Mat limites 001

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Mat limites 001

  1. 1. GUIDG.COM – PG. 129/5/2010 – CDI – Cálculo avançado, Limites. Tabela de Limites Resumo informal tabelado para definições, Limites notáveis, propriedades e regras gerais. Legenda: D = Definição; P = Proposição ou Propriedade; F = Fundamental ou Notável ; T = Teorema ; R = RegrasLeg. Limite Descrição e Demonstração se possível Antes de qualquer teoria sobre limites é importante saber o que significa a notação de limites, ou seja como se faz a leitura dos símbolos abaixo: 1 – f (x) , lê-se “f de x” e significa “função de x”.R0 2 – x Q a , lê-se “x tende à a”. lim f x = b ` a 3– , lê-se: O limite de f (x) quando x tende à a é igual a b. xQa ou ainda: O limite de f (x) é b quando x tende à a. Limites Laterais: x Q a + , lê-se “x tende à a pela direita”. x Q a@ , lê-se “x tende à a pela esquerda”. a) lim+ f x = L ` a xQa Dizemos que o limite de uma função quando x tende à a pela direita (isto é, na reta real, dos valores maiores para os menores), é L. Então L é o limite á direita. b) lim f x = LT1 ` a x Q a@ Dizemos que o limite de uma função quando x tende à a pela esquerda (isto é, na reta real, dos valores menores para os maiores), é L. Então L é o limite á esquerda. c) Teorema do Limite bilateral: Se f(x) é definida em um intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente no ponto a, então: lim f x = L ^ lim+ f x = x lim@ f x = L ` a ` a ` a xQa Qa xQa Ou seja: O limite bilateral existe se, e somente se os limites laterais existirem e forem iguais. Teorema da Unicidade:T2 lim f x = b1 lim f x = b2 b1 = b2 . ` a ` a Se e então xQa xQa Limites, definição: Seja f(x) definida num intervalo aberto I, contendo a, exceto possivelmente no próprio a. Dizemos que o limite de f(x) quando x aproxima-se de a é L, e escrevemos que: L ` a M lim f x = L se 8 ε > 0 , 9 δ > 0 | L f x @ LM < ε sempre que Lx @ aM < δ . ` a L M L MD1 xQa Lê-se: O limite de f(x) quando x tende à a é igual a L se para todo épsilon maior que zero, existe um delta maior que zero tal que o módulo de f(x) - L é menor que épsilon sempre que o módulo de x – a for menor que delta. Amplamente isto significa que através do estabelecimento de uma relação entre as desigualdades propostas, pode-se obter uma prova matemática para a existência do limite.
  2. 2. GUIDG.COM – PG. 2 Para que se entenda a definição é necessário entender o significado geométrico. Uma explicação para cada símbolo é dado no arquivo “Notação Matemática” que pode ser obtido no site. Limites no infinito, definição: a) Seja f(x) uma função definida em um intervalo aberto a, + 1 . Escrevemos: ` a L ` a M lim1 f x = L se 8 ε > 0 , 9 A > 0 | L f x @ LM < ε sempre que x > A . ` a L M xQ+D2 b c b) Seja f(x) uma função definida em um intervalo aberto @1 , b . Escrevemos: L ` a M lim1 f x = L se 8 ε > 0 , 9 B < 0 | L f x @ LM < ε sempre que x < B . ` a L M xQ@ Ou seja os limites existem se satisfazerem cada um à sua condição dada. OBS: Veja o Teorema 3 (T3), pois este ajudará muito no cálculo de limites no infinito. Limites infinitos, definição: a) Seja f(x) uma função definida em um intervalo aberto contendo a, exceto, possivelmente, em x = a. Dizemos que: lim f x = + 1 se 8 M > 0 , 9 δ> 0 | f x > M sempre que Lx @ aM< δ . ` a ` a L MD3 xQa b) Seja f(x) uma função definida em um intervalo aberto contendo a, exceto, possivelmente, em x = a. Dizemos que: lim f x = @1 se 8 N < 0 , 9 δ> 0 | f x < N sempre que Lx @ aM< δ . ` a ` a L M xQa Limites infinitos no infinito, definição: Havendo uma boa interpretação de limites no infinito e limites infinitos, as demais definições podem ser facilmente deduzidas: lim f x = + 1 se 8 M > 0 , 9 N > 0 | f x > M sempre que x > N . ` a ` a a) xQ +1 Ou seja: O limite de uma função vai positivamente para o infinito, se para todo M maior que zero (no eixo das ordenadas) existir um N maior que zero (no eixo das abscissas), tal que por maior que M seja sempre teremos uma f(x) > M sempre que x > N.D4 Assim deduzimos os próximos três casos: lim f x = @1 se 8 M < 0 , 9 N > 0 | f x < M sempre que x > N . ` a ` a b) xQ +1 lim f x = + 1 se 8 M > 0 , 9 N < 0 | f x > M sempre que x < N . ` a ` a c) xQ@1 lim f x = @1 se 8 M < 0 , 9 N < 0 | f x < M sempre que x < N . ` a ` a d) xQ@1 Limites no infinito, o próximo teorema nos ajudará no cálculo de limites no infinito: lim1 ff= 0 1f ff f f a) n xQ+ xT3 lim1 ff= 0 1f ff f f b) n xQ@ x + 8 n 2 ZC Lê-se: Para todo n pertencente ao conjunto dos números inteiros positivos sem o zero.
  3. 3. GUIDG.COM – PG. 3 Limites infinitos, o próximo teorema nos ajudará no cálculo de limites infinitos: lim+ ff= + 1 1f ff f f a) nT4 xQ0 x 1f + 1 , se n é par V ff ff ff b) lim@ n = xQ0 x @1 , se n é impar ` a Quando apresentarmos a notação: lim f x xQ1 ` a Isto é, o limite de uma função quando x tende ao infinito, estamos procurando pelo limiteR1 lim f x xQ1 da função quando x Q + 1 e x Q@1, ou seja, são dois limites: ` a ` a lim f x xQ +1 e lim f x xQ@1 Vamos falar de indeterminações. Quando chegamos a alguma das sete formas abaixo, dizemos (iii ... indeterminação!) 0f 1f f ff f ff , f , 1@1 , 0B1 , 0 ,10 ,1 f 0 1 0 1R2 Indeterminações. Isto significa que nada podemos dizer sobre o limite sem um estudo mais profundo de cada caso, este por sua vez é feito com o auxilio da equivalência entre funções. Convém ainda lembrar que @1 e + 1 não são números, são conceitos. Dizer que x Q@1 ou x Q + 1 indica o comportamento da variável x. Assim x nunca chega à um limite numérico, por isso diz-se que tende ao infinito. Diferente de quando dizemos por exemplo, que x QF 10 , aqui o limite de x existe, mesmo que f(x) não esteja definida neste ponto. Indeterminações e propriedades dos limites infinitos: A tabela a seguir resume os fatos principais para os limites infinitos, onde se pode ter: x Q a, x Q a + , x Q a@ , x Q + 1 ou x Q @1 . + @ 0 indica que o limite é zero quando x tende à zero pela direita (por valores positivos), e 0 indica que o limite é zero quando x tende a zero pela esquerda (por valores negativos). * Para os quatro primeiros casos citados em R2. ` a ` a ` a lim f x lim g x h(x)= lim h x simbolicamente 01 F1 F1 f(x) + g(x) F1 F1 F1 = F1R3 02 * +1 +1 f(x) – g(x) ? ( + 1 ) – ( + 1 ) é indeterminação 03 +1 k f(x) + g(x) +1 +1 +k= +1 04 @1 k f(x) + g(x) @1 @1 + k = @1 05 +1 +1 f(x) . g(x) +1 ( + 1) . ( + 1) = + 1 06 +1 @1 f(x) . g(x) @1 ( + 1) . (@ 1) = @ 1 07 +1 k>0 f(x) . g(x) +1 +1 .k= +1 08 +1 k<0 f(x) . g(x) @1 + 1 . k = @1 09 * F1 0 f(x) . g(x) ? F 1 . 0 é indeterminação
  4. 4. GUIDG.COM – PG. 4 10 k F1 f(x) / g(x) 0 k /F 1 = 0 11 * F1 F1 f(x) / g(x) ? F 1 / F 1 é indeterminação + + 12 k>0 0 f(x) / g(x) +1 k/ 0 = +1 + + 13 +1 0 f(x) / g(x) +1 +1 / 0 = +1 @ @ 14 k>0 0 f(x) / g(x) @1 k / 0 = @1 +1 + 1 / 0 =@ 1 @ @ 15 0 f(x) / g(x) @1 16 * 0 0 f(x) / g(x) ? 0 / 0 é indeterminação a) Se a, m e n são números reais, então: lim mx + n = ma + n ` a xQaP1 Decorrências imediatas: Se c é um número real qualquer, então: b) lim c = c xQa c) lim x = a xQa Propriedades dos Limites. Vejamos as principais propriedades usadas na manipulação algébrica e no cálculo de limites. Subdividimos em grupos (P2, P3...) , os 10 primeiros mais dedutíveis enquanto os 4 restantes em mais destaque. ` a ` a Sejam as funções f(x) e g(x), para as quais existem os limites xlim f x e xlim g x , então: Qa Qa B ` a ` aC 01 - xlim f x F g x = xlima f x F xlim g x ` a ` a Qa Q Qa B ` aC 02 - xlim k A f x = k A xlim f x ` a Qa Qa B ` a ` aC 03 - xlim f x A g x = xlim f x A xlim g x ` a ` a Qa Qa Qa H ` aI ` a ffff limfffff f ff x fffff xffffffff x K ff ffff ffff ffafffff fff Qf 04 - lim J ` a = lim g x ≠ 0P2 ` a ` a , se xQ a g x lim g x xQ a xQ a B ` aCn B ` aCn 05 - xlim f x Qa = xlima f x Q , com n 2 N www www www www www www wwa ww wwwww wwwww wwwww wwwww wwwww wwwww wwwww wwwwa 06 - xlim q f x = q xlim f x n n ` ` Qa Qa B ` aC B ` aC 07 - xlim ln f x = ln xlim f x , se xlim f x > 0 ` a Qa Qa Qa B ` aC B ` aC 08 - xlim sin f x = sin xlim f x Qa Qa B ` aC B ` aC 09 - xlim cos f x = cos xlim f x Qa Qa
  5. 5. GUIDG.COM – PG. 5 b ` ac =e ` a f x lim f x lim e 10 - x Q a x Qa lim f x = b , então b > 0 ` a ` a 11 - Se f x > 0 , e o xQ a Ou seja, se a função assume valores positivos, então o limite será positivo. 12 – Propriedade do Confronto: Se f (x) e g(x) são funções tais que: xlim f x = xlima g x = bP3 ` a ` a Qa Q E se h(x) é uma função tal que: f x ≤ h x ≤ g x , então lim h x = b . ` a ` a ` a ` a xQ a Esta propriedade é demonstrada como prova do primeiro limite fundamental (F1). 13 – Propriedade para funções polinomiais: Seja f x = a0 x n + a1 x n @ 1 + … + an então: ` a X ` a + 1 , se a0 > 0 a) x Q + 1 f x = Z lim @1 , se a0 < 0P4 X a > 0 e n par lim1 f x = + 1 , se Z 0 ` a b) xQ@ a0 < 0 e n ímpar X a > 0 e n ímpar lim f x = @ 1 , se Z 0 ` a c) xQ@1 a0 < 0 e n par 14 – Limites no infinito do quociente de funções polinomiais: Se P x = a0 x n + a1 x n @ 1 + …+ an ` a e Q x = b0 x m + b1 x m @ 1 + …+ bm , então: ` a ` a nP5 affff Pffff x ffff ffff ffff 0 xf ffff ffff ff f lim ` a = x lim xQ 1 Q x Q 1 b xm 0 DEB As próximas proposições são conhecidas como limites fundamentais, ou notáveis. Estas proposições irão nos auxiliar 0f 1 f fF0 no cálculo de limites quando estivermos diante de casos particulares tais como , 1 e 1 0 . Também é 0 interessante lembrar F1, F8 e F9 são as proposições que caracterizam os limites fundamentais. lim ffff= 1 senff ffxf ff f ff ffF1 DEB: Demonstração em breve. xQ0 x lim ffff= 1 fff ff f f ff x ff f OBS: veja que esta proposição é decorrência do uso das propriedades de limite junto comF2 x Q 0 sen x F1. lim fffff= a senfff ffaxf ff ff f ff ffF3 DEB xQ0 x lim fffff= f senfff af ffaxf f ff ff f f ff ffF4 DEB x Q 0 sen bx b
  6. 6. GUIDG.COM – PG. 6 lim fffffff 0 1fffffff ffcosx f fff @ ff f f ffF5 = DEB xQ0 x lim ffff 1 tanxf ff f ff ff ffF6 = DEB xQ0 x a1f f f ff lim 1 + x x = e `F7 DEB xQ0 Comentário: veja que interessante esse limite, pois se x tender ao infinito, teremos que 1 elevado ao infinito será igual ao número e . Isso que dizer que quando um for elevado ao número infinitamente grande, um assumira o valor irracional e = 2,7182... e isso vai contra o nosso entendimento, pois aprendemos que um elevado a qualquer número é sempre um, mas lembre-se que estamos tratando dum limite de uma função. f gx lim 1 + f = e 1f ff f gx 1f `F8 ff f a1 1+ = 1 + 0 =1 1 xQ F1 x lim x QF 1 x 1 Como foi visto 1 é uma indeterminação A Este limite pode ser provado, mas a demonstração envolve noções de séries, por este motivo será omitida. x afffff f fff f@f f ff 1 f ff ffF9 lim = lna DEB xQ0 x aa aa f+ ffff1 fffffff f+ ffff1 ` ` a fffff@ff fffff@ff 1f@ff 0f 1ffffffff 1ffffffff ffff f fx f f f0 f f ffffffff ffffffff ffff f fffffff ffff f ff1 ff lim = = = x Q0 x 0 0 0 Indeterminação do tipo 0/0 , logo podemos aplicar a regra de L’Hospital para resolver, contudo a regra não deve ser utilizada se o estudante ainda não entrou no estudo da Derivada e Diferencial. a) Para aqueles que já conhecem a regra: aa f+ f fff1 ` fffff@ff 0f 1ffffffff f fx f f fffff fff f fffffff f lim = x Q0 x 0 Definindo o numerador como f e o denominador como g , diferenciando em relação à x , independentemente o quociente temos: +fffffff ` aa fff ff@ ff 1fffffff1f xfffff ff f fff ff fF10 lim =a ff ff ff f f.ff ff ff ff f ` aa @ 1 ` affffxffffff+ffffff ff+ ffffAf0fffffff fff f @ 0 f1 fffffffff1ffff ffffffffffffffff ffff fff fff ffff ff f a aa @ 1 L = lim = lim = lim = lim a 1 + x ` xQ0 x x Q0 g x Q 0 g. x Q0 1 x Q0 ` aa @ 1 =a A 1 = a A1 A1 = a a @1 b) Demonstração por propriedades: I – Multiplicando e dividindo por ln 1 + x ; ` a II – Alternando a ordem dos fatores; z~ I |~ ~~ ~~x ~ ~ ~~~~~ II ~~~~~ z~~~~~ |~~~~~x ~~~~~ ~~~~~ aa f+ ffff1 ` fffff@ff lnf1ffxf 1ffffffff ` + a fx f f fff fffff fffff f fffffff ffffff aa fff+fff 1f fff@ff ffffff f+ f fff1 ` a ` lim A ffffff = lim lnffffxfA fffxfffaff ffffff f f f1 ff f fffffff ffffff fff fffff ff f ff ff x Q0 x ` a ln 1 + x x Q0 ` x ln 1 + x
  7. 7. GUIDG.COM – PG. 7 III – Propriedade de logaritmos, a fração 1/x sobe como expoente de (1 + x) ; IV – Propriedade de limites, o limite de um produto é o produto dos limites; ~~~~~~~~ IV ~~~~~~~~ z~~~~~~~~ |~~~~~~~~x ~~~~~~~~ ~~~~~~~~ z~ III |~ ` ~~ ~~ ~~ ~~x aa f+ ffff1 fffff@ff 1ffffffff fx f f fff fffff fffffff aa f+ f fff1 1f ` lim 1f ff f f A ` a = a ff ff fx @ f 1ffffffff x A lim ffffffff fffff fff fffffff lim ln 1 + x ` ln 1 + x ln 1 + x ` a x ln 1 + x x Q0 ` a x Q0 x Q0 V – Propriedade de limites, o limite de um logaritmo é o logaritmo do limite; VI – Limite fundamental F7; VII – Equivalência fundamental de logaritmos, ln e = log e e ^ e x = e , x = 1 ; z~~~~ V |~~~~ ~~~~~ ~~~~~ ~~~~~ ~~~~~x h i z~~F7 =~~~x ~= ~VI ~ |~~ e ~ aa v aa f+ ffff1 +x ff ~~ ~ ` d VII e ` fffff@ff 1ffffffff fx f f ffffffff fffffff fffff@ff 1ffffffff fff fff1 fffff fff fffffff l 1f m A lim ff m f f ln l lim`1 + xa x k x Q 0 ln 1 + x a = ln e A lim x Q 0 ln 1 + x ` ` a j x Q0 aa f+ ffff1 ` fffff@ff 1ffffffff fx f f fffff fff fffffff Portanto resumimos para: lim ln 1 + x ` a x Q0 VIII – Multiplicando e dividindo por a ; IX – Novamente a propriedade de logaritmos, a sobe como expoente de (1 + x) ; aa X – Definindo 1 + x = u , temos que se x Q 0 , u Q 1 ; ` VIII B` aa C z~~ X |~~ 1 + x @1 aa z |x ~~~ ~~~ ~~~ ~~~x f+ ffff1 ` fffff@ff d af 1ffffffff ff fx f f ffffffff f fffffff e affffffffff ffffffffff ffffffffff ffffffffff ffffffffff ` a f = lim b a a c = lim fffffff ff@ f f lim a A afffffff ffff1 f fu ffff f fff x Q 0 ln 1 + x ` ln 1 + x x Q0 ` a ln u {~~ }~~y u Q 1 ~~ ~~ ~~ ~~ IX XI – Definindo u – 1 = y , temos que se u Q 1 , y Q 0 , u = 1 + y ; XII – Dividindo o numerador e o denominador por y ; XIII – Propriedade de limites; o limite de um quociente é o quociente dos limites; XIV – Propriedade de logaritmos, a fração 1/y sobe como expoente de (1 + y) ; ~~~~XIII ~~~~ z~~~~ |~~~~x ~~~~ ~~~~ ~XII ~ z~ |~ ~~ ~~x d e ~~~ XI ~~~ z~~~ |~~~x ~~~ ~~~ ffffffff fffffff fffffff ffa ffff f lim a fffffff ffayfff fffffff fff fff fff fff ff b c fffffQfffffff fffffffffffff ffffff0ffffff ffffff ffffff ffffff ffffff y ff c = lim ln 1 + y ffffff = lim b y Q 0 fffffff ffffff ffffff ffffff c 1ff ff ln 1 + y y Q0 b 1+ y y lim ln~~ y~~ y Q0 {~ }~ ~~ ~~y XIV XV – Propriedade que decorre da definição, P1-b; XVI – Propriedade de limites, o limite de um logaritmo é o logaritmo do limite; XVII – Novamente o limite fundamental F7; z~ = a|~ XV ~~ ~~x ~ ~ d e lim a ffffffff0fffffffff fff ffffffffffffffff fff ffffffff ffffffff ff ffffffQfffffffff a f ffffffffffffffff ff y ff f h i = =a b c 1ff m ff ln e ln l ylim0 1 + y l y m j {~~ }~~ k Q~ ~~~ ~~~y ~ ~~ {~~~~ = F7~e~~~ ~~ = ~ ~~~XVII ~~ ~~~y ~~~~~ }~ ~~~ XVI Portanto o limite F10 esta provado. x x lim ff ff= ln fF11 affffff af f @ff fff f ffb f ff ff DEB xQ0 x bFontes de pesquisa e estudo: Paulo Boulos - Cálculo diferencial e integral Vol.1 ; Diva Marilia Flemming - Cálculo A ; Louis Leithold - O cálculocom geometria analítica Vol.1 ; Apostila/Livro de CDI-1 UDESC 2010-1.

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