Função polinomial de 1º grau                                                            (Parte 1)                         ...
1FUNÇÃO POLINOMIAL DE 1º GRAUÉ possível estar em dois lugares ao mesmo tempo?Não, não é possível. A idéia de função origin...
2Esses são apenas alguns exemplos. O que você precisa para entender o conceitode função é pensar em duas grandezas que var...
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6Nessas condições podemos dizer que:   O preço y a pagar é dado em função do número x de canetas e a sentença             ...
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9De maneira geral:  Sendo A e B dois conjuntos não-vazios, uma relação entre A e B é chamada   função quando a cada elemen...
10Reconhecer através da análise de gráficos se uma relação é umafunçãoDado um gráfico, como posso reconhecer se é ou não o...
11Domínio e conjunto imagem de uma funçãoPara introduzir este tópico, vamos desenvolver um exemplo com base noconteúdo já ...
12Exemplos:a) Dados os conjuntos A = {−3, 0, 3, 8} e B = {−2, 0, 15, 18, 27, 40} e a relaçãoentre A e B expressa pela fórm...
13c) Quando a um número real associamos o seu triplo aumentado de 2 unidades,temos uma função definida pela fórmula matemá...
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Mat funcao polinomial 1 grau

  1. 1. Função polinomial de 1º grau (Parte 1) Profa. Dra. Denise Ortigosa StolfSumário PáginaÉ possível estar em dois lugares ao mesmo tempo?................................................................... 1 Representação por tabela..................................................................................................... 2 Representação por diagrama ............................................................................................... 2 Representação por gráfico ................................................................................................... 3Sistema de coordenadas cartesianas ........................................................................................... 4A noção de função ...................................................................................................................... 5Reconhecer através da análise de diagramas se uma relação é uma função .............................. 7Reconhecer através da análise de gráficos se uma relação é uma função ................................ 10Domínio e conjunto imagem de uma função ........................................................................... 11Referências bibliográficas ........................................................................................................ 13
  2. 2. 1FUNÇÃO POLINOMIAL DE 1º GRAUÉ possível estar em dois lugares ao mesmo tempo?Não, não é possível. A idéia de função originou-se exatamente na respostamatemática a esta pergunta e se desenvolveu com os estudos do italiano GalileuGalilei, no final do século XVI, a respeito do movimento dos corpos. Emqualquer movimento seja de uma pedra que cai, de uma nave espacial a de umcavalo no campo, ocorre uma relação especial entre dois conjuntos numéricos: odo tempo e o do espaço. A cada instante do primeiro conjunto vai corresponderuma, e somente uma, posição de um determinado corpo em movimento nosegundo. A partir desta idéia, o conceito de função foi sendo aplicado a todos osmovimentos numéricos em que essa relação especial acontece.O conceito de função é um dos mais utilizados em Matemática. Ele se aplica nãosomente a esta área, mas também à Física, à Química e à Biologia, entre outras.Além disso, está muito presente em nosso cotidiano, ajudando a melhorcompreender o mundo que nos cerca.Freqüentemente você se depara com tabelas e gráficos, em jornais, revistas eempresas que tentam transmitir de forma simples fatos do cotidiano. Fala-se emelevação e queda da Bolsa de Valores, de lucros de empresas, de inflação, eapresenta-se um gráfico. Tudo isso, a partir da leitura de gráficos. Quem nãoestiver familiarizado com essas interpretações perde muitas das informaçõesfornecidas.Veja alguns exemplos da aplicação desse conceito:• o preço de um armário é função da área que ele cobre;• a dose de um remédio é função do peso da criança que é medicada;• a altura de uma criança é função de sua idade;• o desconto do Imposto de Renda é função da faixa salarial;• o salário de um vendedor é função do volume de vendas;• a área de um quadrado é função da medida de seus lados;• o buraco na camada de ozônio é função do nível de poluição.
  3. 3. 2Esses são apenas alguns exemplos. O que você precisa para entender o conceitode função é pensar em duas grandezas que variam, sendo que a variação de umadepende da variação da outra.Representação por tabelaPara representar duas grandezas que dependem uma da outra, podemos utilizaruma tabela. A que segue mostra a variação do preço de um armário embutidopor metro quadrado.Vemos que a área do armário é uma grandeza variável; o preço é uma grandezavariável; e a variação do preço depende da variação da área. Dizemos então queo preço é função da área. Para cada um dos outros exemplos, podemosconstruir uma tabela como a que acabamos de ver.Vamos imaginar a bula de um remédio pediátrico que diz:MODO DE USAR OU POSOLOGIA: 2 gotas a cada kg de peso.Pela tabela abaixo, podemos ver a variação dessa função:Representação por diagramaÉ também muito comum representarmos a dependência entre duas grandezasque variam (variáveis) utilizando conjuntos e flechas. Observe como ficariamrepresentadas as funções apresentadas nas duas tabelas:
  4. 4. 3 O conjunto A é o conjunto dos números que expressam a medida da área, e o conjunto P é o conjunto dos preços do armário para cada área. A cada elemento de A, corresponde um único elemento de P, ou seja, para cada área, temos um único preço. No caso do remédio, chamaremos K o conjunto dos valores que expressam os pesos e D o conjunto do número de gotas. Observe que, para cada peso, corresponde uma única dose do remédio. Caso contrário, continuaríamos sem saber que dose administrar e não teríamos uma função.Representação por gráficoOutra forma de representar uma função é através de gráfico. Por exemplo, aquantidade de água que sai de uma torneira vai depender do tempo que elapermanecer aberta. Portanto a quantidade de água está em função do tempo.Veja um gráfico para o exemplo da torneira:Pelo gráfico rapidamente vemos que após 2 segundos vazaram 40 ml de água,após 3 segundos 60 ml, e assim por diante.
  5. 5. 4Sistema de coordenadas cartesianasEm 1637, ao publicar seu livro La Geométrie, o filósofo e matemático francêsRené Descartes lançou a idéia de que um par de números, disposto numa certaordem, poderia determinar uma posição no plano.Usamos o sistema de Descartes, conhecido como sistema de coordenadascartesianas, para fazer, por exemplo, gráficos, mapas de ruas ou mapas-mundi.Vamos ver como se constrói um sistema de coordenadas cartesianas:• partindo-se de um ponto de referência, são traçadas duas retas perpendiculares e orientadas;• cada reta orientada é chamada de eixo. Observe que o sentido de cada eixo indica o crescente dos números;• o eixo horizontal é chamado de eixo das abscissas ou normalmente eixo x;• o eixo vertical é chamado de eixo das ordenadas ou normalmente eixo y;• o ponto de intersecção dos dois eixos recebe o nome de origem do sistema, e corresponde ao par ordenado (0,0);• nos eixos, a cada ponto fazemos corresponder um número: os números positivos à direita e acima da origem; os números negativos à esquerda e abaixo da origem.• O sistema assim formado recebe o nome de plano cartesiano.Dessa maneira um ponto P (x,y) pode ser representado por um par de númerosque chamamos de par ordenado. O primeiro número do par indica a abscissa doponto e o segundo número indica a ordenada. Por exemplo, P (3,4), teria suarepresentação assim:
  6. 6. 5A noção de funçãoComo já foi dito, com bastante freqüência encontramos situações que envolvemrelações entre duas grandezas variáveis.Consideremos a situação abaixo.► Uma caneta custa R$ 30,00. Se representarmos por x o número dessascanetas que queremos comprar e por y o preço correspondente a pagar, em reais,podemos organizar a seguinte tabela: Número de canetas (x) Preço a pagar (y) 1 1 · 30 = 30 2 2 · 30 = 60 3 3 · 30 = 90 4 4 · 30 = 120 ... ... 10 10 · 30 = 300 11 11 · 30 = 330 ... ...Olhando a tabela você percebe que o preço y a pagar vai depender do número xde canetas que foram compradas. Entre as grandezas y e x existe uma relaçãoexpressa pela sentença matemática y = x · 30 ou y = 30x.Você nota também que:• o número x de canetas é uma grandeza variável;• o preço y a pagar é uma grandeza variável;• a todos os valores de x estão associados valores de y;• para cada valor de x está associado um único valor de y.
  7. 7. 6Nessas condições podemos dizer que: O preço y a pagar é dado em função do número x de canetas e a sentença y = 30x é chamada lei de formação da função.Uma vez estabelecida a relação entre as variáveis número de canetas e preço apagar, podemos responder a questões como:a) Quanto vou pagar por 50 canetas iguais a essa?y = 30 xy = 30 ⋅ 50y = 1500Logo, vou pagar R$ 1500,00 por 50 canetas.b) Se eu tiver R$ 780,00, quantas canetas consigo comprar?y = 30 x780 = 30 x 780x= 30x = 26Portanto, vou conseguir comprar 26 canetas.OBS.: Quando escrevemos a lei de formação de uma função, utilizamos, emgeral, as letras x e y para representar as variáveis que estamos relacionando,sendo y dada em função de x. Desse modo, estamos uniformizando a notação defunções.
  8. 8. 7Reconhecer através da análise de diagramas se uma relação é umafunçãoObserve os quadrados abaixo onde estão assinaladas as medidas de seus lados.Podemos construir uma tabela relacionado as medidas dos lados dessesquadrados com as medidas dos seus perímetros. Medida do lado (cm) 0,5 1 1,5 2 2,5 3 Perímetro (cm) 2 4 6 8 10 12Essa tabela também pode ser representada na forma de um diagrama, pelo qualrelacionamos dois conjuntos: A, conjunto formado pelas medidas dos lados, e B,conjunto formado pelos perímetros. As flechas indicam a relação: lado 0,5 cm → perímetro 2 cm lado 1 cm → perímetro 4 cm E assim por diante.
  9. 9. 8Nessa relação você pode notar que:• todos os elementos do conjunto A estão associados a um valor do conjunto B;• cada elemento do conjunto A está associado a um único valor do conjunto B.Nessas condições, dizemos que a relação entre os conjuntos A e B é uma funçãode A em B. Indicamos: f : A →3 1 24B 4 função de A em BPodemos também escrever a fórmula matemática ou lei de formação dessafunção: y = 4x, onde y é o perímetro e x a medida do lado.► São dados os conjuntos A = {0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e a relação entreA e B expressa pela fórmula matemática y = x2, com x ∈ A e y ∈ B.Vamos representar essa relação através de um diagrama:x∈A y∈Bx = 0 → y = 02 = 0x = 1 → y = 12 = 1x = 2 → y = 22 = 4Observe que:• todos os elementos do conjunto A estão associados a um valor no conjunto B;• cada elemento do conjunto A está associado a um único valor do conjunto B.Nessas condições, dizemos que a relação entre os conjuntos A e B é uma funçãode A em B. Notação: f : A →3 1 24B 4 y = x2
  10. 10. 9De maneira geral: Sendo A e B dois conjuntos não-vazios, uma relação entre A e B é chamada função quando a cada elemento x do conjunto A está associado um único elemento y do conjunto B.Resumo: Observe os diagramas abaixo que representam relações entre osconjuntos A e B:É função, pois todo elemento x ∈ A tem É função, pois todo elemento x ∈ A temcorrespondente em B, e cada elemento correspondente em B, e cada elemento tem um único correspondente em B. tem um único correspondente em B. Não é função, pois há elementos de A Não é função, pois há elementos de A que não possuem correspondentes em B que possuem mais de um 1 correspondente em B (sendo x = 1, (sendo x = −1, por exemplo, y = ∉ B. y = ± 1. 2
  11. 11. 10Reconhecer através da análise de gráficos se uma relação é umafunçãoDado um gráfico, como posso reconhecer se é ou não o gráfico de uma função?Já sabemos que para existir uma função é necessário que para qualquer x de umconjunto de valores corresponda a um único y, de outro ou do mesmo conjuntode valores.Geometricamente, se esses dois conjuntos de valores são os dos números reais,significa que qualquer reta perpendicular ao eixo x deve interceptar o gráfico,sempre em um único ponto. Assim, se a reta não intersectar o gráfico ouinterceptar em mais de um ponto, esse gráfico não é gráfico de uma função.Examine esses gráficos para esse conceito ficar mais claro. O gráfico acima é de Este gráfico não é de Considerando x um uma função, pois uma função, pois número real qualquer, este qualquer reta existem retas gráfico não define uma perpendicular ao eixo x perpendiculares ao eixo função, pois para x = 5, intercepta-o em um x interceptando-o em por exemplo, não existe yúnico ponto. (Todo x real mais de um ponto. (Há correspondente. terá um único y) valores de x com mais de Mas, considerando x real um correspondente em y) de 1 a 4, este gráfico indica uma função. (Para todo x real, 1 ≤ x ≤ 4 existe sempre um único y.
  12. 12. 11Domínio e conjunto imagem de uma funçãoPara introduzir este tópico, vamos desenvolver um exemplo com base noconteúdo já estudado.Com os conjuntos A = {1, 4, 7} e B = {1, 4, 6, 7, 8, 9, 12} criamos a funçãof : A → B definida por f (x) = x + 5 que também pode ser representada pory = x + 5. A representação, utilizando conjuntos, desta função, é:• O conjunto de valores que variável x pode assumir chama-se domínio da função. Vamos indicá-lo por “D”.• O valor da variável y correspondente a um determinado valor de x é chamado imagem do número x pela função. O conjunto formado por todos os valores de y é chamado conjunto imagem da função. Vamos indicá-lo por “Im”.Vejamos então para o nosso exemplo:• O domínio da função é D = {1, 4, 7}• A imagem da função é Im = {6, 9, 12}OBS.: Note que existe uma diferença entre imagem e conjunto imagem, oprimeiro é um ponto em que a flecha de relacionamento toca, e o segundo é oconjunto de todos elementos que as flechas tocam.
  13. 13. 12Exemplos:a) Dados os conjuntos A = {−3, 0, 3, 8} e B = {−2, 0, 15, 18, 27, 40} e a relaçãoentre A e B expressa pela fórmula matemática y = x2 − 3x, indique o domínio e oconjunto imagem da função.D = {−3, 0, 3, 8}Agora devemos ver a imagem de cada um dos elementos do domínio paradescobrir o conjunto imagem: Para x = −3 temos y = (−3) 2 − 3 ⋅ (−3) = 9 + 9 = 18 Para x = 0 temos y = 0 2 − 3 ⋅ 0 = 0 + 0 = 0 Para x = 3 temos y = 32 − 3 ⋅ 3 = 9 − 9 = 0 Para x = 8 temos y = 82 − 3 ⋅ 8 = 64 + 24 = 40Então, Im = {0, 18, 40} 1b) Considere a função dada pela fórmula y = . Nessa função, a variável x pode xassumir qualquer valor real, menos aqueles que anulem o denominador, uma vezque não definimos fração com denominador zero.Nesse caso, o domínio da função D = ou D = {x ∈ / x ≠ 0}. 1 1 Se x = 10, então y = → é a imagem do número 10 pela função. 10 10 1 1 Se x = −2, então y = − → − é a imagem do número −2 pela função. 2 2 1 1 1 Se x = , então y = = 8 → 8 é a imagem do número pela função. 8 1 8 8Nesse caso, a imagem da função Im = ou Im = {y ∈ / y ≠ 0}.
  14. 14. 13c) Quando a um número real associamos o seu triplo aumentado de 2 unidades,temos uma função definida pela fórmula matemática y = 3 x + 2 . Nessa funçãonão há restrições para os valores que x pode assumir. Nesse caso, x pode assumirtodos os valores reais. Logo, D = .Assim podemos determinar a imagem de qualquer elemento do domínio. Se x = −10, então y = 3 ⋅ (−10) + 2 = −30 + 2 = −28 → −28 é a imagem do número −10 pela função. 1  1 Se x = − , então y = 3 ⋅  −  + 2 = −1 + 2 = 1 → 1 é a imagem do número 3  3 1 − pela função. 3Referências bibliográficas[1] A conquista da matemática (5ª a 8ª Série). Giovanni, Castrucci e Giovanni Jr.. Editora FTD.[2] Matemática (Projeto Araribá) (5ª a 8ª Série). Editora Moderna.[3] Matemática hoje é feita assim (5ª a 8ª Série). Antonio José Lopes Bigode. Editora FTD.[4] Tudo é matemática (5ª a 8ª Série). Luiz Roberto Dante. Editora Ática.[5] http://www.bibvirt.futuro.usp.br[6] http://www.brasilescola.com[7] http://www.ficharionline.com[8] http://www.klickeducacao.com.br[9] http://www.tutorbrasil.com.br

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