Mat radiciacao

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Mat radiciacao

  1. 1. RADICIAÇÃO
  2. 2. EXERCÍCIOSRadical aritmético e suas propriedadesToda expressão matemática da forma n a , com a ∈ R+ , n ∈ N e n ≥ 2 , recebe o nome deradical aritmético. mObserve: an = n a m (m > 0, n > 0)Assim:No radical 5 , o índice é 2 e o radicando é 5.No radical 3 10 , o índice é 3 e o radicando é 10.Propriedades1ª) Propriedaden a n = a , com a ∈ R+ , n ∈ N e n > 1Exemplos:a) 5 32 = 5 25 = 2b) 49 = 7 2 = 7c) 4 81 = 4 34 = 3
  3. 3. 2ª) Propriedaden n: p am = a m: p , com p ≠ 0 e p divisor de m e n. n⋅ pn am = a m⋅ pExemplos: 8a) 32 = 8:2 32:2 = 4 3 15b) 7 9 = 15:3 7 9:3 = 5 7 3c) 42 = 2⋅3 42⋅3 = 6 463ª) Propriedademn a = m⋅n a , com a ∈ R+ , m ∈ N , n ∈ N , m > 1 e n > 1 .Exemplos:a) 5 = 2⋅2 5 = 4 5b) 6 4 2 = 6⋅ 4 2 = 24 24ª) Propriedaden a ⋅ b = n a ⋅ n b , com a ∈ R+ , b ∈ R+ , n ∈ N , n > 1.Exemplos:a) 5 12 = 5 3 ⋅ 4 = 5 3 ⋅ 5 4b) 2 ⋅ 3 = 2⋅3 = 6
  4. 4. 5ª) Propriedade a na *n = n , com a ∈ R+ , b ∈ R+ , n ∈ N , n > 1 . b bExemplos: 5 45a) 4 = 7 47 3 3b) = = 1 =1 3 3
  5. 5. Simplificando radicais: extração de fatores do radicandoObserve as seguintes expressões:a) 52 ⋅ 7 = 5 2 ⋅ 7 = 5 ⋅ 7 = 5 7 3b) 2 ⋅ 33 ⋅ 73 = 3 2 ⋅ 3 33 ⋅ 3 73 = 3 2 ⋅ 3 ⋅ 7 = 213 2c) 103 = 10 2 ⋅10 = 10 2 ⋅ 10 = 10 10d) 3 32 = 3 23 ⋅ 22 = 2 ⋅ 3 22 = 23 4e) 2 2 ⋅ 132 ⋅ 29 = 2 ⋅ 13 ⋅ 29 = 26 29 3f) 23 ⋅ a 4 ⋅ b 2 = 3 23 ⋅ a 3 ⋅ a ⋅ b 2 = 2a 3 ab 2 Se um ou mais fatores do radicando têm o expoente igual ao índice do radical, esses fatores podem ser extraídos do radicando e escritos como fatores externos (sem o expoente).
  6. 6. Introduzindo um fator externo no radicandoObserve os seguintes exemplos:a) Se 22 ⋅ 3 = 2 3 , então 2 3 = 22 ⋅ 3 3b) Se 5 ⋅ 73 = 73 5 , então 73 5 = 3 5 ⋅ 73c) Se 5 64 = 5 26 = 5 25 ⋅ 2 = 25 2 , então 25 2 = 5 25 ⋅ 2 = 5 26 = 5 64 Um fator externo pode ser introduzido como fator no radicando, bastando para isso escrevê-lo com um expoente igual ao índice do radical.Veja agora:a) 5 3 = 52 ⋅ 3 = 25 ⋅ 3 = 75 5 3b) 5 x3 x = x 3 ⋅ x = 15 x 4
  7. 7. Adicionando, algebricamente, dois ou mais radicaisObserve os seguintes exemplos:a)10 3 + 5 3 − 11 3 + 3 =(10 + 5 − 11 + 1) 3 =5 3b)6 5 −2 7 −5 5 +3 7 =(6 − 5) 5 + (−2 + 3) 7 =1 5 +1 7 = 5+ 7Observações:a) 5 + 7 ≠ 122,23 + 2,64 ≠ 3,464,87 ≠ 3,46b) 5− 2≠ 32,23 − 1,41 ≠ 1,730,82 ≠ 1,73c)3+ 3 ≠ 4 33 + 1,73 ≠ 4 ⋅ 1,734,73 ≠ 6,92
  8. 8. Veja agora como simplificar algumas expressões:a) 50 + 18 = 2 ⋅ 52 + 2 ⋅ 32 =5 2 +3 2 =(5 + 3) 2 =8 2b)3 125 x 4 y − 3 27 x 4 y + 3 8 x 4 y =3 53 ⋅ x3 ⋅ x ⋅ y − 3 33 ⋅ x 3 ⋅ x ⋅ y + 3 23 ⋅ x3 ⋅ x ⋅ y =5 x3 xy − 3 x3 xy + 2 x3 xy =(5 x − 3 x + 2 x)3 xy =4 x3 xyc) 200 + 500 + 8 − 45 = 22 ⋅ 2 ⋅ 52 + 22 ⋅ 52 ⋅ 5 + 22 ⋅ 2 − 32 ⋅ 5 =2⋅5 2 + 2⋅5 5 + 2 2 − 3 5 =10 2 + 10 5 + 2 2 − 3 5 =(10 + 2) 2 + (10 − 3) 5 =12 2 + 7 5d) 12 + 75 = 2 147 2 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 52 = 2 3 ⋅ 722 3+5 3 = 2⋅7 32 3+5 3 = 14 3 7 3 1 =14 3 2
  9. 9. Multiplicando e dividindo expressões com radicais de mesmoíndice e de índices diferentes• Se os índices forem iguais, basta usar as propriedades dos radicais.Exemplos:a) 3 7 ⋅ 3 2 = 3 7 ⋅ 2 = 3 14b) 18 : 3 = 18 : 3 = 6c) 5 ⋅ (3 2 − 5 ) = 5 ⋅3 2 − 5 ⋅ 5 =3 5 ⋅ 2 − 52 =3 10 − 5d)( 3 + 2 2) ⋅ ( 3 − 5 2) = 3 ⋅ 3 − 3 ⋅5 2 + 2 2 ⋅ 3 − 2 2 ⋅5 2 = 32 − 5 3 ⋅ 2 + 2 2 ⋅ 3 − 2 ⋅ 5 22 =3 − 5 6 + 2 6 − 10 ⋅ 2 =3 − 5 6 + 2 6 − 20 =− 17 − 3 6• Se os índices forem diferentes, devemos reduzir os radicais ao mesmo índice para depois efetuar as operações.Exemplos:a) 4 2 ⋅ 6 3 = 12 8 ⋅ 12 9 = 12 8 ⋅ 9 = 12 72b) 10 : 6 5 = 6 1000 : 6 5 = 6 1000 : 5 = 6 200
  10. 10. Produtos notáveisa) Quadrado da soma de dois termos: ( x + y ) 2 = x 2 + 2 xy + y 2b) Quadrado da diferença de dois termos: ( x − y ) 2 = x 2 − 2 xy + y 2c) Produto da soma pela diferença dois termos: ( x + y ) ⋅ ( x − y ) = x 2 − y 2Potenciação de radicais(a)n r m = n a r ⋅mExemplos:a) ( 2) = 5 3 5 23 = 5 8b) (5)= 7 3 2 7 53⋅2 = 7 56
  11. 11. Racionalização de denominadores de uma expressão com radicaisNo conjunto dos números reais existem frações que apresentam um radical no 1denominador, como, por exemplo. . 3 1 1Agora veja: é aproximadamente , que é um cálculo difícil de fazer. 3 1,7320508 1Multiplicando por 3 o numerador e o denominador de encontraremos uma fração 3 1equivalente a , que vai facilitar o cálculo. Veja: 3 1 1⋅ 3 3 3 = = = 3 3⋅ 3 32 3Esse procedimento é chamado de racionalização do denominador. Veja que é mais 1,7320508simples efetuar . 3Exemplos: 1 1⋅ 2 2 2a) = = = 2 2⋅ 2 22 2 2 2⋅ 7 2 7 2 7b) = = = 7 7⋅ 7 72 7 5 5 ⋅ 3 22 53 4 53 4c) 3 = = = 2 3 2 ⋅ 3 2 2 3 23 2 6 6⋅ 3 18 18 2 ⋅ 32 3 2 2d) = = = = = = 2 3 2 3⋅ 3 2 3 2 2⋅3 6 6 2 8 8 ⋅ (4 − 5 ) 32 − 8 5 32 − 8 5 32 − 8 5e) = = 2 = = 4 + 5 (4 + 5 ) ⋅ (4 − 5 ) 4 − ( 5 ) 2 16 − 5 9
  12. 12. Simplificando expressões com radicaisExemplos:a) 1 1 1 ⋅ (3 − 7 ) + 1 ⋅ (3 + 7 ) + = =3+ 7 3− 7 (3 + 7 )(3 − 7 )(3 − 7 ) + (3 + 7 ) 3 − 7 + 3 + 7 = = 32 − ( 7 ) 2 9−76 =32b) 4 4 18 ⋅ 2 − 4 3⋅ 6 − = 18 − = = 2 2 2 36 − 4 2 62 − 4 6 − 4 2 = = = = 2 2 2 2 2⋅ 2 2 2 2 2 = = = 2 2⋅ 2 22 2 2 2⋅ 7 2 7 2 7 = = = 7 7⋅ 7 72 7
  13. 13. Potências com expoente fracionário mObserve: an = n a m (m e n inteiros e n ≠ 0 )Exemplos: 1a) 32 = 3 1b) 52 = 5 2c) 63 = 3 62 = 3 36 1d) (−8) 3 = 3 − 8 = −2REFERENCIAL BIBLIOGRÁFICO[1] A conquista da matemática (5ª a 8ª Série). Giovanni, Castrucci e Giovanni Jr.. Editora FTD.[2] Matemática (Projeto Araribá) (5ª a 8ª Série). Editora Moderna.[3] Tudo é matemática (5ª a 8ª Série). Luiz Roberto Dante. Editora Ática.[4] Matemática hoje é feita assim (5ª a 8ª Série). Antonio José Lopes Bigode. Editora FTD.

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