Mat numeros inteiros slides

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  1. 1. 1 Prof. Denise Ortigosa Stolf Colégio Trilíngüe Inovação Rua Mato Grosso 420-E Fone/Fax: (49) 3322.4422 Aulas Chapecó – Santa Catarina CEP. 89801-600SumárioNúmeros inteiros .......................................................................................................................................2Bibliografia ...............................................................................................................................................6
  2. 2. 2NÚMEROS INTEIROSSlide 1 Slide 4 Situação 2 O extrato bancário a seguir descreve alguns créditos (valores positivos) e débitos (valores negativos) em uma conta-corrente e mostra como o saldo da conta ficou negativo. Números inteiros Profa. Dra. Denise Ortigosa Stolf 1 4Slide 2 Números positivos e números negativos Slide 5 Situação 3 No Campeonato Brasileiro de Futebol, os números negativos podem aparecer no saldo de gols, ou seja, na diferença entre o número de gols marcados e o número de gols sofridos. Abaixo, apresentamos a classificação final de alguns Em nosso dia-a-dia, muitas medidas ou contagens são representadas por times da série A no Campeonato Brasileiro de 2006. números negativos. Medidas de temperaturas, dados de extratos bancários e saldos de gols são apenas alguns exemplos de situações em que os números negativos costumam aparecer. 2 5Slide 3 Situação 1 Slide 6 Conjunto dos números inteiros N = { 0,1, 2, 3, 4, 5...} Em um mesmo dia, é possível encontrar dois locais no mundo com temperaturas muito diferentes. No dia 19 de março de 2007, por exemplo, a Z = {..., − 4, − 3, − 2, − 1, 0,1, 2, 3, 4,...} temperatura mínima em São Luís, no Maranhão, era 24°C, já em Berlim, na O número - 4 é elemento do conjunto Z, assim como +5, que também Alemanha, registrava-se −1°C. pertence a esse conjunto. Você percebeu que, para indicar a temperatura em Berlim, usamos o sinal Indicamos: - 4 ∈ Z e +5 ∈ Z (lê-se “- 4 pertence a Z e +5 pertence a Z”). negativo (−), mas para indicar a temperatura em São Luís, que foi positiva (estava acima de zero), não escrevemos o sinal positivo (+). Isso porque, na O conjunto dos números inteiros é, portanto, o conjunto formado pelos representação de valores positivos, o uso do sinal + junto ao número é números naturais, acrescidos dos números negativos. optativo, na representação dos valores negativos, o uso do sinal − deve, OBS: necessariamente, acompanhar o número a que se refere. • Em Z não há menor número, nem maior número; Já para representação do número zero (0), não usamos nenhum dos sinais, • O conjunto dos números inteiros sem o zero é representado por Z*; pois o zero não é positivo nem negativo. Z* = {..., − 4, − 3, − 2, − 1, 1, 2, 3, 4, ...} • Todos os elementos do conjunto são também elementos do conjunto Z, isto é, N ⊂ Z (lê-se “ N está contido em Z”). 3 6
  3. 3. 3Slide 7 Representação dos números inteiros na reta numérica Slide 10 Módulo ou valor absoluto de um número No esquema abaixo: • o menino está ao nível do mar, então dizemos que sua distância em relação ao nível do mar é nula (0); • já a pipa está 6 m acima do nível do mar; • e o cardume 10 m abaixo do nível do mar. O sucessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à direita do número dado. Já o antecessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à esquerda do número dado. Por exemplo: o sucessor de - 4 é - 3, e o antecessor de - 4 é - 5. 7 10Slide 8 Par ordenado: localização de pontos no plano Slide 11 A distância de um ponto da reta numérica à origem é chamada de valor absoluto, ou módulo, do número que corresponde a esse ponto. Vamos ver como se constrói um sistema de coordenadas cartesianas: Assim, o valor absoluto, ou módulo, do número +4 é 4 distância (do ponto A à • partindo-se de um ponto de referência, são traçadas duas retas origem). Da mesma forma, o módulo de - 3 é 3 (distância do ponto B à perpendiculares e orientadas; origem). • cada reta orientada é chamada de eixo. Observe que o sentido de cada eixo Indicamos o valor absoluto, ou módulo, de um número, colocando esse indica o crescente dos números; número entre duas barras paralelas. Por exemplo: o módulo de - 3 é • o eixo horizontal é chamado de eixo das abscissas ou normalmente eixo x; representado por . • o eixo vertical é chamado de eixo das ordenadas ou normalmente eixo y; Exemplos: • o ponto de intersecção dos dois eixos recebe o nome de origem do sistema, e corresponde ao par ordenado (0,0); −5 = 5 − 18 = 18 • nos eixos, a cada ponto fazemos corresponder um número: os números 7 =7 + 10 = 10 positivos à direita e acima da origem; os números negativos à esquerda e abaixo da origem. 0 =0 • O sistema assim formado recebe o nome de plano cartesiano. 8 11Slide 9 Dessa maneira um ponto P (x,y) pode ser representado por um par de números que chamamos de par ordenado. O primeiro número do par indica a Slide 12 Números opostos ou simétricos abscissa do ponto e o segundo número indica a ordenada. Por exemplo, P (3,4), teria sua representação assim: Os pontos A’ e A representam, respectivamente, os números inteiros - 5 e 5. A distância do ponto A’ à origem é de 5 unidades, assim como a distância de A até a origem também é de 5 unidades. Os pontos A’ e A estão a uma mesma distância da origem, porém situados em lados opostos da reta numérica (em relação ao zero). Por isso, - 5 é 5 são chamados de números simétricos ou números opostos. Exemplos: • −7 e 7 são números opostos, ou simétricos. • 4 é o oposto de −4, e −4 é o oposto de 4. 9 12
  4. 4. 4Slide 13 Comparação de números inteiros Slide 16 Propriedades da adição de números inteiros Símbolos: Fechamento: O conjunto Z é fechado para a adição, isto é, a soma de dois > Maior números inteiros ainda é um número inteiro. < Menor Comutativa: A ordem das parcelas não altera a soma. = Igual a+b=b+ a Quanto mais à direita um número estiver na reta numérica, maior ele será. Associativa: Na adição, podemos associar as parcelas de diferentes maneiras, pois o resultado será o mesmo. a+(b+c) =( a+b) +c 1º) Os dois números são positivos Elemento neutro: O elemento neutro da adição é o zero, que, somado a Quem é maior, 15 ou 21? qualquer número inteiro, resulta no próprio número. 21 > 15 ou 15 < 21 a+0= a ou 0 + a= a Elemento oposto: Qualquer número inteiro tem um oposto que, adicionado a 2º) Um número é positivo e o outro é zero ele, resulta no elemento neutro. Quem é maior, 0 ou 17? a + (- a) = 0 ou (- a) + a = 0 17 > 0 ou 0 < 17 13 16Slide 14 Slide 17 Subtração de números inteiros 3º) Um número é negativo e o outro é zero Para subtrair números inteiros, somamos ao minuendo o oposto do Quem é maior, 0 ou - 17? subtraendo. 0 > - 17 ou - 17 < 0 4º) Um número é positivo e o outro é negativo Adição algébrica Quem é maior, 23 ou - 41? Vimos que a subtração com dois números inteiros equivale a uma adição do 23 > - 41 ou - 41 < 23 minuendo ao oposto do subtraendo. Por isso, a adição e a subtração com números inteiros são consideradas uma única operação: a adição algébrica. 5º) Os dois números são negativos A idéia de adição algébrica ajuda a simplificar uma expressão numérica pela Quem é maior, - 21 ou - 14? eliminação dos parênteses e dos sinais de + e - das operações. Veja: - 14 > - 21 ou -21 < - 14 14 17Slide 15 Operações com números inteiros Slide 18 (−10) − ( +7) − ( −8) + ( +12) = Adição de números inteiros − 10 − 7 + 8 + 12 = Na adição, podemos encontrar dois casos: Podemos resolver essa expressão de duas maneiras: 1ª) Resolvendo as operações na ordem em que aparecem Quando as duas parcelas têm o mesmo sinal: para somar dois números − 10 − 7 + 8 + 12 = inteiros de mesmo sinal, somamos seus valores absolutos e atribuímos ao resultado o sinal comum a eles. − 17 + 8 + 12 = − 9 + 12 = 3 Quando as parcelas têm sinais diferentes: para somar dois números inteiros 2ª) Agrupando os valores e, ao final, calculando a diferença de sinais diferentes, devemos achar seus valores absolutos, subtraí-los e atribuir ao resultado o sinal do número de maior valor absoluto. − 10 − 7 + 8 + 12 = − 17 + 20 = 3 15 18
  5. 5. 5Slide 19 Multiplicação de números inteiros Slide 22 Divisão de números inteiros Para efetuar a divisão exata de um número inteiro por outro número inteiro, Observamos que a multiplicação é um caso particular da adição onde os diferente de zero, dividimos o módulo do dividendo pelo módulo do divisor. valores são repetidos. Quando o dividendo e o divisor têm o mesmo sinal, o quociente é um ⋅ Na multiplicação o produto dos números a e b, pode ser indicado por axb, a⋅b número inteiro positivo. ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras. (+ 20) : (+ 5) = + 4 ou (- 20) : (- 5) = + 4 Exemplos: Quando o dividendo e o divisor têm sinais diferentes, o quociente é um número inteiro negativo. a) 8 ⋅ 4 = 32 c) d) (+ 20) : (- 5) = - 4 ou (- 20) : (+ 5) = - 4 Com o uso das regras acima, podemos concluir que: b) 5 ⋅ (−3) = −15 Sinais dos números Resultado do quociente iguais positivo diferentes negativo 19 22Slide 20 Para realizar a multiplicação de números inteiros, devemos obedecer à seguinte regra de sinais: Slide 23 Potenciação de números inteiros A potência a n do número inteiro a, é definida como um produto de n fatores ⋅ (+1)⋅(+1) = (+1) iguais. O número a é denominado a base e o número n é o expoente. ⋅ (–1)⋅( –1) = (+1) a n = a ⋅ 42⋅43 1 a ⋅ a ... ⋅ a 4 4 a é multiplicado por a n vezes ⋅ (+1)⋅( –1) = (–1) n vezes ⋅ (–1)⋅(+1) = (–1) Com o uso das regras apresentadas, pode-se concluir que: Sinal de uma potência de base não nula Sinais dos números Resultado do produto iguais positivo Expoente Base positiva Base negativa diferentes negativo Par Potência positiva Potência positiva Ímpar Potência positiva Potência negativa 20 23Slide 21 Propriedades da multiplicação de números inteiros Slide 24 Propriedades da potência no conjunto Z Fechamento: O conjunto Z é fechado para a multiplicação, isto é, a 1ª) Produto de potências de mesma base multiplicação de dois números inteiros ainda é um número inteiro. a n ⋅ a m = a n+ m Comutativa: Em uma multiplicação, a ordem dos fatores não altera o produto. 2ª) Quociente de potências de mesma base a ⋅b =b ⋅a a n : a m = a n− m Associativa: Na multiplicação com três ou mais fatores, podemos associar os fatores de maneiras diferentes, pois o resultado será o mesmo. 3ª) Potência de uma potência a ⋅( b⋅ c) = ( a ⋅b )⋅ c Distributiva da multiplicação em relação à adição: Em uma multiplicação, (a ) n m = a n ⋅m dado por uma adição algébrica, podemos multiplicar o primeiro número pelas parcelas e adicionar os resultados. 4ª) Potência de um produto ou de um quociente a ⋅( b+ c)= (a ⋅ b) +( a ⋅c) ( a ⋅ b) n = a n ⋅ b n Elemento neutro: O elemento neutro da multiplicação é o 1, que, ( a : b) n = a n : b n multiplicado a qualquer número inteiro, resulta no próprio número. a ⋅1 =a ou 1 ⋅a=a 21 24
  6. 6. 6Slide 25 Raiz quadrada exata de um número inteiro Slide 26 Bibliografia Vamos considerar o exemplo abaixo: ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Novo praticando matemática. São Paulo: Brasil, 2002. 9 = 3 ⋅ 3 = 32 BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo: FTD, Ao descobrir que o número 3 ao quadrado é igual a 9, encontramos a raiz 2006. quadrada de 9. A operação realizada foi a radiciação. Dizemos que extraímos DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005. a raiz quadrada de 9. O símbolo da raiz quadrada é: ou 2 . EDIÇÕES EDUCATIVAS DA EDITORA MODERNA. Projeto Araribá: Matemática. São Paulo: Moderna, 2007. A raiz quadrada de um número inteiro a é um número positivo b que, elevado ao quadrado, resulta em a. GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. Matemática: pensar e descobrir. São Paulo: FTD, 2005. Assim: a = b é o mesmo que b 2 = a , com b > 0. GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Bened ito; GIOVANNI JUNIOR, Jo sé Ruy. A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 1998. GUELLI, Oscar. Matemática em construção. São Paulo: Ática, 2004. GUELLI, Oscar. Matemática: uma aventura do pensamento. São Paulo: Ática, 1998. IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemática paratodos. São Paulo: Scipione, 2006. 25 MIANI, Marcos. Matemática no plural. São Paulo: IBEP, 2006. 26BIBLIOGRAFIAANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Novo praticando matemática. São Paulo:Brasil, 2002.BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo: FTD, 2006.DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005.EDIÇÕES EDUCATIVAS DA EDITORA MODERNA. Projeto Araribá: Matemática. São Paulo:Moderna, 2007.GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. Matemática: pensar e descobrir. SãoPaulo: FTD, 2005.GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. A conquista damatemática. São Paulo: FTD, 1998.GUELLI, Oscar. Matemática em construção. São Paulo: Ática, 2004.GUELLI, Oscar. Matemática: uma aventura do pensamento. São Paulo: Ática, 1998.IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemática paratodos. São Paulo: Scipione,2006.MIANI, Marcos. Matemática no plural. São Paulo: IBEP, 2006.

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