1. copy4u - 2 ano Page 1 of 12
Matemática 1 Matemática 2 Física 1 Física 2 Química 1
Química 2 Biologia 1 Biologia 2 História Geografia
Português Literatura Redação Filosofia Livro Artes
Elementos de uma circunferencia
Medidas de um arco
Um arco pode ser medido de duas formas:
a) Quanto ao comprimento
b) Quanto à abertura
Propriedade
Em toda circunferencia a medida do ângulo central é igual a medida do arco
correspondente.
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2. copy4u - 2 ano Page 2 of 12
Matemática 1 Matemática 2 Física 1 Física 2 Química 1
Química 2 Biologia 1 Biologia 2 História Geografia
Português Literatura Redação Filosofia Livro Artes
Unidades de medida de angulo:
1 - GRAU
Uma volta = 360º
-1º = 60' (60 minutos)
-60' = 60'' (60 segundos)
2 - Radiano
Uma volta = 2 rad
Um radiano é a medida central de uma circumferencia cujo arco correspondente
tem o mesmo
comprimento do raio
Operações com Grau
1) Adição
36º 47' 51''
91º 28' 34''
-------- -------- --------
127º 75' 85''
Passe de min - sec
e de sec - grau
ficando:
128º 16' 25''
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2) Subtração
73º 59' 60''
Matemática 137' Matemática 2
28º 45'' Física 1 Física 2 Química 1
Química 2 --------
-------- Biologia 1
-------- Biologia 2 História Geografia
Português
45º Literatura
22' 15'' Redação Filosofia Livro Artes
3) Multiplicação
3 . (26º 41' 29'')
78º 123' 87'' = 80º 4' 27''
4) Divisão
68º 46' 38''/3
68/3 = 22 com resto 2º
2 = 120'
120' + 46' =166'
166/3 = 55 com resto 1'
1' = 60''
60'' + 38'' = 98''
98/3 = 32
68º 46' 38''/3 = 22º 55' 32''
Como transformar em radiano (ou radiano em
grau)
Regra de Três:
Ex. Transformar 110º em radianos
360º----------2 Rad
110º----------x Rad
Aulas 1, 2, 3, 4 e 5 - Trigonometria
tri = tres - gono = angulo - metria = medida
Funções Trigonometricas no Triangulo Retangulo
a - Hipotenusa
b - Cateto Oposto de x
c - Cateto Adjacente de x
Seno de x = cateto oposto/hipotenusa = b/a
Coseno de x = cateto adjacente/hipotenusa = c/a
Tangente de x = cateto oposto/cateto adjacente = b/c
*A tangente tambén pode ser calculada como sendo a razão entre o seno e o
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coseno.
Tangente de x = seno de x/coseno de x
Demostração 1
Matemática Matemática 2 Física 1 Física 2 Química 1
Química 2 Biologia 1 Biologia 2 História Geografia
Valores das Funções Trigonometricas mais Utilizadas
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Seno Coseno Tangente
0º 0 1 0
30º 1/2 /2 /3
45º /2 /2 1
60º /2 1/2
90º 1 0
Como preencher a tabela:
seno de x = /2
n = 0,1,2,3,4
coseno de x = inverso da coluna do seno
seno/coseno = tangente
Considerações sobre circunferencia
1) Perimetro ou comprimento da circunferencia:
C=2 R
2)Area do circulo:
2
A= R
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Angulos em ponteiros de um relógio
Em 1 hora 1
Matemática Matemática 2 Física 1 Física 2 Química 1
Química 2 Biologia 1 Biologia 2 História Geografia
a) Ponteiro das horas
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b)Ponteiro dos minutos
Para descobrir quanto o ponteiro das horas andou em determinados minutos faça
regra de três:
Ex.
Ponteiro
Ponteiro
dos
das
Minutos
Horas
30º -------------- 360º (1 Hora)
X -------------- 90º (15 Minutos)
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Aulas 6 e 7- Circulo Trigonometrico
Matemática 1 Matemática 2 Física 1 Física 2 Química 1
Química 2 Biologia 1 Biologia 2 História Geografia
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Arcos congruos
São arcos que ocupam a mesma posição no circulo trigonometrico em voltas
diferentes
Ex. 30º, 390º, 750º, 1110º - São arcos congruos
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Representação de arcos congruos
1) Em graus 1
Matemática Matemática 2 Física 1 Física 2 Química 1
Química360º Biologia 1
=x+k. 2 Biologia 2 História Geografia
onde k é um número inteiro
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2) Em Radianos
= x + 2k
Onde k é um número inteiro
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8. copy4u - 2 ano Page 8 of 12
Matemática 1 Matemática 2 Física 1 Física 2 Química 1
Química 2 Biologia 1 Biologia 2 História Geografia
Português Literatura Redação Filosofia Livro Artes
Aula 8 - Redução de um arco ao 1º
quadrante
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Aulas 9 a 16 - Relação fundamental da
trigonometria 2 Física 1 Física 2 Química 1
Matemática 1 Matemática
Química 2 Biologia 1 Biologia 2 História Geografia
Para qualquer arco x vale a relação:
Português Literatura Redação Filosofia Livro Artes
Pitágoras
2 2
Sen x + cos x = 1
Outas Funções Trigonometricas
1) Cotangente - É o inverso da tangente
Cotg x = 1 / Tg x = 1 / Sen x/Cos x = Cos x / Sen x
2) Secante - É o inverso do cosseno
Sec x = 1 / Sen x
3) Cossecante - É o inverso do seno
Cossec x = 1/Sen x
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10. copy4u - 2 ano Page 10 of 12
Importante:
Matemática 1 Matemática 2 Física 1 Física 2 Química 1
Química 2 Biologia 1 Biologia 2 História Geografia
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*Como dividir por uma divisão*
Aulas 17 a 24 - Equações com arcos
Formulas de Adição e Subtração de Arcos
Sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a
Sen (a - b) = sen a . cos b - sen b . cos a
Cos (a + b) = cos a . cos b - sen a . sen b
Cos (a - b) = cos a . cos b + sen a . sen b
Tg (a + b) = (tg a + tg b / 1 - tg a . tg b)
Tg (a - b) = (tg a - tg b / 1 + tg a . tg b)
Formulas do Arco Duplo
Sen (a + a) = 2 . sen a . cos a
2 2
Cos (a + a) = cos a - sen a
2
Tg (a + a) = (2 . tg a / 1 - tg a)
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Formulas do Arco Metade
Sen (a/2) = +- raiz quadrada de (1 - cos a / 2)
Matemática 1 Matemática 2 Física 1 Física 2 Química 1
Cos (a/2) = +- raiz Biologia de (1 +Biologia 2
Química 2 quadrada 1 cos a / 2) História Geografia
Português Literatura Redação Filosofia Livro Artes
Tg (a/2) = +- raiz quadrada de (1 - cos a / 1 + cos a)
Formulas de transformação em produto
sen p + sen q = 2 . sen((p + q / 2 )) . cos ((p - q / 2))
sen p - sen q = 2 . sen((p - q / 2 )) . cos ((p + q / 2))
cos p + cos q = 2 . cos((p + q / 2 )) . cos ((p - q / 2))
cos p - cos q = -2 . sen((p + q / 2 )) . sen((p - q / 2))
Aulas 25 e 26 - Equações
Trigonométricas
(...)
Aulas 27 e 28 - Inequações
Trigonométricas
São expressões trigonometricas onde aparecem os comparativos: > , < , <= , >=
Resolver a inequação e determinar onde o arco x satisfaz a equação
Aulas 29 a 32 - Funções
Trigonométricas
a > 0 - desloca o grafico para cima
a < 0 - desloca o grafico para baixo
|b| > 1 - aumenta a amplitude da função
|b| < 1 - diminui a amplitude da função
b < 0 - inverte verticalmente o grafico da função
|c| > 1 - diminui o periodo da função
|c| < 1 - aumenta o periodo da função
d > 0 - desloca o grafico horizontalmente para a esquerda
d < 0 - desloca o grafico horizontalmete para a direita
Caracteristicas da função trigonométrica
Periodo
É a medida do arco minimo necessario para a função se repetir
Intervalo de Variação
É o intervalo entre os valores minimos e maximos atingidos pela função durante
um periodo
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12. copy4u - 2 ano Page 12 of 12
Amplitude
É o valor absoluto da metade da diferença entre o valor maximo e o valor minimo
atingidos pela função num periodo
Matemática 1 Matemática 2 Física 1 Física 2 Química 1
Periodo de2umaBiologia trigonométrica do tipo y=a+b.sen(cx+d)
Química função 1 Biologia 2 História Geografia
Português Literatura
T = 2 /c = 360/c Redação Filosofia Livro Artes
Website criado por João Pedro Junqueira Cândido
joao-pedro-jjp@hotmail.com
03.02.2011
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