Fatoração Algébrica                                 Casos Simples de Fatoração AlgébricaComo já aprendemos na Aritmética, ...
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6Exemplo 07) Fatore 81 - 0,49k                                                                   6O binômio é uma diferenç...
Esses números serão - 3 e + 7 , já que: - 3 + 7 = 4 e                                            (- 3) x (+ 7) = - 21. Per...
Sexto Caso de Fatoração : Diferença de Dois CubosUm binômio diferença da forma x3 - y3 pode ser fatorado em um produto da ...
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Mat fatoracao algebrica

  1. 1. Fatoração Algébrica Casos Simples de Fatoração AlgébricaComo já aprendemos na Aritmética, todo número, não primo, pode ser decomposto em um produto de fatoresprimos. Assim,tem-se: 3 230 = 2 X 3 X 5 ; 72 = 8 x 9 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 2 x 3Da mesma forma, podemos decompor algumas expressões algébricas em fatores. 2 2 2 2 2 2 3 2 2Assim, por exemplo : a - b = (a+b) (a - b) ; a + 2ab + b = (a + b) ; 12a b - 18ab = 6ab (2ab - 3)O processo pelo qual transformamos uma adição algébrica em um produto algébrico denominamos fatoraçãoalgébrica, ousimplesmente, fatoração.No estudo da fatoração são conhecidos vários casos. Vamos estudá-los, classificando-os, para uma melhorcompreensão. Primeiro Caso de Fatoração : Evidenciação 2 3Consideremos o polinômio 6ax - 4ax + 2ax, que pode ser escrito como :(2ax).(3x) - (2ax).(2x) + (2ax).(1). Percebemos que o fator 2ax esta presente em todos os termos do polinômio.2ax é o fatorcomum e deverá ser colocado em evidência. Assim : 2 3 26ax - 4ax + 2ax = (2ax) (3x - 2x + 1) 2 4 3 2 4 3Exemplo 01) Fatorar o polinômio 7m p - 14m p + 21m p 2 2Colocando o fator comum 7m p em evidência, teremos : 2 4 3 2 4 3 2 2 2 27m p - 14m p + 21m p = 7m p ( p - 2m + 3m p) 3 2Exemplo 02) Fatorar o polinômio 2m (a - b) + 8m ( a - b) 2Colocando o fator comum 2m (a - b) em evidência, teremos : 3 2 2 22m (a - b) + 8m ( a - b ) = [2m (a - b)] ( m + 4) = 2m (a - b)( m + 4) Segundo Caso de Fatoração : Trinômio Quadrado PerfeitoJá aprendemos em produtos notáveis que : 2 2 2 2 2 2(a + b) = a + 2ab + b e (a - b) = a - 2ab + b 2 2 2O que faremos agora é transformarmos a soma algébrica a ± 2ab + b em sua forma fatorada (a ± b) .E para tal precisamos compreender que um trinômio será quadrado perfeito quando possuir dois de seus trêstermos quadradose o terceiro sendo igual ao dobro do produto entre as raízes quadradas dos termos quadrados.
  2. 2. 2 2 4Exemplo 03) Se possível, fatore o polinômio 4m + 12mn + 9n 2 4O polinômio possui dois termos quadrados 4m e 9n , e cujas raízes quadradas são, respectivamente, 2m e 23n . O dobro do 2produto entre essas raízes é exatamente igual ao terceiro termo 12mn . 2 2 4E dessa forma o polinômio 4m + 12mn + 9n é um trinômio quadrado perfeito e pode, portanto ser fatorado. 2A raiz quadrada do primeiro termo quadrado é 2m, a raiz do segundo termo quadrado é 3n e o sinal que osune será o sinal doterceiro termo + 12mn2. Dessa forma, teremos :4m2 + 12mn2 + 9n4 = ( 2m + 3n2)2 4 2 3 6Exemplo 04) Se possível, fatore o polinômio 16x + 36x y + 25y 4 6 2O polinômio possui dois termos quadrados 16x e 25y , e cujas raízes quadradas são, respectivamente, 4x e 35y . O dobro do 2 3 2 3produto entre essas raízes é igual a 40x y que é diferente do terceiro termo 36x y . 4 2 3 6E dessa forma o polinômio 16x + 36x y + 25y não é um trinômio quadrado perfeito e não pode, portanto, serfatorado, pelomenos como um trinômio quadrado perfeito. 6n 12nExemplo 05) Se possível, fatore o polinômio 36 - 132p + 121p 12nO polinômio possui dois termos quadrados 36 e 121p , e cujas raízes quadradas são, respectivamente, 6 e 6n11 . O dobro doproduto entre essas raízes é exatamente igual ao terceiro termo 132p6n.E dessa forma o polinômio 36 - 132p6n + 121p12n é um trinômio quadrado perfeito e pode, portanto, serfatorado. 6nA raiz quadrada do primeiro termo quadrado é 6, a raiz do segundo termo quadrado é 11p e o sinal que osune será o sinal do 6nterceiro termo - 132p , Dessa forma, teremos :36 - 132p6n + 121p12n = ( 6 - 11p6n)2 Terceiro Caso de Fatoração : Diferença de Dois QuadradosJá aprendemos em produtos notáveis que : 2 2(a + b) (a - b) = a - b 2 2O que faremos agora é transformarmos a diferença algébrica a - b em sua forma fatorada (a + b) (a - b). Epara tal precisamosextrair as raízes quadradas de ambos os termos e montarmos com essas raízes a sua soma multiplicada porsua diferença. 2 8Exemplo 06) Fatore o binômio 64x - 25y 2 8O binômio é uma diferença de dois quadrados 64x e 25y , e cujas raízes quadradas são, respectivamente, 8x 4e 5y . 4 4Montando a soma (8x + 5y ) e a diferença (8x - 5y ) e as multiplicando, teremos nossa fatoração concluída.Assim : 2 8 4 464x - 25y = (8x + 5y ) (8x - 5y )
  3. 3. 6Exemplo 07) Fatore 81 - 0,49k 6O binômio é uma diferença de dois quadrados 81 e 0,49k , e cujas raízes quadradas são, respectivamente, 9 e 30,7k . 3 3Montando a soma (9 + 0,7k ) e a diferença (9 - 0,7k ) e as multiplicando, teremos nossa fatoração concluída.Assim : 6 3 381 - 0,49k = (9 + 0,7k ) (9 - 0,7k )Veja que interessante: Já sabemos que 49 - 25 = 24.Vamos fazer essa diferença entre dois quadrados utilizando a fatoração, que acabamos de aprender:49 - 25 = (7 + 5) ( 7 - 5 ) = 12 x 2 = 24 ( deu, é claro, o mesmo resultado ) Quarto Caso de Fatoração : Trinômio de StevinJá aprendemos em produtos notáveis que :(a + b) (a + c) = a2 + (b + c)a + bc, que podemos escrever como : a2 + Sa + P, onde S é a soma dos termos nãocomuns e P oseu produto. 2O que faremos agora é transformarmos a soma algébrica a + Sa + P em sua forma fatorada (a + b) (a + c).E para tal precisamos extrair a raiz quadrada do termo quadrado e descobrirmos dois número cuja soma sejaS e cujo produtoseja P. e verificarmos se a soma aparece multiplica pela raiz quadrada do termo comum.Só com alguns exemplos poderemos entender melhor esse tipo de fatoração. Vamos a eles. 2Exemplo 08) Fatore o trinômio k + 8k + 15 2Extraindo a raiz quadrada do termo quadrado k , teremos k. Vamos descobrir agora dois números quesomados sejam iguais a8 e multiplicados sejam iguais a 15. Esses números serão 3 e 5, já que: 3 + 5 = 8 e 3 x 5 = 15. Percebemos,também, que a soma8 aparece multiplicada pela raiz quadrada k de k2. 2Assim : k + 8k + 15 = (k + 3) (k + 5) 4 2Exemplo 09) Fatore o trinômio m - 6m + 8 4Extraindo a raiz quadrada do termo quadrado m , teremos m2. Vamos descobrir agora dois números quesomados sejam iguaisa - 6 e multiplicados sejam iguais a 8. Esses números serão - 2 e - 4 , já que: - 2 + - 4 = - 6 e (- 2) x (- 4) = +8. Percebemos, 2 4também, que a soma - 6 aparece multiplicada pela raiz quadrada m de m . 4 2 2 2Assim : m - 6m + 8 = (m - 2) (m - 4) 6 3Exemplo 10) Fatore o trinômio 25y + 20y - 21 6 3Extraindo a raiz quadrada do termo quadrado 25y , teremos 5y . Vamos descobrir agora dois números quesomados sejam iguaisa + 4, lembremos que a raiz de 9y6, está presente nesse termo, assim, 20y3 : 5y3 = 4 e multiplicados sejamiguais a - 21.
  4. 4. Esses números serão - 3 e + 7 , já que: - 3 + 7 = 4 e (- 3) x (+ 7) = - 21. Percebemos, como já vimos, que asoma + 4 aparecemultiplicada pela raiz quadrada 5y3 de 25y6. 6 3 3 3Assim : 25y + 20y - 21 = (5y + 7) (5y - 3) 8 4 2Exemplo 11) Fatore o trinômio 4p - 8p a - 5a 8 4Extraindo a raiz quadrada do termo quadrado 4p , teremos 2p . Vamos descobrir agora dois números quesomados sejam iguais 4a - 4a, lembremos que a raiz de 4p8, está presente nesse termo, assim, - 8p4a : 2p = 4a e multiplicados sejam 2iguais a - 5a .Esses números serão - 5a e + 1a , já que: - 5a + 1a = 4a e (- 5a) x (+ a) = - 5a2. Percebemos, como já vimos,que a soma + 4a 4 8aparece multiplicada pela raiz quadrada 2p de 4p . 8 4 2 4 4Assim : 4p - 8p a - 5a = (2p + a) (2p - 5a) Quinto Caso de Fatoração : Soma de Dois Cubos 3 3Um binômio soma da forma x + y pode ser fatorado em um produto da forma: 3 3 2 2x + y = (x + y) ( x - xy + y )A melhor forma para fatorarmos uma soma de dois cubos é compreendermos que um dos fatores será a somadas raízes cúbicasdos termos cúbicos originais, e a partir dele, montarmos o outro fator que será o quadrado do primeiro menoso produto entreo primeiro e o segundo mais ( sempre mais ) o quadrado do segundo. Só praticando entenderemos esse casofatoração. 6Exemplo 12) Fatore a soma de dois cubos 8p + 125Como ambos são termos cúbicos, essa soma poderá ser fatorada. 6 2 2A raiz cúbica de 8p é 2p e a raiz cúbica de 125 é 5. Assim já temos o nosso primeiro fator (2p + 5)A partir dele montaremos o nosso segundo fator. O quadrado de 2p2 é 4p4 ; o produto entre 2p2 e 5 é 10p2 e oquadrado do 2segundo é 5 = 25. E dessa forma, teremos: 6 2 4 28p + 125 = (2p + 5) ( 4p - 10p + 25) 3 9 6Exemplo 13) Fatore 27x y + 64zComo ambos são termos cúbicos, essa soma poderá ser fatorada. 3 9 3 6 3A raiz cúbica de 27x y é 3xy e a raiz cúbica de 64z é 4z . 3 2Assim já temos o nosso primeiro fator (3xy + 4z ) 3 2 6 3 2A partir dele montaremos o nosso segundo fator. O quadrado de 3xy é 9x y ; o produto entre 3xy e 4z é 3 212xy z e o quadrado 2 2 4do segundo é (4z ) = 16z .E dessa forma, teremos: 27x3 y9 + 64z6 = (3xy3 + 4z2) (9x2y6 - 12xy3z2 + 16z4)
  5. 5. Sexto Caso de Fatoração : Diferença de Dois CubosUm binômio diferença da forma x3 - y3 pode ser fatorado em um produto da forma: 3 3 2 2x - y = (x - y)( x + xy + y )A melhor forma para fatorarmos uma diferença de dois cubos é compreendermos que um dos fatores será adiferença dasraízes cúbicas dos termos cúbicos originais, e a partir dele, montarmos o outro fator que será o quadrado doprimeiromais o produto entre o primeiro e o segundo mais ( sempre mais ) o quadrado do segundo. Só praticando,entenderemosesse caso fatoração.Exemplo 14) Fatore a diferença de dois cubos 216p3 - 125m6Como ambos são termos cúbicos, essa diferença poderá ser fatorada. 6 2 2A raiz cúbica de 216p3 é 6p e a raiz cúbica de 125 m é 5m . Assim já temos o nosso primeiro fator (6p - 5m )A partir dele montaremos o nosso segundo fator. O quadrado de 6p é 36p2 ; o produto entre 6p e 5m2 é30pm2 e o quadrado 2 2 4do segundo é (5m ) = 25m . 3 6 2 2 2 4E dessa forma, teremos: 216p - 125m = (6p - 5m ) ( 36p + 30pm + 25m ) Sétimo Caso de Fatoração : AgrupamentoQuando em um polinômio dois ou mais termos possuem um termo comum que evidenciado faz aparecer umtermo comum àfatoração dos demais termos. Só com alguns exemplos podemos compreender melhor esse caso defatoração.Por essa razão o deixamos como o último caso de fatoração.Exemplo 15) Fatore o polinômio ac + ad + bc + bd (1ª resolução )Se colocarmos, nos dois primeiros termos, o fator comum a em evidência e colocarmos, nos dois últimostermos, o fator comumb em evidência, teremos :ac + ad + bc + bd = a(c + d) + b( c + d). E colocando o novo fator comum (c + d) em evidência, teremos :ac + ad + bc + bd = a(c + d) + b(c + d) = (c + d) (a + b)Exemplo 16) Fatore o polinômio ac + ad + bc + bd (2ª resolução )Vamos agrupar agora o primeiro e o terceiro termo e, também, o segundo e o quarto termo.ac + ad + bc + bd = ac + bc + ad + bdSe colocarmos, nos dois primeiros termos, o fator comum c em evidência e colocarmos, nos dois últimostermos, o fator comumd em evidência, teremos :ac + bc + ad + bd = c(a + b) + d(a + b)
  6. 6. E colocando o novo fator comum (a + b) em evidência, teremos :ac + bc + ad + bd = c(a + b) + d(a + b) = (a + b) (c + d)Exemplo 17) Fatore o polinômio 2am + an - 6bm - 3bnSe colocarmos, nos dois primeiros termos, o fator comum a em evidência e colocarmos, nos dois últimostermos, o fator comum- 3b em evidência, teremos :2am + an - 6bm - 3bn = a(2m + n) - 3b(2m + n).E colocando o novo fator comum (2m + n) em evidência, teremos :2am + an - 6bm - 3bn = a(2m + n) - 3b(2m + n) = (2m + n) (a - 3b) 2 2 2 2Exemplo 18) Fatore 3a x - 2b + 2a - 3b x 2 2 2 2Reagrupando o polinômio, teremos : 3a x - 3b x + 2a - 2bSe colocarmos, nos dois primeiros termos, o fator comum 3x em evidência e colocarmos, nos dois últimostermos, o fatorcomum 2 em evidência, teremos : 2 2 2 2 2 2 2 23a x - 3b x + 2a - 2b = 3x(a - b ) - 2(a - b ) 2 2E colocando o novo fator comum (a - b ) em evidência, teremos : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 23a x - 3b x + 2a - 2b = 3x(a - b ) - 2(a - b ) = (a - b ) (3x - 2)E como o fator (a2 - b2) é fatorável e igual a (a + b) (a - b), teremos, finalmente :3a2x - 3b2x + 2a2 - 2b2 = 3x(a2 - b2) - 2(a2 - b2) = (a2 - b2) (3x - 2) = (a + b) (a - b) (3x - 2)

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