Mat conicas elipses

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Mat conicas elipses

  1. 1. GUIDG.COM – PG. 15/11/2009 – ALGA-1: Resumo e dicas – Cônicas: Elipses • Do Livro de Geometria Analítica – Alfredo Steinbruch, Paulo Winterle.Uma brevíssima revisão de conteúdo, sem formalidades!Definição, Teoria, Dicas, Completando Quadrados, Exercício resolvido Comentado e Ilustrado.Elipse com centro em (0,0) Definição: Elipse é o lugar geométrico, cuja soma das distâncias de P(x,y) até seus fotos F1 e F2 é igual a 2a (veja a figura ao lado). Ou seja, mesmo que P mude de lugar, a distância continua a mesma, por isso a elipse tem este formato. Assim a elipse é o rastro deixado por P, quando ele “caminhou” sem alterar seu modulo |PF1 | + |PF2 | = 2a ou sua distância, em relação à F1 e F2. Elementos: F1 e F2 são os focos. Distância focal, é a distância entre F1 e F2, e é dado por 2c. c é a distância de um dos focos até o Centro. Centro C, é o ponto médio do segmento F1F2.Eixo maior, é a distância 2a, Eixo menor é a distância 2bVértices são A1 e A2 (no eixo maior), e B1 e B2 (no eixo menor). cfExcentricidade é: e = f ff aEm toda elipse vale a relação de Pitágoras, isto é: a² = b² + c²A equação reduzida da elipse se obtém quando abrimos a definição substituindo valores genéricos,isto é: P(x,y) um ponto qualquer da elipse, cujos focos são F(-c,0) e F(c,0).Substituindo os valores na definição chega-se à: 2 2 2 2 xff yff ff ff ff ff f f xff yff ff ff ff ff f f 2 + 2 =1 ou 2 + 2 =1 a b b a Equação reduzida da elipse com eixo maior em x ou y, com centro C(0,0).Agora façamos algumas considerações: a e b podem variar como denominadores de x ou y.
  2. 2. GUIDG.COM – PG. 2A dica é analisar a equação, e se a > b, e a estiver como denominador de x, então o eixo maior estano eixo dos x ou paralelo a este.O mesmo se aplica se o contrario ocorrer, ou seja: se a > b, e a estiver como denominador de y,então o eixo maior esta no eixo dos y ou paralelo a este.A elipse com centro fora da origem:Aplica-se translação de eixos, ou seja usa-se umvalor de x’ e y’. para fazer o centro sair daorigem e ir até o centro da elipse (que esta forada origem do sistema). x’ = x – h y’ = y - k h e k, são as distâncias: horizontal e vertical do centro da elipse à origem do sistema.Então a equação reduzida, com centro fora da origem fica: b c2 2 2 ` a2 yffffff kfff @ffff x.ff y.ff fff fff ff fff ff ff xffffff ffff @h fffffff fff fff ffffff ffffff fff f + 2 =1 = + =1 a2 b a2 b 2Veja que se o centro estiver na origem, então h = k = 0, e a equação volta à ser aquela obtida atravésda definição.Chama-se Equação geral da elipse, aquela que se obtém quando se expande a equação.A Circunferência é um caso particular da elipse, isto se deve ao fato do eixo maior ser igual ao eixomenor, assim quando os eixos forem iguais, dá-se o nome de raio, lembrando que o dobro do raio échamado de diâmetro.Demonstração de exercício e aplicação de conceitos:Determinar o centro, os vértices, os focos e a excentricidade da elipse, Esboçar o gráfico.Pg. 243, exercício 27.16x² + 9y² - 96x + 72y + 144 = 0Solução:A equação esta na forma geral (expandida), temos que passa-la para a forma reduzida a fim deidentificarmos o centro, e as medidas a e b para esboçar o gráfico.Precisa-se usar um artifício conhecido como “técnica de completar quadrados”.E consiste no seguinte, veja e interprete a demonstração:16x² - 96x + 9y² + 72y + 144 = 0 (organizando os termos, primeiro em x e depois y)16(x² - 6x) + 9(y² + 8y) + 144 = 0 (fatorando)
  3. 3. GUIDG.COM – PG. 3Agora como podemos expressar (x² - 6x) como (x - k)² ? , que é o formato da eq. reduzida.Sabemos que (x - k)² = (x - k)(x - k) = x² - 2xk + k² x menos k ao quadrado é igual: ao quadrado do primeiro (x), menos duas vezes o primeiro (x) vezes o segundo (k), mais o quadrado do segundo (k), (Essa é a leitura do produto notável).Então (x² - 6x) = (x - 3)² - 9Pois: (x - 3)² - 9 = x² - 2x3 + 3² - 9 = x² + 6x Completar quadrados é uma técnica simples, mas só se aprende fazendo vários exercícios!O mesmo para (y² + 8y)(y² + 8y) = (y + 4)² - 16Pois: (y + 4)² - 16 = y² + 2y4 + 4² - 16 = y² + 8yAgora substituímos os valores na equação:16(x² - 6x) + 9(y² + 8y) + 144 = 016[ (x - 3)² - 9 ] + 9[ (y + 4)² - 16] + 144 = 0Ou: 16(x - 3)² - 144 + 9(y + 4)² - 144 + 144 = 016(x - 3)² - 144 + 9(y + 4)² = 0 (Somando 144 dos dois lados da igualdade, a eq. fica...)16(x - 3)² + 9(y + 4)² = 144 (dividindo por 144 dos dois lados, a eq. fica...) b c2 1f ff 1f ff ff ff c2 ` a2 y+ 4 xffffff ffffff fff3ff ffffff @f ffffff fffffff ffffff ffffff x@3 + + =1 b y+ 4 =1 ` a2 ou 9 16 9 16Agora comparamos com a eq. reduzida e identificamos as medidas a e b.Identificamos o centro:x’ = x – h = x -(3) , logo h = 3y’ = y – k = y -(-4) , logo k = -4Assim o Centro C(3,-4)Como 16 > 9, então de acordo com a teoria,a² = 16, e b² = 9Tirando a raiz, a = ± 4 , b = ± 3 , são essesvalores que darão as coordenadas dos vértices daelipse. Logo a elipse tem eixo maior paralelo ao eixodos y. E já podemos esboçar (desenhar) ográfico. (figura ao lado)
  4. 4. GUIDG.COM – PG. 4Sabemos, que a² = b² + c² , logo c² = a² - b² pois só temos as medias a² e b², e precisamosdescobrir c², para encontrar os focos. w w w w ww wLogo c² = 16 - 9 , c = F p 7 . ww w w w wEntão os focos da elipse são: F(3, @ 4 F p7 ) w w w w ww w cf f ff pff f7 f fff fff ffA excentricidade é o número e = , logo e = a 4 b c b c b c b cE os vértices são: V1 3, @ 8 , V 2 3,0 , V 3 0, @ 4 , V 4 6, @ 4

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