoạn
[a; b] và khả vi trong khoảng (a; b), thì
f (ϕ(x)) · ϕ (x)dx = f (t)dt t=ϕ(x)
(1)
Nếu tồn tại hàm số ngược x = ϕ−1 (t) của hàm t = ϕ(x) thì
f (t)dt = f (ϕ(x))ϕ (x)dx x=ϕ−1 (t)
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
21. Nguyên hàm và tích phân bất định
Phương pháp đổi biến số
Hai phương pháp tính tích phân
Phương pháp tích phân từng phần
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số
Phương pháp đổi biến số
Nếu tồn tại hàm hợp f (ϕ(x)) và hàm t = ϕ(x) liên tục trên đoạn
[a; b] và khả vi trong khoảng (a; b), thì
f (ϕ(x)) · ϕ (x)dx = f (t)dt t=ϕ(x)
(1)
Nếu tồn tại hàm số ngược x = ϕ−1 (t) của hàm t = ϕ(x) thì
f (t)dt = f (ϕ(x))ϕ (x)dx x=ϕ−1 (t)
hay f (x)dx = f (ϕ(t))ϕ (t)dt t=ϕ−1 (x)
(2)
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
22. Nguyên hàm và tích phân bất định
Phương pháp đổi biến số
Hai phương pháp tính tích phân
Phương pháp tích phân từng phần
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số
Phương pháp đổi biến số
Nếu tồn tại hàm hợp f (ϕ(x)) và hàm t = ϕ(x) liên tục trên đoạn
[a; b] và khả vi trong khoảng (a; b), thì
f (ϕ(x)) · ϕ (x)dx = f (t)dt t=ϕ(x)
(1)
Nếu tồn tại hàm số ngược x = ϕ−1 (t) của hàm t = ϕ(x) thì
f (t)dt = f (ϕ(x))ϕ (x)dx x=ϕ−1 (t)
hay f (x)dx = f (ϕ(t))ϕ (t)dt t=ϕ−1 (x)
(2)
dx
Ví dụ 1. Tính I =
sin x
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
23. Nguyên hàm và tích phân bất định
Phương pháp đổi biến số
Hai phương pháp tính tích phân
Phương pháp tích phân từng phần
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số
Phương pháp đổi biến số
Nếu tồn tại hàm hợp f (ϕ(x)) và hàm t = ϕ(x) liên tục trên đoạn
[a; b] và khả vi trong khoảng (a; b), thì
f (ϕ(x)) · ϕ (x)dx = f (t)dt t=ϕ(x)
(1)
Nếu tồn tại hàm số ngược x = ϕ−1 (t) của hàm t = ϕ(x) thì
f (t)dt = f (ϕ(x))ϕ (x)dx x=ϕ−1 (t)
hay f (x)dx = f (ϕ(t))ϕ (t)dt t=ϕ−1 (x)
(2)
dx
Ví dụ 1. Tính I =
sin x
dx
I =
sin x
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
24. Nguyên hàm và tích phân bất định
Phương pháp đổi biến số
Hai phương pháp tính tích phân
Phương pháp tích phân từng phần
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số
Phương pháp đổi biến số
Nếu tồn tại hàm hợp f (ϕ(x)) và hàm t = ϕ(x) liên tục trên đoạn
[a; b] và khả vi trong khoảng (a; b), thì
f (ϕ(x)) · ϕ (x)dx = f (t)dt t=ϕ(x)
(1)
Nếu tồn tại hàm số ngược x = ϕ−1 (t) của hàm t = ϕ(x) thì
f (t)dt = f (ϕ(x))ϕ (x)dx x=ϕ−1 (t)
hay f (x)dx = f (ϕ(t))ϕ (t)dt t=ϕ−1 (x)
(2)
dx
Ví dụ 1. Tính I =
sin x
dx sin xdx
I = =
sin x sin2 x
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
25. Nguyên hàm và tích phân bất định
Phương pháp đổi biến số
Hai phương pháp tính tích phân
Phương pháp tích phân từng phần
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số
Phương pháp đổi biến số
Nếu tồn tại hàm hợp f (ϕ(x)) và hàm t = ϕ(x) liên tục trên đoạn
[a; b] và khả vi trong khoảng (a; b), thì
f (ϕ(x)) · ϕ (x)dx = f (t)dt t=ϕ(x)
(1)
Nếu tồn tại hàm số ngược x = ϕ−1 (t) của hàm t = ϕ(x) thì
f (t)dt = f (ϕ(x))ϕ (x)dx x=ϕ−1 (t)
hay f (x)dx = f (ϕ(t))ϕ (t)dt t=ϕ−1 (x)
(2)
dx
Ví dụ 1. Tính I =
sin x
dx sin xdx dcosx
I = = =−
sin x sin2 x 1 − cos 2 x
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
26. Nguyên hàm và tích phân bất định
Phương pháp đổi biến số
Hai phương pháp tính tích phân
Phương pháp tích phân từng phần
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số
Phương pháp đổi biến số
Nếu tồn tại hàm hợp f (ϕ(x)) và hàm t = ϕ(x) liên tục trên đoạn
[a; b] và khả vi trong khoảng (a; b), thì
f (ϕ(x)) · ϕ (x)dx = f (t)dt t=ϕ(x)
(1)
Nếu tồn tại hàm số ngược x = ϕ−1 (t) của hàm t = ϕ(x) thì
f (t)dt = f (ϕ(x))ϕ (x)dx x=ϕ−1 (t)
hay f (x)dx = f (ϕ(t))ϕ (t)dt t=ϕ−1 (x)
(2)
dx
Ví dụ 1. Tính I =
sin x
dx sin xdx dcosx dt
I = = =− =−
sin x sin2 x 1 − cos 2 x 1 − t2
1 dt dt
= −
2 t −1 t +1
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
27. Nguyên hàm và tích phân bất định
Phương pháp đổi biến số
Hai phương pháp tính tích phân
Phương pháp tích phân từng phần
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số
Phương pháp đổi biến số
Nếu tồn tại hàm hợp f (ϕ(x)) và hàm t = ϕ(x) liên tục trên đoạn
[a; b] và khả vi trong khoảng (a; b), thì
f (ϕ(x)) · ϕ (x)dx = f (t)dt t=ϕ(x)
(1)
Nếu tồn tại hàm số ngược x = ϕ−1 (t) của hàm t = ϕ(x) thì
f (t)dt = f (ϕ(x))ϕ (x)dx x=ϕ−1 (t)
hay f (x)dx = f (ϕ(t))ϕ (t)dt t=ϕ−1 (x)
(2)
dx
Ví dụ 1. Tính I =
sin x
dx sin xdx dcosx dt
I = = =− =−
sin x sin2 x 1 − cos 2 x 1 − t2
1 dt dt
= −
2 t −1 t +1
1 cosx − 1
= ln +C
2 cosx + 1
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
28. Nguyên hàm và tích phân bất định
Phương pháp đổi biến số
Hai phương pháp tính tích phân
Phương pháp tích phân từng phần
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số
Phương pháp đổi biến số
Nếu tồn tại hàm hợp f (ϕ(x)) và hàm t = ϕ(x) liên tục trên đoạn
[a; b] và khả vi trong khoảng (a; b), thì
f (ϕ(x)) · ϕ (x)dx = f (t)dt t=ϕ(x)
(1)
Nếu tồn tại hàm số ngược x = ϕ−1 (t) của hàm t = ϕ(x) thì
f (t)dt = f (ϕ(x))ϕ (x)dx x=ϕ−1 (t)
hay f (x)dx = f (ϕ(t))ϕ (t)dt t=ϕ−1 (x)
(2)
dx
Ví dụ 1. Tính I =
sin x
dx sin xdx dcosx dt
I = = 2
=− =−
sin x sin x 1 − cos 2 x 1 − t2
1 dt dt
= −
2 t −1 t +1
1 cosx − 1 1 x
= ln + C = ln tan +C
2 cosx + 1 2 2
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
29. Nguyên hàm và tích phân bất định
Phương pháp đổi biến số
Hai phương pháp tính tích phân
Phương pháp tích phân từng phần
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số
Phương pháp đổi biến số
Nếu tồn tại hàm hợp f (ϕ(x)) và hàm t = ϕ(x) liên tục trên đoạn
[a; b] và khả vi trong khoảng (a; b), thì
f (ϕ(x)) · ϕ (x)dx = f (t)dt t=ϕ(x)
(1)
Nếu tồn tại hàm số ngược x = ϕ−1 (t) của hàm t = ϕ(x) thì
f (t)dt = f (ϕ(x))ϕ (x)dx x=ϕ−1 (t)
hay f (x)dx = f (ϕ(t))ϕ (t)dt t=ϕ−1 (x)
(2)
dx
Ví dụ 1. Tính I =
sin x
dx sin xdx dcosx dt
I = = 2
=− =−
sin x sin x 1 − cos 2 x 1 − t2
1 dt dt
= −
2 t −1 t +1
1 cosx − 1 1 x
= ln + C = ln tan +C
2 cosx + 1 2 2
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
30. Nguyên hàm và tích phân bất định
Phương pháp đổi biến số
Hai phương pháp tính tích phân
Phương pháp tích phân từng phần
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số
ln(arccos x)dx
Ví dụ 2. Tính √
1 − x 2 arccos x
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
31. Nguyên hàm và tích phân bất định
Phương pháp đổi biến số
Hai phương pháp tính tích phân
Phương pháp tích phân từng phần
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số
ln(arccos x)dx
Ví dụ 2. Tính √
1 − x 2 arccos x
−dx
t = ln(arccos x) ⇒ dt = √
1 − x 2 arccos x
ln(arccos x)dx 1
I = √ = ln2 (arccos x) + C
1−x 2 · arccos x 2
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
32. Nguyên hàm và tích phân bất định
Phương pháp đổi biến số
Hai phương pháp tính tích phân
Phương pháp tích phân từng phần
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số
ln(arccos x)dx
Ví dụ 2. Tính √
1 − x 2 arccos x
−dx
t = ln(arccos x) ⇒ dt = √
1 − x 2 arccos x
ln(arccos x)dx 1
I = √ = ln2 (arccos x) + C
1−x 2 · arccos x 2
dx
Ví dụ 3. Tính bằng phương pháp đổi biến.
a2 + x 2
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
33. Nguyên hàm và tích phân bất định
Phương pháp đổi biến số
Hai phương pháp tính tích phân
Phương pháp tích phân từng phần
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số
ln(arccos x)dx
Ví dụ 2. Tính √
1 − x 2 arccos x
−dx
t = ln(arccos x) ⇒ dt = √
1 − x 2 arccos x
ln(arccos x)dx 1
I = √ = ln2 (arccos x) + C
1−x 2 · arccos x 2
dx
Ví dụ 3. Tính bằng phương pháp đổi biến.
a2 + x 2
a2 dt
Sử dụng đổi biến dạng (2) đặt x = atant, a2 + x 2 = , dx = a.
cos 2 t cos 2 t
dx a.dt a2 1 1 1 x
2 + x2
= 2t
: 2t
= dt = t + C = arctan + C
a cos cos a a a a
Chú √ Thông thường khi gặp biểu thức:
ý.
. a2 − x 2 , ta đặt x = asint
1
. 2 , ta đặt x = atant
a + x2
và sử dụng phép đổi biến số dạng (2)
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
34. Nguyên hàm và tích phân bất định
Phương pháp đổi biến số
Hai phương pháp tính tích phân
Phương pháp tích phân từng phần
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số
Phép phân đoạn
Giả sử hai hàm u = u(x), v = v (x) liên tục trên [a; b] và khả vi trong
(a; b).
Nếu tồn tại v .u dx thì tồn tại u.v dx. Ngoài ra
u · v dx = u · v − v · u dx
hay u · dv = u · v − v · du
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
35. Nguyên hàm và tích phân bất định
Phương pháp đổi biến số
Hai phương pháp tính tích phân
Phương pháp tích phân từng phần
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số
Phép phân đoạn
Giả sử hai hàm u = u(x), v = v (x) liên tục trên [a; b] và khả vi trong
(a; b).
Nếu tồn tại v .u dx thì tồn tại u.v dx. Ngoài ra
u · v dx = u · v − v · u dx
hay u · dv = u · v − v · du
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
36. Nguyên hàm và tích phân bất định
Phương pháp đổi biến số
Hai phương pháp tính tích phân
Phương pháp tích phân từng phần
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số
Chú ý
Chú ý. Thông thường khi gặp biểu thức tích phân dạng:
Pn (x) ln xdx
Pn (x) arcsinxdx
Pn (x) arccos xdx
Ta đặt dv = Pn (x)dx, phần còn lại là u
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
37. Nguyên hàm và tích phân bất định
Phương pháp đổi biến số
Hai phương pháp tính tích phân
Phương pháp tích phân từng phần
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số
Chú ý
Chú ý. Thông thường khi gặp biểu thức tích phân dạng:
Pn (x) ln xdx
Pn (x) arcsinxdx
Pn (x) arccos xdx
Ta đặt dv = Pn (x)dx, phần còn lại là u
Khi gặp
Pn (x)e x dx
Pn (x)sinxdx
Pn (x)cosxdx
Đặt u = Pn (x), dv là phần còn lại.
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
38. Nguyên hàm và tích phân bất định
Phương pháp đổi biến số
Hai phương pháp tính tích phân
Phương pháp tích phân từng phần
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số
Ví dụ
Ví dụ 1. Tính I = arccos2 xdx
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
39. Nguyên hàm và tích phân bất định
Phương pháp đổi biến số
Hai phương pháp tính tích phân
Phương pháp tích phân từng phần
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số
Ví dụ
Ví dụ 1. Tính I = arccos2 xdx
−2 arccos xdx
Đặt u = arccos 2 x ⇒ du = √ , dv = dx ⇒ v = x
1 − x2
−2x arccos x
⇒ I = x arccos2 x − √ dx = x arccos2 x + I1
1 − x2
−dx
u = arccos x ⇒ du = √
1 − x2
xdx xdx √
dv = √ ⇒v = √ = − 1 − x2 + C
2 1 − x2 √
√ −x
1
I1 = − 1 − x 2 arccos x − dx = − 1 − x 2 arccos x − x + C2
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
40. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.
Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
Pn (x)
dx, Pn , Qm là đa thức bậc n, m có hệ số thực
Qm (x)
1. Chia tử cho mẫu và đưa về tích phân các phân thức thực sự,
Rk (x)
chẳng hạn dx, với 0 ≤ k < m.
Qm (x)
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
41. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.
Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
Pn (x)
dx, Pn , Qm là đa thức bậc n, m có hệ số thực
Qm (x)
1. Chia tử cho mẫu và đưa về tích phân các phân thức thực sự,
Rk (x)
chẳng hạn dx, với 0 ≤ k < m.
Qm (x)
2. Phân tích mẫu ra thừa số bậc nhất và bậc hai:
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
42. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.
Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
Pn (x)
dx, Pn , Qm là đa thức bậc n, m có hệ số thực
Qm (x)
1. Chia tử cho mẫu và đưa về tích phân các phân thức thực sự,
Rk (x)
chẳng hạn dx, với 0 ≤ k < m.
Qm (x)
2. Phân tích mẫu ra thừa số bậc nhất và bậc hai:
s s t1 tv
Qm (x) = (x − a1 ) 1 ... (x − ak ) k · x 2 + p1 x + q1 · · · x 2 + pv x + qv
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
43. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.
Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
Pn (x)
dx, Pn , Qm là đa thức bậc n, m có hệ số thực
Qm (x)
1. Chia tử cho mẫu và đưa về tích phân các phân thức thực sự,
Rk (x)
chẳng hạn dx, với 0 ≤ k < m.
Qm (x)
2. Phân tích mẫu ra thừa số bậc nhất và bậc hai:
s s t1 tv
Qm (x) = (x − a1 ) 1 ... (x − ak ) k · x 2 + p1 x + q1 · · · x 2 + pv x + qv
3.Phân tích
Pk (x) Pn (x)
= s1 t
Qm (x) (x − a1 ) (x 2 + p1 x + q1 ) 1
A1 A2 As1
= + 2
+ ··· + s
(x − a1 ) (x − a1 ) (x − a1 ) 1
B1 x + C1 B2 x + C2 Bt1 x + Ct1
+··· + 2 + + ··· + t
(x + p1 x + q1 ) (x 2 + p1 x + q1 )2 (x 2 + p1 x + q1 ) 1
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
44. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.
Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
Pn (x)
dx, Pn , Qm là đa thức bậc n, m có hệ số thực
Qm (x)
1. Chia tử cho mẫu và đưa về tích phân các phân thức thực sự,
Rk (x)
chẳng hạn dx, với 0 ≤ k < m.
Qm (x)
2. Phân tích mẫu ra thừa số bậc nhất và bậc hai:
s s t1 tv
Qm (x) = (x − a1 ) 1 ... (x − ak ) k · x 2 + p1 x + q1 · · · x 2 + pv x + qv
3.Phân tích
Pk (x) Pn (x)
= s1 t
Qm (x) (x − a1 ) (x 2 + p1 x + q1 ) 1
A1 A2 As1
= + 2
+ ··· + s
(x − a1 ) (x − a1 ) (x − a1 ) 1
B1 x + C1 B2 x + C2 Bt1 x + Ct1
+··· + 2 + + ··· + t
(x + p1 x + q1 ) (x 2 + p1 x + q1 )2 (x 2 + p1 x + q1 ) 1
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
45. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.
5. Đưa tích phân cần tính về các tích phân cơ bản sau:
dx 1
1. = n−1
+ C, n = 1
(x − a)n (n − 1) (x − a)
(Mx + n) dx M 2x+p Mp dx
2.
x 2 + px + q
=
2 x 2 +px+q dx + N − 2 x 2 + px + q
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
46. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.
5. Đưa tích phân cần tính về các tích phân cơ bản sau:
dx 1
1. = n−1
+ C, n = 1
(x − a)n (n − 1) (x − a)
(Mx + n) dx M 2x+p Mp dx
2.
x 2 + px + q
=
2 x 2 +px+q dx + N − 2 x 2 + px + q
dx 1 −2nxdx
3.In = nu = n ⇒ du = n+1
(x 2 + a2 ) (x 2 + a2 ) (x 2 + a2 )
dv = dx ⇒ v = x
x x 2 dx
In = 2 n + 2n n+1
(x + a2 ) (x 2 + a2 )
x x + a − a2 dx
2 2
In = 2 n + 2n n+1
(x + a2 ) (x 2 + a2 )
x dx dx
In = 2 2 )n
+ 2n 2 + a 2 )n
− 2na2 n+1
(x + a (x (x 2 + a2 )
x 2
In = 2 n + 2nIn − 2na In+1 Hệ thức truy hồi
(x + a2 )
1 x
In+1 = 2 2 + a2 )n
+ (2n − 1) In
2na (x
dx 1 x
I = Đàm = arctan + C
Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
47. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.
5. Đưa tích phân cần tính về các tích phân cơ bản sau:
dx 1
1. = n−1
+ C, n = 1
(x − a)n (n − 1) (x − a)
(Mx + n) dx M 2x+p Mp dx
2.
x 2 + px + q
=
2 x 2 +px+q dx + N − 2 x 2 + px + q
dx 1 −2nxdx
3.In = nu = n ⇒ du = n+1
(x 2 + a2 ) (x 2 + a2 ) (x 2 + a2 )
dv = dx ⇒ v = x
x x 2 dx
In = 2 n + 2n n+1
(x + a2 ) (x 2 + a2 )
x x + a − a2 dx
2 2
In = 2 n + 2n n+1
(x + a2 ) (x 2 + a2 )
x dx dx
In = 2 2 )n
+ 2n 2 + a 2 )n
− 2na2 n+1
(x + a (x (x 2 + a2 )
x 2
In = 2 n + 2nIn − 2na In+1 Hệ thức truy hồi
(x + a2 )
1 x
In+1 = 2 2 + a2 )n
+ (2n − 1) In
2na (x
dx 1 x
I = Đàm = arctan + C
Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
48. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.
dx
Ví dụ 1. Tính I =
(x − 2)3
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
49. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.
dx
Ví dụ 1. Tính I =
(x − 2)3
d (x − 2)
I = = (x − 2)−3 d (x − 2)
(x − 2)3
1 −3+1 −1
= − (x − 2) +C = +C
2 2(x − 2)2
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
50. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.
dx
Ví dụ 1. Tính I =
(x − 2)3
d (x − 2)
I = = (x − 2)−3 d (x − 2)
(x − 2)3
1 −3+1 −1
= − (x − 2) +C = +C
2 2(x − 2)2
dx
Ví dụ 2. Tính I = 2 + 2x + 5
x
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
51. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.
dx
Ví dụ 1. Tính I =
(x − 2)3
d (x − 2)
I = = (x − 2)−3 d (x − 2)
(x − 2)3
1 −3+1 −1
= − (x − 2) +C = +C
2 2(x − 2)2
dx
Ví dụ 2. Tính I = 2 + 2x + 5
x
dx d (x + 1) 1 x +1
I = = = arctan +C
(x + 1)2 + 22 (x + 1)2 + 22 2 2
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
52. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.
dx
Ví dụ 1. Tính I =
(x − 2)3
d (x − 2)
I = = (x − 2)−3 d (x − 2)
(x − 2)3
1 −3+1 −1
= − (x − 2) +C = +C
2 2(x − 2)2
dx
Ví dụ 2. Tính I = 2 + 2x + 5
x
dx d (x + 1) 1 x +1
I = = = arctan +C
(x + 1)2 + 22 (x + 1)2 + 22 2 2
(x + 4)dx
Ví dụ 3. Tính I =
(x − 2)(x + 1)
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
53. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.
dx
Ví dụ 1. Tính I =
(x − 2)3
d (x − 2)
I = = (x − 2)−3 d (x − 2)
(x − 2)3
1 −3+1 −1
= − (x − 2) +C = +C
2 2(x − 2)2
dx
Ví dụ 2. Tính I = 2 + 2x + 5
x
dx d (x + 1) 1 x +1
I = = = arctan +C
(x + 1)2 + 22 (x + 1)2 + 22 2 2
(x + 4)dx
Ví dụ 3. Tính I =
(x − 2)(x + 1)
x +4 A B
= +
(x − 2)(x + 1) x −2 x +1
Qui đồng, đồng nhất hai vế, tìm được A = 2, B = −1.
2dx dx (x − 2)2
I = − = 2 ln(x − 2) − ln(x + 1) + C = ln +C
x −2 x +1 x +1
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
54. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.
dx
Ví dụ 1. Tính I =
(x − 2)3
d (x − 2)
I = = (x − 2)−3 d (x − 2)
(x − 2)3
1 −3+1 −1
= − (x − 2) +C = +C
2 2(x − 2)2
dx
Ví dụ 2. Tính I = 2 + 2x + 5
x
dx d (x + 1) 1 x +1
I = = = arctan +C
(x + 1)2 + 22 (x + 1)2 + 22 2 2
(x + 4)dx
Ví dụ 3. Tính I =
(x − 2)(x + 1)
x +4 A B
= +
(x − 2)(x + 1) x −2 x +1
Qui đồng, đồng nhất hai vế, tìm được A = 2, B = −1.
2dx dx (x − 2)2
I = − = 2 ln(x − 2) − ln(x + 1) + C = ln +C
x −2 x +1 x +1
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
55. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.
Chú ý
Cách tìm hệ số A, B trong (*) nhanh:
Để tìm A, nhân hai vế (*) với (x − 2) rồi thay x = 2 vào.
Để tìm B, nhân hai vế (*) với (x + 1) rồi thay x = −1 vào.
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
56. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.
Chú ý
Cách tìm hệ số A, B trong (*) nhanh:
Để tìm A, nhân hai vế (*) với (x − 2) rồi thay x = 2 vào.
Để tìm B, nhân hai vế (*) với (x + 1) rồi thay x = −1 vào.
2x 3 + x 2 + 5x + 1
Ví dụ 4. Tính I = dx
(x 2 + 3)(x 2 − x + 1)
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
57. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.
Chú ý
Cách tìm hệ số A, B trong (*) nhanh:
Để tìm A, nhân hai vế (*) với (x − 2) rồi thay x = 2 vào.
Để tìm B, nhân hai vế (*) với (x + 1) rồi thay x = −1 vào.
2x 3 + x 2 + 5x + 1
Ví dụ 4. Tính I = dx
(x 2 + 3)(x 2 − x + 1)
3 2
2x + x + 5x + 1 Ax + B Cx + D
2 + 3)(x 2 − x + 1)
= 2 + 2
(x x +3 x −x +1
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
58. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.
Chú ý
Cách tìm hệ số A, B trong (*) nhanh:
Để tìm A, nhân hai vế (*) với (x − 2) rồi thay x = 2 vào.
Để tìm B, nhân hai vế (*) với (x + 1) rồi thay x = −1 vào.
2x 3 + x 2 + 5x + 1
Ví dụ 4. Tính I = dx
(x 2 + 3)(x 2 − x + 1)
3 2
2x + x + 5x + 1 Ax + B Cx + D
2 + 3)(x 2 − x + 1)
= 2 + 2
(x x +3 x −x +1
Qui đồng, đồng nhất hai vế ta được A = 0; B = 1; C = 2; D = 0.
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
59. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.
Chú ý
Cách tìm hệ số A, B trong (*) nhanh:
Để tìm A, nhân hai vế (*) với (x − 2) rồi thay x = 2 vào.
Để tìm B, nhân hai vế (*) với (x + 1) rồi thay x = −1 vào.
2x 3 + x 2 + 5x + 1
Ví dụ 4. Tính I = dx
(x 2 + 3)(x 2 − x + 1)
3 2
2x + x + 5x + 1 Ax + B Cx + D
2 + 3)(x 2 − x + 1)
= 2 + 2
(x x +3 x −x +1
Qui đồng, đồng nhất hai vế ta được A = 0; B = 1; C = 2; D = 0.
dx 2xdx
I = +
x2 + 3 x2 − x + 1
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
60. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.
Chú ý
Cách tìm hệ số A, B trong (*) nhanh:
Để tìm A, nhân hai vế (*) với (x − 2) rồi thay x = 2 vào.
Để tìm B, nhân hai vế (*) với (x + 1) rồi thay x = −1 vào.
2x 3 + x 2 + 5x + 1
Ví dụ 4. Tính I = dx
(x 2 + 3)(x 2 − x + 1)
3 2
2x + x + 5x + 1 Ax + B Cx + D
2 + 3)(x 2 − x + 1)
= 2 + 2
(x x +3 x −x +1
Qui đồng, đồng nhất hai vế ta được A = 0; B = 1; C = 2; D = 0.
dx 2xdx
I = +
x2 + 3 x2 − x + 1
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
61. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.
dx
Ví dụ 5. Tính I =
x 2 + 2x + 5
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
62. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.
dx
Ví dụ 5. Tính I =
x 2 + 2x + 5
dx d (x + 1) 1 x +1
I = = = arctan +C =
(x + 1)2 + 22 (x + 1)2 + 22 2 2
dx (2x − 1) + 1
+ dx
x2 + 3 x2 − x + 1
1 x 2 2x − 1
= √3 arctan √ + ln(x 2 − x + 1) + √ arctan √ +C
3 3 3
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
63. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.
dx
Ví dụ 5. Tính I =
x 2 + 2x + 5
dx d (x + 1) 1 x +1
I = = = arctan +C =
(x + 1)2 + 22 (x + 1)2 + 22 2 2
dx (2x − 1) + 1
+ dx
x2 + 3 x2 − x + 1
1 x 2 2x − 1
= √3 arctan √ + ln(x 2 − x + 1) + √ arctan √ +C
3 3 3
4x 2 − 8x
Ví dụ 6. Tính I = dx
(x − 1)2 (x 2 + 1)2
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
64. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.
dx
Ví dụ 5. Tính I =
x 2 + 2x + 5
dx d (x + 1) 1 x +1
I = = = arctan +C =
(x + 1)2 + 22 (x + 1)2 + 22 2 2
dx (2x − 1) + 1
+ dx
x2 + 3 x2 − x + 1
1 x 2 2x − 1
= √3 arctan √ + ln(x 2 − x + 1) + √ arctan √ +C
3 3 3
4x 2 − 8x
Ví dụ 6. Tính I = dx
(x − 1)2 (x 2 + 1)2
P(x) A B Ex + F
= + + Cx+D +
x 2 +1 (*)
(x 2 + 1)2 (x − 1)2 x − 1 (x − 1)2 (x 2 + 1)
2
Tìm được: A = 2, B = −1, C = −2, D = −1, E = −2, F = 4.
(−2x + 4)dx −2xdx 4dx
= +
(x 2 + 1)2 (x 2 + 1)2 (x 2 + 1)2
4dx
Dùng hệ thức truy hồi, tính I2 = 2
(x 2 + 1)
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
65. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.
dx
Ví dụ 5. Tính I =
x 2 + 2x + 5
dx d (x + 1) 1 x +1
I = = = arctan +C =
(x + 1)2 + 22 (x + 1)2 + 22 2 2
dx (2x − 1) + 1
+ dx
x2 + 3 x2 − x + 1
1 x 2 2x − 1
= √3 arctan √ + ln(x 2 − x + 1) + √ arctan √ +C
3 3 3
4x 2 − 8x
Ví dụ 6. Tính I = dx
(x − 1)2 (x 2 + 1)2
P(x) A B Ex + F
= + + Cx+D +
x 2 +1 (*)
(x 2 + 1)2 (x − 1)2 x − 1 (x − 1)2 (x 2 + 1)
2
Tìm được: A = 2, B = −1, C = −2, D = −1, E = −2, F = 4.
(−2x + 4)dx −2xdx 4dx
= +
(x 2 + 1)2 (x 2 + 1)2 (x 2 + 1)2
4dx
Dùng hệ thức truy hồi, tính I2 = 2
(x 2 + 1)
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
66. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.
Để tìm các hệ số A, B, C , ... nhanh, có thể sử dụng khai triển
Heaviside:
Từ (*) ta có 4x 2 − 8x = A(x − 1)(x 2 + 1)2 + B(x 2 + 1)2 +
+(Cx + D)(x − 1)2 (x 2 + 1) + (Ex + F )(x − 1)2
Thay x = 1, tìm được B = −1.
Thay x = −1, cân bằng phần thực, ảo: E = −2, F = 4.
Đạo hàm 2 vế, chỉ quan tâm số hạng khác 0 khi x = i
Thay x = i, tìm được C = −2, D = −1.
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
67. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.
Để tìm các hệ số A, B, C , ... nhanh, có thể sử dụng khai triển
Heaviside:
Từ (*) ta có 4x 2 − 8x = A(x − 1)(x 2 + 1)2 + B(x 2 + 1)2 +
+(Cx + D)(x − 1)2 (x 2 + 1) + (Ex + F )(x − 1)2
Thay x = 1, tìm được B = −1.
Thay x = −1, cân bằng phần thực, ảo: E = −2, F = 4.
Đạo hàm 2 vế, chỉ quan tâm số hạng khác 0 khi x = i
Thay x = i, tìm được C = −2, D = −1.
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
68. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.
Tích phân có chứa...
p1 p2
ax + b q1 ax + b q2
R x, , , · · ·dx
cx + d cx + d
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
69. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.
Tích phân có chứa...
p1 p2
ax + b q1 ax + b q2
R x, , , · · ·dx
cx + d cx + d
ax + b
Cách giải: Đổi biến t n = , n là bội chung nhỏ nhất của q1 , q2
cx + d
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
70. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.
Tích phân có chứa...
p1 p2
ax + b q1 ax + b q2
R x, , , · · ·dx
cx + d cx + d
ax + b
Cách giải: Đổi biến t n = , n là bội chung nhỏ nhất của q1 , q2
cx + d
Tích phân có chứa
√
ax 2 + bx + c
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
71. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.
Tích phân có chứa...
p1 p2
ax + b q1 ax + b q2
R x, , , · · ·dx
cx + d cx + d
ax + b
Cách giải: Đổi biến t n = , n là bội chung nhỏ nhất của q1 , q2
cx + d
Tích phân có chứa
√
ax 2 + bx + c
Biến đổi biểu thức dưới dấu căn về dạng αt 2 + β
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
72. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.
dx
Ví dụ 7. Tính I = √ √
2x − 1 − 4 2x − 1
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
73. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.
dx
Ví dụ 7. Tính I = √ √
2x − 1 − 4 2x − 1
Đổi biến 2x − 1 = t 4 ⇒ 2dx = 4t 3 dt
2t 2 dt 1
I = =2 t +1+ dt = t 2 + 2t + ln |t − 1| + C
t −1 t −1
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
74. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.
dx
Ví dụ 7. Tính I = √ √
2x − 1 − 4 2x − 1
Đổi biến 2x − 1 = t 4 ⇒ 2dx = 4t 3 dt
2t 2 dt 1
I = =2 t +1+ dt = t 2 + 2t + ln |t − 1| + C
t −1 t −1
√
x + 1 + 3 (x + 1)2 + 6 x + 1
Ví dụ 8. Tính I = √ dx
(x + 1)(1 + 3 x + 1)
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
75. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.
dx
Ví dụ 7. Tính I = √ √
2x − 1 − 4 2x − 1
Đổi biến 2x − 1 = t 4 ⇒ 2dx = 4t 3 dt
2t 2 dt 1
I = =2 t +1+ dt = t 2 + 2t + ln |t − 1| + C
t −1 t −1
√
x + 1 + 3 (x + 1)2 + 6 x + 1
Ví dụ 8. Tính I = √ dx
(x + 1)(1 + 3 x + 1)
Đổi biến x + 1 = t 6 ⇒ dx = 6t 5 dt
(t 6 + t 4 + t)t 5 dt dt
I =6 6 (1 + t 2 )
= 6 t 3 dt + 6 2+1
=
t t
3√ 2
3 √
x + 6 arctan 6 x + C
2
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
76. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.
dx
Ví dụ 7. Tính I = √ √
2x − 1 − 4 2x − 1
Đổi biến 2x − 1 = t 4 ⇒ 2dx = 4t 3 dt
2t 2 dt 1
I = =2 t +1+ dt = t 2 + 2t + ln |t − 1| + C
t −1 t −1
√
x + 1 + 3 (x + 1)2 + 6 x + 1
Ví dụ 8. Tính I = √ dx
(x + 1)(1 + 3 x + 1)
Đổi biến x + 1 = t 6 ⇒ dx = 6t 5 dt
(t 6 + t 4 + t)t 5 dt dt
I =6 6 (1 + t 2 )
= 6 t 3 dt + 6 2+1
=
t t
3√ 2
3 √
x + 6 arctan 6 x + C
2
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
77. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.
Nguyên hàm của hàm lượng giác
1. R (sin x, cos x)dx Trong đó R(u, v ) là hàm hữu tỷ theo biến u, v .
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
78. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.
Nguyên hàm của hàm lượng giác
1. R (sin x, cos x)dx Trong đó R(u, v ) là hàm hữu tỷ theo biến u, v .
x
Cách giải chung: Đặt t = tan , x ∈ (−π, π)
2
dt
⇒ x = 2 arctan t ⇒ dx = 2
1 + t2
2t 1 − t2
sin x = 2
, cos x =
1+t 1 + t2
2t 1 − t 2 dt
R (sin x, cos x)dx = 2 R ,
2 1 + t 2 1+t 2
1+t
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
79. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.
Nguyên hàm của hàm lượng giác
1. R (sin x, cos x)dx Trong đó R(u, v ) là hàm hữu tỷ theo biến u, v .
x
Cách giải chung: Đặt t = tan , x ∈ (−π, π)
2
dt
⇒ x = 2 arctan t ⇒ dx = 2
1 + t2
2t 1 − t2
sin x = 2
, cos x =
1+t 1 + t2
2t 1 − t 2 dt
R (sin x, cos x)dx = 2 R ,
2 1 + t 2 1+t 2
1+t
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
80. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.
dx
Ví dụ. Tính I = Đổi biến
3 sin x + 4 cos x + 5
x
t = tan , x ∈ (−π, π)
2
dt 2t 1 − t2
⇒ dx = 2 sin x = , cos x =
1 + t2 1 + t2 1 + t2
dt dt
I =2 =2
6t + 4(1 − t 2 ) + 5(1 + t 2 ) t 2 + 6t + 9
−2 −2
= 2 (t + 3)−2 d (t + 3) = +C = +C
t +3 tan(x/2) + 3
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
81. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.
dx
Ví dụ. Tính I = Đổi biến
3 sin x + 4 cos x + 5
x
t = tan , x ∈ (−π, π)
2
dt 2t 1 − t2
⇒ dx = 2 sin x = , cos x =
1 + t2 1 + t2 1 + t2
dt dt
I =2 =2
6t + 4(1 − t 2 ) + 5(1 + t 2 ) t 2 + 6t + 9
−2 −2
= 2 (t + 3)−2 d (t + 3) = +C = +C
t +3 tan(x/2) + 3
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
82. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.
dx
Ví dụ. Tính I =
3 sin x + 4 cos x + 5
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
83. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.
dx
Ví dụ. Tính I =
3 sin x + 4 cos x + 5
x
Đổi biến t = tan , x ∈ (−π, π)
2
dt 2t 1 − t2
⇒ dx = 2 ; sin x = , cos x =
1 + t2 1 + t2 1 + t2
dt dt
I =2 =2
6t + 4(1 − t 2 ) + 5(1 + t 2 ) t 2 + 6t + 9
−2 −2
= 2 (t + 3)−2 d (t + 3) = +C = +C
t +3 tan(x/2) + 3
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
84. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.
dx
Ví dụ. Tính I =
3 sin x + 4 cos x + 5
x
Đổi biến t = tan , x ∈ (−π, π)
2
dt 2t 1 − t2
⇒ dx = 2 ; sin x = , cos x =
1 + t2 1 + t2 1 + t2
dt dt
I =2 =2
6t + 4(1 − t 2 ) + 5(1 + t 2 ) t 2 + 6t + 9
−2 −2
= 2 (t + 3)−2 d (t + 3) = +C = +C
t +3 tan(x/2) + 3
Trong nhiều trường hợp, cách giải trên khá cồng kềnh
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
85. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.
R (sin x, cos x)dx
−π π
1 1) R (− sin x, cos x) = −R (sin x, cos x) đặt t = cos x, x ∈ 2 , 2
2 2) R (sin x, − cos x) = −R (sin x, cos x) đặt t = sin x, x ∈ (0, π)
3 3) R (− sin x, − cos x) = R (sin x, cos x) đặt
−π π
t = tan x, x ∈ ,
2 2
4 4) sinp x · cosq x · dx đặt t = sin x hoặc t = cos x
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
86. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.
R (sin x, cos x)dx
−π π
1 1) R (− sin x, cos x) = −R (sin x, cos x) đặt t = cos x, x ∈ 2 , 2
2 2) R (sin x, − cos x) = −R (sin x, cos x) đặt t = sin x, x ∈ (0, π)
3 3) R (− sin x, − cos x) = R (sin x, cos x) đặt
−π π
t = tan x, x ∈ ,
2 2
4 4) sinp x · cosq x · dx đặt t = sin x hoặc t = cos x
Hoàn toàn tương tự cho các hàm Hyperbolic: sinh x, cosh x
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
87. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.
Các ví dụ
(2 sin x + 3 cos x)dx
Ví dụ 1. Tính I =
sin2 x cos x + 9 cos3 x
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
88. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.
Các ví dụ
(2 sin x + 3 cos x)dx
Ví dụ 1. Tính I =
sin2 x cos x + 9 cos3 x
R (− sin x, − cos x) = R (sin x, cos x) Đổi biến
dx
t = tan(x), x ∈ (−π/2, π/2) ⇒ dt =
cos2 x
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
89. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.
Các ví dụ
(2 sin x + 3 cos x)dx
Ví dụ 1. Tính I =
sin2 x cos x + 9 cos3 x
R (− sin x, − cos x) = R (sin x, cos x) Đổi biến
dx
t = tan(x), x ∈ (−π/2, π/2) ⇒ dt =
cos2 x
Chia tử và mẫu cho cos3 x
(2 tan x + 3)d (tan x) 2t + 3 2t 3
I = 2x +9
= 2+9
dt = 2+9
dt + 2 + 32
dt
tan t t t
t tan x
= ln(t 2 + 9) + arctan + C = ln(tan2 x + 9) + arctan +C
3 3
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
90. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.
Các ví dụ
(2 sin x + 3 cos x)dx
Ví dụ 1. Tính I =
sin2 x cos x + 9 cos3 x
R (− sin x, − cos x) = R (sin x, cos x) Đổi biến
dx
t = tan(x), x ∈ (−π/2, π/2) ⇒ dt =
cos2 x
Chia tử và mẫu cho cos3 x
(2 tan x + 3)d (tan x) 2t + 3 2t 3
I = 2x +9
= 2+9
dt = 2+9
dt + 2 + 32
dt
tan t t t
t tan x
= ln(t 2 + 9) + arctan + C = ln(tan2 x + 9) + arctan +C
3 3
3 8
Ví dụ 2. Tính I = cos x · sin xdx
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM
91. Nguyên hàm và tích phân bất định Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
Hai phương pháp tính tích phân Nguyên hàm của một số hàm số vô tỷ đơn giản
Phép tính nguyên hàm của một số hàm số Nguyên hàm của hàm số lượng giác.
Các ví dụ
(2 sin x + 3 cos x)dx
Ví dụ 1. Tính I =
sin2 x cos x + 9 cos3 x
R (− sin x, − cos x) = R (sin x, cos x) Đổi biến
dx
t = tan(x), x ∈ (−π/2, π/2) ⇒ dt =
cos2 x
Chia tử và mẫu cho cos3 x
(2 tan x + 3)d (tan x) 2t + 3 2t 3
I = 2x +9
= 2+9
dt = 2+9
dt + 2 + 32
dt
tan t t t
t tan x
= ln(t 2 + 9) + arctan + C = ln(tan2 x + 9) + arctan +C
3 3
3 8
Ví dụ 2. Tính I = cos x · sin xdx
Đổi biến t = sin x ⇒ dt = cos xdx
I = cos2 x · sin8 x (cos xdx) = 1 − sin2 x sin8 x (cos xdx)
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương VIII: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM