Mat divisores de um numero

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Mat divisores de um numero

  1. 1. Divisores de um NúmeroDefinimos divisores de um número n, como sendo o conjunto numérico formado por todos os números que odividem exatamente.Vejamos o 12 por exemplo:Somente os quocientes 1, 2, 3, 4, 6 e 12 o dividem exatamente, já o quociente 5 não o divide exatamente.Sendo assim, o conjuntodos divisores de 12 é :D(12) = { 1, 2, 3, 4, 6 e 12 } , da mesma forma teríamos :D(4) = { 1, 2, e 4 } D(10) = { 1, 2, 5 e 10 } D(18) = { 1, 2, 3, 6, 9 e 18 }D(24) = { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24 } D(40) = { 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20 e 40 }Com isso percebemos que :O conjunto dos divisores de um número é um conjunto finito, já que possui uma quantidade limitada deelementos.O conjunto dos divisores da unidade é um conjunto unitário formado pelo elemento 1 D(1) = { 1 }O conjunto dos divisores do ZERO é um conjunto infinito formado por todos os números naturais diferentesde 0.D(0) = { 1 , 2, 3, 4 ,5 , 6, 7, 8 , 9, 10, 11, 12 , 13, ....}Lembremos que IN - { 0 } = { 1 , 2, 3, 4 ,5 , 6, 7, 8 , 9, 10, 11, 12 , 13, ....} .O conjunto dos divisores de um número diferente de 1 ou 0 tem no mínimo dois divisores, ele mesmo e aunidade. Assim :D(7) = { 1, 7 } D(9) = { 1, 3 , 9 } D(11) = { 1, 11 } D(7) = { 1, 3, 5, 15 }E com isso percebemos que a unidade é divisor de todo e qualquer número.Observação Importante: Alguns autores e alguns concursos, como o Colégio Naval, estendem a definição dedivisores de um númeropara o conjunto dos números inteiros, e com isso teremos divisores positivos e negativos. Assim :D(12) = { -12, - 6, - 4, -3, -2, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 12 } , mas só devemos considerar dessa forma se isso ficar bemclaro numa questão. Números PrimosNúmeros Primos são aqueles que possuem somente dois divisores, ele mesmo e a unidade. Alguns númerosprimos :D(2) = { 1, 2 } D(5) = { 1, 5 } D(7) = { 1, 7 } D(19) = { 1, 19 }Com isso percebemos que :O 2 é o único número par que é primo.A unidade não é um número primo pois possui apenas 1 divisor D(1) = { 1 }
  2. 2. O ZERO não é um número primo pois possui uma infinidade de divisores D(0) = { 1 , 2, 3, 4 ,5 , 6, 7, 8 , 9,10, 11, 12 , 13, ....}O conjunto dos números primos é um conjunto infinito Primos = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ....} Números CompostosNúmeros Compostos são aqueles que possuem uma quantidade finita de 3 ou mais divisores . Algunsnúmeros compostos :D(4) = { 1, 2, 4 } D(8) = { 1, 4, 8 } D(24) = { 1,2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 }D(42) = { 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42 } D(50) = { 1,2, 5, 10, 25, 50 }Com isso percebemos que :Com exceção do 2, todos os demais números pares são compostos.A unidade não é um número composto pois possui apenas 1 divisor D(1) = { 1 }O ZERO não é um número composto pois possui uma infinidade de divisores D(0) = { 1 , 2, 3, 4 ,5 , 6, 7, 8 ,9, 10, 11, 12 , 13, ....}O conjunto dos números compostos é um conjunto infinito Compostos = { 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 18, ....}E dessa forma podemos classificar os números em quatro categorias :Um número N poderá ser o 0, a unidade, um número primo ou um número composto. Reconhecimento de um Número PrimoUm número terminado em 1, 3, 7 e 9 será primo quando dividido sucessivamente pela listagem crescente dosnúmeros primosmenores que ele, gerar divisões inexatas e quando o quociente da divisão se tornar menor ou igual a ele .Verifiquemos, por exemplo, se 173 é primo : Vamos dividi-lo pelos primos menores que ele a começar pelo 2.Notemos que gradativamente os quocientes obtidos vão diminuindo e cada divisão se mantém inexata, atéque o quociente 13e o divisor tornam-se iguais. Com isso podemos afirmar que 173 é um número primo.Verifiquemos, agora, se 187 é primo :Vamos dividi-lo pelos primos menores que ele a começar pelo 2.Notemos que gradativamente os quocientes obtidos vão diminuindo e cada divisão se mantém inexata, atéque ao dividirmos
  3. 3. 187 por 11 o resto torna-se 0. Com isso podemos afirmar que 187 não é um número primo, já que ele édivisível por 11 etambém por 17 .Somente poderá ser primo um número terminado em 1, 3 , 7 ou 9 Listagem dos Números Primos Menores que 1 0002 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 87 89 97 1121 123 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 2283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 4487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 6691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 8919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997 Decomposição de um Número em Fatores PrimosPor diversas ocasiões precisamos decompor um número num produto de fatores primos. Assim :20 = 4 x 5, e usando apenas fatores primos => 20 = 2 x 2 x 5 ou 22 x 5 260 = 4 x 15, e usando apenas fatores primos => 60 = 2 x 3 x 5 ou 2 x 3 x 5 3 27800 = 8 x 3 x 25 x 13, e usando apenas fatores primos => 2 x 3 x 5 x 13 2 22772 = 4 x 9 x 7 x 11, e usando apenas fatores primos => 2 x 3 x 7 x 11 Método prático para a decomposição de um número em fatores primos Escrevemos o Número A sua direita traçamos uma linha vertical Vamos dividí-lo sucessivamente pelos números primos a partir do 2 Enquanto a divisão for possível continuaremos a divisão Não sendo mais possível passamos para o próximo número primo E assim faremos até que cheguemos a unidade. Vejamos alguns ExemplosDecomponha 120 em Decomponha 312 em Decomponha 495 em Decomponha 900 em fatores primos fatores primos fatores primos fatores primos 120 = 23 X 3 X 5 312 = 23 X 3 X 13 495 = 32 X 5 X 11 900 = 22 X 32 X 5
  4. 4. Cálculo dos Divisores de um NúmeroEscrevemos o Número À sua direita traçamos uma linha vertical Vamos decompô-lo em fatores primos Feito isso traçamos a direita dos fatores primos uma nova linha vertical A direita dessa linha e acima do menor número primo encontrado lançamos a unidade Multiplicamos o menor fator primo encontrado por todos os números que se encontram acima dele eescrevemos os resultados à direita do traço vertical e na mesma linha do fator primo Se o fator primo for o mesmo do anterior multiplicaremos esse fator apenas pela linha de cima. Se o fator primo for diferente do anterior começaremos nossa multiplicação pela unidade e continuaremospor todos os números acima dele E assim faremos até chegarmos ao número original que é o maior divisor possível. Todos os números encontrados a direita do segundo traço vertical serão os divisores do númerosolicitado.Vejamos alguns ExemplosExemplo 1 - Quais são os divisores Exemplo 2 - Quais são os divisoresde 120 de 158Os divisores de 120 são : Os divisores de 158 são :1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 8 - 10 - 12 - 15 - 1 - 2 - 79 - 15818 - 20 - 30 - 40 - 60 - 120Exemplo 3 - Quais são os divisores Exemplo 4 - Quais são os divisoresde 200 de 396Os divisores de 200 são : Os divisores de 396 são :1 - 2 - 4 - 5 - 8 - 10 - 20 - 25 - 40 - 50 1 - 2 - 3 - 4 - 6 - 9 - 11 - 12 - 18 - 22 -- 100 - 200 33 - 36 - 44 - 66 - 99 - 132 - 198 - 396
  5. 5. Cálculo da Quantidade de Divisores de um NúmeroEm muitas situações precisamos conhecer apenas a quantidade de divisores de um número semconhecermos exatamente quais sãoeles :E para tal utilizaremos a fórmula : ( Mais tarde a deduziremos ) A quantidade de divisores de um número é dado pelo produto entre os consecutivos dos expoentes de todos os seus fatores primos.Exemplo 1 - Quantos são os divisores de 60Decomposição em fatores primos 60 = 22 x 3 x 5Expoentes dos fatores primos 2,1e1Consecutivos dos Expoentes 2+1=3,1+1=2e1+1=2Produto entre os consecutivos 3 x 2 x 2 = 12O número 60 possui 12 divisoresExemplo 2 - Quantos são os divisores de 720Decomposição em fatores primos 720 = 24 x 32 x 5Expoentes dos fatores primos 4,2e1Consecutivos dos Expoentes 4+1=5,2+1=3e1+1=2Produto entre os consecutivos 5 x 3 x 2 = 30O número 720 possui 30 divisores Cálculo da Quantidade dos Divisores Ímpares de um NúmeroEm muitas situações precisamos conhecer apenas a quantidade de divisores ímpares de um número semconhecermos exatamentequais são eles :E para tal utilizaremos a fórmula : ( Mais tarde a deduziremos ) A quantidade de divisores ímpares de um número é dado, exclusivamente, pelo produto entre os consecutivos dos expoentes de seus fatores primos ímpares..
  6. 6. Exemplo 1 - Quantos são os divisores ímpares de 540Decomposição em fatores primos 540 = 22 X 33 X 5Expoentes dos Fatores primos 3e1ímparesConsecutivos dos Expoentes 3+1=4e1+1Produto entre os consecutivos 4x2=8O Número 540 possui 8 divisores ímparesExemplo 2 - Quantos são os divisores ímpares de 3 150Decomposição em fatores primos 3 150 = 2 x 33 x 5 x 7Expoentes dos Fatores primos 3, 1 e 1ímparesConsecutivos dos Expoentes 3 + 1 = 4 , 1 + 1 = 2 e 1 + 1= 2Produto entre os consecutivos 4 x 2 x 2 = 16O Número 3 150 possui 16 divisores ímpares Cálculo da Quantidade dos Divisores Pares de um NúmeroLembremos que somente um número par terá divisores pares A quantidade de divisores pares de um número par é dado pelo produto entre o expoente do fator primo 2 e os consecutivos dos expoentes dos demais fatores primos ..Exemplo 1 - Quantos são os divisores pares de 360Decomposição em fatores primos 360 = 23 X 32 X 5Expoente do fator primo 2 3Expoentes dos Fatores primos 2e1ímparesConsecutivos dos Expoentes 2+1=3e1+1=2Produto entre 3 ( expoente do fatorprimo 2 ) e os consecutivos dos demais 3 x 3 x 2 = 18fatores primosO Número 360 possui 18 divisores paresExemplo 2 - Quantos são os divisores pares de 420Decomposição em fatores primos 840 = 22 X 3 X 5 X 7Expoente do fator primo 2 2
  7. 7. Expoentes dos Fatores primos 1, 1 e 1ímparesConsecutivos dos Expoentes 1+1=2,1+1=2e1+1=2Produto entre 2 ( expoente do fatorprimo 2 ) e os consecutivos dos demais 2 x 2 x 2 x 2 = 16fatores primosO Número 840 possui 16 divisores pares Cálculo da quantidade dos múltiplos de um número p dentre os divisores de um número NOBS => Esse cálculo somente terá sentido se p for divisor de N1º Caso : O número p é um fator primo de N A quantidade de divisores múltiplos de um número p é dado pelo produto entre o expoente do fator primo p e os consecutivos dos expoentes dos demais fatores primos..Exemplo 1 - Quantos divisores de 720 são múltiplos de 3Decomposição em fatores primos 720 = 24 x 32 x 5Expoente do fator primo 3 2Expoentes dos demais fatores primos 4 e 1Consecutivos dos Expoentes 4+1=5,1+1=2Produto entre 2 ( expoente do fatorprimo 3 ) e os consecutivos dos demais 2 x 5 x 2 = 20fatores primosO Número 720 possui 20 divisores múltiplos de 3Exemplo 2 - Quantos divisores de 2 880 são múltiplos de 5Decomposição em fatores primos 2 880 = 26 x 32 x 5Expoente do fator primo 5 1Expoentes dos demais fatores primos 6 e 2Consecutivos dos Expoentes 6+1=7,2+1=3Produto entre 1 ( expoente do fatorprimo 5 ) e os consecutivos dos demais 1 x 7 x 3 = 21fatores primosO número 2 880 possui 21 divisores múltiplos de 52º Caso : O número p é composto e é um produto de fatores primos de N
  8. 8. A quantidade de divisores múltiplos de um número composto p é dado pelo produto entre os consecutivos dos expoentes dos fatores primos restantes..Exemplo 1 - Quantos divisores de 720 são múltiplos de 12Decomposição em fatores primos 720 = 24 x 32 x 5Isolemos o produto 12 ( 22 X 3 ) X 22 X 3 X 5Expoentes dos demais fatores primos 2, 1 e 1Consecutivos dos Expoentes 2 + 1, 1 + 1 e 1 + 1Produto entre os consecutivos 3 X 2 X 2= 12O número 720 possui 12 divisores múltiplos de 12Exemplo 2 - Quantos divisores de 1 440 são múltiplos de 40Decomposição em fatores primos 1 440 = 25 x 32 x 5Isolemos o produto 40 ( 23 X 5 ) X 22 X 32Expoentes dos demais fatores primos 2 e 2Consecutivos dos Expoentes 2+1e2+1Produto entre os consecutivos 2 X 2= 4O número 1 440 possui apenas 4 divisores múltiplos de 40 Uma regra prática e bastante útil nesse caso seria a de dividirmos o número N pelo número p e a quantidade de divisores desse quociente nos dará a quantidade de múltiplos de p dentre os divisores de N.Exercícios PropostosI - Quais são os divisores de :01) 20 02) 45 03) 72 04) 12805) 400 06) 560 07) 1 040 08) 1 200II - Calcule o produto entre os divisores positivos de :09) 36 10) 48 11) 60 12) 144
  9. 9. III - Calcule o produto entre os divisores inteiros de :13) 30 14) 54 15) 105 16) 108IV - Verifique se são primos os números :17) 237 18) 267 19) 343 20) 43321) 851 22) 953 23) 1 04924) Mostre que a soma dos algarismos de um número primo não pode ser 15 e nem 21.VI - Determine o valor de x para que os números abaixo sejam primos25) 1x3 26) 32x 27) 54x 28) 63x529) Podemos afirmar que não existem números consecutivos primos ?30) O consecutivo de um número primo é sempre um número ....... .31) Podemos afirmar que todo número primo com mais de um algarismo é ímpar ?VII - Decomponha em fatores primos :32) 24 33) 38 34) 56 35) 96 36) 18037) 240 38) 320 39) 539 40) 936 41) 102442) 1440 43) 3850 44) 3960 45) 4500VII - Decomponha em fatores primos as multiplicações :
  10. 10. 46) 24 x 30 47) 38 x 60 x 72 48) 32 x 40 x 10849) 22 x 33 x 44 x 77 50) 122 x 203 x 212 51) 15 n x 18 n x 28 nVIII - Quantos são os divisores de :52) 72 53) 96 54) 360 55) 450 56) 60057) 740 58) 840 59) 1 120 60) 1 560 61) 1 800IX - Quantos são os divisores pares de :62) 36 63) 60 64) 96 65) 420 66) 66067) 720 68) 900 69) 1 200 70) 1 440 71) 2 000X - Quantos são os divisores ímpares de :72) 54 73) 234 74) 275 75) 1 428 76) 7 425XI - Determine o valor de n para que os números tenham :77) 22 x 3n x 5 - 18 divisores 78) 23 x 32 x 7n - 36 divisores 79) 24 x 5n x 11n - 45 divisores
  11. 11. 80) 123 x 52 x 13n - 168 divisores 81) 24n x 72 x 23 - 126 divisores 82) 123 x 52 x 13n - 168 divisores a bXII - Qual o menor número da forma 2 X 3 que possui :83) 12 84) 20 85) 36 86) 40 a b cXIII - Qual o menor número da forma 2 X 3 X 5 que possui :87) 18 88) 24 89) 60XIV - Dentre os divisores de 60, quantos são múltiplos de :90) 6 91) 10 92) 12 93) 18 94) 20XV - Dentre os divisores de 120, quantos são múltiplos de :95) 8 96) 10 97) 12 98) 15 99) 30XVI - Dentre os divisores de 300, quantos são múltiplos de :100) 4 101) 6 102) 12 103) 18 104) 60105) Dentre os divisores de 180, quantos não terminam em 0 ?106) Dentre os divisores de 90, quantos terminam em cinco ?Questões de Concurso107)( CEFETQ 1992 - Discursiva ) Na decomposição em fatores primos de um número natural N, encontramoso seguinte resultado: x y z3 . 3 . 5 . Sabendo que possui 105 divisores, calcule o valor de x + y + z. 2108) ( CEFET 2000 - Discursiva ) Seja N = 2 x 30 , qual o número de divisores de N que são também múltiplosde 15 ? 4 5 6109) ( Colégio Naval - 1982 ) Seja N = 2 x 3 x 5 . O número de divisores de N que são múltiplos de 10, éA) 24 B) 35 C) 120 D) 144 E) 210110) ( Colégio Naval - 1984 ) Seja o número , o número de divisores positivos de N é :A) 6 B) 15 C) 2 D) 13 E) 4111)( CEFET 1996 ) A soma dos valores absolutos dos algarismos de um número superior a 1010 e inferior a2010 e ao mesmo tempomúltiplo de 7, 11 e 13 é:A) 2 B) 5 C) 15 D) 11 E) 22112) ( EPCAR 2001 ) Sobre o menor número natural n de 4 algarismos, divisível por 3, tal que o algarismo dasdezenas é a metade do
  12. 12. algarismo das unidades e igual ao dobro do algarismo das unidades de milhar. É correto afirmar queA) n + 1 é divisível por 7 B) n está entre 2000 e 3009C) n + 2 é múltiplo de 10 D) n apresenta 12 divisores positivos113) ( Colégio Naval - 1991 ) O produto de todos os divisores inteiros de 144 é :A) - 230 X 315 B) 230 X 315 C) - 260 X 330 D) 260 X 330 E) - 630114) ( CEFET 1995 - Discursiva ) Determine a soma dos valores absolutos de um número que é superior a 500,inferior a 1000 e é, aomesmo tempo, múltiplo de 3, 11 e 13 . k 2 + 50 k 2 + 51 k 2 + 52 k 2 + 53115) ( Colégio Naval - 1990 ) Os números da forma 4 +4 +4 +4 são sempre múltiplos de:A) 17 B) 19 C) 23 D) 29 E) 31116) ( Colégio Naval - 1996 ) Os números naturais M e N são formados por dois algarismos não nulos. Se osalgarismos de M são osmesmos algarismos de N, na ordem inversa, então M + N é necessariamente múltiplo de :A) 2 B) 3 C) 5 D) 7 E) 11117) ( Colégio Naval - 2001 ) Se a e b são números naturais e 2a + b é divisível por 13, então um númeromúltiplo de 13 será :A) 91a + b B) 92a + b C) 93a + b D) 94a + b E) 95a + b

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