Mat grandezas i proporcionais regra de tres simples

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Mat grandezas i proporcionais regra de tres simples

  1. 1. I - REGRA DE TRÊS 1 – GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS Suponha que um trem viaje a uma velocidade constante de 80 km/h . Então : 1 hora de viagem → 80 km percorridos 2 horas de viagem → 160 km percorridos 3 horas de viagem → 240 km percorridosObserve no esquema acima que : • Duplicando o tempo de viagem, a distância percorrida duplica • Triplicando o tempo de viagem , a distância percorrida triplica E assim por diante. Assim , observamos que quando o tempo aumenta um certo número de vezes, a distância percorridatambém aumenta esse mesmo número de vezes. Por esse motivo dizemos, nesse caso, que as grandezas tempo e distância percorrida são diretamenteProporcionais. De modo geral temos : Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando o valor de uma um certo número de vezes, o valor correspondente da outra também aumenta o mesmo número de vezes. Veja agora , um quadro com os valores do exemplo dado : Tempo da viagem ( em horas) Distância percorrida ( em km) 1 80 2 160 3 240Observe que : 1 80 1 80 2 160 1 2 3 = = = OU = 2 160 3 240 3 240 80 160 240 Então podemos afirmar : Se duas grandezas são diretamente proporcionais, então a razão de dois valores de uma é igual àrazão entre os dois valores a eles correspondentes na outra.EXEMPLOS :1º) Verifique se os números 9, 20 e 25 são diretamente proporcionais aos números 18 , 40 e 50.
  2. 2. 2º) Verifique se os números 12, 20 e 40 são diretamente proporcionais aos números 9 , 12 e 30.3º) Os números x , y e 6 são diretamente proporcionais aos números 10 , 4 e 2. Determine os valores de x e y .2 - GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS Vamos Supor que um determinado serviço possa ser feito por um operário em 24 horas de trabalho.Assim podemos supor que: • 2 operários fazem o mesmo serviço em 12 horas • 4 operários fazem o mesmo serviço em 6 horas • 6 operários fazem o mesmo serviço em 4 horas e assim por diante.Observe que : • duplicando o número de operários , o mesmo serviço é feito na metade do tempo • triplicando o número de operários, o mesmo serviço é feito na terça parte do tempo; e assim por diante. Assim podemos verificar que, quando aumentamos o número de operários um certo número de vezes, otempo necessário para fazer o serviço diminui o mesmo número de vezes. Por esse motivo dizemos, nesse caso, que as grandezas número de operários e tempo para realizar oserviço são inversamente proporcionais. Observe agora, um quadro com os valores do exemplo dado: Número de operários Tempo gasto (h) 1 24 2 12 4 6 6 4 Nesse caso , qualquer razão entre dois valores de uma grandeza é igual ao inverso da razão entre osvalores a eles correspondentes na outra. Veja :1 12 1 6 1 4 2 6 = = = =2 24 4 24 6 24 4 12
  3. 3. EXEMPLOS1º) Verifique se os números 3 , 8 e 12 são inversamente proporcionais aos números 24, 9 e 6.2º) Sabendo que os números 4, 5 e 10 são inversamente proporcionais aos números x , 96 e y , determine os valores de x e y.EXERCÍCIOS1º) Verifique se os números 8, 24 e 40 são diretamente proporcionais aos números 11 , 33 e 55.2º) Verifique se os números 12, 15 e 30 são diretamente proporcionais a 32 , 40 e 100.3º) Os números x , y e 18 são diretamente proporcionais aos números 27 , 45 e 81. Calcule o valor de xey.4º) Verifique se os números 40, 80 e 120 são inversamente proporcionais aos números 60 , 30 e 20.
  4. 4. 5º) Os números x , y e 12 são inversamente proporcionais aos números 30 , 15 e 10. Calcule x e y.6º) Sabendo que um trem viaja a uma velocidade constante de 80 km/h, podemos organizar a seguinte tabela: Tempo de viagem Distância percorrida 1h 80 km 2h 160 kmNessas condições responda: a) Quando o tempo de viagem passa de 1 h para 2 h, ele varia em que razão ? b) A distância percorrida , quando passa de 80 km para 160 km, varia em que razão ? c) Como são as razões : iguais ou inversas ? Resposta : d) O tempo de viagem e a distância percorrida são grandezas diretamente ou inversamente proporcionais ?7º) A tabela seguinte relaciona o número de torneiras e o tempo que elas gastam para encher um reservatório : Número de torneiras Tempo 6 15 min 3 30 minObservando a tabela responda: a) Quando o número de torneiras passa de 6 para 3 , esse número varia em que razão ? b) Quando o tempo passa de 15 minutos para 30 minutos , ele varia em que razão ? c) Como são essas razões : iguais ou inversas ? Resposta : d) O número de torneiras e o tempo que elas gastam para encher um reservatório são grandezas diretamente ou inversamente proporcionais ?
  5. 5. 8º) A tabela seguinte relaciona o número de operários com o tempo necessário para eles construírem um barracão : Número de operários Tempo 12 30 dias 20 18 diasObservando a tabela, responda : a) Quando o número de operários passa de 12 para 20, ele varia em que razão ? b) Quando o tempo varia de 30 dias para 18 dias, ele varia em que razão ? c) Como são as razões : iguais ou inversas ? Resposta : d) O número de operários e o tempo que eles gastam para construir o barracão são grandezas diretamente ou inversamente proporcionais ?3 - REGRA DE TRÊS SIMPLES È uma regra prática que nos permite comparar duas grandezas proporcionais, A e B, relacionandodois valores de A e dois valores de B. Essas grandezas formam uma proporção em que se conhecem trêstermos e o quarto é desconhecido. Daí o nome , regra de três. A regra de três simples consiste em montarmos uma tabela colocando em cada coluna os valores damesma grandeza e daí obtermos uma equação. • A equação terá a mesma “forma” da tabela, quando as grandezas forem diretamente proporcionais. • No caso de grandezas inversamente proporcionais a “montagem” da equação será feita invertendo-se a razão de uma das grandezas.Acompanhe os exemplos a seguir:1º) Cinco metros de tecido custam R$ 120,00. Quanto custam 9 metros desse mesmo tecido ?2º) Três torneiras completamente abertas enchem um tanque em 1 hora e 30 minutos. Quantas torneiras iguais a essas serão necessárias para encher o mesmo tanque em 54 minutos ?
  6. 6. 3º) Na extremidade de uma mola é colocado um corpo com massa de 10 kg e verifica-se que o comprimento da mola é de 42 cm. Se colocarmos uma massa de 15 kg na extremidade dessa mola, qual será o comprimento da mola ?4º) Ao participar de um treino de fórmula 1, um competidor, imprimindo velocidade média de 200 km/h, faz o percurso em 18 segundos. Se sua velocidade fosse de 240 km/h, qual o tempo que ele teria gasto no percurso ?5º) Um relógio atrasa 27 segundos em 72 horas. Quantos segundos atrasará em 8 dias ?6º) Um navio partiu para uma viagem em alto mar levando a bordo reservas suficientes para alimentar seus 12 tripulantes durante 31 dias . Após 1 dia de viagem, percebeu-se a presença de 3 passageiros clandestinos. Nessas condições, quantos dias ainda vão durar as reservas de alimentos ?
  7. 7. EXERCÍCIOS1º) Comprei 15 litros de suco e paguei R$ 60,00. Quanto pagarei por 40 litros desse mesmo suco?2º) Sabe-se que com 8 kg de café cru obtêm-se 6 kg de café torrado. Quantos quilos de café cru devem ser levados ao forno para obter-se 27 kg de café torrado?3º) Desejo ler um livro de 400 páginas. Nas primeiras duas horas consegui ler 25 páginas. Continuando nesse ritmo, quantas horas gastarei para ler o livro inteiro?4º) Para transportar certo volume de areia para uma construção foram utilizados 30 caminhões carregados com 4 m3 de areia cada um. Adquirindo-se caminhões com capacidade para 5 m3 de areia, quantos caminhões destes seriam necessários para fazer tal serviço?
  8. 8. 5º) Um pintor utilizou 18 litros de tinta para pintar 60 m2 . Quantos litros de tinta serão necessários para pintar 450 m2 da mesma forma como foram pintados os 60 m2 ?6º)Um galpão pode ser construído em 48 dias por 7 pedreiros que trabalham num certo ritmo. Como ele deve ser construído em duas semanas, no mesmo ritmo de trabalho, quantos pedreiros deverão ser contratados ?7º) Para encher 100 potes iguais de creme são necessários 12 litros. Qual é a quantidade necessária para encher 175 potes iguais a esse ?8º) ( UFRJ-2002) Duas cidades A e B distam 600 km, e distância entre suas representações, num certo mapa, é de 12 cm.Se a distância real entre duas cidades C e D é de 100 km, qual será a distância entre suas representações no mesmo mapa ?
  9. 9. II – PORCENTAGEM 1 - A expressão “tanto por cento “ certamente já lhe é bastante familiar, e você já viu na TV, leu nos jornais, nas vitrines das lojas, etc.... • Poupança rende 1,2 % • Loja vende com desconto de 30 % - Em cada frase você observa um número seguido de um símbolo % ( que se lê por cento ). Vejamos o significado de frases deste tipo: Exemplo : • Poupança rende este mês 2 % neste caso, o 2% está indicando que em cada R$ 100,00 depositados na poupança haverá um acréscimo (rendimento) de R$2,00 Valor depositado Rendimento Saldo Corrigido 100 2 102 200 2+2 204 300 2+2+2 3062 – Razão Centesimal Razão Centesimal é toda a razão com denominador 100. 3 20 735 1630EXEMPLOS : ; ; ; etc.... 100 100 100 100 - As expressões com o termo Por cento são simplesmente um outro modo de se representar as razões centesimais , nas quais o símbolo % substitui o denominador 100. Neste caso , as razões centesimais recebem um nome especial : TAXA DE PORCENTAGEM . 4 75 a) = 4% b) = 75 % 100 100EXEMPOS : 785 125 c) = 785 % d) = 125 % 100 100 - Quando o denominador de uma fração não é 100, pode-se encontrar a taxa de porcentagem que representa essa fração como nos exemplos a seguir : 31º exemplo: Escrever como taxa porcentual. 42º exemplo : Escrever como taxa porcentual as frações abaixo: 2 3 1 a) = b) = c) = 5 7 5
  10. 10. EXERCÍCIOS1º) Escreva a taxa porcentual que corresponde a : 18 3 23 a) = h) = p) = 100 2 50 34 9 37 b) = i) = q) = 100 10 50 29 1 c) = j) = 100 8 1 11 d) = l) = 100 25 0,5 37 e) = m) = 100 20 1 21 f) = n) = 4 40 3 5 g) = o) = 8 162º) Escreva a facão irredutível que corresponde a cada uma das seguintes porcentagens: 20 1 a ) 20 % = = d ) 55 % = 100 5 b) 72 % = e) 180 % = c) 48 % = f ) 350 % =3º) Com relação à cor do cabelo de 10 estudantes observou-se que : Estudante Cor do Cabelo Dê a taxa porcentual que representa o número de Ivan Louro estudantes com cabelos : Marcos Ruivo a) Louros Gabi Louro Paquito Preto Juliana Ruivo Cleusa Preto b) Pretos Fernanda Preto Rafael Ruivo Bete Preto Alejandra Preto c) Ruivos
  11. 11. 4º)Uma caixa tem 5 bolas verdes, 3 bolas brancas e 12 bolas azuis. Dê a taxa porcentual que representa : a) O número de bolas verdes em relação ao total de bolas. b) O número de bolas brancas em relação ao total de bolas. c) O número de bolas azuis em relação ao total de bolas.5º) Escreva os seguintes números decimais inicialmente na forma de razão de denominador 100 e, a seguir, na forma de porcentagem : 6 a ) 0,06 = = 6% b) 0,15 100 c) 0,10 d ) 0,27 e) 0,5 f ) 2,14 g ) 0,085 h) 0,013 i ) 0,2154 – RESOLVENDO PROBLEMAS COM PORCENTAGEM Observe os exemplos: 1º Ex) Em um jogo de basquete , Oscar cobrou 20 lances livres, dos quais acertou 65 %. Quantos lances livres ele acertou ? Resolução: OBS: Este problema se resume em calcular 65 % de 20.2º ex:) Durante o ano de 1997, uma equipe de basquete disputou 75 jogos, dos quais venceu 63. Qual é a taxa de porcentagem correspondente aos jogos que essa equipe venceu ?RESOLUÇÃO:3º ex:) Comprei 60 figurinhas e aproveitei apenas 45 em meu álbum. As restantes eram repetidas. Qual foi a taxa de porcentagem de figurinhas repetidas ?Resolução :
  12. 12. 4º ex: ) Em um colégio , 1400 alunos estudam no perído da manhã. Esse número representa 56 % do número de alunos que estudam nesse colégio. Quantos alunos estudam , ao todo , nesse colégio ?Resolução:5º ex : ) Na compra de um objeto, obtive um desconto de 15 % . Paguei , então, 76,50 reais pelo objeto. Nessas condições, qual era o preço original desse objeto ? EXERCÍCIOS1º) Quanto é 7 % de 125000 reais ?2º)Quanto é 11 % de 1200 alunos ?3º) Qual a quantia que representa 20,5 % de 5000 reais ?4º) Uma pesquisa foi realizada para verificar a audiência de televisão no horário nobre (20 h às 22 h ). Foram entrevistadas 1640 residências e verificou-se que 45 % dessas residências tinham a sua televisão ligada no canal A . Quantas residências tinham sua televisão ligada no canal A ?5º) O número 250 representa que porcentagem de 5000 ?
  13. 13. 6º) 242 pessoas representam que porcentagem de 880 pessoas ?7º) 96 pontos representam que porcentagem de 150 pontos ?8º) No primeiro semestre de um determinado ano, uma industria produziu 150 unidades de um artigo. No segundo semestre do mesmo ano, a industria produziu 162 unidades do mesmo artigo. Nessas condições, pergunta-se :a) De quantas unidades foi o aumento da produção ?b) Que taxa de porcentagem esse aumento representou em relação ao 1º semestre ?9º) Dentre os 48 professores de um colégio, 9 ensinam matemática. Qual a taxa de porcentagem de professores que ensinam matemática em relação ao total de professores do colégio?10º) O preço de custo de um objeto é de 2250 reais. Esse objeto é vendido por 2790 reais. Nessas condições pergunta-se:a) Calcule a quantia que representa o lucrob) Calcule a taxa de porcentagem do lucro desse objeto em relação ao preço de custo.11º) O preço de um produto é de 420 reais> O vendedor propõe a um comprador as seguintes alternativas de pagamento: Alternativa 1 – pagamento à vista com 30 % de desconto sobre o preço de tabela Alternativa 2 – pagamento em 30 dias com acréscimo de 10 % sobre o preço de tabela Nessas condições responda : a) Se o pagamento for à vista, quanto será pago pelo produto ? b) Se o pagamento for em 30 dias, quanto se pagará pelo produto ? c) Qual a diferença entre essas quantias ? d) Ela representa quantos por cento do produto ?
  14. 14. 5 – JUROS SIMPLES Quando uma pessoa pede dinheiro emprestado a uma outra pessoa ou a um banco, ela pagauma compensação em dinheiro pelo tempo que fica com o dinheiro emprestado. Quando uma pessoa compra uma mercadoria à prestação , ela paga um acréscimo pelotempo correspondente ao número de prestações. Quando uma pessoa aplica dinheiro em um banco, ela recebe uma compensação pelo tempoem que está emprestando o dinheiro ao banco. Essa compensação ou esse acréscimo a que estamos nos referindo chama-se juro ecorresponde sempre a uma porcentagem do valor do empréstimo ou da compra. Então : Toda a compensação em dinheiro que se paga ou que se recebe pela quantia em dinheiro que se empresta ou se pede emprestado é chamada juro (J)Quando falamos em juro, devemos considerar: • O dinheiro que se empresta ou que se pede emprestado chama-se capital (C). • A taxa de porcentagem que se paga pelo aluguel do dinheiro chama-se taxa de juro (i). • O total que se paga no final do empréstimo (capital+juro) chama-se montante (M)Vejamos alguns exemplos envolvendo juros simples :1º ex:) Carlos vai a um banco e faz um empréstimo de 12 000 reais por três meses. É estabe- lecida uma taxa de juro de 2,7 % ao mês. Qual a quantia que ele deve pagar de juro e qual o total que Carlos terá de pagar no fim do empréstimo ?2º) Um aparelho eletrônico custa 620 reais à vista. Em 5 prestações mensais, o preço passa a ser de 868 reais. Sabendo-se que a diferença entre os preços é devida aos juros simples , qual é a taxa de juros simples cobrada ao mês por essa loja ?Para facilitar a resolução de problemas envolvendo juros simples, podemos empregar a seguinteFórmula : J= c.i.t onde: j = juros c = capital 100 i = taxa de juros t = tempoVejamos algumas aplicações desta fórmula:1º ex: ) Calcular quanto rende de juros um capital de 15 000 reais durante 3 anos, à taxa de 24 % ao ano.
  15. 15. 2º)Qual o capital que rende 5 400 reais , durante 2 anos, à taxa de 15 % ao ano ?3º) Por quanto tempo um capital de 12 000 reais esteve empregado à taxa de 3,6 % ao mês para render 8 640 reais de juros ? ( OBS: como a taxa é mensal devemos ter o tempo também em meses)4º) A que taxa esteve empregado o capital de 20 000 reais para render, em 3 anos, 28 800 reais de juros? ( Obs: como o tempo está em anos devemos ter uma taxa em anos)5º) Calcular os juros produzidos por 50 000 reais à taxa de 2 % ao mês durante 3 meses.6º) Calcular os juros produzidos por 12 000 reais à taxa de 48 % ao ano durante 4 meses. (Obs : Veja que a taxa é ao ano e o tempo em meses. Neste caso, devemos transformar a taxa anual em taxa mensal. Para isto basta dividir a taxa anual por 12)EXERCÍCIOS1º) Calcular os juros produzidos por um capital de 22 000 reais à taxa de 1,8 % ao mês, durante 2 meses.2º) Calcule a taxa a que deve ser aplicado o capital de 48 000 reais, para render 6912 reais em 4 meses.
  16. 16. 3º) Calcule o capital que deve ser aplicado à taxa de 4 % ao mês, para render 8 000 reais em 5 meses.4º) Calcule o tempo em que um capital de 8 000 reais , à taxa de 0,6 % ao mês, rende 144 reais.5º) Fernanda aplicou 4 000 reais a juros de 4,1 % ao mês, durante três meses. Qual será o montante após os três meses de aplicação ?6º) Um comerciante tomou emprestados 15 000 reais a juros de 5,4 % ao mês. Quanto pagou de juros ao final de 4 meses ?7º) Uma loja colocou o anuncio de um liquidificador em um jornal. O anuncio indicava o pagamento à vista de 60 reais ou, após um prazo de 30 dias, de 69 reais. Qual a taxa mensal de juros que essa loja está cobrando para pagamento a prazo ?8º) Um comerciante resolve parcelar a dívida de um freguês em duas vezes, cobrando, porém , juros de 1,9 % ao mês. Se o freguês pagou um total de 931 reais de juros, qual era o valor de sua dívida?
  17. 17. 9º) O preço à vista de um aparelho é 3050 reais. Em 3 vezes, o preço passa a ser 4514 reais. Qual é a taxa mensal de juros cobrada por essa loja ?10º) Uma passagem de ônibus intermunicipal passou de 9 reais para 11,70 reais. Qual foi a porcentagem de aumento ?11º) A gasolina aumentou de 1,50 reais para 1,68 reais. Qual foi o percentual de aumento ?12º) O preço á vista de um aparelho é 160 reais. Se o preço passou para 195,20 reais, qual foi o percentual de aumento ?
  18. 18. EXERCÍCIOS GERAIS1º) Na extremidade de uma mola é colocado um corpo com massa de 8 kg. Verifica-se, então, que o comprimento da mola distendida é de 40 cm. Se colocarmos um corpo com 13 kg de massa na extremidade dessa mola, qual será o comprimento da mola ?2º) Em um banco, constatou-se que um caixa leva, em média, 5 minutos para atender 3 clientes. Qual é o tempo que esse caixa vai levar para atender 36 clientes, se mantiver essa média ?3º) Quinze operários levantam as paredes e cobrem uma casa em 120 dias. Quantos operários nas mesmas condições, seriam necessários para levantar as paredes e cobrir essa mesma casa em 100 dias ?4º) Para forrar as paredes de uma sala, foram usadas exatamente 21 peças de papel com 80 cm de largura. Se houvesse peças desse mesmo papel com 1,20 m de largura, quantas dessas peças seriam usadas Para forrar essa mesma sala ?5º) Uma pesquisa feita sobre o salário mensal de pessoas que trabalham numa empresa trouxe como resultado o seguinte quadro : Salário Mensal Número de pessoas Até 2 salários mínimos 6 Mais de 2 e até 5 salários mínimos 7 Mais de 5 e até 10 salários 4 Mais de 20 salários mínimos 3
  19. 19. Observando o quadro responda : a)Qual a porcentagem de pessoas que b) Qual a porcentagem de pessoas que ganham até 2 salários mínimos? ganham mais de 10 salários mínimos ? c) Qual a porcentagem das pessoas que d) Qual a porcentagem de pessoas que ganham mais de 2 e até 5 salários ganham 5 ou menos de 5 salários mínimos? mínimos ?6º) Numa indústria trabalham 255 mulheres. Esse número corresponde a 42,5 % do total de empregados.Quantas pessoas trabalham, ao todo, nessa indústria ?7º) Ao comprar uma mercadoria, obtive um desconto de 8% sobre o preço marcado na etiqueta. Se paguei R$ 690 reais pela mercadoria, qual o preço original dessa mercadoria ?8º) Dois meninos discutem sobre a campanha de seus clubes em um campeonato. O clube do menino ( Pedro) ganhou 24 dos 30 jogos que disputou, enquanto o clube do menino (Paulo) ganhou 21 dos dos 28 jogos que disputou. Qual dos dois clubes apresenta melhor campanha ? Dê a resposta calculando o percentual de vitórias de cada clube.
  20. 20. 9º) A capacidade de uma piscina, quando totalmente cheia de água, é de x litros. Se retirarmos 6480 litros de água dessa piscina, esse número representa 7,2 % da capacidade total x . Qual é o valor do número x ?10º) Numa empresa há 18 000 funcionários, sendo 3 600 mulheres. Determine a taxa percentual de mulheres.11º) Qual a taxa percentual que 10 representa de 2 ?12º) O valor do salário mínimo foi majorado de R$ 151 reais para 180 reais. Qual foi a taxa percentual aproximada do aumento ?
  21. 21. CONJUNTOS NUMÉRICOS1º) Conjunto dos números Naturais ( ) São os primeiros números que o ser humano tomou conhecimento. N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,...} * N = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,...}2º) Conjunto dos números Inteiros ( ) São os números naturais mais os números negativos. Z = { ..., -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,....} Z = {...,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5, ... }3º) Conjunto dos números Racionais ( ) São números racionais :Todas as frações Decimais exatos Decimais periódicos 3 5 , 2,5 1,23232323.... 2 1 8 15− , − 6,76 1,1666666666.... 4 6 7,342 0,857142857142..... 3,543543543543....4º) Conjunto dos números irracionais ( ) 2 = 1,4142135.... 3 = 1,7320508... π = 3,1415926535....5º) Conjunto dos números Reais ( ) Juntando todos estes números em um conjunto só temos o CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS.
  22. 22. INTERVALOS NUMÉRICOSIntervalo é qualquer subconjunto infinito de números reais.Um intervalo pode ser : • INTERVALO ABERTO ← Representação Geométrica 2 5 Linguagem de Intervalos : ] 2 , 5 [ Linguagem de conjuntos : { x ∈ ℜ / 2 < x < 5 } • INTERVALO FECHADO 2 5 ← Representação Geométrica Linguagem de Intervalos : [ 2 , 5 ] Linguagem de conjuntos : { x ∈ ℜ / 2 ≤ x ≤ 5 } • INTERVALO SEMI – ABERTO À DIREITA ← Representação Geométrica 2 5 Linguagem de Intervalos : [ 2 , 5 [ Linguagem de conjuntos : { x ∈ ℜ / 2 ≤ x < 5 } • INTERVALO SEMI – ABERTO À ESQUERDA ← Representação Geométrica 2 5 Linguagem de Intervalos : ] 2 , 5 ] Linguagem de conjuntos : { x ∈ ℜ / 2 < x ≤ 5 }Veja abaixo os intervalos infinitos: Linguagem de Intervalos : ] 3 , + ∞ [ 3 Linguagem de conjuntos : { x ∈ ℜ / x > 3}
  23. 23. Linguagem de Intervalos : [ 3 , + ∞ [ 3 Linguagem de conjuntos : { x ∈ ℜ / x ≥ 3} Linguagem de Intervalos : ]-∞ , 3[ 3 Linguagem de conjuntos : { x ∈ ℜ /x < 3} Linguagem de Intervalos : ]-∞ , 3] 3 Linguagem de conjuntos : { x ∈ ℜ /x ≤ 3}EEXEMPLOS1º) Usando a notação de conjuntos e a notação de intervalos escreva os seguintes intervalos representados na reta real : a) 9 6 b) 1 7c) -5 4d) -3 4e) 10f) 7
  24. 24. EXERCÍCIOS1º) Represente na reta os intervalos reais : a) [6,10] g){x ∈R/-2<x<4} b) ]-1,5] h){x ∈R/4≤x<7} c) ]-6,0[ i) ]- ∞,1] d) ]-10,10[ j) ]- ∞,3[ e) [1,+ ∞[ l)[ 4,+ ∞[ f) {x ∈R/1<x<5} m) ]4,+ ∞[2º) Usando a notação de conjuntos e a notação de intervalos escreva os seguintes intervalos representados na reta real : a) 2 8 e) 5 b) 2 5 f) 4 c) 3 7 g) d) 3 3 6 -2 h)
  25. 25. OPREÇÕES COM INTERVALOSObserve os exemplos abaixo:1º) Se A = ] 2, 5 [ e B = {x ∈R/3≤x<8} , determine A U B e A I B .2º) Dados os intervalos A = {x ∈R/ - 1 < x < 4} e B = ] - ∞ , 2 ] Determine A U B e A I B .Exercícios1º) Determine AUB e A∩B quando : a) A=[-3,1[ e B=[0,3] b) A=]2,5[ e B=]1,4[ c)A=[-2,2[ e B=]-0,+ ∞[ d)A={x ∈ R/1<x<4} e B={x∈ R/x<4}
  26. 26. e)A={x∈R/1≤ x ≤2} e B={x∈R/ 0≤ x ≤ 5} f) A ={x∈R / -1≤ x ≤ 2 } e B= {x ∈R / 0 ≤ x ≤ 5 }2º) Dados A = ] –2, 3] , B= [ 0, 4 [ e C= {x ∈ R / 1 < x < 5} determine AUBUC e A∩B∩C .FUNÇÕES1 – Noção Intuitiva de função Com freqüência encontramos em matemática relações entre duas grandezas variáveis. Observemosuma situação : Exemplo : Seja um quadrado de lado l . l Designando por p a medida do perímetro desse quadrado, podemos estabelecer entre p e l a seguinte relação expressa pela fórmula matemática :
  27. 27. Notamos então, que a medida p do perímetro depende da medida l do lado do quadrado, o quePode ser verificado pela tabela seguinte : Medida do Medida do Lado (l) Perímetro (p) 1m 2m 3,5 m 3m 4,5 m 7m 10 m Pela tabela , observamos que : • A medida l do lado do quadrado é uma grandeza variável • A medida p do perímetro do quadrado é uma grandeza variável • A todos os valores de l estão associados valores de p • A cada valor de l está asociado um único valor de pDizemos então: a) A medida p do perímetro de um quadrado é dada em função da medida l do lado b) A relação p = 4.l chama-se lei de associação ou fórmula matemática desta função.2 – Noção de função através de conjuntos 1º exemplo:) Dados os conjuntos A = { -1, 0, 1, 3} e B= {-6, -5, -3, -2, -1, 1, 3 }, Seja a relação de de A em B expressa por y = 2x –3 , com x ∈ A e y ∈ B , temos :2º exemplo: Dados os conjuntos A = {-2, 0, 2, 5 } e B = { -5, 0, 1, 8, 16 } e uma relação expressa por y = 3x+1 , com x ∈ A e y ∈ B , temos :3ºexemplo: Dados os conjuntos A = {-3, -1, 1, 2 } e B = { 1, 3, 6, 9 } e uma relação expressa por y = x2 , com x ∈ A e y ∈ B , temos :
  28. 28. 4ºexemplo: Dados os conjuntos A = 16, 81} e B = { - 4, 4, 9 } e uma relação expressa por y = ± x , com x ∈ A e y ∈ B , temos :OUTROS EXEMPLOS1º) Seja f uma relação de A = { 0, 1, 2 } em B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 } expressa pela fórmula y = x + 3, com x ∈ A e y ∈ B . Faça um diagrama e diga se f é uma função de A em B.2º) Seja f uma relação de A = { -3, 0, 1, 2, 4 } em B = {12, 11, 1,3 ,6, 18, 20 } expressa pela fórmula y = x2 + 2, com x ∈ A e y ∈ B . Faça um diagrama e diga se f é uma função de A em B.3º) Dada a função f:R → R/ f(x) = 5x+4, calcule o valor de f(5).4º) Dada a função f:R →R/ f(x)=3x + 1, calcule: a) f(-2)= b) f(-1) c) f(0)= d) f(3)= e) f(5)= 1 f) f( )= 2
  29. 29. 5º) Sendo f:R →R/f(x)=x2 - 3x -10 , calcule: a) f(-2)= b) f(-1)= c) f(0)= d) f(3)= e) f(5)= 1 f) f( )= 26º) Dada a função f(x)= - 4x + 3 , determine os valores de x para que: 1 a) f(x) = - 4 b) f(x) = 27º) Seja a função definida por f(x)= x2 - 3x - 4. Determine os valores de x para que se tenha : a) f(x) = - 6 b) 14

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