1. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng – Bài tập môn Toán Cao cấp 1
BÀI TẬP MÔN TOÁN CAO CẤP 1
CÁC LỚP ĐẠI HỌC CHÍNH QUY
Chương I: TẬP HỢP – ÁNH XẠ - SỐ PHỨC
Bài 1: a, Cho ánh xạ f : X  Y , A, B  X .Chứng minh rằng : f (A  B )  f (A)  f (B )
b, Giải phương trình z 6  z 3 1  i   i  0
Bài 2 : a. Tìm tất cả các số phức z thoả mãn phương trình z 6 1  i   1  3i .
b, Gọi  là tập các số thực,   là tập các số thực không âm. Xét ánh xạ: f :    + xác
định bởi f (x )  x 2  1 . Hỏi f có là đơn ánh không, có là toàn không? Tại sao.
Bài 3: a, Giải phương trình: x 3  3  i  0 .
1
  4x  2
b, Cho ánh xạ f :      xác định như sau: f (x ) 
  .
5
 
  5x  1
Hỏi f có là đơn ánh không? Toàn ánh không? Vì sao?
Bài 4 : a, , Tìm các căn bậc 4 của số phức z  1  3i
2x
b, Cho ánh xạ f :    xác định bởi f (x )  .
1  x2
Hỏi f có là đơn ánh không? Toàn ánh không? Vì sao?
Bài 5: a. Biểu diễn số phức z  2  2 3i dưới dạng lượng giác và tính 4 z .
4x  2
b. Cho ánh xạ f :  1   xác định bởi f (x )  . Hỏi f có là đơn ánh? là toàn
x 1
ánh không? Tại sao?
Bài 6: a. Tìm tất cả các số phức z thoả mãn phương trình z 4  
3 i  1i
2x
b. Cho ánh xạ f :    xác định bởi f (x )  . Hỏi f có là đơn ánh? toàn ánh
1  x2
không? Tìm ảnh f () .
Bài 7 : a, Cho A, B,C là các tập hợp tùy ý. Chứng minh rằng: A (B  C )  A B   A C 
b, Giải phương trình z 6  iz 3  i  1  0
Bài 8 : a, Cho, f : X  Y là ánh xạ, các tập hợp A, B  X .Chứng minh rằng :
f (A  B )  f (A)  f (B )
b, Tìm căn bậc 4 của số phức z  2  i 12 .
Bài 9 : a, Cho các tập hợp A, B  X và ánh xạ f : X  Y là đơn ánh. Chứng minh rằng
f (A  B )  f (A)  f (B )
b, Giải phương trình z 4  6 1  i  z 2  5  6i  0
Bài 10 :a, Cho A, B,C là các tập hợp tùy ý. Chứng minh rằng: A (B  C )  A B   A C 
b, Tìm tất cả các số phức z thỏa mãn z 3  z
1

2. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng – Bài tập môn Toán Cao cấp 1
Chương II,III : MA TRẬN – ĐỊNH THỨC – HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Bài 1: Cho ma trận:
m 3 5m 


 
 0 1 2 
A 
 


 1 0 m 

 

a, Tìm m để A khả nghich.
b, Tìm ma trận nghịch đảo A1 khi m = 0.
Bài 2: Cho phương trình ma trận:
1 1    1 

   
2 1   X  2
   
 
 
  

3 1 2    
 

 
  
 0
a, Giải phương trình khi   1
b, Tìm  để phương trình vô nghiệm.
Bài 3: Cho phương trình ma trận:
1 1 2   0  

   
2 1 1  X   2 
  
 
 
  


4 1 
 
  5 

   
 

a, Tìm X khi   2
b, Phương trình có bao giờ vô nghiệm không? Tại sao?
Bài 4:Cho phương trình ma trận
1 2    1

    
2 7 2  1 X  2 
   
 
 
  

3 9 
  
 

 4    
1 
a, Giải phương trình khi   
b,Tìm  để phương trình trên có vô số nghiệm
Bài 5: Tìm  để tồn tại ma trận X sao cho:
2 1 3  6

   
 
1 0 5
  6
 
 
X   

3 2 1   


 
  
  
 
  
0 1 3

   
2
 
Tìm X với  vừa tìm được .
Chương IV : KHÔNG GIAN VÉC TƠ
 
Bài 1: a, Chứng minh rằng hệ véc tơ E  2; 1; 0, 1;2; 0, 1; 1;1 là một cơ sở của  3 .
b, Cho x  2;0;1 là một véc tơ thuộc  . Tìm tọa độ của véc tơ x theo cơ sở E.
3
a b 
 

 
 a, b, c   
Bài 2: Cho tập hợp M    



b c 
 


 


a, Chứng minh M với các phép cộng ma trận và nhân ma trận với 1 số thực là một không
gian con của M 2    .
b, Tìm cơ sở và số chiều của M .
2

3. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng – Bài tập môn Toán Cao cấp 1
 
Bài 3: Cho P2 x   ax 2  bx  c a,b, c   là không gian các đa thức có bậc không vượt quá
2.
a, Chứng minh hệ véc tơ B  1; x  1; x (x  1) là một cơ sở của P2 x 
b, Tìm tọa độ của p(x )  2  3x  4x 2 theo cơ sở B.
Bài 4. Trong không gian P2 [x] cho hệ véc tơ E  {x 2  x  1; x 2  2x  1; x 2  x  2} .
a, Chứng minh hệ véc tơ E là một cơ sở của không gian P2 [x] .
3
 
 
b, Tìm véctơ p(x), biết toạ độ theo cơ sở E là [ p(x )]E  5 .
 
 
 
2
 
 
Bài 5. a, Chứng minh hệ véc tơ E  {(1,1,1);(1, 0,1);(1,1, 0)} là một cơ sở của  3 .
b, Cho x   3,1, 2  là một véctơ của  3 . Tìm toạ độ của véctơ x theo cơ sở E.
Bài 6. Trong không gian P2 [x] cho hệ véc tơ E  {x 2  x  1; x  1;2x  1}
a, Chứng minh hệ véc tơ E là một cơ sở của không gian P2 [x] .
b, Tìm toạ độ của véctơ p  x   3 x 2  4 x  1 theo cơ sở E.
Bài 7. Trong  3 cho tập F  (x 1, x 2, x 3 )  R3 | x 1  2x 2  x 3  0
1. Chứng tỏ F là không gian con của  3 .
2. Tìm cơ sở và số chiều của F.
Bài 8 : Cho tập F  p(x )  P2[x] | p(1)  0 & p(2)  0
1. Chứng tỏ F là không gian con của P2  x 
2. Tìm cơ sở và số chiều của F.
 1  1 

Bài 9. Cho tập F  A  M 2 [  ] | A 
   0

 
2 2 


1. Chứng tỏ F là không gian con M 2    .
2. Tìm cơ sở và số chiều của F.
a  b a  2b 
 

 
 a, b    .
Bài 10. Cho tập F    
 b
 2a  


  

1. Chứng tỏ F là không gian con M 2    .
2. Tìm cơ sở và số chiều của F.
Bài 11. a, Hãy xác định tập hợp các véctơ sau đây độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính
trong M 2   
1 1 2 1  3 4  1 3

 
 
 
 

M  1 0 ; 1 1 ; 0 1 ; 1 2 .
  
    




 
 
 



2 2 2
b, Trong P2  x  cho F  x  x  1, 2x  3x  1, x  2x  2  .
Tìm cơ sở và số chiều của không gian con F.
Bài 12. a, Hãy xác định tập hợp các véctơ M  {x 2  x  1, 2x 2  3x  2, 2x  1} độc lập
tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính trong P2  x  .
b, Trong  3 cho F  (1,1,1);(2,1,1);(3,1,1)  .
3

4. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng – Bài tập môn Toán Cao cấp 1
Tìm cơ sở và số chiều của không gian con F.
Bài 13. a, Chứng minh rằng các véc tơ e1  1;e2  (1  x );e3  (1  x )2 lập thành một cơ sở của
P2 x  .
1 1 2 1  3 1  1 0
   
b, Trong M 2    cho F      
2 1, 0 1, 2 1, 2 0 .
  

    
 
 
 
 

Tìm cơ sở và số chiều của không gian con F.
Bài 14. a, Trong  3 cho x  (1, 2, 3) và M  {(1,1,1);(2,1, 0);(3, 1, 3)} .
Hỏi x có thuộc không gian con sinh bởi M?

b, Chứng minh hệ véc tơ E  e1  1, e2  x  1, e3  x  1
2
 lập thành một cơ sở của
P2 x  .

 x  x3  x4  0 
 
Bài 15 . Trong  4 cho tập F  (x 1, x 2 , x 3 , x 4 )   4 1 

 x 2  x 3  x 4  0


 

1. Chứng tỏ F là không gian con của  . 4
2. Tìm cơ sở và số chiều của F.
Chương V. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Bài 1: Cho ánh xạ f :    2 , xác định bởi
3
f (x , y, z )  (x  y  z, x  y  z  2m)
a, Tìm m để f là ánh xạ tuyến tính.
b, Tìm cơ sở và số chiều của Im f , Ker f với m vừa tìm được.
Bài 2: Cho ánh xạ f : P2 x   P2 x  , xác định bởi f  p(x )  xp (x )  p(x ) , p '  x  là đạo hàm
cấp 1 của p  x  .
a, Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính .
 
b, Tìm ma trận của f trong cặp cơ sở E,F, biết E  1, x , x 2 , F  1,1  x , 1  x  .  2

Bài 3: Trong P2 x  cho ánh xạ f : P2 x   P2 x  xác định bởi f (p)  p   2p   3p , p ', p "
là các đạo hàm cấp 1 và cấp 2 của p .
a, Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính.
b, Tìm ma trận ánh xạ f trong cơ sở 1, x , x 2  
Bài 4: Cho ánh xạ tuyến tính f :  3   3 xác định bởi f (x , y, z )  (2x  y  z, x  2y  z , z )
a, Tìm ma trận của f trong cặp cơ sở chính tắc.
b, Tìm giá trị riêng, véc tơ riêng của f .
Bài 5: Cho ánh xạ f :  4   3 xác định bởi:
f (x 1, x 2 , x 3 , x 4 )  (x 1  x 2  x 3 , 2x 1  x 4 , x 3  2x 2  x 4 )
a, Chứng tỏ rằng f là ánh xạ tuyến tính.
b, Tìm cơ sở và số chiều của Ker f , Im f
Bài 6: Cho ánh xạ f :  3   3 với f (x , y, z )  (6x  2y  2z, 2x  3y,2x  3z )
a, Chứng tỏ f là phép biến đổi tuyến tính, tìm ma trận của f theo cơ sở chính tắc.
b, Tìm véc tơ riêng và trị riêng của f .
4

5. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng – Bài tập môn Toán Cao cấp 1
Bài 7: Cho ánh xạ f :  2   3 xác định bởi

f x , y   2x  y, 4x  2y, 6x  3y  m 
a. Xác định m để f là ánh xạ tuyến tính và tìm ma trận A của f theo các cơ sở chính tắc
của  2 và  3 .
b. Tìm cơ sở và số chiều của Ker f , Im f với m tìm được.
Bài 8: Cho ánh xạ f :  3   2 xác định bởi
f (x , y, z )  (x  y  z, x  y  z  3m ) , m là tham số.
a. Xác định m để f là ánh xạ tuyến tính, sau đó tìm Ker f và số chiều của Ker f .
b. Với m tìm được, tìm ma trận của ánh xạ f trong cặp cơ sở của  3 là u1  (1,1, 0) ,
u2  (1, 0,1) , u 3  (0,1,1) và cơ sở của  2 là v1  (1, 0), v2  (2, 1) .
Bài 9: Cho ánh xạ f : P3 x   P3 x  , xác định bởi f  p(x )  2p(x )  (x  1)p (x ) , p '  x  là
đạo hàm cấp 1 của p  x  .
a. Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính.
b. Tìm ma trận của ánh xạ f trong cặp cơ sở chính tắc.
Bài 10: Hãy chéo hóa ma trận A và đưa ra ma trận chuyển.
 7 2 0  

 
A 2 6 2
 



 0 2 5  

 

Bài 11: Cho ánh xạ f : P2 x   P2 x  , xác định bởi f (p(x ))  p '(x ) , p '  x  là đạo hàm cấp 1
của p  x  .
a, Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính.
b, Tìm giá trị riêng, véc tơ riêng của f .
Bài 12. Cho ánh xạ f :  3   3 xác định bởi
x  (x 1, x 2, x 3 )  R 3 : f (x )  f (x 1, x 2, x 3 )  (x 1  x 2  x 3,2x 1  3x 2  x 3, 3x 1  5x 2  x 3 )
1. Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính.
2. Tìm cơ sở và số chiều của Ker f , Im f .
Bài 13. Cho ánh xạ tuyến tính f :  3   3 xác định bởi
f (1,1,1)  (1,2,1); f (1,1,2)  (2,1, 1); f (1,2,1)  (5, 4, 1);
1. Tìm cơ sở và số chiều của Ker f .
2. Tìm cơ sở và số chiều của ảnh Im f .
Bài 14. Cho f :  3   3 là ánh xạ tuyến tính, biết ma trận của f trong cơ sở
1 1 1 

 

E  1,1,1 , 1, 0,1 , 1,1, 0  là AE ,E  2

 3 3 


1 


 2 4 
1. Tìm f  2, 3, 1 .
2. Tìm cơ sở và số chiều của Ker f .
Bài 15. Cho f :  3   3 là ánh xạ tuyến tính, biết ma trận của f trong cơ sở
5

6. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng – Bài tập môn Toán Cao cấp 1
1 0 1


 
E  1,1,1 , 1,1, 0  , 1, 0, 0  là AE ,E 2 1 4
 
 


1 1 3


 

1. Tính f  4, 3,5  .
2. Tìm cơ sở và số chiều của Im f .
Chương VI: GIỚI HẠN, LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN
Bài 1. Tìm các giới hạn sau.
3x  2x  2a 1
1, lim x 2, lim(x  ) tan x , 3, lim(  ), a  0
x 0 2  1
x
 2 x a 2
x a 2
x a
2
x a
n
x 1 aa  a x ln cos x
4, lim , 5, lim x 6, lim
x 1 m x a a  x a x 0 ln(1  x 2 )
x 1
3x 8
 x 2  3x  4 
 e 5x  e 7 x x 100  2x  1
7, lim  2

 x  5x  7 
 8, lim 9, lim
x  
 
 x 0 sin 2x x 1 x 50  2x  1
10, lim

e 2x  e 3x  ln 1  x 2 
x 0
cos 3x  1
Bài 2, Khảo sát tính liên tục của các hàm số

 sin x  sin x

 
 , x 0
, x 0
1, f (x )   x
 2, f (x )   x

 1,
 x 0 
 1,

  x 0


1 1
3, f (x )  arctan 4, f (x )  x arctan
x x
 x  1 khi x  1

Bài 3,Cho hàm số xác định bởi: f (x )  

3  ax 2 khi x  1



Tìm a để hàm f liên tục với mọi x .?

 x, | x | 1
Bài 4, Cho hàm số f (x )   2
 Tìm a,b để hàm số liên tục trên  .
x  ax  b, | x | 1



Bài 5, Tìm các điểm gián đoạn của các hàm số sau và phân loại các điểm đó.
1 / (x  1),
 x 0

 |x 2| | x 1 |
1, f (x )   (x  1) , 0  x  2

2
2, f (x )  3, f (x ) 

 1  x, x 2 x2 x3

 x 2

1 1
4, f (x )  5, f (x )  arctan
ln | x  1 | x2
6

7. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng – Bài tập môn Toán Cao cấp 1
Chương VII. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Bài 1, Tìm các giới hạn sau:
1
1 x2 1 1 
1, lim x  e
x 
 
x x
2, lim cos x 
x 0
3, lim   x

x 0  x





e  1
1
 1  1 1   1  tan x sin x

4, lim cot2 x  2 
 
 5, lim   

 6, lim   

x 0 
 x  x 1  ln x
 
x  1  
x  0 1  s in x 
e x  1  sin x 1 1
7, lim 8, lim(  ) 9, lim x 2 ln x
x  0 x ln(1  2x ) x 0 x 2
x tan x x 0
10, lim(1  x )ln x
x 0
Bài 2, Tìm đạo hàm các cấp tương ứng của các hàm số sau.
1 1
1, Tìm y (n )(x ) , biết y  2 2, Tìm y (100)(0) , biết y  2
x 4 x 4
(n ) 2
3, Tìm y (x ) , biết y  sin x 4, Tìm y (1) , biết y  (3x 2  1)ln x
(100)
5, Tìm y (100)(x ) , biết y  (2x  3)  cos 2x 6, Tìm y (100) (0); y (101)(0) , biết y  arctan x
7, Tìm y (100)(x ) , biết y  x 2  sin x 8, Tìm y (100)(x ) , biết y  ln(2x  3)
x 1
9, Tìm y (n )(x ) , biết y  ln(x 2  3x  2) 10, Tìm đạo hàm cấp n của hàm số y  ln .
x 1
Bài 3: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số.
3x
  4, 3  2x  e 23x
2
1, x ln 2, x ln x 2  3x  2 3, (x 2  x )cos2 x
3x
Bài 4: Tìm khai triểm Maclaurin đến cấp n của hàm số.
x 2  3e x 2  3x
1)
e 2x
,n  3 2) ln
3  2x
,n  3 
3) ln x 2  3x  2 , n  4 
1
4) (1 - x )ln(1  x ) - (1  x )ln(1 - x ), n  5 5, f (x )  2
,n  3
x  5x  6
Bài 5: Tìm khai triển Taylor tại x 0 đến cấp n của các hàm số sau:
1) (x 2  1)e 2x , x  1, n  3 2) ln 2x  1, x  1 / 2, n  3
x 2  3x
3, f (x )  ln(2  3x ), x  1, n  3 4) , x  1, n  3
x 1
5) ln(2  x  x 2 ), x  1, n  3
Chương VIII. TÍCH PHÂN KHÔNG XÁC ĐỊNH
Tính các tích phân sau
dx cos 4 x
e x 
5x
1, cos 4xdx 2, 3, dx
1  x2 sin3 x
arcsin x dx dx
4,  dx 5,  6, a 2
, a, b  0
x+1 x ln x ln(ln x ) sin x  b 2cos 2x
2
7

8. Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng – Bài tập môn Toán Cao cấp 1
xdx sin 3 x
7,  4
x 3 (1  x )
8,  (x 2  2x  5)e x dx 9,  3
cos 2x
dx
a x dx
10,  a x
dx a  0 11, x 4
1
12,  cot
6
xdx
dx
13,  cos(ln x )dx 14,  ln( 1  x  1  x )dx 15,  sin x (2cos 2x  1)
Chương IX. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH – TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Bài 1. Tính các tích phân sau:
  
4dx cos3 x
1,  0
2
3  5 cos x
; 2,  0
2
cos3 x  sin3 x
dx 3, I   0
2
e 5x sin 4xdx

ln 2 2 1
   xe
x
4, I  e x  1dx 5, x 2 sin xdx 6, dx
0 0 0
1 1 1
ln(1  x )
7,  x arctan xdx 8,  dx 9,  arctan xdx
0 0
1  x2 0

3 1 1
x sin x
10,  dx 11,  e x x
ln(e  1)dx 12,  arccos xdx

cos2 x 0 0

3
3 
1 2 3
x arctan x dx xdx
13,  1  x2
dx 14, x 1 x2
15,  sin2 x
0 1 
2 4
Bài 2. Tích các tích phân suy rộng

 2 
1, I   xe
x
dx 2, I=  x 3e  x dx 3, I=  e  x dx
0 0
0
2 x2 2 dx 3 dx
4, I=  dx 5, I=  6, I= 
0
2 x 0
1 x 2 1
4x  x2  3
3
x2
7,  dx
39  x2
Bài 3. Xét sự hội tụ của các tích phân

x
 ln 1  x 2   dx
1, I=  xe dx 2, I=  dx 3, I= 
0 1 x 4 x ln  ln x 
 n
dx 

1

 1 cos nx
4,  5,  1  cos dx 6,  dx n  
3 x  x  1 x  2  1  x 1 x2
1
1 x n dx sin 2 x
7, I=  n  N 8,  dx
0
1 x4 0 1  x2
8