転置インデックスとTop k-query

坪坂正志
mail : m.tsubosaka(at)gmail(dot)com

今回の話の概要
 転置インデックスに対してdisjunctiveなクエ
リで問い合わせを行った際に上位k件を取っ
てくるためのDAAT(Document-at-a-time)
ベースの効率的な手法について紹介する

ようするに
 大規模な文章セットに対する”watch OR iwc
OR rolex”というクエリに関連度の高い文章
を高速に持ってきたい

話の流れ
 転置インデックスについて
 TAAT, DAAT
 Top-k Query
 max-score
 inteval-based prunning
 other method
○ wand
○ layered-index

転置インデックスとは
 単語がどの文章に出現するかを格納した索引
構造
 例えば下の構造から”iwc”が含まれる文章は文章1,5
の２つであることが分かる
 また単語に紐づいてるリストを転置リストと呼ぶ

iwc 1 5

rolex 2 3 5

watch 1 2 4 5

転置インデックスの利点
 全体の文章に対してはるかに少ない量のリ
ストを見るだけでよい
 例えば英語版Wikipediaの記事は約397万あるが、
そのうちiwcが含まれる記事は284件
 ANDやORなどの論理演算が含まれるクエリ
と相性が良い

代表的なクエリのタイプ
 AND検索 (Conjunctive query)
 クエリ�� = (��1 , … , �� )が与えられた時に全ての��
が含まれる文章を返す
 例 : �� = (��ℎ, ��, ��)ならば”watch”, “iwc”,
“rolex”全てが含まれる文章を返す
 OR検索 (Disjunctive query)
 クエリ�� = (��1 , … , �� )が与えられた時に�� のいず
れかが含まれる文章を返す
 例 : �� = (��ℎ, ��, ��)ならば”watch”, “iwc”,
“rolex”いずれかが含まれる文章を返す

ANDクエリとORクエリ
 一般にANDクエリとORクエリの場合ANDク
エリの方が高速
 また、簡単な絞り込み用途としての検索エ
ンジンであればANDクエリのみで十分なこ
とが多い
 一方でORクエリが有用なケースも多い

ORクエリが有用な例
 クエリ拡張
 代表的な検索エンジンで”algorithm”と検索する
と”アルゴリズム”が含まれる記事もヒットしたり
する
 このようにシノニムなどが含まれる記事もヒッ
トするようにしたい場合はORクエリが使われる
○ この場合は”algorithm” OR “アルゴリズム”などのよ
うになる
○ *検索エンジンの中の人ではないので本当にこうし
てるかは知りません

ORクエリが有用な例
 類似検索
 表示されてる文章から類似の文章を検索する
 ex : コンテンツ連動型広告、関連文表示
 文章中の単語が全部含まれてるというのはあり
えないので、ANDクエリでは文章がヒットしな
い

ORクエリの実装
 ORクエリの高速化について見ていく前に
naiveな実装について説明する
 代表的な手法として
 TAAT(Term-at-a-time)
 DAAT(Document-at-a-time)
 の２つが存在する

TAATについて
 Termごとに順番に処理していく手法
 処理の結果はアキュムレータという中間
データに格納されていく

TAATの例
 例として”iwc OR rolex OR watch”というクエリ
を考える
 初めに空のアキュムレータを作成する

accumulator = {}

iwc 1 5

rolex 2 3 5

watch 1 2 4 5

TAATの例
 iwcに関する転置リストをaccumulatorに入
れる

accumulator = {1,5}

iwc 1 5

rolex 2 3 5

watch 1 2 4 5

TAATの例
 rolexに関する転置リストをaccumulatorと
マージする

accumulator = {1,2,3,5}

iwc 1 5

rolex 2 3 5

watch 1 2 4 5

TAATの例
 watchに関する転置リストをaccumulatorと
マージする

accumulator = {1,2,3,4,5}

iwc 1 5

rolex 2 3 5

watch 1 2 4 5

TAATの例
 結果文章1,2,3,4,5がクエリに適合すること
が分かる

accumulator = {1,2,3,4,5}

iwc 1 5

rolex 2 3 5

watch 1 2 4 5

TAATのメリット・デメリット
 実装が簡単
 シーケンシャルアクセス中心になるので
データがファイルに格納されてる時に割と
性能がよい
 最近流行してるsuffix treeなどのデータ構造
系と相性が良い [G. Navarro and Y. Nekrich
2012]
 アキュムレータがORの結果が多くなるほど
負荷が大きくなる

DAATについて
 クエリに関する転置インデックスを文章番
号順に処理していく

DAATの例
 各単語の転置インデックスの先頭にカーソ
ルを設定する

iwc 1 5

rolex 2 3 5

watch 1 2 4 5

DAATの例
 カーソル上の文章番号の最も小さい文章を
処理する
 この場合は1

iwc 1 5

rolex 2 3 5

watch 1 2 4 5

DAATの例
 カーソルを次に進める

iwc 1 5

rolex 2 3 5

watch 1 2 4 5

DAATの例
処理する

iwc 1 5

rolex 2 3 5

watch 1 2 4 5

DAATの例
 カーソルが最後まで来たので終了
 一連の処理では1,2,3,4,5の順で文章を処理
した

iwc 1 5

rolex 2 3 5

watch 1 2 4 5

DAATのメリット・デメリット
 文章番号の小さい順に処理をするところは
Priority Queueというデータ構造を使うと効率
的に処理できる
 例えばLuceneのorg.apache.lucene.search.
DisjunctionSumScorerの実装が参考になる
 アキュムレータを持つ必要がない
 文章ごとに処理していくので、フィルタ処理な
どとの相性が良い
 例えば値段が50万円以下のもののみ出力する、メン
ズ用品のみ出力するなど
 Luceneの実装もDAATになっている
 ファイルへのランダムアクセスが多い

OR検索をどうやって高速化するか
 単純にORでマッチする全部を取る必要があ
る場合は候補数が多い時にどうやっても処
理に時間を要する
 しかし、検索結果の上位数件だけ必要であ
れば上位に来る可能性がない文章の評価を
スキップすることにより、処理の高速化が
可能となる
 このような問い合わせに対して上位k件のみ
取り出すことをtop-k query processingと呼
ぶ

文章のランク付け
 上位k件を出力するためには、クエリに対して
どの文章の順位が高いかを決定する必要がある
 どういった文章が適合してるかを考えてみる
 例えば“watch”のみ含まれる文章では置時計や動詞の
watchが含まれる文章もヒットし、また数も大量にあ
るため、”iwc”のみが含まれる文章の方が関連性が高
いと考えられる
 また”iwc”のみ含まれるページより”iwc”と”rolex”を含
むページの方が関連性が高い
 “iwc”を1回含む文章よりも2回含む文章の方が関連度
が高い

文章のランク付け
 クエリ�� = (��1 , … , �� )に対して、文章��のス
コアを�� , �� = �� (�� , ��)の形で
表す
 ��(�� , ��)は文章における�� の出現頻度、
�� の珍しさなどが加味された値となる
 またこの後の議論の都合上�� , �� ≥ 0
を仮定する
 この形のスコアリング関数にはTF-IDF,
BM25などの多くの代表的なものが含まれる

転置インデックスの拡張
 転置インデックスに対して、scoreの値およ
び各単語のscoreの最大値を付与する
 図では(文章番号, スコア)という形式で書く

iwc (1,5) (5,2)
max_score=5

rolex (2,2) (3,3) (5,1)

max_score=3

watch (1,1) (2,2) (4,1) (5,1)

max_score=2

max_score [H.R. Turtle and J. Flood, 1995]

 今上位k位に入るための閾値が4だとすると
watchのみ含む文章はmax_score=2から絶対
に候補に入ることが無いことを利用する

iwc (1,5) (5,2)
max_score=5

rolex (2,2) (3,3) (5,1)

max_score=3

watch (1,1) (2,1) (4,2) (5,1)

max_score=2

max_scoreの例1
 上位1件のみ取ることを考える
 最初の文章1を評価するとスコアは6になる

iwc (1,5) (5,2)
max_score=5

rolex (2,2) (3,3) (5,1)

max_score=3

watch (1,1) (2,1) (4,2) (5,1)

max_score=2

max_scoreの例1
 1位のスコアが6のため”watch”+”rolex”ではスコ
アが5にしかならないので、候補となる文章は
必ず”iwc”を含まなければならない

iwc (1,5) (5,2)
max_score=5

rolex (2,2) (3,3) (5,1)

max_score=3

watch (1,1) (2,1) (4,2) (5,1)

max_score=2

max_scoreの例1
 ”iwc”のカーソルを進める

iwc (1,5) (5,2)
max_score=5

rolex (2,2) (3,3) (5,1)

max_score=3

watch (1,1) (2,1) (4,2) (5,1)

max_score=2

max_scoreの例1
 他の２つに関しては”iwc”を含まないものを評価しても意
味が無いので文章5まで飛ばす
 実装上ここで効率的に飛ばすためには転置インデックスに100
個先までのポインタなどを持たせる必要がある

iwc (1,5) (5,2)
max_score=5

rolex (2,2) (3,3) (5,1)

max_score=3

watch (1,1) (2,1) (4,2) (5,1)

max_score=2

max_scoreの例1
 文章5を評価してスコアが4であることを得
る

iwc (1,5) (5,2)
max_score=5

rolex (2,2) (3,3) (5,1)

max_score=3

watch (1,1) (2,1) (4,2) (5,1)

max_score=2

max_scoreの例1
 全て見たので終了
 処理の中で文章1,5のみを評価しており、2,3,4
の評価を飛ばせている

iwc (1,5) (5,2)
max_score=5

rolex (2,2) (3,3) (5,1)

max_score=3

watch (1,1) (2,1) (4,2) (5,1)

max_score=2

max_scoreの例2
 上位1件のみ取ることを考える
 ただ前のとスコアの設定が違う
 最初の文章1を評価するとスコアは6になる

iwc (1,5) (5,2)
max_score=5

rolex (2,2) (3,5) (5,1)

max_score=5

watch (1,1) (2,1) (4,2) (5,1)

max_score=2

max_scoreの例2
 1位のスコアが6のため”watch”のみではスコア
が2にしかならないので、候補となる文章は必
ず”iwc”か”rolex”を含まなければならない

iwc (1,5) (5,2)
max_score=5

rolex (2,2) (3,5) (5,1)

max_score=5

watch (1,1) (2,1) (4,2) (5,1)

max_score=2

max_scoreの例2
 “iwc”のカーソルを進める

iwc (1,5) (5,2)
max_score=5

rolex (2,2) (3,5) (5,1)

max_score=5

watch (1,1) (2,1) (4,2) (5,1)

max_score=2

max_scoreの例2
 “watch”の方は文章2まで飛ばす

iwc (1,5) (5,2)
max_score=5

rolex (2,2) (3,5) (5,1)

max_score=5

watch (1,1) (2,1) (4,2) (5,1)

max_score=2

max_scoreの例2
る

iwc (1,5) (5,2)
max_score=5

rolex (2,2) (3,5) (5,1)

max_score=5

watch (1,1) (2,1) (4,2) (5,1)

max_score=2

max_scoreの例2
 “rolex”のカーソルを進める
 “watch”の方は3以降に飛ばす

iwc (1,5) (5,2)
max_score=5

rolex (2,2) (3,5) (5,1)

max_score=5

watch (1,1) (2,1) (4,2) (5,1)

max_score=2

max_scoreの例2
 文章3を評価して、スコアが5であることを
得る

iwc (1,5) (5,2)
max_score=5

rolex (2,2) (3,5) (5,1)

max_score=5

watch (1,1) (2,1) (4,2) (5,1)

max_score=2

max_scoreの例2
 “rolex”のカーソルを進める
 “watch”の方は5以降に飛ばす

iwc (1,5) (5,2)
max_score=5

rolex (2,2) (3,5) (5,1)

max_score=5

watch (1,1) (2,1) (4,2) (5,1)

max_score=2

max_scoreの例2
る

iwc (1,5) (5,2)
max_score=5

rolex (2,2) (3,5) (5,1)

max_score=5

watch (1,1) (2,1) (4,2) (5,1)

max_score=2

max_scoreの例2
 一連の流れで文章1,2,3,5の評価を行なって
いる

iwc (1,5) (5,2)
max_score=5

rolex (2,2) (3,5) (5,1)

max_score=5

watch (1,1) (2,1) (4,2) (5,1)

max_score=2

max_score 補足
 今上げた2つの例では文章1が最も大きいス
コアになる例であったが、文章の途中のも
のが1番になった場合、閾値もそれにあわせ
て変化していく
 例2では閾値が6のときに”iwc”と”rolex”を含
むの代わりに”iwc”と”watch”を含むとしても
良かったが、通常は転置リストの長いもの
もしくはスコアが低いものから候補から除
外していく

max_scoreの性能
 例えば[M. Fontoura+, 2011] では約340万文
章、3GBの広告データに対して平均長57.76
のクエリ検索を行った場合
 Naive DAAT 26778.3 μsec
 DAAT max_score 9321.3 μsec
 と2.8倍近い性能改善が報告されている
 * この辺りの性能改善率に関しては検索エン
ジンの性能および文章の性質に強く依存す
る

topdocsの利用[T. Stohman+, 2005]
 極端にスコアが大きい文章のみ別の転置インデックスに
分ける
 実装によってはメタデータに格納することもある
 下の例ではこれにより文章2より先は”iwc”もしくは”rolex_2”が
入った文章のみ評価すれば良いことが分かる

iwc (1,5) (5,2)
max_score=5

rolex_1 (2,2) (5,1)
max_score=2

rolex_2 (3,5)

max_score=5
watch (1,1) (2,1) (4,2) (5,1)

max_score=2

閑話:
modernな転置インデックスの機能
 多くの場合転置リストはブロックごとに圧
縮されて格納されている
 例えば転置リストの内容が{1,3,6,8,15,16}で
あれば{1,3},{6,8},{15,16}と分けられており、
内部は圧縮されている
 圧縮アルゴリズムはVbyte, Simple9,
PForDeltaなどがある.
 例えば[H. Yan+, 2009]などが参考になる

ブロック圧縮された転置インデックス
に対する検索手法
 ブロックは圧縮されているのでなるべく
decode処理を飛ばしたい
 またデータをブロック単位で持ってるので
ブロックごとのスコアの最大値や最小値を
持つことができる
 ブロック圧縮された転置インデックスに対
する検索手法はここ最近2件ほど独立に手法
が提案されている
 [K. Chakrabarti+, 2011] [S. Ding and T. Suel,
2011]
 今回は主に[K. Chakrabarti+, 2011]の紹介を行う

Interval-based pruning for top-k processing
over compressed lists
 ここからは最近の研究である
 K. Chakrabarti, S. Chaudhuri and V. Ganti :
Interval-based pruning for top-k processing over
compressed lists, ICDE, 2011
 の紹介を行う
 著者はMicrosoft Researchの研究者

モチベーション
 k=1のとき、通常のmax_scoreを実行すると文章9
の時点でスコアが8になり、��1 の転置リストのみ
では1位に届かないのでブロックDは飛ばせる
 一方で文章3を見た時にスコアが3になり、ブロッ
クBの最大値は2であるため本来はdecodeしなく
てもよいが通常のmax_scoreではここをdecodeし
てしまう

max_score=5

max_score=6

[K. Chakrabarti+, 2011]より

提案手法
 与えられたクエリに対するブロックから区
間を作成して、Upper boundが現在の閾値以
上の区間のみ評価する


例
 論文のFig1の例、数値は一部変えてある

A B C D E
(1,3) (3,3) (5,1) (8,1) (9,5) (11,2) (12,1) (14,2) (15,1) (16,1)

F
G

(1,2) (9,3) (15,6) (16,1)

例
 区間を生成して、取り得る最大のスコアを
計算する
区間 [1,3] (3,5) [5,8] (8,9] (9,11] (11,12] (12,14] (14,15) [15,16]

max
score
6 3 4 8 5 1 2 0 7
A B C D E
(1,3) (3,3) (5,1) (8,1) (9,5) (11,2) (12,1) (14,2) (15,1) (16,1)

F
G

(1,2) (9,3) (15,6) (16,1

例
 始めの区間に関して, max_scoreを実行する
 このときブロックA,Fをデコードする
区間 [1,3] (3,5) [5,8] (8,9] (9,11] (11,12] (12,14] (14,15) [15,16]

max
score
6 3 4 8 5 1 2 0 7
A B C D E
(1,3) (3,3) (5,1) (8,1) (9,5) (11,2) (12,1) (14,2) (15,1) (16,1)

F
G

(1,2) (9,3) (15,6) (16,1

例
 一位のスコアが5となるので、続く2つの区
間は見なくてよい
 ブロックBのデコードはスキップされる
区間 [1,3] (3,5) [5,8] (8,9] (9,11] (11,12] (12,14] (14,15) [15,16]

max
score
6 3 4 8 5 1 2 0 7
A B C D E
(1,3) (3,3) (5,1) (8,1) (9,5) (11,2) (12,1) (14,2) (15,1) (16,1)

F
G

(1,2) (9,3) (15,6) (16,1

例
 区間(8,9]を処理して、文章9のスコアが8で
あることを得る
 このときブロックCがデコードされる
区間 [1,3] (3,5) [5,8] (8,9] (9,11] (11,12] (12,14] (14,15) [15,16]

max
score
6 3 4 8 5 1 2 0 7
A B C D E
(1,3) (3,3) (5,1) (8,1) (9,5) (11,2) (12,1) (14,2) (15,1) (16,1)

F
G

(1,2) (9,3) (15,6) (16,1

例
 残りは全てスキップできる

区間 [1,3] (3,5) [5,8] (8,9] (9,11] (11,12] (12,14] (14,15) [15,16]

max
score
6 3 4 8 5 1 2 0 7
A B C D E
(1,3) (3,3) (5,1) (8,1) (9,5) (11,2) (12,1) (14,2) (15,1) (16,1)

F
G

(1,2) (9,3) (15,6) (16,1

Interval-baseの利点
 max_scoreがglobalな最大値のみ使うのに対
して、ブロックごとの最大値を利用できる
のでより枝刈りが利用できる
 区間の数は高々ブロックの数の2倍程度にし
かならない
 通常ブロックには100個程度の文章idが格納され
ているので、長さ10万程度の転置リストでもブ
ロックは1000個程度しかないので、区間の生成
はほとんど負荷にならない

区間へのアクセス方法
 例では前から順に区間にアクセスしていっ
たが論文ではこれをPruneSeqと言っている
 他にはPruneScoreOrder, PruneHybrid,
PruneLazyというアクセス方法を提案してい
る

PruneScoreOrder
 スコアが高い区間から順にアクセスする
 下の例では最初の区間で最大値を得るので、残
りは全てスキップできる
区間 [1,3] (3,5) [5,8] (8,9] (9,11] (11,12] (12,14] (14,15) [15,16]

max
score
6 3 4 8 5 1 2 0 7
A B C D E
(1,3) (3,3) (5,1) (8,1) (9,5) (11,2) (12,1) (14,2) (15,1) (16,1)

F
G

(1,2) (9,3) (15,6) (16,1

PruneHybrid
 PruneScoreOrderの欠点として、
 ランダムアクセスが多く発生すること
 同じ転置リストのブロックに何回もアクセスするこ
とがある
○ これに関して論文ではキャッシュを用意して、なるべ
くディスクから読む回数及びデコード回数を少なくす
るという工夫が成されている
 これに対してPruneHybridでは上位x%の区間の
みPruneScoreOrderを実施し、そこで得た閾値
を元にPruneSeqを実施するというのが
PruneHybridである
 x=0のときPruneSeqと一致し
 x=100のときPruneScoreOrderと一致する

PruneLazy
 転置リストのIOがランダムになることを防
ぐため
 1. 一定量の区間のブロックをメモリに読み
込む
 このときdecodeは行わない
 2. 読み込んだ区間に関して、スコア順に区
間を処理していく
 閾値によってはいくつかの読み込んだブロック
に関してはdecodeは飛ばされる
 を繰り返す

実験結果
 TREC Terabyte (800万ページ)のデータセッ
トで実験
 max_scoreに近い手法に比べて3-6倍の性能改善


WAND [A. Broder+, 2003]
 転置リストを先頭の文章番号の順に並べて、
pivotとなるtermの文章番号より前にある転置リ
ストのカーソルを進める手法
 今閾値が7であるとすると”rolex”のみでは閾値に届か
ないので”iwc”も必要になる. このため”rolex”のカーソ
ルを5以降に飛ばしてよいことが分かる
 max_scoreだと”watch”の方を除外してしまうので文
章2,3を評価してしまう
rolex (1,1) (2,5) (3,1)

max_score=5

iwc (1,5) (5,2) pivot term
max_score=5
watch (1,1) (6,1) (7,2) (8,3)

max_score=3

WANDの変形
 WANDの改良としては
 メモリ上の実行に適したmWAND [M. Fontoura+,
2011]
 ブロック情報を利用したBlock-max WAND (BMW)
[S. Ding and T. Suel, 2011]
 がある
 両論文とも割と読みやすい

Layered-index [T. Stohman and W. Croft, 2007]
 スコアに応じて、転置リストを複数に分ける
 クエリの評価はTAATベースで行い、スコアが高いリスト
から順にマージしていく
 途中でこれ以上アキュムレータにないものを追加しても上位k件
に入らないときはアキュムレータ内のみで評価する. アキュム
レータ内のものでも上位k件に入る可能性の無いものを除外する
などの最適化が行われる

iwc_1 (1,8) max_score=8

rolex_1 (2,5) (4,6) max_score=6


iwc_2 (4,3) (5,2) max_score=3


まとめ
 転置インデックスに対してdisjunctiveなクエ
リで問い合わせを行った際に上位k件を取っ
てくるためのDAAT(Document-at-a-time)
ベースの効率的な手法について述べた
 この辺りの論文はquery-processingという
キーワードでSIGIRなどの情報検索系の会議
によく投稿される

参考文献
 情報検索の基本的な教科書
 [S. Büttcher+ 2010] Information Retrieval: Implementing and Evaluating Search Engines,
MIT Press
 Max-score
 [H.R. Turtle and J. Flood, 1995] Query evaluation: strategies and optimization. Information
processing and management
 [T. Stohman+, 2005] Optimization strategies for complex queries, SIGIR
 [K. Chakrabarti+, 2011] Interval-based pruning for top-k processing over compressed lists,
ICDE
 WAND
 [A. Broder+, 2003] Efficient query evaluation using a two-level retrieval process, CIKM
 [M. Fontoura+, 2011] Evaluation strategies for top-k queries over memory-resident inverted
indexes, VLDB
 [S. Ding and T. Suel, 2011] Faster top-k document retrieval using block-max indexes, SIGIR
 Layered Index
 [V. N. Anh and A. Moffat, 2006] Pruned query evaluation using pre-computed impacts,
SIGIR
 [T. Stohman and W. Croft, 2007] Efficient document retrieval in main memory, SIGIR
 その他
 [H.Yan+ 2009] Inverted index compression and query processing with optimized document
ordering, WWW
 [G. Navarro and Y. Nekrich 2012] Top-k Document Retrieval in Optimal Time and Linear
Space, SODA

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