Para que serve a trigonometria? Por exemplo, a trigonometria serve para resolver o seguinteproblema: O teodolito, é um ins...
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(UEMA) Uma indústria que está se instalando às margens de uma rodovia precisa trazer energiaelétrica para as suas dependên...
k = -1/4 - (√7)/4 (não serve)ouk = -1/4 + (√7)/4Logo: x = (-5 + 5√7) cm e y = (5 + 5√7) cmAssim, a Área = xy/2 = 150/2 = 7...
(A) 1           (B) -1           (C)3/2             (D)-3/2Solução: Seja a função trigonométrica f(x) = sen x + cos x.Se o...
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Trigonometria – exercicios resolvidos ângulos de triângulos

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Trigonometria – exercicios resolvidos ângulos de triângulos

  1. 1. Para que serve a trigonometria? Por exemplo, a trigonometria serve para resolver o seguinteproblema: O teodolito, é um instrumento capaz de medir ângulos, muito usado por agrimensores,engenheiros e topógrafos no cálculo de distâncias inacessíveis. Este instrumento ótico medeângulos horizontais e verticais com suas duas escalas circulares graduadas em graus.Para calcular a altura de um prédio, o topógrafo colocou seu teodolito na praça em frente. Elemediu a distância do prédio ao teodolito com uma trena e encontrou 27 m. Mirando o alto doprédio, ele verificou, na escala do teodolito, que o ângulo formado por essa linha visual com ahorizontal é de 58 graus. Se a luneta do teodolito está a 1,55 m do chão, qual é a altura do prédio?(Considere os valores aproximados: sen 58o = 0,85 e cos 58o = 0,53)Solução: A trigonometria (trigono=triângulo + metria=medida) é o ramo da matemática que tratadas relações entre os lados e ângulos de triângulos.Na figura a seguir, AB = CD = 1,55 é a altura do instrumento e CE = x + 1,55 é a altura do prédio.No triângulo retângulo BDE formado, BE é a hipotenusa , DE = x é o cateto oposto ao ângulo de58 graus, BD = 27 é o cateto adjacente ao ângulo de 58 graus.Trabalhando com as razões trigonométricas seno, coseno (ou cosseno) e tangente, temos:sen 58o = DE / BE ; cos 58o = BD / BE ; tg 58o = DE / BD = x / 27.Como, tg 58o = sen 58o / cos 58o = 0,85 / 0,53 = 85 / 53 = 1,6 aproximadamente, podemos ter aproporção: x / 27 = 0,85 / 0,53 = 1,6.Daí, vem que: x = 27 × 1,6 = 43,2. Logo a altura do prédio é : 43,2 + 1,55 = 44,75 m..Uma torre vertical, construída sobre um plano horizontal tem 25 metros de altura. Um cabo deaço, esticado, liga o topo da torre até o plano, formando com o mesmo, um angulo de 60°. Qual é ocomprimento do cabo?Solução: Temos um triângulo retângulo de hipotenusa x e cateto de medida 25m oposto ao ângulode 60°.Como o sen 60° = = 25 / x , segue que o comprimento (em metros) do cabo é :x = 50/√3 = 50(√3)/3 .Se considerarmos √3 = 1,7 , então x = 28,4m.(UERJ) Um barco navega na direção AB, próximo a um farol P, conforme a figura abaixo.
  2. 2. (Adaptado de BONGIOVANNI, Vincenzo et alli. Matemática e Vida. São Paulo, editora Ática, 1990).No ponto A, o navegador verifica que a reta AP, da embarcação ao farol, forma um ângulo de 30 ocom a direção AB. Após a embarcação percorrer 1.000 m, no ponto B, o navegador verifica que areta BP, da embarcação ao farol, forma um ângulo de 60 o com a mesma direção AB. Seguindosempre a direção AB, a menor distância entre a embarcação e o farol será equivalente, em metros,a:(A) 500 (B) 500√3 (C) 1.000 (D) 1.000√3Solução: A menor distância do barco ao farol é o segmento de reta perpendicular a direção AB queforma os triângulos retângulos de hipotenusa BP e AP. Seja y a distância do barco ao farol e seja x adistância do barco ao ponto B.A razão trigonométrica y / x é a tangente do ângulo de 60 o.De modo análogo, a razão y / (1000 + x) é a tangente de 30 o.Como a tg60 o = √3 e tg30 o = (√3) / 3 , vem que, y = x√3 .Então, (√3) / 3 = y / (1000 + x) = (x√3) / (1000 + x)."Multiplicando em cruz" e depois divindindo ambos os membros da equação pela √3, ficamos com1000 + x = 3x.Segue que , 1000 = 2x , logo x = 500.Assim, y = 500√3. A alternativa (B) é a correta.Nota: Considerando √3 = 1,7, teremos para resultado y = 850 m.(PRF) Os vértices do triângulo PRF da figura abaixo representam, respectivamente, umapapelaria, uma relojoaria e uma farmácia, estando as distâncias representadas em metro: A distância entre a papelaria e a farmácia, em km, é:(A) 0,0007 (B) 0,007 (C) 0.07 (D) 0,7 (E) 7,0Solução: Seja x a medida do segmento PF. Pela lei dos cossenos: x2 = 82 + 32 - 2(8)(3)cos 60o = 64+ 9 - 48×½ = 73 - 24 = 49. Como a raiz quadrada de 49 é 7 , vem que, x = 7 m = 0,007 km. Logo,(B) é a alternativa correta.De outra maneira, poderíamos usar a condição de existência do triângulo (desigualdade triangular):|8-3| < x < |8+3|. Segue que: 5m < x < 11m. Isto implica em: 0,005km < x < 0,011km. Logo, (B) é aopção correta.
  3. 3. (UEMA) Uma indústria que está se instalando às margens de uma rodovia precisa trazer energiaelétrica para as suas dependências. O local mais próximo onde há rede elétrica é um pontoinacessível momentaneamente por meio terrestre; mas visível de onde se instalará a indústria. Aindústria contrata uma firma especializada para elaborar o projeto da linha de transmissão deenergia e essa firma, equipada com instrumentos, que possibilitam a medição de ângulos, e comuma trena, efetua as medições constantes da figura abaixo, em que A é o ponto onde se localizará aindústria e C é o ponto de ligação à rede elétrica já existente.A distância em “linha reta” da indústria ao ponto de interligação à rede elétrica é ?Solução: Construindo, no ∆ABC, a altura CH, relativa ao lado AB, temos:1000 = AH + BH = x cos 45o + y cos 60o = x√2/2 + y/2CH = h = y sen 60o = x sen 45o, o que implica em y = x√2/√3então, 2000 = x√2 + x√2/√3Logo, o valor procurado, em metros, é x = (2000√3) / (√2)(√3 + 1) = (1000√6) / (√3 + 1).Se considerarmos √6 = 2,45 e √3 = 1,732 , teremos x = 896 m.(PUC-SP) Sabe-se que θ é a medida em graus de um dos ângulos internos de um triânguloretângulo.Se sen θ = k+1/2, cos θ = k e a hipotenusa do triângulo mede 20 cm, determine a sua área.Solução: Sendo y o cateto oposto ao ângulo e x o cateto adjacente ao ângulo, temos que:sen θ = y /20 = k + 1/2 e cos θ = x/20 = kEntão: y = 20k + 10 e x = 20kUsando o Teorema de Pitágoras , ficamos com: sen2 θ + cos2 θ = 1 , ou seja, (k + 1/2)2 + k2 = 1O que implica em: 8k2 + 4k - 3 = 0Resolvendo esta equação encontramos:
  4. 4. k = -1/4 - (√7)/4 (não serve)ouk = -1/4 + (√7)/4Logo: x = (-5 + 5√7) cm e y = (5 + 5√7) cmAssim, a Área = xy/2 = 150/2 = 75 cm2.O ciclo trigonométrico é um círculo cujo centro está localizado na origem do plano cartesiano e seuraio mede 1. É usado para ampliar os conceitos de seno, cosseno e tangente para arcos (ângulos)com medidas quaisquer (maiores que 90°, por exemplo). Observe ciclo trigonométrico abaixo. Calcule: sen 150° = ..................... cos 225° = ..................... sen 1950° = ..........Solução: A medida do raio do círculo trigonométrico é 1. Assim , as hipotenusas dos triângulosretângulos formados pelos ângulos na figura mede 1. Como resultado, temos que o seno do ângulofica no eixo vertical e o cosseno fica no eixo horizontal.Como π radianos (3,14 radianos aproximadamente) = 180 graus, fazendo uma regra de três, segueque:sen 150° = sen (5π/6) = 1/2cos 225° = cos (5π/4) = (-√2) / 2Como 1950° = 5×360° + 150°, descontando as voltas, temos:sen 1950° = sen 150° = sen (5π/6) = 1/2.(UERJ) Você sabia? Se o valor de x estiver expresso em radianos, os valores de sen x e cos xpodem ser representados, respectivamente, por : sen x ≅ x e cos x ≅ 1 - x2 / 2.A partir da informação acima, assinale a opção que contém o valor máximo da expressão: sen x +cos x.
  5. 5. (A) 1 (B) -1 (C)3/2 (D)-3/2Solução: Seja a função trigonométrica f(x) = sen x + cos x.Se o valor de x está expresso em radianos, então podemos considerar, aproximadamente,f(x) = x + 1 - x2 / 2 = (-x2 / 2 )+ x + 1 , que é uma função quadrática (polinômio do segundo grau).Temos que o valor máximo de uma função f(x) = ax2 + bx + c , é -∆ / 4a, onde ∆ = b2 - 4ac.Calculando delta encontramos ∆ = (1)2 - 4(-1 / 2)(1) = 3.Assim, o valor máximo da expressão é: (-3) / 4(-1 / 2) = (-3) / (-2) = 3 / 2. Logo, (C) é a alternativacorreta

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