Substituições trigonométricasIME/ITA/OLIMPÍADAS6/3/2011http://dadosdedeus.blogspot.comMarcos Valle (IME)
2 Dados de Deus – Substituições Trigonométricas   1 Um pouco de trigonometria...   Antes de trabalharmos diretamente com o...
3 Dados de Deus – Substituições Trigonométricas              Cossecante   Segue ainda o formulário básico de trigonometria...
4 Dados de Deus – Substituições Trigonométricas   Proposição 6   Proposição 7   Proposição 8   Proposição 9   Demonstração...
5 Dados de Deus – Substituições Trigonométricas   É claro que                 e                  . Logo:   Mas:   Exercíci...
6 Dados de Deus – Substituições Trigonométricas          b-)   2 Aplicações   Uma substituição trigonométrica nada mais é ...
7 Dados de Deus – Substituições Trigonométricas   Exemplo 2 (OBM) Determine todas as soluções reais da equação:   Solução:...
8 Dados de Deus – Substituições Trigonométricas   No intervalo buscado, temos                 . Pelo Teorema Fundamental d...
9 Dados de Deus – Substituições Trigonométricas   Solução: Para      real temos                                      .   A...
10 Dados de Deus – Substituições Trigonométricas    Assim, para           a única possibilidade é         . Com isso:    E...
11 Dados de Deus – Substituições Trigonométricas    Solução: Se alguma das variáveis,     por exemplo, for igual a   , ent...
12 Dados de Deus – Substituições Trigonométricas    Da última equação, temos                                              ...
13 Dados de Deus – Substituições Trigonométricas    Logo, o maior valor da expressão dada é                   .    Exemplo...
14 Dados de Deus – Substituições Trigonométricas    Mas    Com isso, concluímos que a expressão é válida para todo        ...
15 Dados de Deus – Substituições Trigonométricas    Exemplo 18 Prove que se os reais positivos       satisfazem           ...
16 Dados de Deus – Substituições Trigonométricas    E:    Substituindo em (I):    Podemos ainda fazer as seguintes substit...
17 Dados de Deus – Substituições Trigonométricas    2.5-) (ITA – 2005) Se      e                        , em que         é...
18 Dados de Deus – Substituições Trigonométricas    2.16-) (IME - 2010) Considere a sequência:            ,              ,...
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  1. 1. Substituições trigonométricasIME/ITA/OLIMPÍADAS6/3/2011http://dadosdedeus.blogspot.comMarcos Valle (IME)
  2. 2. 2 Dados de Deus – Substituições Trigonométricas 1 Um pouco de trigonometria... Antes de trabalharmos diretamente com o conceito de substituições trigonométricas, é fundamental termos solidificadas algumas propriedades da trigonometria. Confira na tabela abaixo as principais funções: Nome da Domínio / Imagem Representação Gráfica função Seno Cosseno Tangente Cotangente Secante
  3. 3. 3 Dados de Deus – Substituições Trigonométricas Cossecante Segue ainda o formulário básico de trigonometria. Não deixe de fazer os exercícios da seção! Proposição 1 Proposição 2 Proposição 3 Proposição 4 e Proposição 5
  4. 4. 4 Dados de Deus – Substituições Trigonométricas Proposição 6 Proposição 7 Proposição 8 Proposição 9 Demonstração: Como no intervalo dado a função tangente é estritamente crescente, existe uma bijeção entre sua imagem ( ) e seu domínio( ), i.e., para qualquer real existe tal que . Proposição 10 Sejam e , tal que . Então: Demonstração: Note que Considere agora o triângulo retângulo abaixo
  5. 5. 5 Dados de Deus – Substituições Trigonométricas É claro que e . Logo: Mas: Exercícios da seção 1: 1.1-) Sejam ângulos de um triângulo. Prove as seguintes desigualdades: a-) b-) c-) d-) e-) f-) g-) h-) 1.2-) Sejam ângulos de um triângulo. Prove as seguintes identidades: a-) b-) c-) d-) e-) f-) 1.3-) Sejam ângulos arbitrários. Prove que: a-)
  6. 6. 6 Dados de Deus – Substituições Trigonométricas b-) 2 Aplicações Uma substituição trigonométrica nada mais é que a transformação de um número real em uma função trigonométrica correspondente. A vantagem é que, em alguns casos, utilizar as propriedades vistas na seção 1 pode facilitar muito a resolução de um problema. Um dos cuidados que devemos ter ao pensar em uma substituição trigonométrica é quanto às restrições da função em uso. Por exemplo, as funções seno e cosseno são limitadas entre -1 e 1, por isso se substituíssemos em por estaríamos restringindo o domínio da função. Em casos assim, devemos buscar artifícios que possibilitem a troca, como fazer , já que e agora o cosseno está em seu limite natural. A grande questão é saber quando utilizar a substituição adequada. Existem alguns indicativos clássicos, como a presença dos radicais ou de expressões como e Note que esses termos são partes das identidades vistas na seção 1. Um outro indicativo forte de que podemos pensar na trigonometria é a presença de termos como , que podem levar à utilização dos valores trigonométricos conhecidos, como . Infelizmente, nem sempre as substituições são evidentes e, em casos mais complexos, pode ficar bastante complicado de enxergá-las. Por isso, a melhor forma de afiar a mente é treinando muito! Exemplo 1 Resolva nos reais Solução: É evidente que a solução clássica de elevar ambos os membros ao quadrado resolveria facilmente nosso problema, mas vamos utilizá-lo para exemplificar uma substituição trigonométrica simples. Da condição de existência, . Assim, podemos afirmar que existe tal que . Substituindo: Resolvendo encontramos . Logo:
  7. 7. 7 Dados de Deus – Substituições Trigonométricas Exemplo 2 (OBM) Determine todas as soluções reais da equação: Solução: Esse é um caso em que a ideia impulsiva de elevar ambos os membros ao quadrado pode não ser a melhor saída. Fazendo isso chegaríamos a um polinômio do 8º grau com diversas restrições de existência. Note que do primeiro membro e do segundo . Assim, tome tal que . Substituindo: Pela P.5: Com isso: Como , temos como única possibilidade , de modo que o conjunto solução é: Exemplo 3 Determine as raízes de Solução: O termo lembra . Portanto, suponhamos que todas as raízes do polinômio dado estejam entre -1 e 11, i.e. para . Substituindo e utilizando a P.6; Assim: 1 De fato, . Pelo Teorema de Bolzzano concluímos que as 3 raízes estão entre -1 e 1.
  8. 8. 8 Dados de Deus – Substituições Trigonométricas No intervalo buscado, temos . Pelo Teorema Fundamental da Álgebra possui 3 raízes e como encontramos 3 valores para , nossa hipótese de que era válida. Com isso: Exemplo 4 Resolva nos reais Solução: O termo nos remete a fórmula do arco triplo, o que nos faz pensar em substituir por um múltiplo de Mas para podermos afirmar isso com segurança precisamos antes limitar . Da condição de existência da raíz, temos que: (I) Suponhamos que : (II) Mas: (III) De (II) e (III) concluímos que . Logo e agora sim podemos afirmar que existe tal que . Substituindo na equação original: Assim: Para o intervalo buscado, temos . Logo: (Math Challenges Pag 36 - 4) Exemplo 5 Resolva nos reais equação
  9. 9. 9 Dados de Deus – Substituições Trigonométricas Solução: Para real temos . Assim, podemos fazer : Com isso, obtemos . Portanto obtemos e o conjunto solução é: Exemplo 6 (IME - 2008) Seja uma constante real positiva. Resolva a equação , para e . Solução: Como , existe tal que . Substituindo: Como : Mas da P.5: Logo ( :
  10. 10. 10 Dados de Deus – Substituições Trigonométricas Assim, para a única possibilidade é . Com isso: Exemplo 7 Sejam números reais diferentes de . Prove que a igualdade acontece somente se Solução: Sejam tais que . Note agora que: Assim, . Nesse caso, e da mesma identidade segue que: Exemplo 8 Determine todas as soluções reais do sistema Solução: Note que . Assim, existe tal que e: Aplicando as transformações de arco duplo e arco triplo, temos ( ): No intervalo buscado, as únicas possibilidades são . Logo, o conjunto solução real do sistema é . Exemplo 9 Determine todas as soluções reais do sistema
  11. 11. 11 Dados de Deus – Substituições Trigonométricas Solução: Se alguma das variáveis, por exemplo, for igual a , então . Assim, podemos escrever: Seja tal que . Da P.7 temos que e e por fim: . No intervalo buscado, o conjunto solução é: Exemplo 10 Resolva o sistema abaixo nos reais: Solução: Se , então da primeira equação , tornando o sistema indeterminado, i.e. . Analogamente, . Isolando , obtemos: Pela P.9, existe um único tal que Assim, pela P.7:
  12. 12. 12 Dados de Deus – Substituições Trigonométricas Da última equação, temos . Além disso, . Portanto, o conjunto solução é: Exemplo 11 Resolva o sistema de equações nos reais Solução: Sejam com tais que . Lembrando que : Assim, no intervalo buscado as soluções ocorrem para . Exemplo 12 Se , determine o valor máximo de . Solução: Se , então seja tal que . Assim: Como , o valor máximo é . Exemplo 13 Calcule o maior valor real da expressão . Solução: Seja tal que . Note que . Temos então: Da proposição 12:
  13. 13. 13 Dados de Deus – Substituições Trigonométricas Logo, o maior valor da expressão dada é . Exemplo 14 Se é uma sequência que satisfaz a recorrência . Prove que essa sequência é periódica. Solução: Seja tal que . Assim: Logo ( ): Somando as equações acima2: Como a função tangente é periódica de período , temos que: Portanto, o perído da sequência é 6. Exemplo 15 (ITA - 2004) Determine os valores reais do parâmetro para os quais existe um número real satisfazendo . Solução: Da condição de existência: Assim, seja tal que . Com isso: 2 A rigor, é necessário fazer a prova por indução.
  14. 14. 14 Dados de Deus – Substituições Trigonométricas Mas Com isso, concluímos que a expressão é válida para todo que não excede . Exemplo 16 Se e são números reais não nulos tais que . Então, prove que . Solução: Seja tal que e . Assim: Portanto, o valor máximo ocorre para , i.e. Exemplo 17 Prove que para todo . Solução: Sejam tais que e . Então: E: Assim: Mas:
  15. 15. 15 Dados de Deus – Substituições Trigonométricas Exemplo 18 Prove que se os reais positivos satisfazem , então Solução: A identidade juntamente com os temos da expressão nos faz pensar em uma substituição por tangente. Pela proposição 9, sabemos que isso pode ser feito de maneira única e, como as variáveis são positivas, podemos fazer a troca sem receios. Assim, sejam tais que: Aplicando a proposição 2 no primeiro membro: Lembrando que : Mas pelo exercício 1.1 item b-): Exemplo 19 Como x, y e z são positivos, podemos dividir ambos os membros por e obtermos: (I) Mas se são positivos, existe um triângulo com lados . Seja então , temos . Mas, do Teorema dos Cossenos: Como : Analogamente, concluímos que:
  16. 16. 16 Dados de Deus – Substituições Trigonométricas E: Substituindo em (I): Podemos ainda fazer as seguintes substituições: Note que (i.e. ângulos de um triângulo acutângulo) e, pelo execício 1 item b-): Exemplo 20 Sejam números reais positivos tais que . Prove que Solução: Sejam .Logo: em que são reais positivos tais que . Note que a desigualdade é equivalente a: Mas se fizermos , então pelo exercício 1.1 item c-): Exercícios da seção 2 2.1-) Determine todas as soluções reais de . 2.2-) Determine todas as soluções reais de . 2.3-) Determine todas as soluções de . 2.4-) Resolva a equção .
  17. 17. 17 Dados de Deus – Substituições Trigonométricas 2.5-) (ITA – 2005) Se e , em que é um parâmetro real, calcule os valores de para os quais a equação admite solução não nula. 2.6-) Resolva o sistema 2.7-) Se são números reais e distintos que satisfazem as seguintes equações determine o valor de . 2.8-) Determine todas as soluções do sistema 2.9-) Determine o maior valor do produto se os números reais e satisfazem a relação: 2.10-) Considere as sequências definidas por e , , . Prove que, para todo natural, . 2.11-) Defina . Determine . 2.12-) Sejam números reais positivos tais que . Prove que 2.13-) Se são números reais no intervalo satisfazendo , mostre que: 2.14-) Sejam números reais positivos. Prove que 2.15-) Sejam números reais maiores que 1 tais que . Prove que
  18. 18. 18 Dados de Deus – Substituições Trigonométricas 2.16-) (IME - 2010) Considere a sequência: , , , ...... Determine o produto dos 20 primeiros termos desta sequência. 3 Referências bibliograficas ANDREESCU, Titu; RAZVAN Gelca. Putnam and Beyond. New York: Springer, 2007. ANDREESCU, Titu; RAZVAN Gelca. Mathematical Olympiad Challenges. 2a edição. Boston: Birkhäuser, 2009. VERDIYAN, Vardan; SALAS, Daniel Campos. Simple trigonometric substitutions with broad results. Disponível em: <http://www.luys.am/images/scholars/attachments/Vardan_Verdiyan- Simple_trigonometric_substitutions_with_broad_results.pdf> Acesso em: 3 jun. 2011. SANTOS, Judson. Substituições trigonométricas. Disponível em: <http://www.rumoaoita.com/site/attachments/135_1528509_Subst%20Trigonometricas%20_%20ITA-IME.pdf> Acesso em: 3 jun. 2011 Notas de aula do professor Carlos Alberto VICTOR. Siga-nos!
  19. 19. 19 Dados de Deus – Substituições Trigonométricas

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